9.2.3 总体集中趋势的估计
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．会求样本数据的众数、中位数、平均数．
2．理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势．
逐点清(一) 众数、中位数和平均数
[多维理解]
(1)众数：一组数据中________________的数．
(2)中位数：一组数据按大小顺序排列后，处于________位置的数．如果个数是偶数，则取________两个数据的平均数．
(3)平均数：如果n个数为x1，x2，…，xn，那么＝ 叫做这n个数的平均数．
[微点练明]
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．( )
(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据．( )
(3)若改变一组数据中其中的一个数，则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变．( )
2．一组样本数据为19,23,12,14,14,17,10,12，18,14,27，则这组数据的众数和中位数分别为( )
A．14,14 B．12,14
C．14,15.5 D．12,15.5
3．(多选)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习10组，每组罚球40个，命中个数如下所示：
甲：20,22,27,8,12,13,37,25,24,26
乙：14,9,13,18,19,20,23,21,21,11
则下面结论正确的是( )
A．甲的极差是29 B．乙的众数是21
C．甲的平均数为21.4 D．甲的中位数是24
4．(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并整理下表：
亩产量 [900，950) [950，1 000) [1 000，1 050) [1 050，1 100) [1 100，1 150) [1 150，1 200]
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据，下列结论中正确的是( )
A．100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B．100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C．100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D．100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
逐点清(二) 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
[多维理解]
(1)单峰频率分布直方图中的平均数与中位数
①如果直方图的形状是________的，那么平均数和中位数应该大体上差不多．
②如果直方图在________“拖尾”，那么平均数大于中位数．
③如果直方图在________“拖尾”，那么平均数小于中位数，也就是说，和中位数相比，平均数总是在“长尾巴”那边．
(2)在频率分布直方图中，________是最高矩形底边中点的横坐标，__________左边和右边的直方图的面积应该________，______________的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．
[微点练明]
1．某班全体学生参加物理测试成绩(单位：分)的频率分布直方图如图所示，则估计该班物理测试的平均成绩是( )
A．70分 B．75分
C．68分 D．66分
2．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图．观察图中的信息，回答下列问题：
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数)；
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分．
3．某快递公司招聘快递骑手，该公司提供了两种日工资方案：方案1：规定每日底薪50元，快递骑手每完成一单业务提成3元；方案2：规定每日底薪150元，快递业务的前44单没有提成，从第45单开始，每完成一单业务提成5元，该快递公司记录了每天骑手的人均业务量．现随机抽取100天的数据，将样本数据分为[25,35)，[35,45)，[45,55)，[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]七组，整理得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若仅从人均日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择，并说明理由．(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
逐点清(三) 平均数、中位数、众数的应用
[典例] 甲、乙、丙三家电子厂商在广告中都声称，他们的某型电子产品在正常情况下的待机时间都是12 h，质量检测部门对这三家销售产品的待机时间进行了抽样调查，统计结果(单位：h)如下：
甲：8,9,9,9,9,11,13,16,17,19；
乙：10,10,12,12,12,13,14,16,18,19；
丙：8,8,8,10,11,13,17,19,20,20.
(1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数；
(2)这三个厂商的推销广告分别利用了上述哪一种数据来表示待机时间？
(3)如果你是顾客，宜选择哪个厂商的产品？为什么？
听课记录：
|思|维|建|模|
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关，可以反映更多的总体信息，但受极端值的影响大；中位数是样本数据所占频率的等分线，不受几个极端值的影响；众数只能体现数据的最大集中点，无法客观反映总体特征．
(2)当平均数大于中位数时，说明数据中存在许多较大的极端值．
[针对训练]
某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练，两群市民的年龄如下(单位：岁)：
甲群：13,13,14,15,15,15,15,16,17,17；
乙群：54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？
其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征？
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁？
其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征？
9．2.3 总体集中趋势的估计
[逐点清(一)]
[多维理解] (1)出现次数最多 (2)中间 中间 (3)(x1＋x2＋…＋xn)
[微点练明]
1．(1)√ (2)× (3)×
2．选A 把这组数据按从小到大的顺序排列为10,12,12,14,14,14,17,18,19,23,27，则可知其众数为14，中位数为14.
3．选ABC 把两组数据按从小到大的顺序排列，得甲：8,12,13,20,22,24,25,26,27,37，乙：9,11,13,14,18,19,20,21,21,23，故甲的最大值为37，最小值为8，则极差为29，所以A正确；乙中出现次数最多的数据是21，所以B正确；甲的平均数为甲＝(8＋12＋13＋20＋22＋24＋25＋26＋27＋37)＝21.4，所以C正确；甲的中位数为(22＋24)＝23，所以D不正确．
4．选C 根据频数分布表可知，6＋12＋18＝36＜50，所以亩产量的中位数不小于1 050 kg，故A错误；亩产量不低于1 100 kg的频数为24＋10＝34，所以低于1 100 kg的稻田占比为＝66%，故B错误；稻田亩产量的极差最大约为1 200－900＝300，最小约为1 150－950＝200，故C正确；由频数分布表可得，100块稻田亩产量的平均值为×(6×925＋12×975＋18×1 025＋30×1 075＋24×1 125＋10×1 175)＝1 067，故D错误．
[逐点清(二)]
[多维理解] (1)①对称 ②右边 ③左边 (2)众数 中位数 相等 样本平均数
[微点练明]
1．选C 0.005×20×30＋0.010×20×50＋0.020×20×70＋0.015×20×90＝68(分)．
2．解：(1)众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标，所以众数为m＝75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10＋0.015×10＋0.015×10＝0.4<0.5，前4个小矩形面积和为0.4＋0.03×10＝0.7>0.5，所以中位数n＝70＋≈73.3.
(2)依题意，60及60以上的分数在第三、四、五、六组，频率和为(0.015＋0.03＋0.025＋0.005)×10＝0.75，所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.所以估计这次考试物理成绩的平均分是71分．
3．解：(1)由频率分布直方图得(0.005＋0.005＋a＋0.03＋a＋0.015＋0.005)×10＝1，解得a＝0.02.
(2)由题图 ，知快递公司人均每日完成快递数量的平均数是30×0.05＋40×0.05＋50×0.2＋60×0.3＋70×0.2＋80×0.15＋90×0.05＝62.
方案1日工资为50＋62×3＝236，
方案2日工资为150＋(62－44)×5＝240>236.
∴骑手应选择方案2.
[逐点清(三)]
[典例] 解：(1)根据平均数的计算公式可知，
甲厂数据的平均数是(8＋9＋9＋9＋9＋11＋13＋16＋17＋19)＝12；
乙厂数据的平均数是(10＋10＋12＋12＋12＋13＋14＋16＋18＋19)＝13.6；
丙厂数据的平均数是(8＋8＋8＋10＋11＋13＋17＋19＋20＋20)＝13.4.
甲厂、乙厂、丙厂的众数分别是9,12,8.
甲厂数据的中位数为＝10，乙厂数据的中位数为＝12.5，丙厂数据的中位数为＝12.
(2)甲厂用平均数作为该电子产品的待机时间，乙厂用众数作为该电子产品的待机时间，丙厂用中位数作为该电子产品的待机时间．
(3)我会选乙厂的产品因为乙厂产品的平均数最大，众数最大，中位数最大，所以待机时间更长些，稳定性也较好．
[针对训练]
解：(1)甲群市民年龄的平均数为×(13＋13＋14＋15＋15＋15＋15＋16＋17＋17)＝15(岁)，中位数为15岁，众数为15岁．平均数、中位数和众数相等，因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征．
(2)乙群市民年龄的平均数为(54＋3＋4＋4＋5＋5＋6＋6＋6＋57)＝15(岁)，
中位数为5.5岁，众数为6岁．
由于乙群市民大多数是儿童，所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征，而平均数的可靠性较差．(共54张PPT)
9.2.3
总体集中趋势的估计
(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.会求样本数据的众数、中位数、平均数.
2.理解用样本的数字特征、频率分布直方图估计总体的集中趋势.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 众数、中位数和平均数
逐点清(二) 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
逐点清(三) 平均数、中位数、众数的应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 众数、中位数和平均数
01
多维理解
(1)众数:一组数据中______________的数.
(2)中位数:一组数据按大小顺序排列后,处于_____位置的数.如果个数是偶数,则取______两个数据的平均数.
(3)平均数:如果n个数为x1,x2,…,xn,那么=_________________叫做这n个数的平均数.
出现次数最多
中间
中间
(x1+x2+…+xn)
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势.( )
(2)样本的平均数是频率分布直方图中最高长方形的中点对应的数据.( )
(3)若改变一组数据中其中的一个数,则这组数据的平均数、中位数、众数都会发生改变. ( )
微点练明
√
×
×
2.一组样本数据为19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27,则这组数据的众数和中位数分别为 ( )
A.14,14 B.12,14
C.14,15.5 D.12,15.5
解析:把这组数据按从小到大的顺序排列为10,12,12,14,14,14,17,18,19,
23,27,则可知其众数为14,中位数为14.
√
3.(多选)某篮球队甲、乙两名运动员练习罚球,每人练习10组,每组罚球40个,命中个数如下所示:
甲:20,22,27,8,12,13,37,25,24,26
乙:14,9,13,18,19,20,23,21,21,11
则下面结论正确的是( )
A.甲的极差是29 B.乙的众数是21
C.甲的平均数为21.4 D.甲的中位数是24
√
√
√
解析:把两组数据按从小到大的顺序排列,得甲:8,12,13,20,22,24,25,26,
27,37,乙:9,11,13,14,18,19,20,21,21,23,故甲的最大值为37,最小值为8,则极差为29,所以A正确;乙中出现次数最多的数据是21,所以B正确;甲的平均数为=(8+12+13+20+22+24+25+26+27+37)=21.4,所以C正确;甲的中位数为(22+24)=23,所以D不正确.
4.(2024·新课标Ⅱ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻,得到各块稻田的亩产量(单位:kg)并整理下表:
亩产量 [900,950) [950,1 000) [1 000, 1 050) [1 050, 1 100) [1 100, 1 150) [1 150,1 200]
频数 6 12 18 30 24 10
根据表中数据,下列结论中正确的是 ( )
A.100块稻田亩产量的中位数小于1 050 kg
B.100块稻田中亩产量低于1 100 kg的稻田所占比例超过80%
C.100块稻田亩产量的极差介于200 kg至300 kg之间
D.100块稻田亩产量的平均值介于900 kg至1 000 kg之间
√
解析:根据频数分布表可知,6+12+18=36<50,所以亩产量的中位数不小于1 050 kg,故A错误;亩产量不低于1 100 kg的频数为24+10=34,所以低于1 100 kg的稻田占比为=66%,故B错误;稻田亩产量的极差最大约为1 200-900=300,最小约为1 150-950=200,故C正确;由频数分布表可得,100块稻田亩产量的平均值为×(6×925+12×975+18×1 025+30
×1 075+24×1 125+10×1 175)=1 067,故D错误.
逐点清(二) 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数
02
(1)单峰频率分布直方图中的平均数与中位数
①如果直方图的形状是______的,那么平均数和中位数应该大体上差不多.
②如果直方图在______“拖尾”,那么平均数大于中位数.
③如果直方图在______“拖尾”,那么平均数小于中位数,也就是说,和中位数相比,平均数总是在“长尾巴”那边.
对称
右边
左边
多维理解
(2)在频率分布直方图中,______是最高矩形底边中点的横坐标,_______ 左边和右边的直方图的面积应该_______,____________的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和.
众数
中位数
相等
样本平均数
1.某班全体学生参加物理测试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图所示,则估计该班物理测试的平均成绩是 ( )
A.70分 B.75分 C.68分 D.66分
解析:0.005×20×30+0.010×20×50+0.020×20×70+0.015×20×90=68(分).
√
微点练明
2.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名,将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图中的信息,回答下列问题:
(1)估计这次考试的物理成绩的众数m与中位数n(结果保留一位小数);
解:众数是频率分布直方图中最高小矩形底边中点的横坐标,所以众数为m=75.0.
前3个小矩形面积和为0.01×10+0.015×10+0.015×10=0.4<0.5,前4个小矩形面积和为0.4+0.03×10=0.7>0.5,所以中位数n=70+≈73.3.
(2)估计这次考试的物理成绩的及格率(60分及以上为及格)和平均分.
解:依题意,60及60以上的分数在第三、四、五、六组,频率和为(0.015+0.03+0.025+0.005)×10=0.75,所以估计这次考试的物理成绩的及格率是75%.
利用组中值估算抽样学生的平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85×0.25+95×0.05=71.
所以估计这次考试物理成绩的平均分是71分.
3.某快递公司招聘快递骑手,该公司提供了两种日工资方案:方案1:规定每日底薪50元,快递骑手每完成一单业务提成3元;方案2:规定每日底薪150元,快递业务的前44单没有提成,从第45单开始,每完成一单业务提成5元,该快递公司记录了每天骑手的人均业务量.现随机抽取100天的数据,将样本数据分为[25,35),[35,45),[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95]七组,整理得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
解:由频率分布直方图得(0.005+0.005+a+0.03+a+0.015+0.005)×10=1,解得a=0.02.
(2)若仅从人均日收入的角度考虑,请你利用所学的统计学知识为新聘骑手做出日工资方案的选择,并说明理由.(同组中的每个数据用该组区间的中点值代替)
解:由题图 ,知快递公司人均每日完成快递数量的平均数是30×0.05+40×0.05+50×0.2+60×0.3+70×0.2+80×0.15+90×0.05=62.
方案1日工资为50+62×3=236,
方案2日工资为150+(62-44)×5=240>236.
∴骑手应选择方案2.
逐点清(三)
平均数、中位数、众数的应用
03
[典例] 甲、乙、丙三家电子厂商在广告中都声称,他们的某型电子产品在正常情况下的待机时间都是12 h,质量检测部门对这三家销售产品的待机时间进行了抽样调查,统计结果(单位:h)如下:
甲:8,9,9,9,9,11,13,16,17,19;
乙:10,10,12,12,12,13,14,16,18,19;
丙:8,8,8,10,11,13,17,19,20,20.
(1)分别求出以上三组数据的平均数、众数、中位数;
解:根据平均数的计算公式可知,
甲厂数据的平均数是(8+9+9+9+9+11+13+16+17+19)=12;
乙厂数据的平均数是(10+10+12+12+12+13+14+16+18+19)=13.6;
丙厂数据的平均数是(8+8+8+10+11+13+17+19+20+20)=13.4.
甲厂、乙厂、丙厂的众数分别是9,12,8.
甲厂数据的中位数为=10,乙厂数据的中位数为=12.5,丙厂数据的中位数为=12.
(2)这三个厂商的推销广告分别利用了上述哪一种数据来表示待机时间
解:甲厂用平均数作为该电子产品的待机时间,乙厂用众数作为该电子产品的待机时间,丙厂用中位数作为该电子产品的待机时间.
(3)如果你是顾客,宜选择哪个厂商的产品 为什么
解:我会选乙厂的产品因为乙厂产品的平均数最大,众数最大,中位数最大,所以待机时间更长些,稳定性也较好.
|思|维|建|模|
利用样本数字特征进行决策时的两个关注点
(1)平均数与每一个数据都有关,可以反映更多的总体信息,但受极端值的影响大;中位数是样本数据所占频率的等分线,不受几个极端值的影响;众数只能体现数据的最大集中点,无法客观反映总体特征.
(2)当平均数大于中位数时,说明数据中存在许多较大的极端值.
某小区广场上有甲、乙两群市民正在进行晨练,两群市民的年龄如下(单位:岁):
甲群:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17;
乙群:54,3,4,4,5,5,6,6,6,57.
(1)甲群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁
其中哪个统计量能较好地反映甲群市民的年龄特征
针对训练
解:甲群市民年龄的平均数为×(13+13+14+15+15+15+15+16+17+17)=15(岁),
中位数为15岁,众数为15岁.平均数、中位数和众数相等,因此它们都能较好地反映甲群市民的年龄特征.
(2)乙群市民年龄的平均数、中位数和众数各是多少岁
其中哪个统计量能较好地反映乙群市民的年龄特征
解:乙群市民年龄的平均数为(54+3+4+4+5+5+6+6+6+57)=15(岁),
中位数为5.5岁,众数为6岁.
由于乙群市民大多数是儿童,所以中位数和众数能较好地反映乙群市民的年龄特征,而平均数的可靠性较差.
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
1.(多选)在一次体育测试中,某班的6名同学的成绩(单位:分)分别为66,83,87,83,77,96.关于这组数据,下列说法正确的是 ( )
A.众数是83 B.中位数是83
C.极差是30 D.平均数是83
√
√
√
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
解析:由于83出现的次数最多,所以众数是83,故A正确;把数据按从小到大的顺序排列为66,77,83,83,87,96,中间两个数为83,83,所以中位数是83,故B正确;极差是96-66=30,故C正确;平均数为(66+83+87+83+77+96)÷6=82,故D错误.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
2.如果5个数x1,x2,x3,x4,x5的平均数是7,那么x1+1,x2+1,x3+1,x4+1,x5+1这5个数的平均数是 ( )
A.5 B.6
C.7 D.8
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
3
4
解析:法一:(定义法)依题意x1+x2+…+x5=35,所以(x1+1)+(x2+1)+…
+(x5+1)=40,故所求平均数为=8.
法二:(性质法)显然新数据(记为yi)与原有数据的关系为yi=xi+1(i=1,2,
3,4,5),故新数据的平均数为+1=8.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
3
4
2
3.某班50名学生的一次安全知识竞赛成绩分布如表所示:(满分10分)
这次安全知识竞赛成绩的众数是 ( )
A.5分 B.6分 C.9分 D.10分
解析:根据众数是一组数据中出现次数最多的数进行判断,由题表中数据可知成绩9分出现了19次,最多,所以众数是9分.故选C.
√
成绩(分) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数(人) 0 0 0 1 0 1 3 5 6 19 15
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4.某工厂对一批新产品的长度(单位:mm)进行检测,如图是检测结果的频率分布直方图,据此估计这批产品的中位数为 ( )
A.20 B.25
C.22.5 D.22.75
解析:设中位数为x,则0.1+0.2+0.08×(x-20)=0.5,解得x=22.5.
√
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5.箱子中共有40个网球(质量不完全相同),其平均质量为M,如果把M当成一个网球的质量,与原来的40个网球一起,算出这41个网球的平均质量为N,那么为( )
A. B.1 C. D.2
解析:设40个网球的质量分别为xi(i=1,2,…,40),则M=,
N==M,故=1.
√
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6.(多选)在某次高中学科竞赛中,4 000名考生的参赛成绩统计如图所示,60分以下视为不及格,若同一组中的数据用该组区间中点值为代表,则下列说法正确的是 ( )
A.成绩在[70,80)分的考生人数最多
B.不及格的考生人数为1 000
C.考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D.考生竞赛成绩的中位数为75分
√
√
√
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2
解析:由频率分布直方图可得,成绩在[70,80)内的频率最高,因此考生人数最多,故A正确;由频率分布直方图可得,成绩在[40,60)内的频率为0.25,因此,不及格的人数为4 000×0.25=1 000,故B正确;由频率分布直方图可得,平均分为45×0.1+55×0.15+65×0.2+75×0.3+85×0.15+95×0.1
=70.5,故C正确;因为成绩在[40,70)内的频率为0.45,[70,80)内的频率为0.3,所以中位数为70+10×≈71.67,故D错误.
1
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7.为了普及环保知识,增强环保意识,随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试,得分如图所示,若得分的中位数为me,众数为m0,平均数为,则( )
A.me=m0= B.m0<C.me√
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2
解析:由条形图知,30名学生的得分情况依次为2个人得3分,3个人得4分,10个人得5分,6个人得6分,3个人得7分,2个人得8分,2个人得9分,2个人得10分,中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数,即me=5.5,5出现的次数最多,故众数为m0=5,平均数为=×(2×3+3×4+10×5+6×6
+3×7+2×8+2×9+2×10)≈5.97,故m01
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8.在一场跳水比赛中,7位裁判给某选手打分从低到高依次为x1,8.1,8.4,
8.5,9.0,9.5,x7(x7≤10),若去掉一个最高分x7和一个最低分x1后的平均分与不去掉的平均分相同,那么最低分x1的值不可能是 ( )
A.7.7 B.7.8
C.7.9 D.8.0
√
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解析:因为去掉最高分与最低分后平均分为(8.1+8.4+8.5+9.0+9.5)=8.7,
所以(x1+8.1+8.4+8.5+9.0+9.5+x2)=8.7.解得=8.7,由于得分按照从低到高的顺序排列,故x1≤8.1,9.5≤x2≤10,当x1=7.7时,x2=9.7,满足上述条件,故A错误;当x1=7.8时,x2=9.6,满足上述条件,故B错误;当x1=7.9时,x2=9.5,满足上述条件,故C错误;当x1=8.0时,x2=9.4,不满足上述条件,故D正确.
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9.已知样本数据x1,x2,…,x10,其中x1,x2,x3的平均数为a,而x4,x5,x6,…,x10的平均数为b,则样本数据的平均数为 .
解析:前3个数据的和为3a,后7个数据的和为7b,样本平均数为10个数据的和除以10.
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10.已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示:
甲:27,m,39;乙:n,32,34,38.
若这两组数据的中位数相同,平均数也相同,则= .
解析:因为两组数据的中位数相同,所以m=(32+34)=33.由于两组数据的平均数相同,所以(27+33+39)=(n+32+34+38).解得n=28,故=.
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11.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示,则时速的众数、中位数的估计值分别为 .
65,62.5
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解析:∵最高的矩形为第三个矩形,
∴时速的众数的估计值为65.
前两个矩形的面积和为(0.01+0.03)×10=0.4.
∵0.5-0.4=0.1,×10=2.5,
∴中位数的估计值为60+2.5=62.5.
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12.(17分)某公司的33名职工的季度奖金(单位:元)如下表所示:
(1)求该公司职工季度奖金的平均数、中位数、众数(精确到整数);
解:平均数是=1 500+×(4 000+3 500+2 000×2+1 500+1 000×
5+500×3+0×20)≈1 500+591=2 091(元),
中位数是1 500元,众数是1 500元.
人数 1 1 2 1 5 3 20
季度奖金 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
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(2)假设将表中的5 000元提升到20 000元,5 500元提升到30 000元,求新的平均数、中位数、众数(精确到整数);
解:新的平均数是
'=1 500+×(28 500+18 500+2 000×2+1 500+1 000×5+500×3+0×20)
≈1 500+1 788=3 288(元),中位数是1 500元,众数是1 500元.
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(3)你认为哪个统计量更能反映该公司员工的季度奖金情况,结合此问题谈一谈你的看法.
解:中位数或众数均能反映该公司员工的季度奖金情况 .
因为公司中少数人的季度奖金与大多数人的季度奖金差别较大,导致平均数与中位数、众数偏差较大,所以平均数不能反映该公司员工的季度奖金情况.
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13.(18分)随着移动互联网的发展,与餐饮美食相关的手机软件层出不穷.现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家,对它们的“平均送达时间”进行统计,得到频率分布直方图如下.
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(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数;(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
解:依题意得,使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55,平均数为15×0.06+25×0.34+35×0.12+45×0.04+55×0.4+65×0.04=40.
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(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据,从A和B两款订餐软件中选择一款订餐,你会选择哪款
解:使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15×0.04
+25×0.2+35×0.56+45×0.14+55×0.04+65×0.02=35<40,所以选B款订餐软件.课时跟踪检测(四十六) 总体集中趋势的估计
(满分90分，选填小题每题5分)
1．(多选)在一次体育测试中，某班的6名同学的成绩(单位：分)分别为66,83,87,83,77,96.关于这组数据，下列说法正确的是( )
A．众数是83 B．中位数是83
C．极差是30 D．平均数是83
2．如果5个数x1，x2，x3，x4，x5的平均数是7，那么x1＋1，x2＋1，x3＋1，x4＋1，x5＋1这5个数的平均数是( )
A．5 B．6
C．7 D．8
3．某班50名学生的一次安全知识竞赛成绩分布如表所示：(满分10分)
成绩(分) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
人数(人) 0 0 0 1 0 1 3 5 6 19 15
这次安全知识竞赛成绩的众数是( )
A．5分 B．6分
C．9分 D．10分
4．某工厂对一批新产品的长度(单位：mm)进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数为( )
A．20 B．25
C．22.5 D．22.75
5．箱子中共有40个网球(质量不完全相同)，其平均质量为M，如果把M当成一个网球的质量，与原来的40个网球一起，算出这41个网球的平均质量为N，那么为( )
A. B．1
C. D．2
6．(多选)在某次高中学科竞赛中，4 000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中的数据用该组区间中点值为代表，则下列说法正确的是( )
A．成绩在[70,80)分的考生人数最多
B．不及格的考生人数为1 000
C．考生竞赛成绩的平均分约为70.5分
D．考生竞赛成绩的中位数为75分
7．为了普及环保知识，增强环保意识，随机抽取某大学30名学生参加环保知识测试，得分如图所示，若得分的中位数为me，众数为m0，平均数为，则( )
A．me＝m0＝ B．m0<C．me8．在一场跳水比赛中，7位裁判给某选手打分从低到高依次为x1,8.1,8.4,8.5,9.0,9.5，x7(x7≤10)，若去掉一个最高分x7和一个最低分x1后的平均分与不去掉的平均分相同，那么最低分x1的值不可能是( )
A．7.7 B．7.8
C．7.9 D．8.0
9．已知样本数据x1，x2，…，x10，其中x1，x2，x3的平均数为a，而x4，x5，x6，…，x10的平均数为b，则样本数据的平均数为________.
10．已知甲、乙两组数据按从小到大排列后如下所示：
甲：27，m,39；乙：n,32,34,38.
若这两组数据的中位数相同，平均数也相同，则＝________.
11．200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值分别为________.
12．(17分)某公司的33名职工的季度奖金(单位：元)如下表所示：
人数 1 1 2 1 5 3 20
季度
奖金 5 500 5 000 3 500 3 000 2 500 2 000 1 500
(1)求该公司职工季度奖金的平均数、中位数、众数(精确到整数)；
(2)假设将表中的5 000元提升到20 000元，5 500元提升到30 000元，求新的平均数、中位数、众数(精确到整数)；
(3)你认为哪个统计量更能反映该公司员工的季度奖金情况，结合此问题谈一谈你的看法.
13．(18分)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．
(1)试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)
(2)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
课时跟踪检测(四十六)
1．选ABC 由于83出现的次数最多，所以众数是83，故A正确；把数据按从小到大的顺序排列为66,77,83,83,87,96，中间两个数为83,83，所以中位数是83，故B正确；极差是96－66＝30，故C正确；平均数为(66＋83＋87＋83＋77＋96)÷6＝82，故D错误．
2．选D 法一：(定义法)依题意x1＋x2＋…＋x5＝35，所以(x1＋1)＋(x2＋1)＋…＋(x5＋1)＝40，故所求平均数为＝8.
法二：(性质法)显然新数据(记为yi)与原有数据的关系为yi＝xi＋1(i＝1,2,3,4,5)，故新数据的平均数为＋1＝8.
3．选C 根据众数是一组数据中出现次数最多的数进行判断，由题表中数据可知成绩9分出现了19次，最多，所以众数是9分．故选C.
4．选C 设中位数为x，则0.1＋0.2＋0.08×(x－20)＝0.5，解得x＝22.5.
5．选B 设40个网球的质量分别为xi(i＝1,2，…，40)，则M＝，N＝＝M，故＝1.
6．选ABC 由频率分布直方图可得，成绩在[70,80)内的频率最高，因此考生人数最多，故A正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)内的频率为0.25，因此，不及格的人数为4 000×0.25＝1 000，故B正确；由频率分布直方图可得，平均分为45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正确；因为成绩在[40,70)内的频率为0.45，[70,80)内的频率为0.3，所以中位数为70＋10×≈71.67，故D错误．
7．选D 由条形图知，30名学生的得分情况依次为2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分，中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即me＝5.5,5出现的次数最多，故众数为m0＝5，平均数为＝×(2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×10)≈5.97，故m08．选D 因为去掉最高分与最低分后平均分为(8.1＋8.4＋8.5＋9.0＋9.5)＝8.7，
所以(x1＋8.1＋8.4＋8.5＋9.0＋9.5＋x2)＝8.7.解得＝8.7，由于得分按照从低到高的顺序排列，故x1≤8.1,9.5≤x2≤10，
当x1＝7.7时，x2＝9.7，满足上述条件，故A错误；当x1＝7.8时，x2＝9.6，满足上述条件，故B错误；当x1＝7.9时，x2＝9.5，满足上述条件，故C错误；当x1＝8.0时，x2＝9.4，不满足上述条件，故D正确．
9．解析：前3个数据的和为3a，后7个数据的和为7b，样本平均数为10个数据的和除以10.
答案：
10．解析：因为两组数据的中位数相同，所以m＝(32＋34)＝33.由于两组数据的平均数相同，所以(27＋33＋39)＝(n＋32＋34＋38)．解得n＝28，故＝.
答案：
11．解析：∵最高的矩形为第三个矩形，
∴时速的众数的估计值为65.
前两个矩形的面积和为(0.01＋0.03)×10＝0.4.
∵0.5－0.4＝0.1，×10＝2.5，
∴中位数的估计值为60＋2.5＝62.5.
答案：65,62.5
12．解：(1)平均数是＝1 500＋×(4 000＋3 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋591＝2 091(元)，
中位数是1 500元，众数是1 500元．
(2)新的平均数是
′＝1 500＋×(28 500＋18 500＋2 000×2＋1 500＋1 000×5＋500×3＋0×20)≈1 500＋1 788＝3 288(元)，中位数是1 500元，众数是1 500元．
(3)中位数或众数均能反映该公司员工的季度奖金情况．
因为公司中少数人的季度奖金与大多数人的季度奖金差别较大，导致平均数与中位数、众数偏差较大，所以平均数不能反映该公司员工的季度奖金情况．
13．解：(1)依题意得，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为15×0.06＋25×0.34＋35×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04＝40.
(2)使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02＝35<40，所以选B款订餐软件．
