10．1.3 古典概型
第 1 课时 古典概型—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．理解古典概型的概念及特征，能判断随机试验是不是古典概型．
2．掌握利用古典概型概率公式，并能利用公式解决简单的概率计算问题．
1．事件的概率
对随机事件发生可能性大小的____________称为事件的概率，事件A的概率用P(A)表示．
2．古典概型的定义
试验的样本点及样本空间具有如下共同特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有________个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性________．
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
3．古典概型的概率计算公式
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝________＝________.其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．
|微|点|助|解|
(1)概率度量了随机事件发生的可能性的大小，是对随机事件统计规律性的数量刻画．
(2)若试验不是古典概型，则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率．
(3)计算古典概型概率的关键是求样本点总数n和所求事件包含的样本点个数m.
(4)由于观察的角度不同，样本点的个数可能也不同，因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上，否则会引起混淆并导致错误．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点．( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等．( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的．( )
(4)用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点，此点小于2”的概率．( )
2．下列试验中，属于古典概型的是( )
A．种下一粒种子，观察它是否发芽
B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d
C．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面
D．某人射击中靶或不中靶
3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为( )
A. B.
C. D．1
题型(一) 古典概型的判断
[例1] (多选)下列是古典概型的有( )
A．从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小
B．同时掷两颗质地均匀的骰子，点数和为7的概率
C．近三天中有一天降雨的概率
D．10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率
听课记录：
判断一个试验是古典概型的依据及步骤
(1)判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可．
(2)判断一个试验是古典概型的步骤
①明确试验及其结果．
②判断所有结果(样本点)是否有限．
③判断有限个结果是否等可能出现，这需要有日常生活的经验．另外，题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言． |思|维|建|模|
[针对训练]
1．下列问题中是古典概型的是( )
A．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率
B．掷一枚质地不均匀的骰子，求掷出1点的概率
C．在区间[1,4]上任取一数，求这个数大于1.5的概率
D．同时掷两枚质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率
题型(二) 简单的古典概型的概率计算
[例2] 袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：
(1)A：取出的两球都是白球；
(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．
听课记录：
|思|维|建|模| 求解古典概型的概率“四步”法
[针对训练]
2．(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生，其中高一、 高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为( )
A. B. C. D.
3．某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格，质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听，求检测出不合格产品的概率．
题型(三) 较复杂的古典概型的概率计算
[例3] 先后抛掷两枚质地均匀的骰子．
(1)求点数之和为7的概率；
(2)求掷出两个4点的概率；
(3)求点数之和能被3整除的概率．
听课记录：
|思|维|建|模|
在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便．
[针对训练]
4．有A，B，C，D四位贵宾，应分别坐在a，b，c，d四个席位上．现在这四人均未留意，在四个席位上随便就座．
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率；
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率；
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率．
第1课时 古典概型
?课前预知教材
1．度量(数值) 2.(1)有限 (2)相等
3.
[基础落实训练]
1．(1)× (2)√ (3)√ (4)× 2.C
3．选C 从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选ABD 古典概型的特征：①试验中所有可能发生的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等．显然A、B、D符合古典概型的特征，所以A、B、D是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型．
[针对训练]
1．选D A、B两项中的样本点的出现不是等可能的；C项中样本点的个数是无限多个；D项中样本点的出现是等可能的，且是有限个．故选D.
[题型(二)]
[例2] 解：设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．
(1)因为A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝＝＝.
(2)因为B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，所以n(B)＝8，从而P(B)＝＝.
[针对训练]
2．选D 记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的样本点有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P＝＝，故选D.
3．解：合格的4听分别记作：1,2,3,4，不合格的2听分别记作：a，b，只要检测的2听有1听不合格的，就表示检测出了不合格产品．依次不放回的取2听饮料共有如下30个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1，a)，(1，b)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2，a)，(2，b)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3，a)，(3，b)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4，a)，(4，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a，b)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b，a)．其中含有不合格产品的情况有(1，a)，(1，b)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(4，a)，(4，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a,4)，(a，b)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b,4)，(b，a)，共18种；
所以检测出不合格产品的概率为P＝＝0.6.
[题型(三)]
[例3] 解：
如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等．
(1)记“点数之和为7”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的样本点共有6个，分别为(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)，故P(A)＝＝.
(2)记“掷出两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的样本点只有1个，即(4,4)，故P(B)＝.
(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的样本点共12个，分别为(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6，3)，(4,5)，(5,4)，(6,6)，故P(C)＝＝.
[针对训练]
4．解：将A，B，C，D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来．
由图可知，所有的等可能样本点共有24个．
(1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件M包含1个样本点，所以P(M)＝.
(2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件N包含9个样本点，所以P(N)＝＝.
(3)设事件S为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件S包含8个样本点，所以P(S)＝＝.(共51张PPT)
10.1.3
古典概型
古典概型
（教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学）
第1课时
课时目标
1.理解古典概型的概念及特征,能判断随机试验是不是古典概型.
2.掌握利用古典概型概率公式,并能利用公式解决简单的概率计算问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.事件的概率
对随机事件发生可能性大小的___________称为事件的概率,事件A的概率用P(A)表示.
2.古典概型的定义
试验的样本点及样本空间具有如下共同特征:
(1)有限性:样本空间的样本点只有______个;
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性_______.
度量(数值)
有限
相等
我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典概型.
3.古典概型的概率计算公式
一般地,设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)=___=______.其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
|微|点|助|解|
(1)概率度量了随机事件发生的可能性的大小,是对随机事件统计规律性的数量刻画.
(2)若试验不是古典概型,则不能用古典概型的概率公式计算某事件发生的概率.
(3)计算古典概型概率的关键是求样本点总数n和所求事件包含的样本点个数m.
(4)由于观察的角度不同,样本点的个数可能也不同,因此样本点总个数和事件A包含的样本点个数的计算必须站在同一角度上,否则会引起混淆并导致错误.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)任何一个事件都是一个样本点. ( )
(2)古典概型中每一个样本点出现的可能性相等. ( )
(3)古典概型中的任何两个样本点都是互斥的. ( )
(4)用古典概型的概率公式可求“在线段[0,5]上任取一点,此点小于2”的概率. ( )
×
√
√
×
2.下列试验中,属于古典概型的是 ( )
A.种下一粒种子,观察它是否发芽
B.从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根,测量其直径d
C.抛掷一枚硬币,观察其出现正面或反面
D.某人射击中靶或不中靶
√
3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为 ( )
A. B.
C. D.1
解析:从甲、乙、丙三人中任选两人有(甲,乙),(甲,丙),(乙,丙),共3种情况,其中甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 古典概型的判断
[例1] (多选)下列是古典概型的有 ( )
A.从6名同学中,选出4人参加数学竞赛,每人被选中的可能性的大小
B.同时掷两颗质地均匀的骰子,点数和为7的概率
C.近三天中有一天降雨的概率
D.10个人站成一排,其中甲、乙相邻的概率
√
√
√
解析:古典概型的特征:①试验中所有可能发生的样本点只有有限个;②每个样本点发生的可能性相等.显然A、B、D符合古典概型的特征,所以A、B、D是古典概型;C选项,每天是否降雨受多方面因素影响,不具有等可能性,不是古典概型.
|思|维|建|模|
判断一个试验是古典概型的依据及步骤
(1)判断随机试验是否为古典概型,关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性,二者缺一不可.
(2)判断一个试验是古典概型的步骤
①明确试验及其结果.
②判断所有结果(样本点)是否有限.
③判断有限个结果是否等可能出现,这需要有日常生活的经验.另外,题目中“完全相同”“任取”等是表示等可能的语言.
1.下列问题中是古典概型的是 ( )
A.种下一粒杨树种子,求其能长成大树的概率
B.掷一枚质地不均匀的骰子,求掷出1点的概率
C.在区间[1,4]上任取一数,求这个数大于1.5的概率
D.同时掷两枚质地均匀的骰子,求向上的点数之和是5的概率
解析:A、B两项中的样本点的出现不是等可能的;C项中样本点的个数是无限多个;D项中样本点的出现是等可能的,且是有限个.故选D.
√
针对训练
题型(二) 简单的古典概型的概率计算
[例2] 袋中有6个大小质地完全相同的球,其中4个白球,2个红球,从袋中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)A:取出的两球都是白球;
解:设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)},共有15个样本点.因为A={(1,2),(1,3),(1,4),
(2,3),(2,4),(3,4)},所以n(A)=6,从而P(A)===.
(2)B:取出的两球一个是白球,另一个是红球.
解:因为B={(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6)},所以n(B)=8,从而P(B)==.
|思|维|建|模|
求解古典概型的概率“四步”法
2.(2023·全国甲卷)某校文艺部有4名学生,其中高一、 高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,则这2名学生来自不同年级的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
针对训练
解析:记高一年级2名学生分别为a1,a2,高二年级2名学生分别为b1,b2,则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点有(a1,a2),(a1,b1),
(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(b1,b2),共6个,其中这2名学生来自不同年级的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),共4个,所以这2名学生来自不同年级的概率P==,故选D.
3.某种饮料每箱装6听,如果其中有2听不合格,质检人员依次不放回从某箱中随机抽出2听,求检测出不合格产品的概率.
解:合格的4听分别记作:1,2,3,4,不合格的2听分别记作:a,b,只要检测的2听有1听不合格的,就表示检测出了不合格产品.依次不放回的取2听饮料共有如下30个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(1,a),(1,b),(2,1),(2,3),(2,4),(2,a),
(2,b),(3,1),(3,2),(3,4),(3,a),(3,b),(4,1),(4,2),(4,3),(4,a),(4,b),(a,1),(a,2),(a,3),
(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a).
其中含有不合格产品的情况有(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b),
(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(b,a),共18种;
所以检测出不合格产品的概率为P==0.6.
题型(三) 较复杂的古典概型的概率计算
[例3] 先后抛掷两枚质地均匀的骰子.
(1)求点数之和为7的概率;
解:如图所示,从图中容易看出样本点与所描点一
一对应,共36个,且每个样本点出现的可能性相等.
记“点数之和为7”为事件A,从图中可以看出,事件
A包含的样本点共有6个,分别为(6,1),(5,2),(4,3),
(3,4),(2,5),(1,6),故P(A)==.
(2)求掷出两个4点的概率;
解:记“掷出两个4点”为事件B,从图中可以看出,事件B包含的样本点只有1个,即(4,4),故P(B)=.
(3)求点数之和能被3整除的概率.
解:记“点数之和能被3整除”为事件C,则事件C包含的样本点共12个,分别为(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6),故P(C)==.
|思|维|建|模|
在求概率时,若事件可以表示成有序数对的形式,则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示,即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数.故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观,更方便.
4.有A,B,C,D四位贵宾,应分别坐在a,b,c,d四个席位上.现在这四人均未留意,在四个席位上随便就座.
(1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的概率;
解:将A,B,C,D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来.
针对训练
由图可知,所有的等可能样本点共有24个.
设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”,则事件M包含1个样本点,所以P(M)=.
(2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的概率;
解:设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”,则事件N包含9个样本点,所以P(N)==.
(3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的概率.
解:设事件S为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”,则事件S包含8个样本点,所以P(S)==
课时跟踪检测
03
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3
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2
A级——达标评价
1.若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本,则随机抽出一本是故事书的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:样本点总数为10,“抽出一本是故事书”包含3个样本点,所以其概率为.
√
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2
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2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相同,数字之和为奇数的有4个样本点,所以所求概率为.
√
1
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4
2
3.标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张,从这5张卡片中随机抽取1张,不放回地再随机抽取1张,则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
1
5
6
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9
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14
3
4
2
解析:如图:
样本点的总数为20,其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的样本点个数是10个,故所求概率P==.故选A.
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2
4.如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数,从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),
(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)},共10个样本点,其中勾股数为(3,4,5),所以概率为.
√
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5.若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n)在直线x+y=8上的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:若连续抛两次骰子得到的点数分别是m,n,则点P(m,n)有6×6=36种可能,其中满足m+n=8,m,n∈{1,2,3,4,5,6}的数对有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),
(6,2),共5种可能,所以点P(m,n)在直线x+y=8上的概率是.故选C.
√
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2
6.某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课,则体育课不排在第一节的概率为 .
解析:我们不考虑语文、数学、历史排在第几节,只考虑体育的排法,体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节,共4个样本点,因此体育课不排在第一节的概率为.
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7.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率为 .
解析:从1,2,3,4中一次随机地取两个数,此试验的样本空间共有以下6种取法:(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).其中一个数是另一个数的两倍的共有(1,2),(2,4)两种.故所求概率为=.
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8.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等),则2名都是女同学的概率为 .
解析:用A,B,C分别表示三名男同学,用a,b,c分别表示三名女同学,则从6名同学中选出2人的所有选法为AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,
Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc,共15种.其中2名都是女同学的选法为ab,ac,bc,
共3种.故所求的概率为=.
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9.(12分)如图,数轴上O为原点,点A对应实数6,现从1,2,3,4,5中随机取出两个数,分别对应数轴上的点B,C(点B对应的实数小于点C对应的实数).
(1)记事件E为“线段OB的长小于等于2”,写出事件E的所有样本点;
解:事件E的样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5).
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(2)记事件F为“线段OB,BC,CA能围成一个三角形”,求事件F发生的概率.
解:样本空间为{(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},
其中事件F包含的样本点只有(2,4),所以事件F发生的概率P(F)=.
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10.(15分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为0的小球一个,标号为1的小球一个,标号为2的小球n个,已知从袋子中随机抽取一个小球,取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值;
解:依题意,袋子中共有n+2个小球,于是得=,解得n=2,所以n的值是2.
1
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(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球,记第一次取出的小球标号为a,第二次取出的小球标号为b,记事件A表示“a+b=2”,求事件A的概率.
解:由(1)记标号为2的两个小球为21,22,从袋子中不放回地随机抽取两个小球的所有结果有(0,1),(0,21),(0,22),(1,0),(21,0),(22,0),(1,21),(1,22),(21,1),
(22,1),(21,22),(22,21),共有12个,它们等可能,事件A含有的结果有(0,21),
(0,22),(21,0),(22,0),共4个结果,则P(A)==,所以事件A的概率是.
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B级——重点培优
11.(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列,则丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是( )
A. B.
C. D.
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解析:画出树状图:
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法,其中丙不在排头,且甲或乙在排尾的排法共有8种,所以所求概率为=.
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12.掷一个骰子,观察朝上的面的点数,设事件A=“点数为偶数”,事件B=“点数为3的倍数”,则 ( )
A.P(A)= B.P(B)=
C.A与B是互斥事件 D.A与B互为对立事件
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解析:掷骰子有点数为1,2,3,4,5,6六种结果,即Ω={1,2,3,4,5,6},事件A={2, 4, 6},B={3, 6},由古典概型的概率公式可得P(A)==,P(B)==,故A正确,B错误;又A∪B={2,3,4,6}≠Ω,A∩B={6},即事件A,B既不互斥也不对立.故C、D错误.故选A.
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13.如图所示,现有一只迷失方向的小青蛙在3处,它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处,跳动一次只能进入3处;若它在3处,则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处),则
它在第三次跳动后,首次进入5处的概率是 ( )
A. B. C. D.
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解析:由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为(3→1→3→1),
(3→1→3→2),(3→1→3→4),(3→1→3→5),(3→2→3→2),(3→2→3→1),
(3→2→3→4),(3→2→3→5),(3→4→3→4),(3→4→3→1),(3→4→3→2),
(3→4→3→5),(3→5→3→5),(3→5→3→1),(3→5→3→2),(3→5→3→4),
共16个,满足题意的样本点为(3→1→3→5),(3→2→3→5),(3→4→3→5),
共3个.由古典概型的概率计算公式可得,小青蛙在第三次跳动后,首次
进入5处的概率是.
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14.(15分)某县有特级教师6人,分别来自甲、乙、丙、丁四个学校,其中甲校教师记为A1,A2,乙校教师记为B1,B2,丙校教师记为C,丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成下届教师职称评审团,要求甲、乙、丙、丁四个学校中,每校至多选出1名.
(1)请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点;
解:从6名教师代表中选出3名教师组成评审团,组成人员的全部样本点分别为(A1,B1,C),(A1,B1,D),(A1,B2,C),(A1,B2,D),(A1,C,D),(A2,B1,C),(A2,B1,D),
(A2,B2,C),(A2,B2,D),(A2,C,D),(B1,C,D),(B2,C,D).
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(2)求教师A1被选中的概率;
解:在组成人员的全部样本点中,A1被选中的样本点有(A1,B1,C),(A1,B1,D),(A1,B2,C),
(A1,B2,D),(A1,C,D),共5个,所以教师A1被选中的概率为P=.
(3)求评审团中没有乙校教师代表的概率.
解:评审团中没有乙校教师代表的样本点有(A1,C,D),(A2,C,D),共2个,
所以评审团中没有乙校教师代表的概率为P==.课时跟踪检测(五十一) 古典概型
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为( )
A. B.
C. D.
2．4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( )
A. B.
C. D.
3．标有数字1,2,3,4,5的卡片各一张，从这5张卡片中随机抽取1张，不放回地再随机抽取1张，则抽取的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )
A. B.
C. D.
4．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A. B.
C. D.
5．若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点P(m，n)在直线x＋y＝8上的概率是( )
A. B.
C. D.
6．某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为________.
7．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为________.
8．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率为________.
9．(12分)如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1,2,3,4,5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C(点B对应的实数小于点C对应的实数)．
(1)记事件E为“线段OB的长小于等于2”，写出事件E的所有样本点；
(2)记事件F为“线段OB，BC，CA能围成一个三角形”，求事件F发生的概率.
10.(15分)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球一个，标号为1的小球一个，标号为2的小球n个，已知从袋子中随机抽取一个小球，取到标号是2的小球的概率是.
(1)求n的值；
(2)从袋子中不放回地随机抽取两个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b，记事件A表示“a＋b＝2”，求事件A的概率.
B级——重点培优
11．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是( )
A. B.
C. D.
12．掷一个骰子，观察朝上的面的点数，设事件A＝“点数为偶数”，事件B＝“点数为3的倍数”，则( )
A．P(A)＝ B．P(B)＝
C．A与B是互斥事件 D．A与B互为对立事件
13.
如图所示，现有一只迷失方向的小青蛙在3处，它每跳动一次可以等可能地进入相邻的任意一格(若它在5处，跳动一次只能进入3处；若它在3处，则跳动一次可以等可能地进入1,2,4,5处)，则它在第三次跳动后，首次进入5处的概率是( )
A. B.
C. D.
14．(15分)某县有特级教师6人，分别来自甲、乙、丙、丁四个学校，其中甲校教师记为A1，A2，乙校教师记为B1，B2，丙校教师记为C，丁校教师记为D.现从这6名教师代表中选出3名教师组成下届教师职称评审团，要求甲、乙、丙、丁四个学校中，每校至多选出1名．
(1)请列出教师职称评审团组成人员的全部样本点；
(2)求教师A1被选中的概率；
(3)求评审团中没有乙校教师代表的概率.
课时跟踪检测(五十一)
1．选B 样本点总数为10，“抽出一本是故事书”包含3个样本点，所以其概率为.
2．选C 试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相同，数字之和为奇数的有4个样本点，所以所求概率为.
3．选A 如图：
样本点的总数为20，其中第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包括的样本点个数是10个，故所求概率P＝＝.故选A.
4．选A 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数的样本空间Ω＝{(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3，5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共10个样本点，其中勾股数为(3,4,5)，所以概率为.
5．选C 若连续抛两次骰子得到的点数分别是m，n，则点P(m，n)有6×6＝36种可能，其中满足m＋n＝8，m，n∈{1,2,3,4,5,6}的数对有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5种可能，所以点P(m，n)在直线x＋y＝8上的概率是.故选C.
6．解析：我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为.
答案：
7．解析：从1,2,3,4中一次随机地取两个数，此试验的样本空间共有以下6种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．其中一个数是另一个数的两倍的共有(1,2)，(2,4)两种．故所求概率为＝.
答案：
8．解析：用A，B，C分别表示三名男同学，用a，b，c分别表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc，共15种．其中2名都是女同学的选法为ab，ac，bc，共3种．故所求的概率为＝.
答案：
9．解：(1)事件E的样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)．
(2)样本空间为{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}，
其中事件F包含的样本点只有(2,4)，
所以事件F发生的概率P(F)＝.
10．解：(1)依题意，袋子中共有n＋2个小球，于是得＝，解得n＝2，所以n的值是2.
(2)由(1)记标号为2的两个小球为21,22，从袋子中不放回地随机抽取两个小球的所有结果有(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(21,0)，(22,0)，(1,21)，(1,22)，(21,1)，(22,1)，(21,22)，(22,21)，共有12个，它们等可能，事件A含有的结果有(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个结果，则P(A)＝＝，所以事件A的概率是.
11．选B 画出树状图：
甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，所以所求概率为＝.
12．选A 掷骰子有点数为1,2,3,4,5,6六种结果，即Ω＝{1,2,3,4,5,6}，事件A＝{2, 4, 6}，B＝{3, 6}，由古典概型的概率公式可得P(A)＝＝，P(B)＝＝，故A正确，B错误；又A∪B＝{2,3,4,6}≠Ω，A∩B＝{6}，即事件A，B既不互斥也不对立．故C、D错误．故选A.
13．选A 由题意可知小青蛙三次跳动后的所有样本点为(3―→1―→3―→1)，(3―→1―→3―→2)，(3―→1―→3―→4)，(3―→1―→3―→5)，(3―→2―→3―→2)，(3―→2―→3―→1)，(3―→2―→3―→4)，(3―→2―→3―→5)，(3―→4―→3―→4)，(3―→4―→3―→1)，(3―→4―→3―→2)，(3―→4―→3―→5)，(3―→5―→3―→5)，(3―→5―→3―→1)，(3―→5―→3―→2)，(3―→5―→3―→4)，共16个，满足题意的样本点为(3―→1―→3―→5)，(3―→2―→3―→5)，(3―→4―→3―→5)，共3个．
由古典概型的概率计算公式可得，小青蛙在第三次跳动后，首次进入5处的概率是.
14．解：(1)从6名教师代表中选出3名教师组成评审团，组成人员的全部样本点分别为
(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，(A2，B1，C)，(A2，B1，D)，(A2，B2，C)，(A2，B2，D)，(A2，C，D)，(B1，C，D)，(B2，C，D)．
(2)在组成人员的全部样本点中，A1被选中的样本点有(A1，B1，C)，(A1，B1，D)，(A1，B2，C)，(A1，B2，D)，(A1，C，D)，共5个，
所以教师A1被选中的概率为P＝.
(3)评审团中没有乙校教师代表的样本点有(A1，C，D)，(A2，C，D)，共2个，
所以评审团中没有乙校教师代表的概率为
P＝＝.
