第2课时 统计中的综合问题
—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
题型(一) 统计图表与样本数据相结合
[例1] 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；
(2)产品质量指标值在185与215之间的每个盈利200元，在175与185或215与225之间的每个亏损50元，其余的每个亏损300元．该企业共生产这种产品10 000个，估计这批产品可获利或亏损多少元？
听课记录：
[针对训练]
1．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组．已知测试分数均为整数，现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据，得到体育成绩的折线图如图所示．
(1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”，已知该校高一年级有1 000名学生，试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数；
(2)用样本估计总体的思想，试估计该校高一年级学生达标测试的平均分；
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且a∈[70,80)，b∈[80,90)，c∈[90,100]，当三人的体育成绩方差s2最小时，写出a，b，c的所有可能取值．(不要求证明)
题型(二) 样本估计总体思想的应用
[例2] 某赛季甲、乙两名运动员在若干场比赛中的得分情况如下：
甲：18,20,21,22,23,25,28,29,30,30,32,34；
乙：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,48.求：
(1)分别计算甲、乙两人每场得分的平均数；
(2)计算甲、乙两人每场得分的中位数；
(3)计算甲、乙两人得分的标准差，并回答谁的成绩比较稳定．
听课记录：
[针对训练]
2．某果园新采摘了一批苹果，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量(单位：克)，将重量按照[120,140)，[140,160)，[160,180)，[180,200]进行分组，得到频率分布直方图如图所示．(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表)
(1)估计这批苹果的重量的平均数；
(2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市，据市场行情，有两种销售方案；
方案一：所有苹果混在一起，价格为2.5元/千克；
方案二：将不同重量的苹果分开，重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克，重量小于160克的苹果的价格为2元/千克，但果园需支付每1 000个苹果5元的分拣费．
分别估计并比较两种方案下果园销售10 000个苹果的收入．
题型(三) 统计与函数相结合
[例3] 2023年9月20日是第34个“全国爱牙日”，宣传主题是“口腔健康，全身健康”．要想口腔健康，良好的刷牙习惯不可少，牙刷的质量也是至关重要的，与手动牙刷相比较，电动牙刷的清洁力更高，刷牙效果更好．某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷头在使用过程中需要更换．若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元；若单独购买刷头，则每个刷头30元．某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的100名医生在5年使用期内更换刷头的个数，得到下表：
更换刷头的个数 14 15 16 17 18 19 20
频数 8 8 10 24 28 12 10
用n(n∈N)表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数，y表示购买刷头的费用(单位：元)．
(1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数；
(2)若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求y关于n的函数解析式；
(3)假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头，分别计算这100名医生购买刷头费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头．
听课记录：
[针对训练]
3．为调查某校学生的用电情况，学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量，发现每间宿舍的用电量都在50度到350度之间，将其分组为[50,100)，[100,150)，[150,200)，[200,250)，[250,300)，[300,350]，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)为降低能源损耗，节约用电，规定：当每间宿舍的月用电量不超过200度时，按每度0.5元收取费用；当每间宿舍的月用电量超过200度时，超过部分按每度1元收取费用．用t(单位：度)表示某宿舍的月用电量，用y(单位：元)表示该宿舍的月用电费用，求y与t之间的函数关系式；
(2)在抽取的100间学生宿舍中，月用电量在区间[200,250)内的学生宿舍有多少间？
第2课时 统计中的综合问题
[题型(一)]
[例1] 解：(1)样本平均数＝(170×0.002＋180×0.009＋190×0.022＋200×0.033＋210×0.024＋220×0.008＋230×0.002)×10＝200，
s2＝(170－200)2×0.002×10＋(180－200)2×0.009×10＋(190－200)2×0.022×10＋(200－200)2×0.033×10＋(210－200)2×0.024×10＋(220－200)2×0.008×10＋(230－200)2×0.002×10＝150.
(2)由频率分布直方图可知，质量指标值在[185,215)的频率为(0.022＋0.033＋0.024)×10＝0.79，
质量指标值在[175,185)和[215,225)的频率为(0.009＋0.008)×10＝0.17，
质量指标值在[165,175)和[225,235]的频率为0.002×2×10＝0.04，
所以10 000件产品的获利情况是(200×0.79－50×0.17－300×0.04)×10 000＝1 375 000元．
[针对训练]
1．解：(1)由折线图知，体育成绩大于或等于70分的学生有14＋3＋13＝30(人)，
所以估计该校高一年级学生“体育良生”的人数为1 000×＝750.
(2)用样本估计总体的思想，估计该校高一年级学生达标测试的平均分为＝(45×2＋55×6＋65×2＋75×14＋85×3＋95×13)＝77.25(分)．
(3)因为甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，
且a∈[70,80)，b∈[80,90)，c∈[90,100]，其中a，b，c∈N，所以当三人的体育成绩方差s2最小时，a，b，c的所有可能取值为79,84,90或79,85,90.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)设甲运动员的各场比赛得分的平均数为，乙运动员的各场比赛得分的平均数为，
所以＝(18＋20＋21＋22＋23＋25＋28＋29＋30＋30＋32＋34)＝26，
＝(8＋13＋14＋16＋23＋26＋28＋33＋38＋39＋48)＝26，
所以甲每场得分的平均数为26，乙每场得分的平均数为26.
(2)由中位数定义可得，甲每场得分的中位数为＝26.5，乙每场得分的中位数为26.
(3)设甲运动员的各场比赛得分的标准差为s1，乙运动员的各场比赛得分的标准差为s2，
因为(18－26)2＋(20－26)2＋(21－26)2＋(22－26)2＋(23－26)2＋(25－26)2＋(28－26)2＋(29－26)2＋(30－26)2＋(30－26)2＋(32－26)2＋(34－26)2＝296，所以s1＝≈4.97.
又(8－26)2＋(13－26)2＋(14－26)2＋(16－26)2＋(23－26)2＋(26－26)2＋(28－26)2＋(33－26)2＋(38－26)2＋(39－26)2＋(48－26)2＝1 596，所以s2＝≈12.05，
因为甲运动员的各场比赛得分的标准差小于乙运动员的各场比赛得分的标准差，
所以甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定．
[针对训练]
2．解：(1)由题意，得(0.016＋0.015＋a＋0.009)×20＝1，解得a＝0.01.
50个苹果重量的平均数为＝0.2×130＋0.3×150＋0.32×170＋0.18×190＝159.6，
故估计这批苹果的重量的平均数约为159.6克．
(2)若采用方案一，估计销售收入约为
159．6×10 000×＝3 990(元)．
若采用方案二，重量小于160克的苹果的总重量约为(10 000×0.2×130＋10 000×0.3×150)×＝710(千克)，
重量不小于160克的苹果的总重量约为
(10 000×0.32×170＋10 000×0.18×190)×＝886(千克)，
估计销售收入约为710×2＋886×3－50＝4 028(元)，
因为3 990<4 028，因此方案二的销售收入更高．
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由题可知8＋8＋10＋24＝50，所以这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数为＝17.5.
(2)若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20元；若单独购买刷头，则每个刷头30元，
则当n≤18时，y＝360，当n>18时，y＝360＋30(n－18)＝30n－180，
所以y关于n的函数解析式为
y＝n∈N.
(3)若100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头，则其中有50名医生购买刷头的费用均为340元，28名医生购买刷头的费用均为370元，12名医生购买刷头的费用均为400元，10名医生购买刷头的费用均为430元，
因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为×(50×340＋28×370＋12×400＋10×430)＝364.6(元)．
若这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了18个刷头，则其中有78名医生购买刷头的费用均为360元，12名医生购买刷头的费用均为390元，10名医生购买刷头的费用均为420元，
因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为×(78×360＋12×390＋10×420)＝369.6(元)．因为364.6<369.6，所以购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头．
[针对训练]
3．解：(1)根据题意，得
当50≤t≤200时，月用电费用为y＝0.5t；
当t>200时，月用电费用为y＝200×0.5＋(t－200)×1＝t－100.
综上，宿舍的月用电费用为
y＝
(2)因为月用电量在[200,250)内的频率为50x＝1－(0.006 0＋0.003 6＋0.002 4＋0.002 4＋0.001 2)×50＝1－0.015 6×50＝0.22，所以月用电量在[200,250)内的宿舍有100×0.22＝22(间)．(共61张PPT)
统计中的综合问题
(教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学)
第2课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 统计图表与样本数据相结合
题型(二) 样本估计总体思想的应用
题型(三) 统计与函数相结合
4
课时跟踪检测
题型(一)
统计图表与样本数据相结合
01
[例1] 从某企业的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);
解:样本平均数=(170×0.002+180×0.009+190×0.022+200×0.033+
210×0.024+220×0.008+230×0.002)×10=200,
s2=(170-200)2×0.002×10+(180-200)2×0.009×10+(190-200)2×0.022×
10+(200-200)2×0.033×10+(210-200)2×0.024×10+(220-200)2×0.008
×10+(230-200)2×0.002×10=150.
(2)产品质量指标值在185与215之间的每个盈利200元,在175与185或215与225之间的每个亏损50元,其余的每个亏损300元.该企业共生产这种产品10 000个,估计这批产品可获利或亏损多少元
解:由频率分布直方图可知,质量指标值在[185,215)的频率为(0.022+0.033+0.024)×10=0.79,
质量指标值在[175,185)和[215,225)的频率为(0.009+0.008)×10=0.17,
质量指标值在[165,175)和[225,235]的频率为0.002×2×10=0.04,
所以10 000件产品的获利情况是(200×0.79-50×0.17-300×0.04)
×10 000=1 375 000元.
1.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试,现从中随机抽取40名学生的测试成绩,整理数据并按分数段[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),
[80,90),[90,100]进行分组.已知测试分数均为整数,现用每组区间的中点值代替该组中的每个数据,得到体育成绩的折线图如图所示.
针对训练
(1)若体育成绩大于或等于70分的学生为“体育良生”,已知该校高一年级有1 000名学生,试估计该校高一年级学生“体育良生”的人数;
解:由折线图知,体育成绩大于或等于70分的学生有14+3+13=30(人),
所以估计该校高一年级学生“体育良生”的人数为1 000×=750.
(2)用样本估计总体的思想,试估计该校高一年级学生达标测试的平均分;
解:用样本估计总体的思想,估计该校高一年级学生达标测试的平均分为=(45×2+55×6+65×2+75×14+85×3+95×13)=77.25(分).
(3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,且a∈[70,80),b∈[80,90),
c∈[90,100],当三人的体育成绩方差s2最小时,写出a,b,c的所有可能取值.(不要求证明)
解:因为甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a,b,c,
且a∈[70,80),b∈[80,90),c∈[90,100],其中a,b,c∈N,所以当三人的体育成绩方差s2最小时,
a,b,c的所有可能取值为79,84,90或79,85,90.
题型(二)
样本估计总体思想的应用
02
[例2] 某赛季甲、乙两名运动员在若干场比赛中的得分情况如下:
甲:18,20,21,22,23,25,28,29,30,30,32,34;
乙:8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,48.求:
(1)分别计算甲、乙两人每场得分的平均数;
解:设甲运动员的各场比赛得分的平均数为,乙运动员的各场比赛得分的平均数为,
所以=(18+20+21+22+23+25+28+29+30+30+32+34)=26,
=(8+13+14+16+23+26+28+33+38+39+48)=26,
所以甲每场得分的平均数为26,乙每场得分的平均数为26.
(2)计算甲、乙两人每场得分的中位数;
解:由中位数定义可得,甲每场得分的中位数为=26.5,乙每场得分的中位数为26.
(3)计算甲、乙两人得分的标准差,并回答谁的成绩比较稳定.
解:设甲运动员的各场比赛得分的标准差为s1,乙运动员的各场比赛得分的标准差为s2,
因为(18-26)2+(20-26)2+(21-26)2+(22-26)2+(23-26)2+(25-26)2+(28-26)2+(29-26)2+(30-26)2+(30-26)2+(32-26)2+(34-26)2=296,所以s1=≈4.97.
又(8-26)2+(13-26)2+(14-26)2+(16-26)2+(23-26)2+(26-26)2+(28-26)2+(33-26)2+(38-26)2+(39-26)2+(48-26)2=1 596,
所以s2=≈12.05,
因为甲运动员的各场比赛得分的标准差小于乙运动员的各场比赛得分的标准差,所以甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定.
2.某果园新采摘了一批苹果,从中随机抽取50个作为样本,称出它们的重量(单位:克),将重量按照[120,140),[140,160),[160,180),[180,200]进行分组,得到频率分布直方图如图所示.(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表)
针对训练
(1)估计这批苹果的重量的平均数;
解:由题意,得(0.016+0.015+a+0.009)×20=1,解得a=0.01.
50个苹果重量的平均数为=0.2×130+0.3×150+0.32×170+0.18×190=
159.6,
故估计这批苹果的重量的平均数约为159.6克.
(2)该果园准备把这批苹果销售给一家超市,据市场行情,有两种销售方案;
方案一:所有苹果混在一起,价格为2.5元/千克;
方案二:将不同重量的苹果分开,重量不小于160克的苹果的价格为3元/千克,重量小于160克的苹果的价格为2元/千克,但果园需支付每1 000个苹果5元的分拣费.
分别估计并比较两种方案下果园销售10 000个苹果的收入.
解:若采用方案一,估计销售收入约为159.6×10 000×=3 990(元).
若采用方案二,重量小于160克的苹果的总重量约为(10 000×0.2×
130+10 000×0.3×150)×=710(千克),
重量不小于160克的苹果的总重量约为
(10 000×0.32×170+10 000×0.18×190)×=886(千克),
估计销售收入约为710×2+886×3-50=4 028(元),
因为3 990<4 028,因此方案二的销售收入更高.
题型(三) 统计与函数相结合
03
[例3] 2023年9月20日是第34个“全国爱牙日”,宣传主题是“口腔健康,全身健康”.要想口腔健康,良好的刷牙习惯不可少,牙刷的质量也是至关重要的,与手动牙刷相比较,电动牙刷的清洁力更高,刷牙效果更好.某医生计划购买某种品牌的电动牙刷,预计使用寿命为5年,该电动牙刷的刷头在使用过程中需要更换.若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头,则每个刷头20元;若单独购买刷头,则每个刷头30元.某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的100名医生在5年使用期内更换刷头的个数,得到下表:
用n(n∈N)表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数,y表示购买刷头的费用(单位:元).
(1)求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数;
解:由题可知8+8+10+24=50,所以这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数为=17.5.
更换刷头的个数 14 15 16 17 18 19 20
频数 8 8 10 24 28 12 10
(2)若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头,求y关于n的函数解析式;
解:若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头,则每个刷头20元;若单独购买刷头,则每个刷头30元,
则当n≤18时,y=360,当n>18时,y=360+30(n-18)=30n-180,
所以y关于n的函数解析式为
y=n∈N.
(3)假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头,分别计算这100名医生购买刷头费用的平均数,以此作为决策依据,判断购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头.
解:若100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头,则其中有50名医生购买刷头的费用均为340元,28名医生购买刷头的费用均为370元,12名医生购买刷头的费用均为400元,10名医生购买刷头的费用均为430
元,因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为×(50×340+28×370+12×400+10×430)=364.6(元).
若这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了18个刷头,则其中有78名医生购买刷头的费用均为360元,12名医生购买刷头的费用均为390元,10名医生购买刷头的费用均为420元,
因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为×(78×360+12×390+10×420)=369.6(元).
因为364.6<369.6,所以购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头.
针对训练
3.为调查某校学生的用电情况,学校后勤部门抽取了100间学生宿舍在某月的用电量,发现每间宿舍的用电量都在50度到350度之间,将其分组为[50,100),[100,150),[150,200),[200,250),[250,300),[300,350],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)为降低能源损耗,节约用电,规定:当每间宿舍的月用电量不超过200度时,按每度0.5元收取费用;当每间宿舍的月用电量超过200度时,超过部分按每度1元收取费用.用t(单位:度)表示某宿舍的月用电量,用y(单位:元)表示该宿舍的月用电费用,求y与t之间的函数关系式;
解:根据题意,得
当50≤t≤200时,月用电费用为y=0.5t;
当t>200时,月用电费用为y=200×0.5+(t-200)×1=t-100.
综上,宿舍的月用电费用为y=
(2)在抽取的100间学生宿舍中,月用电量在区间[200,250)内的学生宿舍有多少间
解:因为月用电量在[200,250)内的频率为50x=1-(0.006 0+0.003 6+0.002 4+0.002 4+0.001 2)×50=1-0.015 6×50=0.22,所以月用电量在[200,250)内的宿舍有100×0.22=22(间).
课时跟踪检测
04
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1.本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班,两个班都是50个学生,如图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比,根据图表,不正确的结论是 ( )
A.A班的数学成绩平均水平好于B班
B.B班的数学成绩没有A班稳定
C.下次考试B班的数学平均分要高于A班
D.在第1次考试中,A,B两个班的总平均分为98
√
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7
8
2
解析:A班的5次数学测试平均分分别为101,98,101,100,105,
5次成绩的平均分=(101+98+101+100+105)=101,
5次成绩的方差=[(101-101)2+(98-101)2+(101-101)2+(100-101)2+(105-101)2]=5.2.
B班的5次数学测试平均分分别为95,100,96,105,100,
5次成绩的平均分为=(95+100+96+105+100)=99.2,
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5次成绩的方差=[(95-99.2)2+(100-99.2)2+(96-99.2)2+(105-99.2)2+
(100-99.2)2]=12.56,
所以A班的数学平均水平好于B班,A正确;
由于<,所以A班成绩稳定些,B正确;
下次考试A,B班的平均分不能预料,C错误;在第一次考试中,总平均分为==98分,D正确.
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2.(多选)某汽车制造厂分别从A,B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试,下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程(单位:103 km).
A类轮胎:94,96,99,99,105,107;
B类轮胎:95,95,98,99,104,109.
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根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况,下列说法正确的是( )
A.A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数
B.A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差
C.A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数
D.A类轮胎的性能更加稳定
√
√
√
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解析:A类轮胎行驶的最远路程的众数为99,B类轮胎行驶的最远路程的众数为95,A正确;A类轮胎行驶的最远路程的极差为107-94=13,B类轮胎行驶的最远路程的极差为109-95=14,B正确;A类轮胎行驶的最远路程的平均数为100+=100,B类轮胎行驶的最远路程的平均数为100+=100,C错误;A类轮胎行驶的最远路程的方差为[(94-100)2+(96-100)2+(99-100)2×2+(105-100)2+(107-100)2]=,
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B类轮胎行驶的最远路程的方差为[(95-100)2×2+(98-100)2+(99-100)2+
(104-100)2+(109-100)2]=>,故A类轮胎的性能更加稳定,D正确.
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3.(多选)为响应自己城市倡导的低碳出行,小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具,他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位:分钟),得到下列两个频率分布直方图,基于以上统计信息,则 ( )
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A.骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B.坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
C.坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
D.坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值
解析:设骑车时间的中位数为a,则0.10×2+0.20(a-20)=0.50,解得a=21.5,故骑车时间的中位数的估计值是21.5分钟,A错误;设坐公交车时间的40%分位数为b,则0.025×2+0.050×2+0.075×2+0.100×(b-18)=0.4,解得b=19,故坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟,B正确;
√
√
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坐公交车时间的平均数为=13×0.025×2+15×0.050×2+17×0.075×
2+19×0.100×2+21×0.100×2+23×0.075×2+25×0.050×2+27×0.025×2=20,骑车时间的平均数为=19×0.10×2+21×0.20×2+23×0.15×2+25×0.05×2=21.6,则<,故坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值,C正确;坐公交车时间的方差=(13-20)2×0.025×2+(15-20)2×0.050×2+(17-20)2
×0.075×2+(19-20)2×0.100×2+(21-20)2×0.100×2+(23-20)2×0.075×
2+(25-20)2×0.050×2+(27-20)2×0.025×2=13,
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骑车时间的方差=(19-21.6)2×0.10×2+(21-21.6)2×0.20×2+(23-21.6)2
×0.15×2+(25-21.6)2×0.05×2=3.24,∵>,故坐公交车时间的方差的估计值大于骑车时间的方差的估计值,D错误.
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4.某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,x3,…,x10,其平均数和方差分别为和s2,若下月起每位员工的月工资增加100元,则这10名员工下月工资的平均数和方差分别为 .
+100;s2
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5.甲、乙两位同学5次考试的数学成绩(单位:分),统计结果如表:
则成绩较为稳定的那位同学成绩的方差为 .
学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 77 81 83 80 79
乙 89 90 92 91 88
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解析:由题表知,甲同学5次成绩极差为6,乙同学5次成绩的极差为4,甲同学5次成绩波动较大,乙同学的成绩较稳定,乙同学5次成绩的平均数 = (89+90+92+91+88)=90,方差为s2= [(89-90)2+(90-90)2+(92-90)2+(91-90)2
+(88-90)2]=2,
所以乙同学成绩的方差为2.
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6.某班级为了了解本班学生的身高情况,根据男、女学生的比例,采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生5名和女生3名,测量他们的身高所得的数据(单位:cm)如下表所示,根据表中数据,可计算出该校高中学生身高的总样本平均数 = ;总样本方差s2= .
性别 人数 平均数 方差
男生 5 172 18
女生 3 164 30
169
37.5
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7.(15分)随着电子商务的发展,人们的购物习惯也在改变,几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决,同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”.某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺,对电商的顾客评价,包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查,并把调查结果转化为顾客的评价指数x,得到了如下的频数分布表:
评价指数x [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 10 20 40 20
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(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图;
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解:(1)由题中数据可得,
评价指数x [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 10 20 40 20
频率 0.1 0.1 0.2 0.4 0.2
频率/组距 0.005 0.005 0.01 0.02 0.01
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所以频率分布直方图如下,
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(2)求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表).(精确到0.1,附: ≈12.04)
解:由题中数据可得, = (10×10+30×10+50×20+70×40+90×20)
=60,
方差为s2= [(10-60)2×10+(30-60)2×10+(50-60)2×20+(70-60)2×
40+(90-60)2×20]=580.标准差s= =2 ≈24.08.
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8.(15分)已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件,这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示(每组区间均为左开右闭).
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尺寸大于M的零件用于大型机器中,尺寸小于或等于M的零件用于小型机器中.
(1)若M=60,试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数.
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2
解:一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.020+0.024+0.020
+0.020)×10=0.84,则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.84=420;二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.024+0.016)×10=0.4,则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.40=200.
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(2)若M∈(60,70],现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件,分别用于大型机器、小型机器各5 000台的生产,每台机器仅使用一个该种型号的零件.
方案一:直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中,其中用了尺寸小于或等于M的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元;直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中,其中用了尺寸大于M的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元.
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方案二:重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸,并正确匹配型号,重新测量的总费用为35万元.
请写出采用方案一,工厂损失费用的估计值H(M)(单位:万元)的表达式,并从工厂损失的角度考虑,选择合理的方案.
解:一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为0.004×10+0.012×10+0.02×(M-60)=0.02M-1.04.
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二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为0.024×(70-M)+0.016×10
=1.84-0.024M.
故H(M)=(0.02M-1.04)×0.02×5 000+(1.84-0.024M)×0.01×5 000
=0.8M-12.
因为M∈(60,70],所以H(M)∈(36,44].
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元,
所以从工厂损失的角度考虑,应选择方案二.课时跟踪检测(四十八) 统计中的综合问题
(满分60分，选填小题每题5分)
1．本学期王老师任教两个平行班高三A班、高三B班，两个班都是50个学生，如图反映的是两个班在本学期5次数学测试中的班级平均分对比，根据图表，不正确的结论是( )
A．A班的数学成绩平均水平好于B班
B．B班的数学成绩没有A班稳定
C．下次考试B班的数学平均分要高于A班
D．在第1次考试中，A，B两个班的总平均分为98
2．(多选)某汽车制造厂分别从A，B两类轮胎中各随机抽取了6个进行测试，下面列出了每一个轮胎可使用的最远路程(单位：103 km)．
A类轮胎：94,96,99,99,105,107；
B类轮胎：95,95,98,99,104,109.
根据以上数据估计这两类轮胎的总体情况，下列说法正确的是( )
A．A类轮胎行驶的最远路程的众数大于B类轮胎行驶的最远路程的众数
B．A类轮胎行驶的最远路程的极差小于B类轮胎行驶的最远路程的极差
C．A类轮胎行驶的最远路程的平均数大于B类轮胎行驶的最远路程的平均数
D．A类轮胎的性能更加稳定
3．(多选)为响应自己城市倡导的低碳出行，小李上班可以选择公交车、自行车两种交通工具，他分别记录了100次坐公交车和骑车所用时间(单位：分钟)，得到下列两个频率分布直方图，基于以上统计信息，则( )
A．骑车时间的中位数的估计值是22分钟
B．坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟
C．坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值
D．坐公交车时间的方差的估计值小于骑车时间的方差的估计值
4．某公司10位员工的月工资(单位：元)为x1，x2，x3，…，x10，其平均数和方差分别为和s2，若下月起每位员工的月工资增加100元，则这10名员工下月工资的平均数和方差分别为________.
5．甲、乙两位同学5次考试的数学成绩(单位：分)，统计结果如表：
学生 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次
甲 77 81 83 80 79
乙 89 90 92 91 88
则成绩较为稳定的那位同学成绩的方差为________.
6．某班级为了了解本班学生的身高情况，根据男、女学生的比例，采用样本量按比例分配的分层随机抽样分别抽取了男生5名和女生3名，测量他们的身高所得的数据(单位：cm)如下表所示，根据表中数据，可计算出该校高中学生身高的总样本平均数＝________；总样本方差s2＝________.
性别 人数 平均数 方差
男生 5 172 18
女生 3 164 30
7.(15分)随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电子商铺的“生命线”．某电商平台从其旗下的所有电商中随机抽取了100个电子商铺，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数x，得到了如下的频数分布表：
评价指数x [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 10 20 40 20
(1)画出这100个电子商铺顾客评价指数的频率分布直方图；
(2)求该电商平台旗下的所有电子商铺的顾客评价指数的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据以该组区间的中点值为代表)．(精确到0.1，附：≈12.04)
8．(15分)已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示(每组区间均为左开右闭)．
尺寸大于M的零件用于大型机器中，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器中．
(1)若M＝60，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数．
(2)若M∈(60,70]，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各5 000台的生产，每台机器仅使用一个该种型号的零件．
方案一：直接将一区生产车间生产的零件用于大型机器中，其中用了尺寸小于或等于M的零件的大型机器每台会使得工厂损失200元；直接将二区生产车间生产的零件用于小型机器中，其中用了尺寸大于M的零件的小型机器每台会使得工厂损失100元．
方案二：重新测量一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸，并正确匹配型号，重新测量的总费用为35万元．
请写出采用方案一，工厂损失费用的估计值H(M)(单位：万元)的表达式，并从工厂损失的角度考虑，选择合理的方案.
课时跟踪检测(四十八)
1．选C A班的5次数学测试平均分分别为101,98,101,100,105，
5次成绩的平均分1＝(101＋98＋101＋100＋105)＝101，
5次成绩的方差s＝[(101－101)2＋(98－101)2＋(101－101)2＋(100－101)2＋(105－101)2]＝5.2.
B班的5次数学测试平均分分别为95,100,96,105,100，
5次成绩的平均分为2＝(95＋100＋96＋105＋100)＝99.2，
5次成绩的方差s＝[(95－99.2)2＋(100－99.2)2＋(96－99.2)2＋(105－99.2)2＋(100－99.2)2]＝12.56，
所以A班的数学平均水平好于B班，A正确；
由于s下次考试A，B班的平均分不能预料，C错误；在第一次考试中，总平均分为＝＝98分，D正确．
2．选ABD A类轮胎行驶的最远路程的众数为99，B类轮胎行驶的最远路程的众数为95，A正确；A类轮胎行驶的最远路程的极差为107－94＝13，B类轮胎行驶的最远路程的极差为109－95＝14，B正确；A类轮胎行驶的最远路程的平均数为100＋＝100，B类轮胎行驶的最远路程的平均数为100＋＝100，C错误；A类轮胎行驶的最远路程的方差为[(94－100)2＋(96－100)2＋(99－100)2×2＋(105－100)2＋(107－100)2]＝，B类轮胎行驶的最远路程的方差为[(95－100)2×2＋(98－100)2＋(99－100)2＋(104－100)2＋(109－100)2]＝>，故A类轮胎的性能更加稳定，D正确．
3．选BC 设骑车时间的中位数为a，则0.10×2＋0.20(a－20)＝0.50，解得a＝21.5，故骑车时间的中位数的估计值是21.5分钟，A错误；设坐公交车时间的40%分位数为b，则0.025×2＋0.050×2＋0.075×2＋0.100×(b－18)＝0.4，解得b＝19，故坐公交车时间的40%分位数的估计值是19分钟，B正确；坐公交车时间的平均数为＝13×0.025×2＋15×0.050×2＋17×0.075×2＋19×0.100×2＋21×0.100×2＋23×0.075×2＋25×0.050×2＋27×0.025×2＝20，骑车时间的平均数为＝19×0.10×2＋21×0.20×2＋23×0.15×2＋25×0.05×2＝21.6，则<，故坐公交车时间的平均数的估计值小于骑车时间的平均数的估计值，C正确；坐公交车时间的方差s＝(13－20)2×0.025×2＋(15－20)2×0.050×2＋(17－20)2×0.075×2＋(19－20)2×0.100×2＋(21－20)2×0.100×2＋(23－20)2×0.075×2＋(25－20)2×0.050×2＋(27－20)2×0.025×2＝13，骑车时间的方差s＝(19－21.6)2×0.10×2＋(21－21.6)2×0.20×2＋(23－21.6)2×0.15×2＋(25－21.6)2×0.05×2＝3.24，∵s>s，故坐公交车时间的方差的估计值大于骑车时间的方差的估计值，D错误．
4．解析：由题得＝xi，s2＝ (xi－)2，若从下月起每位员工的月工资增加100元，则这10位员工下月工资分别为x1＋100，x2＋100，…，x10＋100，平均数为′＝ (xi＋100)＝(xi＋100×10)＝xi＋100＝＋100，方差为s′2＝[(xi＋100)－(＋100)]2＝ (xi－)2＝s2.
答案：＋100；s2
5．解析：由题表知，甲同学5次成绩极差为6，乙同学5次成绩的极差为4，甲同学5次成绩波动较大，乙同学的成绩较稳定，乙同学5次成绩的平均数＝(89＋90＋92＋91＋88)＝90，方差为s2＝[(89－90)2＋(90－90)2＋(92－90)2＋(91－90)2＋(88－90)2]＝2，
所以乙同学成绩的方差为2.
答案：2
6．解析：由题意知＝＝169.
设男生的身高为x1，x2，x3，x4，x5，身高的平均数为，方差为s，
设女生的身高为y1，y2，y3，身高的平均数为，方差为s，
由s＝[(x1－)2＋(x2－)2＋(x3－)2＋(x4－)2＋(x5－)2]，
得x＋x＋x＋x＋x＝5(s＋2)，同理y＋y＋y＝3(s＋2)，
则s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x5－)2＋(y1－)2＋(y2－)2＋(y3－)2]
＝(x＋x＋…＋x＋y＋y＋y＋82－10x] ω]－6 )
＝[5s＋5(－)2＋3s＋3(－)2]
＝[5×18＋5×(172－169)2＋3×30＋3×(164－169)2]＝37.5.
答案：169 37.5
7．解：(1)由题中数据可得，
评价指数x [0,20) [20,40) [40,60) [60,80) [80,100]
频数 10 10 20 40 20
频率 0.1 0.1 0.2 0.4 0.2
频率/组距 0.005 0.005 0.01 0.02 0.01
所以频率分布直方图如下，
(2)由题中数据可得，＝(10×10＋30×10＋50×20＋70×40＋90×20)＝60，
方差为s2＝[(10－60)2×10＋(30－60)2×10＋(50－60)2×20＋(70－60)2×40＋(90－60)2×20]＝580.标准差s＝＝2≈24.08.
8．解：(1)一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.020＋0.024＋0.020＋0.020)×10＝0.84，则该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.84＝420；二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为(0.024＋0.016)×10＝0.4，则该工厂二区生产车间生产的500个该种型号的零件用于大型机器中的零件个数为500×0.40＝200.
(2)一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为0.004×10＋0.012×10＋0.02×(M－60)＝0.02M－1.04.
二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为0.024×(70－M)＋0.016×10＝1.84－0.024M.
故H(M)＝(0.02M－1.04)×0.02×5 000＋(1.84－0.024M)×0.01×5 000＝0.8M－12.
因为M∈(60,70]，所以H(M)∈(36,44]．
又因为采用方案二重新测量的总费用为35万元，
所以从工厂损失的角度考虑，应选择方案二．
