阶段质量评价(四)　统计（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册 第七章

阶段质量评价(四)　统计
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．从某地参加计算机水平测试的5 000名学生的成绩中抽取200名学生的成绩进行统计分析，在这个问题中，200名学生的成绩是(　　)
A．总体
B．个体
C．从总体中所取的一个样本
D．总体的容量
2．如图所示是一样本的频数分布直方图，则样本数据落在[15,20]内的频率为(　　)
A．0.2 B．0.3
C．0.4 D．0.5
3．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若不低于60分的人数是35人，则该班的学生人数是(　　)
A．45 B．50
C．55 D．60
4．某市对上下班交通情况作抽样调查，上、下班时间各抽取12辆机动车测其行驶速度(单位：km/h)如下表：
上班时间 18 20 21 26 27 28 30 32 33 35 36 40
下班时间 16 17 19 22 25 27 28 30 30 32 36 37
则上、下班时间行驶速度的中位数分别为(　　)
A．28与28.5 B．29与28.5
C．28与27.5 D．29与27.5
5．某高校为了解该校师生有无收看“第七届互联网＋创新创业大赛”，从该校的500名教职工和1 800名学生中，采用分层随机抽样的方法抽取230人进行调查，则应抽取的学生人数是(　　)
A．50 B．90
C．130 D．180
6．若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据3x1－1,3x2－1，…，3x10－1的标准差为(　　)
A．8 B．16
C．24 D．32
7．某校高二有重点班学生400人，普通班学生800人，为调查总体学生数学成绩的平均值，按比例分配进行分层随机抽样，从重点班抽出20人，从普通班抽出40人，通过计算重点班平均成绩为125分，普通班平均成绩为95分，则高二总体数学成绩平均值为(　　)
A．110 B．125
C．95 D．105
8．某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比，依考核分数分为A，B，C，D四个等级．其中分数在[60,70)的为D等级；分数在[70,80)的为C等级；分数在[80,90)的为B等级；分数在[90,100]的为A等级．考核评估后，得其频率折线图如图所示，估计这100间学生公寓评估得分为等级C，D的比评估得分为等级A，B的多(　　)
A．8间 B．9间
C．10间 D．11间
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．给定一组数5,5,4,3,3,3,2,2,2,1，则(　　)
A．平均数为3 B．标准差为
C．众数为2和3 D．第85百分位数为4.5
10．在某次学科期末检测后，从全部考生中选取100名考生的成绩(百分制，均为整数)分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组后，得到如图所示的频率分布直方图，则(　　)
A．图中a的值为0.005
B．低于70分的考生人数约为40
C．考生成绩的平均分约为73分
D．估计考生成绩第80百分位数为83分
11．(2023·新课标Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(　　)
A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数
B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数
C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差
D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)
12．一个容量为40的样本数据分组后组数与频数如下：[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10；[25.9,26.2)，8；[26.2,26.5)，8；[26.5,26.8]，4，则样本在[25,25.9)上的频率为________.
13．某学校三个兴趣小组的学生人数分布如下表(每名同学只参加一个小组)：
项目 武术组 书画组 乐器组
高一 45 30 a
高二 15 10 20
学校要对这三个小组的活动效果进行抽样调查，按小组分层随机抽样，从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，则a的值为________.
14．佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫的功效．经研究发现一批香囊中一种草药甲的含量x(单位：克)与香囊功效y之间满足y＝15x－x2，现从中随机抽取了6个香囊，得到香囊中草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，则这6个香囊中草药甲含量的标准差为________克.
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)为了解某校高一1 000名学生的物理成绩，随机抽查了部分学生的期中考试成绩，将数据整理后绘制成如图所示的频率分布直方图．
(1)估计该校高一学生物理成绩不低于80分的人数；
(2)若在本次考试中，规定物理成绩在m分以上(包括m分)的为优秀，该校学生物理成绩的优秀率大约为18%，求m的值.
16.(15分)(2023·全国乙卷)某厂为比较甲、乙两种工艺对橡胶产品伸缩率的处理效应，进行10次配对试验，每次配对试验选用材质相同的两个橡胶产品，随机地选其中一个用甲工艺处理，另一个用乙工艺处理，测量处理后的橡胶产品的伸缩率，甲、乙两种工艺处理后的橡胶产品的伸缩率分别记为xi，yi(i＝1,2，…，10)，试验结果如下：
试验序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
伸缩率xi 545 533 551 522 575 544 541 568 596 548
伸缩率yi 536 527 543 530 560 533 522 550 576 536
记zi＝xi－yi(i＝1,2，…，10)，z1，z2，…，z10的样本平均数为，样本方差为s2.
(1)求，s2.
(2)判断甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率是否有显著提高如果≥2，则认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高，否则不认为有显著提高.
17．(15分)某超市从某年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位：箱)的数据中分别随机抽取100个，整理得到数据分组及频率分布表和频率分布直方图：
分组(日销售量) 频率(甲种酸奶)
[0,10] 0.10
(10,20] 0.20
(20,30] 0.30
(30,40] 0.25
(40,50] 0.15
(1)写出频率分布直方图中a的值，并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图；
(2)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位：箱)的方差分别为s，s.试比较s和s的大小；
(3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中间值代替，试估计乙种酸奶在未来一个月(按30天计算)的销售总量.
得分
18.(17分)树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量(简称“美食”)的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数认可系数＝不低于0.85，“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此该部门随机调查了600名学生，根据这600名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求直方图中x的值和第60百分位数；
(2)为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，该部门从评分低于80分的学生中用分层随机抽样的方法随机选取30人进行座谈，求应选取评分在[60,70)的学生人数；
(3)根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由.
19．(17分)某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1 000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)
质量指标值 [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) [75,85) [85,95)
产品 60 100 160 300 200 100 80
(1)估计产品的某项质量指标值的70%分位数；
(2)估计这组样本的质量指标值的平均数和方差s2(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
(3)设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，s精确到个位，an＝5·，bn＝5·，n∈N*，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有65%落在[a1，b1]内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有95%落在[a2，b2]内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？(参考数据： ≈13, ≈16)
阶段质量评价(四)
1．选C　由题知，总体是5 000名学生的成绩，个体是每一名学生的成绩，200名学生的成绩是从总体中所取的一个样本，总体的容量为5 000.
2．选B　由频数分布直方图知，样本数据落在[15,20]内的频率为＝0.3.
3．选B　由题知，不低于60分的频率为(0.02＋0.015)×20＝0.7，又不低于60分的人数是35人，所以该班的学生人数是＝50.
4．选D　上班时间行驶速度的中位数是＝29，下班时间行驶速度的中位数是＝27.5.
5．选D　由题意可得，抽样比为＝，所以应抽取的学生人数是1 800×＝180.
6．选C　一般地，如果样本数据x1，x2，…，xn的标准差为a，那么数据sx1＋t，sx2＋t，…，sxn＋t标准差为sa(s>0)，所以数据3x1－1,3x2－1，…，3x10－1的标准差为3×8＝24.
7．选D　抽取的同学数学成绩平均值为＝105，
因此，可估计高二总体数学成绩平均值为105.
8．选C　由频率折线图可知，分数为A等级的频率为0.025×10＝0.25；分数为B等级的频率为0.020×10＝0.20；分数为C等级的频率为0.040×10＝0.40；分数为D等级的频率为0.015×10＝0.15，所以100×(0.40＋0.15)－100×(0.25＋0.20)＝10，即评估得分为等级C，D的比评估得分为等级A，B的多10间．
9．选AC　由平均数的计算公式，可得数据的平均数为＝(5＋5＋4＋3＋3＋3＋2＋2＋2＋1)＝3，所以A正确；由方差的公式，可得s2＝[(5－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2＋…＋(1－3)2]＝，所以标准差为s＝，所以B不正确；根据众数的概念，可得数据的众数为2和3，所以C正确；数据从小到大排序：1,2,2,2,3,3,3,4,5,5，根据百分位数的概念，可得第85百分位数是第9个数据的值，即为5，所以D不正确．
10．选AC　由(2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，解得a＝0.005，故A正确；低于70分的考生人数约为(0.005＋0.04)×10×100＝45，故B错误；考生成绩的平均分约为0.005×10×55＋0.04×10×65＋0.03×10×75＋0.02×10×85＋0.005×10×95＝73，故C正确；成绩落在[50,80)内频率为(0.005＋0.04＋0.03)×10＝0.75，落在[50,90)内频率为(0.005＋0.04＋0.03＋0.02)×10＝0.95，故考生成绩第80百分位数落在[80,90)，设为m，由0.75＋(m－80)×0.02＝0.8，解得m＝82.5，故考生成绩第80百分位数为82.5分，故D错误．
11．选BD　取x1＝1，x2＝x3＝x4＝x5＝2，x6＝9，则x2，x3，x4，x5的平均数等于2，标准差为0，x1，x2，…，x6的平均数等于3，标准差为，故A、C均不正确；根据中位数的定义，将x1，x2，…，x6按从小到大的顺序进行排列，中位数是中间两个数的算术平均数，由于x1是最小值，x6是最大值，故x2，x3，x4，x5的中位数是将x2，x3，x4，x5按从小到大的顺序排列后中间两个数的算术平均数，与x1，x2，…，x6的中位数相等，故B正确；根据极差的定义，知x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差，故D正确．故选B、D.
12．解析：[25,25.9)包括[25,25.3)，6；[25.3,25.6)，4；[25.6,25.9)，10，频数之和为20，频率为＝.
答案：
13．解析：由题意可知三个小组的人数比为60∶40∶(a＋20)，
从参加这三个兴趣小组的学生中抽取30人，结果武术组被抽出12人，
故×30＝12，解得a＝30.
答案：30
14．解析：设抽取的6个香囊中草药甲的含量分别为xi克，香囊功效分别为yi，i＝1,2，…，6.
草药甲的含量的平均数为6克，香囊功效的平均数为15，即x1＋x2＋…＋x6＝36，y1＋y2＋…＋y6＝15(x1＋x2＋…＋x6)－(x＋x＋…＋x)＝90，
则x＋x＋…＋x＝450，则这6个香囊中草药甲含量的方差s2＝[(x1－6)2＋(x2－6)2＋…＋(x6－6)2]＝[(x＋x＋…＋x)－12(x1＋x2＋…＋x6)＋6×36]＝(450－12×36＋6×36)＝39，所以这6个香囊中草药甲含量的标准差为克．
答案：
15．解：(1)由频率分布直方图得，
该校高一学生物理成绩不低于80分的频率为(0.03＋0.024)×10＝0.54，
∴该校高一学生物理成绩不低于80分的人数为1 000×0.54＝540人．
(2)∵0.24>0.18，∴90∴＝，解得m＝92.5.
16．解：(1)由题意，求出zi的值如表所示，
试验
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
zi 9 6 8 －8 15 11 19 18 20 12
则＝×(9＋6＋8－8＋15＋11＋19＋18＋20＋12)＝11，
s2＝×[(9－11)2＋(6－11)2＋(8－11)2＋(－8－11)2＋(15－11)2＋(11－11)2＋(19－11)2＋(18－11)2＋(20－11)2＋(12－11)2]＝61.
(2)因为2 ＝2＝，＝11＝>，
所以可认为甲工艺处理后的橡胶产品的伸缩率较乙工艺处理后的橡胶产品的伸缩率有显著提高．
17．解：(1)由乙种酸奶日销量的频率分布直方图得a＝0.1－(0.010＋0.020＋0.030＋0.025)＝0.015.
根据题中数据得，甲种酸奶日销售量的频率分布直方图如下：
(2)记甲、乙两种酸奶日销售量的平均数分别为1，2，
由频率分布直方图得
1＝5×0.1＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.25＋45×0.15＝26.5，
2＝5×0.2＋15×0.1＋25×0.3＋35×0.15＋45×0.25＝26.5，
所以s＝(5－26.5)2×0.1＋(15－26.5)2×0.2＋(25－26.5)2×0.3＋(35－26.5)2×0.25＋(45－26.5)2×0.15＝142.75，
s＝(5－26.5)2×0.2＋(15－26.5)2×0.1＋(25－26.5)2×0.3＋(35－26.5)2×0.15＋(45－26.5)2×0.25＝202.75，
所以s(3)由(2)知乙种酸奶的平均日销售量为26.5箱，则乙种酸奶未来一个月的销售量为26.5×30＝795(箱)．
18．解：(1)由题图可知，10×(x＋0.015＋0.02＋0.03＋0.025)＝1，解得x＝0.01.
因为[50,80)内的频率为0.1＋0.15＋0.2＝0.45<0.6，[50,90)内的频率为0.1＋0.15＋0.2＋0.3＝0.75>0.6，
所以第60百分位数位于区间[80,90)内，设为m，则m＝80＋×(90－80)＝85，
所以第60百分位数为85.
(2)低于80分的三组学生的人数比例为
0．1∶0.15∶0.2＝2∶3∶4，
则应选取评分在[60,70)的学生人数为
30×＝10.
(3)由题图可知，认可程度平均分为
＝55×0.1＋65×0.15＋75×0.2＋85×0.3＋95×0.25＝79.5，＝0.795<0.85，
所以“美食”工作需要进一步整改．
19．解：(1)设产品的某项质量指标值的70%分位数为x，则＋＋＋＋(x－65)·＝0.7，解得x＝69.
所以估计产品的某项质量指标值的70%分位数为69.
(2)由题，可知
＝30×0.06＋40×0.1＋50×0.16＋60×0.3＋70×0.2＋80×0.1＋90×0.08＝61.
s2＝(30－61)2×0.06＋(40－61)2×0.1＋(50－61)2×0.16＋(60－61)2×0.3＋(70－61)2×0.2＋(80－61)2×0.1＋(90－61)2×0.08＝241.
(3)由s2＝241知，s≈16.
所以a1＝5×＝45，
b1＝5×＝75.
该抽样数据落在[45,75]内的频率约为
0．16＋0.3＋0.2＝66%>65%.
又a2＝5×＝30，
b2＝5×＝90，
该抽样数据落在[30,90]内的频率约为
1－0.03－0.04＝0.93＝93%<95%，
所以可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．