10.1.2 事件的关系和运算—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．理解事件的关系和运算．
2．通过事件之间的运算，理解互斥事件和对立事件的概念．
逐点清(一) 事件的关系
[多维理解]
项目 定义 符号 图示
包含关系 一般地，若事件A发生，则事件B 发生，就称事件B________事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等关系 特别地，如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B________A且A________B，则称事件A与事件B相等 _______
[微点练明]
1．同时掷两枚硬币，“向上的面都是正面”为事件A，“向上的面至少有一枚是正面”为事件B，则有( )
A．A＝B B．A B
C．A B D．A与B之间没有关系
2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是( )
A．全是红球
B．至少有1个红球
C．至多有1个红球
D．1个红球，1个白球
3．在掷骰子试验中，可以得到以下事件：
A：{出现1点}；B：{出现2点}；C：{出现3点}；D：{出现4点}；E：{出现5点}；F：{出现6点}；G：{出现的点数不大于1}；H：{出现的点数小于5}；I：{出现奇数点}；J：{出现偶数点}．
请判断下列事件的关系：
(1)B____________H；(2)D____________J；
(3)E____________I；(4)A______________________________________________G.
逐点清(二) 事件的运算
[多维理解]
项目 定义 符号 图示
并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B________有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交事件(或积事件) 一般地，事件A与事件B________发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ______
[微点练明]
1．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示( )
A．全部击中 B．至少击中1发
C．都未击中 D．击中3发
2．(多选)某篮球运动员进行投篮训练，连续投篮两次，设事件A表示随机事件“两次都投中”，事件B表示随机事件“两次都未投中”，事件C表示随机事件“恰有一次投中”，事件D表示随机事件“至少有一次投中”，则下列关系正确的是( )
A．A D B．B∩D＝
C．A∪B＝B∪D D．A∪C＝D
3．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
求：(1)事件D与A，B是怎样的运算关系？
(2)事件C与A的交事件是什么事件？
(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有一个白球}，那么事件C与B，E分别是什么运算关系？C与F的交事件是什么事件？
逐点清(三) 互斥事件与对立事件
[多维理解]
1．互斥事件
定义 一般地，如果事件A与事件B____________发生，也就是说________是一个不可能事件，即A∩B＝________，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 ____________
图形表示
2.对立事件
定义 一般地，如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且____________，那么称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 ____________，____________
图形表示
[微点练明]
1．(多选)从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品，设A＝{3件产品全不是次品}，B＝{3件产品全是次品}，C＝{3件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论正确的是( )
A．A与C互斥 B．B与C互斥
C．任何两个都互斥 D．A与B对立
2．某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是( )
A．A与B互为对立 B．B与C互斥
C．C与D互为对立 D．B与D互斥
3．如图，甲、乙两个元件串联构成一段电路，事件M＝“甲元件故障”，N＝“乙元件故障”，则表示该段电路没有故障的事件为( )
A．M∪N B．M∩N
C.∪ D.∩
4．“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生，从中任选2名同学参加数学公式推导比赛，下列各对事件互斥而不对立的是( )
A．至少有1名男生与全是男生
B．至少有1名男生与全是女生
C．恰有1名男生与恰有2名男生
D．至少有1名男生与至少有1名女生
10．1.2 事件的关系和运算
[逐点清(一)]
[多维理解] 一定 包含 A＝B
[微点练明]
1．选C 由同时抛掷两枚硬币，知试验的样本空间为Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，其中事件A＝{(正，正)}，事件B＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，所以A B.
2．选C 从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，若至少有1个白球，
则其包含的样本点是：1个白球1个红球，2个白球；至多有1个红球包含的样本点也是：1个白球1个红球，2个白球．
3．解析：因为出现的点数小于5包含出现1点，出现2点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时，事件H必然发生，故B H；同理D J，E I；易知事件A与事件G相等，即A＝G.
答案：(1) (2) (3) (4)＝
[逐点清(二)]
[多维理解] 至少 同时 A∩B(或AB)
[微点练明]
1．选B A＝A1∪A2∪A3表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发．
2．选ABD 事件D表示“至少有一次投中”，即表示“两次都投中或恰有一次投中”，事件A表示“两次都投中”，故A D，故A正确；事件B和事件D是对立事件，故B∩D＝ ，故B正确；事件A∪B表示“两次都投中或两次都未投中”，而事件B∪D表示“两次都未投中、两次都投中或恰有一次投中”，故C错误；事件A∪C表示“两次都投中或恰有一次投中”，故A∪C＝D，故D正确．
3．解：(1)事件D包含的样本点为(1个红球2个白球)，(2个红球1个白球)，故D＝A∪B.
(2)事件C包含的样本点为(1个红球2个白球)，(2个红球1个白球)，(3个红球)，故C∩A＝A.
(3)事件C包含的样本点为(1个红球2个白球)，(2个红球1个白球)，(3个红球)，故B C，E C.而事件F包含的样本点为(1个白球2个红球)，(2个白球1个红球)，(3个白球)，所以C∩F＝{3个球中有1个红球2个白球或2个红球1个白球}＝D.
[逐点清(三)]
[多维理解] 1.不能同时 A∩B A∩B＝ 2.A∩B＝ A∩B＝ A∪B＝Ω
[微点练明]
1．选ABC 由题意可知，C＝{3件产品有次品，但不全是次品}，包含“1件次品2件正品”“2件次品1件正品”两个样本点，A＝{3件产品全不是次品}＝{3件产品全是正品}，B＝{3件产品全是次品}，由此知，A与C互斥，B与C互斥，A与B互斥，故A、B、C正确；由于样本空间中还包含“1件次品2件正品”“2件次品1件正品”两个样本点，故A与B不对立，故D错误．
2．选D A与B互斥但不对立，故A错误；B和C能同时发生，不是互斥事件，故B错误；C与D是互斥事件，故C错误；B与D为互斥事件，故D正确．
3．选D 因为甲、乙两个元件串联，线路没有故障，即甲、乙都没有故障，所以事件和同时发生，即∩事件发生．
4．选C 事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，故A错误；事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，与事件全是女生是互斥、对立事件，故B错误；事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生，与事件恰有2名男生是互斥事件，但不是对立事件，故C正确；事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况，事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况，两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生，故D错误．(共53张PPT)
10.1.2
事件的关系和运算
(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.理解事件的关系和运算.
2.通过事件之间的运算,理解互斥事件和对立事件的概念.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 事件的关系
逐点清(二) 事件的运算
逐点清(三) 互斥事件与对立事件
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 事件的关系
01
多维理解
项目 定义 符号 图示
包含 关系 一般地,若事件A发生,则事件B_______发生,就称事件B______事件A(或事件A包含于事件B) B A(或A B)
相等 关系 特别地,如果事件B包含事件A,事件A也包含事件B,即B____A且A____B,则称事件A与事件B相等 _______
一定
包含
A=B
1.同时掷两枚硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则有 ( )
A.A=B B.A B
C.A B D.A与B之间没有关系
解析:由同时抛掷两枚硬币,知试验的样本空间为Ω={(正,正),(正,反),(反,正),
(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反),(反,正)},所以A B.
√
微点练明
2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,与事件“至少有1个白球”相等的事件是 ( )
A.全是红球 B.至少有1个红球
C.至多有1个红球 D.1个红球,1个白球
解析:从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,若至少有1个白球,
则其包含的样本点是:1个白球1个红球,2个白球;至多有1个红球包含的样本点也是:1个白球1个红球,2个白球.
√
3.在掷骰子试验中,可以得到以下事件:
A:{出现1点};B:{出现2点};C:{出现3点};D:{出现4点};E:{出现5点};F:{出现6点};G:{出现的点数不大于1};H:{出现的点数小于5};I:{出现奇数点};J:{出现偶数点}.
请判断下列事件的关系:
(1)B_____H;(2)D _____ J;(3)E _____ I;(4)A _____ G.
=
解析:因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B H;同理D J,E I;易知事件A与事件G相等,即A=G.
逐点清(二) 事件的运算
02
多维理解
项目 定义 符号 图示
并事件 (或和事件) 一般地,事件A与事件B______有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,则称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A+B)
至少
续表
交事件 (或积事件) 一般地,事件A与事件B______发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,则称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) ________ ________
A∩B
(或AB)
同时
1.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示 ( )
A.全部击中 B.至少击中1发
C.都未击中 D.击中3发
解析:A=A1∪A2∪A3表示击中1发或2发或3发,即至少击中1发.
√
微点练明
2.(多选)某篮球运动员进行投篮训练,连续投篮两次,设事件A表示随机事件“两次都投中”,事件B表示随机事件“两次都未投中”,事件C表示随机事件“恰有一次投中”,事件D表示随机事件“至少有一次投中”,则下列关系正确的是 ( )
A.A D B.B∩D=
C.A∪B=B∪D D.A∪C=D
√
√
√
解析:事件D表示“至少有一次投中”,即表示“两次都投中或恰有一次投中”,事件A表示“两次都投中”,故A D,故A正确;事件B和事件D是对立事件,故B∩D= ,故B正确;事件A∪B表示“两次都投中或两次都未投中”,而事件B∪D表示“两次都未投中、两次都投中或恰有一次投中”,故C错误;事件A∪C表示“两次都投中或恰有一次投中”,故A∪C=D,故D正确.
3.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}.
求:(1)事件D与A,B是怎样的运算关系
解:事件D包含的样本点为(1个红球2个白球),(2个红球1个白球),故D=A∪B.
(2)事件C与A的交事件是什么事件
解:事件C包含的样本点为(1个红球2个白球),(2个红球1个白球),(3个红球),故C∩A=A.
(3)设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与B,E分别是什么运算关系 C与F的交事件是什么事件
解:事件C包含的样本点为(1个红球2个白球),(2个红球1个白球),(3个红球),故B C,E C.而事件F包含的样本点为(1个白球2个红球),(2个白球1个红球),
(3个白球),所以C∩F={3个球中有1个红球2个白球或2个红球1个白球}=D.
逐点清(三) 互斥事件与对立事件
03
多维理解
1.互斥事件
定义 一般地,如果事件A与事件B__________发生,也就是说________是一个不可能事件,即A∩B=___,则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义 A与B不能同时发生
符号表示 ___________
图形表示
不能同时
A∩B
A∩B=
2.对立事件
定义 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且__________,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为
含义 A与B有且仅有一个发生
符号表示 _________,_________
图形表示
A∩B=
A∩B=
A∪B=Ω
1.(多选)从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品有次品,但不全是次品},则下列结论正确的是 ( )
A.A与C互斥 B.B与C互斥
C.任何两个都互斥 D.A与B对立
√
微点练明
√
√
解析:由题意可知,C={3件产品有次品,但不全是次品},包含“1件次品2件正品”“2件次品1件正品”两个样本点,A={3件产品全不是次品}={3件产品全是正品},B={3件产品全是次品},由此知,A与C互斥,B与C互斥,A与B互斥,故A、B、C正确;由于样本空间中还包含“1件次品2件正品”
“2件次品1件正品”两个样本点,故A与B不对立,故D错误.
2.某人射击一次,设事件A为“击中环数小于4”,事件B为“击中环数大于4”,事件C为“击中环数不小于4”,事件D为“击中环数大于0且小于4”,则正确的关系是 ( )
A.A与B互为对立 B.B与C互斥
C.C与D互为对立 D.B与D互斥
解析:A与B互斥但不对立,故A错误;B和C能同时发生,不是互斥事件,故B错误;C与D是互斥事件,故C错误;B与D为互斥事件,故D正确.
√
3.如图,甲、乙两个元件串联构成一段电路,事件M=“甲元件故障”,
N=“乙元件故障”,则表示该段电路没有故障的事件为 ( )
A.M∪N B.M∩N
C.∪ D.∩
解析:因为甲、乙两个元件串联,线路没有故障,即甲、乙都没有故障,所以事件和同时发生,即∩事件发生.
√
4.“韦神”数学兴趣小组有4名男生和2名女生,从中任选2名同学参加数学公式推导比赛,下列各对事件互斥而不对立的是 ( )
A.至少有1名男生与全是男生
B.至少有1名男生与全是女生
C.恰有1名男生与恰有2名男生
D.至少有1名男生与至少有1名女生
√
解析:事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,故A错误;事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,与事件全是女生是互斥、对立事件,故B错误;事件恰有1名男生指恰有1名男生和1名女生,与事件恰有2名男生是互斥事件,但不是对立事件,故C正确;事件至少有1名男生包括恰有1名男生和全是男生两种情况,事件至少有1名女生包括恰有1名女生和全是女生两种情况,两个事件有交事件恰有1名男生和1名女生,故D错误.
课时跟踪检测
04
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1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A“所取的3个球中至多有1个白球”,则与事件A互斥的事件是 ( )
A.所取的3个球中至少有一个白球
B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C.所取的3个球都是黑球
D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
√
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解析:从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”,事件A的互斥事件是所取的3个球中多于1个白球,∵白球共有2个,∴事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球.故选B.
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2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 ( )
A.A B
B.A=B
C.A+B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3
解析:由题意,可知A={1,2},B={2,3},则AB={2},A+B={1,2,3},∴A+B表示向上的点数为1或2或3.
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3.设A,B为两事件,则(A∪B)(∪)表示( )
A.必然事件 B.不可能事件
C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生
解析:∵A∪B表示事件A,B至少有1个发生,∪表示事件A,B至少有一个不发生,∴(A∪B)(∪)表示A与B恰有一个发生.
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4.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,若“这2个数的和大于4”为事件A,“这2个数的和为偶数” 为事件B,则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为 ( )
A.1,6 B.4,2
C.5,1 D.6,1
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解析:从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}.其中事件A包含的样本点有(1,4),
(2,3),(2,4),(3,4),共4个,事件B包含的样本点有(1,3),(2,4),共2个.所以事件A∪B包含的样本点有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个,事件A∩B包含的样本点只有一个(2,4).
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5.(多选)某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列事件是互斥事件的是 ( )
A.“恰有一名男生”和“全是男生”
B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C.“至少有一名男生”和“全是男生”
D.“至少有一名男生”和“全是女生”
√
√
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解析:A是互斥事件,恰有一名男生的实质是选出的两人中有一名男生和一名女生,它与全是男生不可能同时发生;B不是互斥事件,当选出的两人是一男一女时,“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同时发生;C不是互斥事件;D是互斥事件.
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6.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 ( )
A.一个是5点,另一个是6点
B.一个是5点,另一个是4点
C.至少有一个是5点或6点
D.至多有一个是5点或6点
解析:同时抛掷甲、乙两枚骰子,可能出现的结果共有36个,“都不是5点且不是6点”包含16个,其对立事件是“至少有一个是5点或6点”.
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7.在某大学的学生中任选一名学生,若事件A表示被选学生是男生,事件B表示该生是大三学生,事件C表示该生是运动员,则事件AB的含义是_____________________________.
解析:A表示男生,AB表示大三男生,AB表示大三男生且该生不是运动员.
该生是大三男生,但不是运动员
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8.同时掷两枚骰子,两枚骰子的点数之和是2,3,4,…,11,12中的一个.记事件A为“点数之和是2,4,7,12”,事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”,事件C为“点数之和大于8”,则事件“点数之和为2或4”可记为____________.
解析:∵事件A={2,4,7,12},事件B={2,4,6,8,10,12},∴A∩B={2,4,12}.又C={9,10,11,12},∴A∩B∩={2,4}.
A∩B∩
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9.从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数,事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字,则事件A∩B用样本点表示为 .
{10,20,30,40,50,32,42,52,54}
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解析:从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数,所有的样本点为10,12,13,14,15,20,21,23,24,25,30,31,32,34,35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54,共25个,则事件A={10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54},
事件B={10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54},
故事件A∩B用样本点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54}.
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10.如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”,用B,C,D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”,则A=____________________________________________.(用B,C,
D间的运算关系式表示)
(BC)∪(BD)(或(BC)+(BD)或B∩(C∪D)或B(C+D))
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解析:要使电灯变亮,则开关Ⅰ必须闭合,且开关Ⅱ和Ⅲ至少有一个闭合,即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”,用符号表示B∩(C∪D)或B(C+D);也可分类讨论,即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合,即事件BC发生或事件BD发生,用符号表示为(BC)∪(BD)或(BC)+(BD).
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11.(15分)连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}.
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(1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;
解:由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},
事件B={(1,3),(2,2),(3,1)},
事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},
事件D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}.
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(2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
解:E=B∪C.
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12.(17分)某班要进行一次辩论比赛,现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组,每组3人.考虑甲组的人员组成情况,记事件Ak=“甲组有k名女生”.
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(1)事件A1含有多少个样本点
解:用1,2,3,4表示4名男生,用a,b表示2名女生,因为事件A1=“甲组有1名女生”,所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),
(2,4,b),(3,4,a),(3,4,b)},共含12个样本点.
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(2)若事件B=“甲组至少有一名女生”,则事件B与事件Ak有怎样的运算关系
解:事件B=“甲组至少有一名女生”,其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生,所以B=A1∪A2.
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(3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系
解:因为A2与A0∪A1是对立事件,所以=A0∪A1,
所以∪A0=A0∪A1,所以事件A2与事件∪A0是对立事件.
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13.(18分)一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2),2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”.
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(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;
解:用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次摸到的球的标号,
所以试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},
事件R={(1,2),(2,1)},事件G={(3,4),(4,3)},事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)},
事件N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}.
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(2)写出事件R与G,M与N之间的关系;
解:由(1)知,R∩G= ,而R∪G ?Ω,所以事件R,G互斥,不对立.
M∩N= ,M∪N=Ω,所以事件M,N互为对立事件. (
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.
解:由(1)知,R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件.课时跟踪检测(五十) 事件的关系和运算
(满分100分，选填小题每题5分)
1．从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，若事件A“所取的3个球中至多有1个白球”，则与事件A互斥的事件是( )
A．所取的3个球中至少有一个白球
B．所取的3个球中恰有2个白球1个黑球
C．所取的3个球都是黑球
D．所取的3个球中恰有1个白球2个黑球
2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
3．设A，B为两事件，则(A∪B)(∪)表示( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．A与B恰有一个发生 D．A与B不同时发生
4．从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件B，则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为( )
A．1,6 B．4,2
C．5,1 D．6,1
5．(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列事件是互斥事件的是( )
A．“恰有一名男生”和“全是男生”
B．“至少有一名男生”和“至少有一名女生”
C．“至少有一名男生”和“全是男生”
D．“至少有一名男生”和“全是女生”
6．同时抛掷两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为( )
A．一个是5点，另一个是6点
B．一个是5点，另一个是4点
C．至少有一个是5点或6点
D．至多有一个是5点或6点
7．在某大学的学生中任选一名学生，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是大三学生，事件C表示该生是运动员，则事件AB的含义是________.
8．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和是2,3，4，…，11,12中的一个．记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为__________.
9．从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数．事件A表示组成的两位数是偶数，事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字，则事件A∩B用样本点表示为________________.
10.如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路．用A表示事件“电灯变亮”，用B，C，D依次表示“开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”，则A＝________.(用B，C，D间的运算关系式表示)
11．(15分)连续抛掷两枚骰子，观察落地时的点数．记事件A＝{两次出现的点数相同}，事件B＝{两次出现的点数之和为4}，事件C＝{两次出现的点数之差的绝对值为4}，事件D＝{两次出现的点数之和为6}．
(1)用样本点表示事件C∩D，A∪B；
(2)若事件E＝{(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(5,1)，(6,2)}，则事件E与已知事件是什么运算关系？
12.(17分)某班要进行一次辩论比赛，现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组，每组3人．考虑甲组的人员组成情况，记事件Ak＝“甲组有k名女生”．
(1)事件A1含有多少个样本点？
(2)若事件B＝“甲组至少有一名女生”，则事件B与事件Ak有怎样的运算关系？
(3)判断事件A2与事件2∪A0是什么关系？
13．(18分)一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
(1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
(2)写出事件R与G，M与N之间的关系；
(3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.
课时跟踪检测(五十)
1．选B 从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球，事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”，事件A的互斥事件是所取的3个球中多于1个白球，∵白球共有2个，∴事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球．故选B.
2．选C 由题意，可知A＝{1,2}，B＝{2,3}，则AB＝{2}，A＋B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.
3．选C ∵A∪B表示事件A，B至少有1个发生，∪表示事件A，B至少有一个不发生，
∴(A∪B)(∪)表示A与B恰有一个发生．
4．选C 从1,2,3,4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．
其中事件A包含的样本点有(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共4个，
事件B包含的样本点有(1,3)，(2,4)，共2个．
所以事件A∪B包含的样本点有(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共5个，事件A∩B包含的样本点只有一个(2,4)．
5．选AD A是互斥事件，恰有一名男生的实质是选出的两人中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；B不是互斥事件，当选出的两人是一男一女时，“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同时发生；C不是互斥事件；D是互斥事件．
6．选C 同时抛掷甲、乙两枚骰子，可能出现的结果共有36个，“都不是5点且不是6点”包含16个，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”．
7．解析：A表示男生，AB表示大三男生，
AB表示大三男生且该生不是运动员．
答案：该生是大三男生，但不是运动员
8．解析：∵事件A＝{2,4,7,12}，事件B＝{2,4,6,8,10,12}，∴A∩B＝{2,4,12}．又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩＝{2,4}．
答案：A∩B∩
9．解析：从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数，所有的样本点为10,12,13,14,15,20,21,23,24,25,30,31,32,34,35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54，共25个，
则事件A＝{10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54}，
事件B＝{10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54}，
故事件A∩B用样本点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54}．
答案：{10,20,30,40,50,32,42,52,54}
10．解析：要使电灯变亮，则开关Ⅰ必须闭合，且开关Ⅱ和Ⅲ至少有一个闭合，即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”，用符号表示为B∩(C∪D)或B(C＋D)；也可分类讨论，即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合，即事件BC发生或事件BD发生，用符号表示为(BC)∪(BD)或(BC)＋(BD)．
答案：(BC)∪(BD)(或(BC)＋(BD)或B∩(C∪D)或B(C＋D))
11．解：由题意得，事件A＝{(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}，事件B＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}，事件C＝{(1,5)，(2,6)，(5,1)，(6,2)}，事件D＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(1)C∩D＝{(1,5)，(5,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)}．
(2)E＝B∪C.
12．解：(1)用1,2,3,4表示4名男生，用a，b表示2名女生，因为事件A1＝“甲组有1名女生”，所以A1＝{(1,2，a)，(1,2，b)，(1,3，a)，(1,3，b)，(1,4，a)，(1,4，b)，(2,3，a)，(2,3，b)，(2,4，a)，(2,4，b)，(3,4，a)，(3,4，b)}，共含12个样本点．
(2)事件B＝“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生，所以B＝A1∪A2.
(3)因为A2与A0∪A1是对立事件，所以2＝A0∪A1，所以2∪A0＝A0∪A1，所以事件A2与事件2∪A0是对立事件．
13．解：(1)用数组(x1，x2)表示可能的结果，x1是第一次摸到的球的标号，x2是第二次摸到的球的标号，
所以试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)}，
事件R＝{(1,2)，(2,1)}，事件G＝{(3,4)，(4，3)}，事件M＝{(1,2)，(2,1)，(3,4)，(4,3)}，
事件N＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(4,1)，(3,2)，(4,2)}．
(2)由(1)知，R∩G＝ ，而R∪G?Ω，所以事件R，G互斥，不对立．
M∩N＝ ，M∪N＝Ω，所以事件M，N互为对立事件．
(3)由(1)知，R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件．
