9．2.4 总体离散程度的估计
第1课时 总体离散程度的估计
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．理解方差、标准差的含义，会计算方差和标准差．
2．掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法．
1．一组数据x1，x2，…，xn的方差和标准差
数据x1，x2，…，xn的方差为________________＝______________，标准差为 ________________.
2．总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则称S2＝________________为总体方差，S＝________为总体标准差．
(2)总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi(i＝1,2，…，k)，则总体方差为S2＝__________________________.
3．样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1，y2，…，yn，样本平均数为，则称s2＝________________为样本方差，s＝________为样本标准差．
|微|点|助|解|
(1)标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．
(2)分层随机抽样的方差
设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差为s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]．
(3)对方差、标准差的理解
①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小．
②标准差、方差的取值范围：[0，＋∞)．
标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性．
③标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．
④标准差的单位与样本数据一致．
⑤方差s2＝x－2.
⑥如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用s2表示．
s2＝ (xi－)2，如果a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为s2a2.
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组数据的值大小相等，没有波动变化，则标准差为0.( )
(2)标准差越大，表明各个样本数据在样本平均数周围越集中；标准差越小，表明各个样本数据在样本平均数周围越分散．( )
(3)在实际问题中要做出有效决策时，主要参照样本数据的平均数和标准差或方差．( )
2．下列选项中，能反映一组数据的离散程度的是( )
A．平均数 B．中位数
C．方差 D．众数
3．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为( )
A．1 B.
C. D．2
4．在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为( )
A．9.4,0.484 B．9.4,0.016
C．9.5,0.04 D．9.5,0.016
题型(一) 标准差、方差、极差的计算
[例1] 某班20位女同学平均分为甲、乙两组，她们的劳动技术课考试成绩如下(单位：分)：
甲组：60,90,85,75,65,70,80,90,95,80；
乙组：85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差．
听课记录：
|思|维|建|模|
计算标准差的5步骤
(1)求出样本数据的平均数.
(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi－(i＝1,2，…，n)．
(3)求出xi－(i＝1,2，…，n)的平方值．
(4)求出上一步中n个平方值的平均数，即为样本方差．
(5)求出上一步中平均数的算术平方根，即为样本标准差．
[针对训练]
1．从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株，分别测得它们的株高(单位：cm)如下：
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.
求：(1)哪种玉米苗长得高？
(2)哪种玉米苗长得齐？
题型(二) 分层随机抽样的方差
[例2] 甲、乙两支田径队体检结果：甲队的体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么？
听课记录：
|思|维|建|模|
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定1，2，s，s；
(2)确定；
(3)应用公式s2＝[s＋(1－)2]＋[s＋(2－)2]，计算s2.
[针对训练]
2．在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时，甲同学抽取了一个容量为10的样本，并算得样本的平均数为5，方差为9；乙同学抽取了一个容量为8的样本，并算得样本的平均数为6，方差为16.若将甲、乙两同学抽取的样本合在一起，组成一个容量为18的样本，求合在一起后的样本平均数与方差．(结果精确到0.1)
题型(三) 数据的数字特征的综合应用
[例3] 甲、乙两人参加某体育项目训练，近期的五次测试成绩得分情况如图所示．
(1)分别求出两人得分的平均数与方差；
(2)根据图形和(1)中计算结果，对两人的训练成绩作出评价．
听课记录：
|思|维|建|模|
数据分析的要点
(1)要正确处理此类问题，要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析．
(2)在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据提出的标准而定的．
[针对训练]
3．在一次科技知识竞赛中，某学校的两组学生的成绩如下表：
分数 50 60 70 80 90 100
人数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
请根据你所学过的统计知识，判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．
第1课时 总体离散程度的估计
?课前预知教材
1. (xi－)2 x－2
2.(1) (Yi－)2 (2)fi(Yi－)2
3. (yi－)2
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)√ 2.C
3．选B ∵样本容量n＝5，
∴＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3，
∴s＝
＝.
4．选D ＝＝9.5，
s2＝(0.12×4＋0.22)＝0.016.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35(分)，
平均分为甲＝×(60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80)＝79(分)，
方差为s＝×[(60－79)2＋(90－79)2＋(85－79)2＋(75－79)2＋(65－79)2＋(70－79)2＋(80－79)2＋(90－79)2＋(95－79)2＋(80－79)2]＝119，
标准差为s甲＝＝≈10.91(分)．
乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30(分)，
平均分为乙＝×(85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85)＝81.5(分)，
方差为s＝×[(85－81.5)2＋(95－81.5)2＋(75－81.5)2＋(70－81.5)2＋(85－81.5)2＋(80－81.5)2＋(85－81.5)2＋(65－81.5)2＋(90－81.5)2＋(85－81.5)2]＝75.25，
标准差为s乙＝＝≈8.67(分)．
[针对训练]
1．解：(1)甲＝×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝30，
同理可计算得乙＝31，
∴甲<乙，即乙种玉米苗长得高．
(2)s＝×[(25－30)2＋(41－30)2＋(40－30)2＋(37－30)2＋(22－30)2＋(14－30)2＋(19－30)2＋(39－30)2＋(21－30)2＋(42－30)2]＝104.2，
同理可计算得s＝128.8，
∵s [题型(二)]
[例2] 解：由题意可知甲＝60，甲队队员在所有队员中所占比例为＝，乙＝70，乙队队员在所有队员中所占比例为＝，则甲、乙两队全部队员的平均体重为＝×60＋×70＝68(kg)．
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2＝[200＋(60－68)2]＋[300＋(70－68)2]＝296.
[针对训练]
2．解：设甲抽到的一组样本数据为x1，x2，…，x10，乙抽到的一组样本数据为y1，y2，…，y8.
由题意知，甲同学抽取的样本的平均数＝＝5，乙同学抽取的样本的平均数＝＝6；
甲同学抽取的样本的方差s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x10－)2]＝9，
乙同学抽取的样本的方差s＝[(y1－)2＋(y2－)2＋…＋(y8－)2]＝16.
合在一起后的样本平均数＝＝＝≈5.4.
合在一起后的样本方差
s2＝{10[s＋(－)2]＋8[s＋(－)2]}
＝＝≈12.4.
综上，合在一起后的样本平均数约为5.4，方差约为12.4.
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由题图可得，甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲：10,13,12,14,16；
乙：13,14,12,12,14.
甲＝(10＋13＋12＋14＋16)＝13，
乙＝(13＋14＋12＋12＋14)＝13，
s＝×[(10－13)2＋(13－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2＋(16－13)2]＝4，
s＝×[(13－13)2＋(14－13)2＋(12－13)2＋(12－13)2＋(14－13)2]＝0.8.
(2)s＞s可知乙的成绩较稳定．
从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高．
[针对训练]
3．解：(1)甲组成绩的众数为90，乙组成绩的众数为70，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．
(2)甲＝(50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6)＝×4 000＝80，
乙＝(50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12)
＝×4 000＝80.
s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172，
s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256.
∵甲＝乙，s(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人，乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．(共61张PPT)
9.2.4
总体离散程度的估计
总体离散程度的估计
(教学方式:深化学习课 梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.理解方差、标准差的含义,会计算方差和标准差.
2.掌握求分层随机抽样总样本的平均数及方差的方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.一组数据x1,x2,…,xn的方差和标准差
数据x1,x2,…,xn的方差为 = ,标准差为 .
2.总体方差和标准差
(1)总体方差和标准差:如果总体中所有个体的变量值分别为Y1,Y2,…,YN,总体平均数为,则称S2= 为总体方差,S=___为总体标准差.
(2)总体方差的加权形式:如果总体的N个变量值中,不同的值共有k(k≤N)个,不妨记为Y1,Y2,…,Yk,其中Yi出现的频数为fi(i=1,2,…,k),则总体方差为S2=________________.
3.样本方差和标准差
如果一个样本中个体的变量值分别为y1,y2,…,yn,样本平均数为,则称s2= 为样本方差,s=_____为样本标准差.
|微|点|助|解|
(1)标准差的意义
标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度,标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.
(2)分层随机抽样的方差
设样本容量为n,平均数为,其中两层的个体数量分别为n1,n2,两层的平均数分别为,,方差分别为,,则这个样本的方差为s2=[+(-)2]
+[+(-)2].
(3)对方差、标准差的理解
①标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大,数据的离散程度越大;标准差、方差越小,数据的离散程度越小.
②标准差、方差的取值范围:[0,+∞).
标准差、方差为0时,样本各数据全相等,表明数据没有波动幅度,数据没有离散性.
③标准差的平方s2称为方差,有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度.方差与标准差的测量效果是一致的,在实际应用中一般多采用标准差.
④标准差的单位与样本数据一致.
⑤方差s2=
⑥如果x1,x2,…,xn的平均数为,则方差可用s2表示.
s2= 如果a,b为常数,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差为s2a2.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若一组数据的值大小相等,没有波动变化,则标准差为0. ( )
(2)标准差越大,表明各个样本数据在样本平均数周围越集中;标准差越小,表明各个样本数据在样本平均数周围越分散. ( )
(3)在实际问题中要做出有效决策时,主要参照样本数据的平均数和标准差或方差. ( )
√
×
√
2.下列选项中,能反映一组数据的离散程度的是 ( )
A.平均数 B.中位数
C.方差 D.众数
√
3.已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5,则该样本的标准差为 ( )
A.1 B.
C. D.2
解析:∵样本容量n=5,∴=(1+2+3+4+5)=3,
∴s==.
√
4.在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下:9.4,8.4,9.4,9.9,9.6,9.4,9.7,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和方差分别为 ( )
A.9.4,0.484 B.9.4,0.016
C.9.5,0.04 D.9.5,0.016
解析:==9.5, s2=(0.12×4+0.22)=0.016.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 标准差、方差、极差的计算
[例1] 某班20位女同学平均分为甲、乙两组,她们的劳动技术课考试成绩如下(单位:分):
甲组:60,90,85,75,65,70,80,90,95,80;
乙组:85,95,75,70,85,80,85,65,90,85.
试分别计算两组数据的极差、方差和标准差.
解:甲组:最高分为95分,最低分为60分,极差为95-60=35(分),
平均分为=×(60+90+85+75+65+70+80+90+95+80)=79(分),
方差为=×[(60-79)2+(90-79)2+(85-79)2+(75-79)2+(65-79)2+(70-79)2+(80-79)2+(90-79)2+(95-79)2+(80-79)2]=119,
标准差为s甲==≈10.91(分).
乙组:最高分为95分,最低分为65分,极差为95-65=30(分),
平均分为=×(85+95+75+70+85+80+85+65+90+85)=81.5(分),
方差为=×[(85-81.5)2+(95-81.5)2+(75-81.5)2+(70-81.5)2+(85-81.5)2+(80-81.5)2+(85-81.5)2+(65-81.5)2+(90-81.5)2+(85-81.5)2]=75.25,
标准差为s乙==≈8.67(分).
|思|维|建|模
计算标准差的5步骤
(1)求出样本数据的平均数.
(2)求出每个样本数据与样本平均数的差xi-(i=1,2,…,n).
(3)求出xi-(i=1,2,…,n)的平方值.
(4)求出上一步中n个平方值的平均数,即为样本方差.
(5)求出上一步中平均数的算术平方根,即为样本标准差.
1.从甲、乙两种玉米苗中各抽取10株,分别测得它们的株高(单位:cm)如下:
甲:25,41,40,37,22,14,19,39,21,42;
乙:27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.
求:(1)哪种玉米苗长得高
解:=×(25+41+40+37+22+14+19+39+21+42)=30,同理可计算得31,∴<,即乙种玉米苗长得高.
针对训练
(2)哪种玉米苗长得齐
解:=×[(25-30)2+(41-30)2+(40-30)2+(37-30)2+(22-30)2+(14-30)2+
(19-30)2+(39-30)2+(21-30)2+(42-30)2]=104.2,同理可计算得=128.8,
∵<,∴甲种玉米苗长得齐.
题型(二) 分层随机抽样的方差
[例2] 甲、乙两支田径队体检结果:甲队的体重的平均数为60 kg,方差为200,乙队体重的平均数为70 kg,方差为300.又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4,那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是什么
解:由题意可知=60,甲队队员在所有队员中所占比例为=,=70,乙队队员在所有队员中所占比例为=,则甲、乙两队全部队员的平均体重为=×60+×70=68(kg).
甲、乙两队全部队员的体重的方差为
s2=[200+(60-68)2]+[300+(70-68)2]=296.
|思|维|建|模
计算分层随机抽样的方差s2的步骤
(1)确定,,,;
(2)确定;
(3)应用公式s2=[+(-)2]+[+(-)2],计算s2.
2.在了解全校学生每年平均阅读了多少本文学经典名著时,甲同学抽取了一个容量为10的样本,并算得样本的平均数为5,方差为9;乙同学抽取了一个容量为8的样本,并算得样本的平均数为6,方差为16.若将甲、乙两同学抽取的样本合在一起,组成一个容量为18的样本,求合在一起后的样本平均数与方差.(结果精确到0.1)
针对训练
解:设甲抽到的一组样本数据为x1,x2,…,x10,乙抽到的一组样本数据为y1,y2,…,y8.
由题意知,甲同学抽取的样本的平均数==5,乙同学抽取的样本的平均数==6;
甲同学抽取的样本的方差=[(x1-)2++…+(x10-)2]=9,
乙同学抽取的样本的方差=[(y1-)2++…+(y8-)2]=16.
合在一起后的样本平均数===≈5.4.
合在一起后的样本方差
s2={10[+(-)2]+8[+(-)2]}
=
=≈12.4.
综上,合在一起后的样本平均数约为5.4,方差约为12.4.
题型(三) 数据的数字特征的综合应用
[例3] 甲、乙两人参加某体育项目训练,近期的五次测试成绩得分情况如图所示.
(1)分别求出两人得分的平均数与方差;
解:由题图可得,甲、乙两人五次测试的成绩分别为
甲:10,13,12,14,16;
乙:13,14,12,12,14.
=(10+13+12+14+16)=13,
=(13+14+12+12+14)=13,
=×[(10-13)2+(13-13)2+(12-13)2+(14-13)2+(16-13)2]=4,
=×[(13-13)2+(14-13)2+(12-13)2+(12-13)2+(14-13)2]=0.8.
(2)根据图形和(1)中计算结果,对两人的训练成绩作出评价.
解:>可知乙的成绩较稳定.
从折线图看,甲的成绩基本呈上升状态,而乙的成绩上下波动,可知甲的成绩在不断提高,而乙的成绩则无明显提高.
|思|维|建|模
数据分析的要点
(1)要正确处理此类问题,要抓住问题中的关键词语,全方位地进行必要的计算、分析,而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好,像这样的实际问题还得从实际的角度去分析.
(2)在进行数据分析时,不同的标准没有对和错的问题,也不存在唯一解的问题,而是根据需要来选择“好”的决策,至于决策的好坏,是根据提出的标准而定的.
3.在一次科技知识竞赛中,某学校的两组学生的成绩如下表:
针对训练
分数 50 60 70 80 90 100
人 数 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
请根据你所学过的统计知识,判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣,并说明理由.
解:(1)甲组成绩的众数为90,乙组成绩的众数为70,从成绩的众数比较看,甲组成绩好些.
(2)=(50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6)=×4 000=80,
=(50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12)=×4 000=80.
=[2×(50-80)2+5×(60-80)2+10×(70-80)2+13×(80-80)2
+14×(90-80)2+6×(100-80)2]=172,
=[4×(50-80)2+4×(60-80)2+16×(70-80)2+2×(80-80)2
+12×(90-80)2+12×(100-80)2]=256.
∵=,<,∴甲组成绩较乙组成绩稳定,故甲组好些.
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分.其中,甲组成绩在80分以上(包括80分)的有33人,乙组成绩在80分以上(包括80分)的有26人.从这一角度看,甲组的成绩较好.
(4)从成绩统计表看,甲组成绩大于等于90分的有20人,乙组成绩大于等于90分的有24人,所以乙组成绩集中在高分段的人数多.同时,乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人.从这一角度看,乙组的成绩较好.
课时跟踪检测
03
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
2
A级——达标评价
1.为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A.x1,x2,…,xn的平均数 B.x1,x2,…,xn的标准差
C.x1,x2,…,xn的最大值 D.x1,x2,…,xn的中位数
解析:标准差能反映一组数据的稳定程度.故选B.
√
1
5
6
7
8
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2
3
4
2.某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位:分)为90,90,93,94,93,则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为 ( )
A.92,2.8 B.92,2
C.93,2 D.93,2.8
解析:该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为=×(90+90+93+94+93)=92,
方差为s2=×[(90-92)2+(90-92)2+(93-92)2+(94-92)2+(93-92)2]=2.8.故选A.
√
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3.(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛,参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表:
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
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2
某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是 ( )
A.甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B.甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C.乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀)
D.甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
√
√
√
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2
解析:甲、乙两班学生成绩的平均数都是135,故两班成绩的平均数相同,所以A正确;=191>110=,所以甲班成绩不如乙班稳定,即甲班的成绩波动较大,所以B正确;甲、乙两班人数相同,但甲班的中位数为149,乙班的中位数为151,从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班,所以C正确;由题表看不出两班学生成绩的众数,所以D错误.
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4.一组数据的平均数是2.8,方差是3.6,若将这组数据中的每一个数据都加上60,得到一组新数据,则所得新数据的平均数和方差分别是 ( )
A.57.2,3.6 B.57.2,56.4
C.62.8,63.6 D.62.8,3.6
解析:每一个数据都加上60,所得新数据的平均数增加60,而方差保持不变.
√
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5.在高一期中考试中,甲、乙两个班的数学成绩统计如下表:
其中=,则两个班数学成绩的方差为( )
A.3 B.2
C.2.6 D.2.5
√
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 2
乙 30 3
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2
解析:由题意可知两个班的数学成绩平均数为==,则两个班数学成绩的方差为s2=×[2+(-)2]+×[3+(-)2]=×2
+×3=2.6.
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6.国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛,四人的平均成绩和方差如下表:
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则应派 参赛最为合适.
解析:由题表可知,丙的平均成绩较高,且发挥比较稳定,应派丙去参赛最合适.
丙
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7.已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7,a,b,12,13.7,18.3,21,且总体的中位数为10,若要使该总体的方差最小,则ab= .
解析:由题意得a+b=10×2=20,要使该总体的方差最小,方差化简后即满足(a-10)2+(b-10)2最小,故a=b=10,ab=100.
100
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8.高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位:分)为x,y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108,方差为35.2,则|x-y|的值为 .
解析:由题意得,(x+y+105+109+110)=108, ①
[(x-108)2+(y-108)2+9+1+4]=35.2, ②
由①②解得或所以|x-y|=18.
18
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2
9.(15分)某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶,每罐茶叶的标准质量是125 g,为了解该批茶叶的质量情况,从中随机抽取20罐,称得各罐质量(单位:g)如下:
124.9,124.7,126.2,124.9,124.2,124.9,123.7,121.4,126.4,127.7,121.9,124.4,125.2,123.7,122.7,124.2,126.2,125.2,122.2,125.4;
求:20罐茶叶的平均质量和标准差s.(精确到0.01)
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解:=×(124.9+124.7+126.2+124.9+…+125.2+122.2+125.4)=
≈124.51,
标准差为s=
=≈1.55.
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2
10.(16分)某教育集团为了办好人民满意的教育,每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高分120分,最低分0分,分数越高说明人民满意度越高,分数越低说明人民满意度越低).去年测评的结果(单位:分)如下
甲校:96,112,97,108,100,103,86,98;
乙校:108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数;
1
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解:甲学校人民满意度的平均数为=(96+112+97+108+100+103+86+98)=100,
甲校:86,96,97,98,100,103,108,112,
甲学校人民满意度的中位数为=99;
乙学校人民满意度的平均数为=(108+101+94+105+96+93+97+106)=100,
乙校:93,94,96,97,101,105,106,108,
乙学校人民满意度的中位数为=99.
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(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差.
解:甲学校人民满意度的方差为=(42+122+32+82+02+32+142+22)=55.25,
乙学校人民满意度的方差为=(82+12+62+52+42+72+32+62)=29.5.
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B级——重点培优
11.(多选)某学校共有学生2 000人,其中高一800人,高二、高三各600人,学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计,全体学生每天的读书时间的平均数为= 3小时,方差为s2= 2.003,其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为=2.6,=3.2,又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为=1,=2,=3,则高三学生每天读书时间的平均数可能是( )
A.3.2 B.3.3 C.2.7 D.4.5
√
√
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解析:由题意可得2.003=[1+(3-2.6)2]+[2+(3-3.2)2]+[3+(3-)2],解得=3.3或x3=2.7.
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12.如图,样本A和B分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为和,样本标准差分别为sA和sB,则( )
A.>,sA>sB B.<,sA>sB
C.>,sA√
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解析:由题图知,A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10;B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10,
所以=×(2.5+10+5+7.5+2.5+10)=,
=×(15+10+12.5+10+12.5+10)=.
显然<.
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sA=≈3.15,
sB=≈1.86,显然sA>sB.
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13.(17分)我国是世界上严重缺水的国家之一,某市为了制定合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位:吨).将数据按照[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.
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(1)求直方图中a的值;
解:由频率分布直方图可知,月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5=0.04,同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=2a×0.5,解得a=0.30.
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(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值,这9组居民每人的月均用水量前4组的方差都为0.3,后5组的方差都为0.4,求这100户居民月均用水量的方差.
解:由题意可知,这9组月均用水量的平均数依次是=0.25,=0.75,=1.25,=1.75,=2.25,=2.75,=3.25,=3.75,=4.25,
这100户居民的月均用水量为
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=0.04×0.25+0.08×0.75+0.15×1.25+0.21×1.75+0.25×2.25+0.15×2.75+0.06×3.25+0.04×3.75+0.02×4.25=2.03,
则这100户居民月均用水量的方差为
s2=0.04×[0.3+(0.25-2.03)2]+0.08×[0.3+(0.75-2.03)2]+0.15×[0.3+(1.25-2.03)2]+0.21×[0.3+(1.75-2.03)2]+0.25×[0.4+(2.25-2.03)2]+0.15×
[0.4+(2.75-2.03)2]+0.06×[0.4+(3.25-2.03)2]+0.04×[0.4+(3.75-2.03)2]
+0.02×[0.4+(4.25-2.03)2]=1.113 6.课时跟踪检测(四十七) 总体离散程度的估计
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
2．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2.8 B．92,2
C．93,2 D．93,2.8
3．(多选)甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表：
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是( )
A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数(每分钟输入汉字数≥150为优秀)
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
4．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是( )
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
5．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表：
班级 人数 平均分数 方差
甲 20 甲 2
乙 30 乙 3
其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为( )
A．3 B．2
C．2.6 D．2.5
6．国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均成绩 8.5 8.8 8.8 8
方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7
则应派________参赛最为合适.
7．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________.
8．高三学生李丽在一年的五次数学模拟考试中的成绩(单位：分)为x，y,105,109,110.已知该同学五次数学成绩数据的平均数为108，方差为35.2，则|x－y|的值为________.
9．(15分)某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是125 g，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取20罐，称得各罐质量(单位：g)如下：
124．9,124.7,126.2,124.9,124.2,124.9,123.7,121.4,126.4,127.7,121.9,124.4,125.2,123.7,122.7,124.2,126.2,125.2,122.2,125.4；
求：20罐茶叶的平均质量和标准差s.(精确到0.01)
10.(16分)某教育集团为了办好人民满意的教育，每年底都随机邀请8名学生家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评(满意度最高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人民满意度越低)．去年测评的结果(单位：分)如下
甲校：96,112,97,108,100,103,86,98；
乙校：108,101,94,105,96,93,97,106.
(1)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中位数；
(2)分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差.
B级——重点培优
11．(多选)某学校共有学生2 000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假中每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为＝ 3小时，方差为s2＝ 2.003，其中高一学生、高二学生每天读书时间的平均数分别为1＝2.6，2＝3.2，又已知三个年级学生每天读书时间的方差分别为s＝1，s＝2，s＝3，则高三学生每天读书时间的平均数3可能是( )
A．3.2 B．3.3
C．2.7 D．4.5
12．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则( )
A.A>B，sA>sB B.AsB
C.A>B，sA13．(17分)我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查．通过抽样，获得了某年100户居民每人的月均用水量(单位：吨)．将数据按照[0,0.5)，[0.5,1)，…，[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中a的值；
(2)用每组区间的中点作为每组用水量的平均值，这9组居民每人的月均用水量前4组的方差都为0.3，后5组的方差都为0.4，求这100户居民月均用水量的方差.
课时跟踪检测(四十七)
1．选B 标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.
2．选A 该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为＝×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，
方差为s2＝×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选A.
3．选ABC 甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，所以A正确；s＝191＞110＝s，所以甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，所以B正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，所以C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，所以D错误．
4．选D 每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
5．选C 由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝×[2＋(甲－)2]＋×[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6.
6．解析：由题表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适．
答案：丙
7．解析：由题意得a＋b＝10×2＝20，要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a－10)2＋(b－10)2最小，故a＝b＝10，ab＝100.
答案：100
8．解析：由题意得，(x＋y＋105＋109＋110)＝108， ①
[(x－108)2＋(y－108)2＋9＋1＋4]＝35.2， ②
由①②解得或
所以|x－y|＝18.
答案：18
9．解：＝×(124.9＋124.7＋126.2＋124.9＋…＋125.2＋122.2＋125.4)＝≈124.51，
标准差为s＝
＝≈1.55.
10．解：(1)甲学校人民满意度的平均数为
甲＝(96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋98)＝100，
甲校：86,96,97,98,100,103,108,112，
甲学校人民满意度的中位数为＝99；
乙学校人民满意度的平均数为乙＝(108＋101＋94＋105＋96＋93＋97＋106)＝100，
乙校：93,94,96,97,101,105,106,108，
乙学校人民满意度的中位数为＝99.
(2)甲学校人民满意度的方差为s＝(42＋122＋32＋82＋02＋32＋142＋22)＝55.25，
乙学校人民满意度的方差为s＝(82＋12＋62＋52＋42＋72＋32＋62)＝29.5.
11．选BC 由题意可得2.003＝[1＋(3－2.6)2]＋[2＋(3－3.2)2]＋[3＋(3－3)2]，解得3＝3.3或x3＝2.7.
12．选B 由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5,2.5,10；B组的6个数分别为15,10，12.5，10,12.5,10，
所以A＝×(2.5＋10＋5＋7.5＋2.5＋10)＝，
B＝×(15＋10＋12.5＋10＋12.5＋10)＝.
显然AsA＝ ≈3.15，
sB＝≈1.86，显然sA>sB.
13．解：(1)由频率分布直方图可知，月均用水量在[0,0.5)内的频率为0.08×0.5＝0.04，同理，在[0.5,1)，[1.5,2)，[2,2.5)，[3,3.5)，[3.5,4)，[4,4.5]内的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.02.
由1－(0.04＋0.08＋0.21＋0.25＋0.06＋0.04＋0.02)＝2a×0.5，解得a＝0.30.
(2)由题意可知，这9组月均用水量的平均数依次是1＝0.25，2＝0.75，3＝1.25，4＝1.75，5＝2.25，6＝2.75，7＝3.25，8＝3.75，9＝4.25，
这100户居民的月均用水量为＝0.04×0.25＋0.08×0.75＋0.15×1.25＋0.21×1.75＋0.25×2.25＋0.15×2.75＋0.06×3.25＋0.04×3.75＋0.02×4.25＝2.03，
则这100户居民月均用水量的方差为
s2＝0.04×[0.3＋(0.25－2.03)2]＋0.08×[0.3＋(0.75－2.03)2]＋0.15×[0.3＋(1.25－2.03)2]＋0.21×[0.3＋(1.75－2.03)2]＋0.25×[0.4＋(2.25－2.03)2]＋0.15×[0.4＋(2.75－2.03)2]＋0.06×[0.4＋(3.25－2.03)2]＋0.04×[0.4＋(3.75－2.03)2]＋0.02×[0.4＋(4.25－2.03)2]＝1.113 6.
