第2课时 古典概型的综合问题
—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
题型(一) “放回”与“不放回”问题
[例1] 班级新年晚会设置抽奖环节．不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1,2,3)，黄球2个(编号为4,5)，有如下两种方案可供选择：
方案一：一次性抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案二：依次无放回地抽取2个球，若颜色相同，则获得奖品；
方案三：依次有放回地抽取2个球，若编号的数字之和大于5，则获得奖品．
(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点；
(2)哪种方案获得奖品的可能性更大？并说明理由．
听课记录：
|思|维|建|模|
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．
(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b1)，(b1，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．
[针对训练]
1．从两个白球(记为B1和B2)和两个黑球(记为G1和G2)这四个球中依次选取两个小球．
(1)分别写出“有放回、不放回”方式选取的样本空间；
(2)求“有放回”方式选取一个白球和一个黑球的概率．
题型(二) 古典概型的实际应用问题
[例2] 某超市计划购进1 000 kg苹果，采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱(每箱20 kg)统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格：
项目 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 第6箱 第7箱 第8箱 第9箱 第10箱
烂果个数 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
假设在一箱苹果中没有烂果，则该箱的价格为120元，若出现一个烂果，则该箱的价格为110元．
(1)以样本估计总体，试问采购员购进1 000 kg苹果需要多少元？
(2)若采购员检查完前3箱(即第1～3箱)苹果后，从剩下的7箱中任选2箱，这2箱都没有烂果，就按照每箱120元的价格购进1 000 kg苹果，求采购员按照这个价格采购苹果的概率．
听课记录：
解决与古典概型交汇的问题时，应明确相关事件，列举样本点，然后利用古典概型的概率计算公式求解． |思|维|建|模|
[针对训练]
2．某著名小吃店高峰时段面临用餐排队问题，店主打算扩充店面，为了确定扩充的面积大小，店主随机抽查了过去若干天内高峰时段的用餐人数，所得数据统计如图所示．
(1)求高峰时段用餐人数的平均数以及方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)现用分层随机抽样的方法从高峰时段用餐人数在[30,40]的天数中随机抽取5天，再从这5天中随机抽取3天，求至少有2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的概率．
题型(三) 古典概型与其他知识相结合
[例3] (1)已知向量a＝(x＋1,1)，b＝(－8，x2＋15)，在集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x，则a⊥b的概率为( )
A. B.
C. D.
(2)从sin，sin，cos，sin，cos这五个式子中任取两个，则这两个式子的值不相等的概率为( )
A. B.
C. D.
听课记录：
|思|维|建|模|
对于涉及方程、函数的概率问题，解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数．解决此类问题只需表示出方程(组)的解，利用函数知识找出满足条件的情况，从而确定样本点的个数，再利用古典概型的概率计算．
[针对训练]
3．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，则A∩B＝B的概率是( )
A. B. C. D．1
4．在区间(－1,5)与(1,5)内各随机取1个整数，设两数之和为M，则log2M>2成立的概率为( )
A. B. C. D.
第2课时 古典概型的综合问题
[题型(一)]
[例1] 解：(1)记1,2,3号红球分别为A1，A2，A3,4,5号黄球分别为B1，B2，
按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10个；
按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A1)，(A3，A2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，A1)，(B1，A2)，(B1，A3)，(B1，B2)，(B2，A1)，(B2，A2)，(B2，A3)，(B2，B1)，共20个．
(2)方案一中，设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”，则事件A包含(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(B1，B2)，共4个样本点，故P(A)＝＝；
方案二中，设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”，则事件B包含(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A1)，(A2，A3)，(A3，A1)，(A3，A2)，(B1，B2)，(B2，B1)，共8个样本点，故P(B)＝＝；
方案三中，设两次抽查取的球所标的数字分别为x，y，则所有可能发生的事件对应的二元有序数组(x，y)表示如下表，共25个样本点，
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
在方案三中，设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”，则事件C包含(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，共15个样本点，故P(C)＝＝；
因为P(A)＝P(B)
[针对训练]
1．解：(1)有放回选取的样本空间：
{(B1，B1)，(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，B2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G1)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)，(G2，G2)}．
不放回选取的样本空间：{(B1，B2)，(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，B1)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G1，G2)，(G2，B1)，(G2，B2)，(G2，G1)}．
(2)根据(1)中所求，有放回选取的可能性有16种，
其中满足要求的可能性有如下8种(B1，G1)，(B1，G2)，(B2，G1)，(B2，G2)，(G1，B1)，(G1，B2)，(G2，B1)，(G2，B2)．
又有放回的选取的每种情况都是等概率的，故根据古典概率的概率计算公式可得，满足题意的概率为＝.
[题型(二)]
[例2] 解：(1)由题表可知，这10箱苹果中，没有烂果的有7箱，出现一个烂果的有3箱，
所以这10箱苹果的价格为120×7＋110×3＝1 170元．
故采购员购进1 000 kg苹果需要1 170×＝5 850元．
(2)设第i(i＝4,5,6,7,8,9,10)箱分别记为A，B，C，D，E，F，G(其中A，F，G这3箱各有一个烂果)，
从7箱中任选2箱，所有的情况为(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(A，G)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(B，G)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(C，G)，(D，E)，(D，F)，(D，G)，(E，F)，(E，G)，(F，G)，共21种，其中没有A，F，G的有6种情况，
故采购员按照这个价格采购苹果的概率为＝.
[针对训练]
2．解：(1)由频率分布直方图得＝22.5×0.1＋27.5×0.4＋32.5×0.3＋37.5×0.2＝30.5，
∴s2＝(22.5－30.5)2×0.1＋(27.5－30.5)2×0.4＋(32.5－30.5)2×0.3＋(37.5－30.5)2×0.2＝6.4＋3.6＋1.2＋9.8＝21.
(2)∵用餐人数在[30,35)对应的频率为0.3，在[35,40]对应的频率为0.2，∴5天中，用餐人数在[30,35)的天数为3天，可记为a，b，c，在[35,40]的天数为2天，可记为A，B，则任取3天，所有的情况有(a，b，c)，(a，b，A)，(a，b，B)，(a，c，A)，(a，c，B)，(a，A，B)，(b，c，A)，(b，c，B)，(b，A，B)，(c，A，B)，共10种，其中至少2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的情况有(a，b，c)，(a，b，A)，(a，b，B)，(a，c，A)，(a，c，B)，(b，c，A)，(b，c，B)，共7种，
故至少有2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的概率为.
[题型(三)]
[例3] 解析：(1)当a⊥b时，a·b＝－8(x＋1)＋x2＋15＝x2－8x＋7＝0，解得x＝1或x＝7.
所以集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x，则a⊥b的概率为.
(2)因为sin＝sin＝sin，
cos＝cos＝sin，
所以sin＝cos＝sin；
cos＝cos＝sin.
记sin，sin，cos，sin，
cos这五个式子依次为a，b，c，d，e，则从五个式子中任取两个的样本点有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，共10个，其中这两个式子的值不相等的样本点有(a，b)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(c，e)，(d，e)，共6个．
记A＝“这两个式子的值不相等”，
所以P(A)＝＝.
答案：(1)A (2)C
[针对训练]
3．选C 因为a∈A，b∈A，所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如表所示).
a b 1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)
因为A∩B＝B，所以B可能为 ，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．
当B＝ 时，a2－4b＜0，满足条件的a，b为a＝1，b＝1,2,3；a＝2，b＝2,3；a＝3，b＝3；
当B＝{1}时，满足条件的a，b为a＝2，b＝1；
当B＝{2}，{3}时，没有满足条件的a，b；
当B＝{1,2}时，满足条件的a，b为a＝3，b＝2；
当B＝{2,3}，{1,3}时，没有满足条件的a，b.
综上，符合条件的结果有8种．
故所求概率为.
4．选A 设从区间(－1,5)，(1,5)中随机取出的整数分别为x，y，则样本空间为Ω＝{(0,2)，(1,2)，(2,2)，(3,2)，(4,2)，(0,3)，(1,3)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(0,4)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)}，共15种情况，不等式log2M>2等价于M>4，设事件A表示log2M>2，则A＝{(3,2)，(4,2)，(2,3)，(3,3)，(4,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，(4,4)}，共9种情况，所以P(A)＝＝.(共53张PPT)
古典概型的综合问题
（教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学）
第2课时
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) “放回”与“不放回”问题
题型(二) 古典概型的实际应用问题
题型(三) 古典概型与其他知识相结合
4
课时跟踪检测
题型(一)
“放回”与“不放回”问题
01
[例1] 班级新年晚会设置抽奖环节.不透明纸箱中有大小、质地相同的红球3个(编号为1,2,3),黄球2个(编号为4,5),有如下两种方案可供选择:
方案一:一次性抽取2个球,若颜色相同,则获得奖品;
方案二:依次无放回地抽取2个球,若颜色相同,则获得奖品;
方案三:依次有放回地抽取2个球,若编号的数字之和大于5,则获得奖品.
(1)分别写出按方案一和方案二抽奖的所有样本点;
解:记1,2,3号红球分别为A1,A2,A3,4,5号黄球分别为B1,B2,
按方案一一次性抽取2个球的所有样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),
(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,B2),共10个;
按方案二依次无放回地抽取2个球的所有样本点为(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),
(A1,B2),(A2,A1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A3,A1),(A3,A2),(A3,B1),(A3,B2),(B1,A1),
(B1,A2),(B1,A3),(B1,B2),(B2,A1),(B2,A2),(B2,A3),(B2,B1),共20个.
(2)哪种方案获得奖品的可能性更大 并说明理由.
解:方案一中,设事件A表示“一次性抽取的2个球颜色相同”,则事件A包含(A1,A2),(A1,A3),(A2,A3),(B1,B2),共4个样本点,故P(A)==;
方案二中,设事件B表示“依次无放回抽取的2个球颜色相同”,则事件B包含(A1,A2),(A1,A3),(A2,A1),(A2,A3),(A3,A1),(A3,A2),(B1,B2),(B2,B1),共8个样本点,故P(B)==;
方案三中,设两次抽查取的球所标的数字分别为x,y,则所有可能发生的事件对应的二元有序数组(x,y)表示如下表,共25个样本点,
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5)
(2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5)
(3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5)
(4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5)
(5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5)
在方案三中,设事件C表示“抽取的2个球编号的数字之和大于5”,则事件C包含(1,5),(2,4),(2,5),(3,3),(3,4),(3,5),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),(5,2),
(5,3),(5,4),(5,5),共15个样本点,故P(C)==;
因为P(A)=P(B)|思|维|建|模|
解决有序和无序问题应注意两点
(1)关于不放回抽样,计算样本点个数时,既可以看做是有顺序的,也可以看做是无顺序的,其最后结果是一致的,但不论选择哪一种方式,观察的角度必须一致,否则会产生错误.
(2)关于有放回抽样,应注意在连续取出两次的过程中,因为先后顺序不同,所以(a1,b1),(b1,a1)不是同一个样本点.解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”,每一件产品被取出的机会都是均等的
针对训练
1.从两个白球(记为B1和B2)和两个黑球(记为G1和G2)这四个球中依次选取两个小球.
(1)分别写出“有放回、不放回”方式选取的样本空间;
解:有放回选取的样本空间:{(B1,B1),(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,B2),
(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),(G1,G1),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1),(G2,G2)}.
不放回选取的样本空间:{(B1,B2),(B1,G1),(B1,G2),(B2,B1),(B2,G1),(B2,G2),
(G1,B1),(G1,B2),(G1,G2),(G2,B1),(G2,B2),(G2,G1)}.
(2)求“有放回”方式选取一个白球和一个黑球的概率.
解:根据(1)中所求,有放回选取的可能性有16种,其中满足要求的可能性有如下8种(B1,G1),(B1,G2),(B2,G1),(B2,G2),(G1,B1),(G1,B2),
(G2,B1),(G2,B2).
又有放回的选取的每种情况都是等概率的,故根据古典概率的概率计算公式可得,满足题意的概率为=.
题型(二)
古典概型的实际应用问题
02
题型(二) 古典概型的实际应用问题
[例2] 某超市计划购进1 000 kg苹果,采购员从供应商提供的苹果中随机抽取了10箱(每箱20 kg)统计每箱的烂果个数并绘制得到如下表格:
假设在一箱苹果中没有烂果,则该箱的价格为120元,若出现一个烂果,则该箱的价格为110元.
项目 第1箱 第2箱 第3箱 第4箱 第5箱 第6箱 第7箱 第8箱 第9箱 第10箱
烂果个数 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1
(1)以样本估计总体,试问采购员购进1 000 kg苹果需要多少元
解:由题表可知,这10箱苹果中,没有烂果的有7箱,出现一个烂果的有3箱,
所以这10箱苹果的价格为120×7+110×3=1 170元.
故采购员购进1 000 kg苹果需要1 170×=5 850元.
(2)若采购员检查完前3箱(即第1~3箱)苹果后,从剩下的7箱中任选2箱,这2箱都没有烂果,就按照每箱120元的价格购进1 000 kg苹果,求采购员按照这个价格采购苹果的概率.
解:设第i(i=4,5,6,7,8,9,10)箱分别记为A,B,C,D,E,F,G(其中A,F,G这3箱各有一个烂果),从7箱中任选2箱,所有的情况为(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),
(A,F),(A,G),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(B,G),(C,D),(C,E),(C,F),(C,G),(D,E),
(D,F),(D,G),(E,F),(E,G),(F,G),共21种,其中没有A,F,G的有6种情况,故采购员按照这个价格采购苹果的概率为=.
|思|维|建|模|
解决与古典概型交汇的问题时,应明确相关事件,列举样本点,然后利用古典概型的概率计算公式求解.
2.某著名小吃店高峰时段面临用餐排队问题,店主打算扩充店面,为了确定扩充的面积大小,店主随机抽查了过去若干天内高峰时段的用餐人数,所得数据统计如图所示.
针对训练
(1)求高峰时段用餐人数的平均数以及方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
解:由频率分布直方图得=22.5×0.1+27.5×0.4+32.5×0.3+37.5×0.2=30.5,
∴s2=(22.5-30.5)2×0.1+(27.5-30.5)2×0.4+(32.5-30.5)2×0.3+(37.5-30.5)2
×0.2=6.4+3.6+1.2+9.8=21.
(2)现用分层随机抽样的方法从高峰时段用餐人数在[30,40]的天数中随机抽取5天,再从这5天中随机抽取3天,求至少有2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的概率.
解:∵用餐人数在[30,35)对应的频率为0.3,在[35,40]对应的频率为0.2,
∴5天中,用餐人数在[30,35)的天数为3天,可记为a,b,c,在[35,40]的天数为2天,可记为A,B,则任取3天,
所有的情况有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(a,A,B),(b,c,A),
(b,c,B),(b,A,B),(c,A,B),共10种,其中至少2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的情况有(a,b,c),(a,b,A),(a,b,B),(a,c,A),(a,c,B),(b,c,A),(b,c,B),
共7种,故至少有2天的高峰时段用餐人数在[30,35)的概率为.
题型(三)
古典概型与其他知识相结合
03
[例3] (1)已知向量a=(x+1,1),b=(-8,x2+15),在集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x,则a⊥b的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:当a⊥b时,a·b=-8(x+1)+x2+15=x2-8x+7=0,解得x=1或x=7.
所以集合{0,1,2,3,4,5,6}中随机取值作为x,则a⊥b的概率为.
√
(2)从sin,sin,cos,sin,cos这五个式子中任取两个,则这两个式子的值不相等的概率为( )
A. B.
C. D.
解析:因为sin=sin=sin,cos=cos=sin,所以sin=cos=sin;cos=cos=sin.
√
记sin,sin,cos,sin,cos这五个式子依次为a,b,c,d,e,则从五个式子中任取两个的样本点有(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),
(c,e),(d,e),共10个,其中这两个式子的值不相等的样本点有(a,b),(a,e),
(b,c),(b,d),(c,e),(d,e),共6个.
记A=“这两个式子的值不相等”,所以P(A)==.
|思|维|建|模|
对于涉及方程、函数的概率问题,解题的关键是求出所求事件包含的样本点的个数.解决此类问题只需表示出方程(组)的解,利用函数知识找出满足条件的情况,从而确定样本点的个数,再利用古典概型的概率计算.
3.已知A={1,2,3},B={x∈R|x2-ax+b=0,a∈A,b∈A},则A∩B=B的概率是 ( )
A. B. C. D.1
解析:因为a∈A,b∈A,所以可用列表法得到样本点的总个数为9(如表所示).
针对训练
1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)
b
a
√
因为A∩B=B,所以B可能为 ,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3}.
当B= 时,a2-4b<0,满足条件的a,b为a=1,b=1,2,3;a=2,b=2,3;a=3,b=3;
当B={1}时,满足条件的a,b为a=2,b=1;
当B={2},{3}时,没有满足条件的a,b;
当B={1,2}时,满足条件的a,b为a=3,b=2;
当B={2,3},{1,3}时,没有满足条件的a,b.
综上,符合条件的结果有8种.
故所求概率为.
4.在区间(-1,5)与(1,5)内各随机取1个整数,设两数之和为M,则log2M>2成立的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:设从区间(-1,5),(1,5)中随机取出的整数分别为x,y,则样本空间为Ω={(0,2),(1,2),(2,2),(3,2),(4,2),(0,3),(1,3),(2,3),(3,3),(4,3),(0,4),(1,4),(2,4),
(3,4),(4,4)},共15种情况,不等式log2M>2等价于M>4,设事件A表示log2M>2,则A={(3,2),(4,2),(2,3),(3,3),(4,3),(1,4),(2,4),(3,4),(4,4)},共9种情况,所以P(A)==.
√
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
2
1.小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习,则小林没有选择冰壶的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A,B,C,D,则从这四个项目中任意选两项的情况有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种,其中没有选择冰壶的有BC,BD,CD,共3种,所以所求概率为=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
2
3
4
2.从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a,从集合{3,4,6}中随机地取一个数b,则向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率为 ( )
A. B. C. D.
解析:依题意,向量m=(b,a)的不同结果有(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(4,0),(4,1),
(4,2),(4,3),(6,0),(6,1),(6,2),(6,3),共12个,由m·n=-b+2a=0,得b=2a,则m⊥n的事件有(4,2),(6,3),共2个,所以向量m=(b,a)与向量n=(-1,2)垂直的概率为P==.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
3.已知a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},则函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是 ( )
A. B. C. D.
解析:∵a∈{0,1,2},b∈{-1,1,3,5},∴共含有12个样本点.函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增,①当a=0时,f(x)=-2bx,符合条件的只有(0,-1),即a=0,b=-1;②当a≠0时,需要满足≤1,符合条件的有(1,-1),(1,1),(2,-1),(2,1),共4种.∴函数f(x)=ax2-2bx在区间(1,+∞)上单调递增的概率是P=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
4.某商场对某一商品搞活动,已知该商品每个的进价为3元,售价为8元,每天销售的第20个及之后的商品按半价出售,该商场统计了近10天这种商品的销售量,如图所示.从日利润不少于96元的几天里任选2天,则选出的这2天日利润都是97元的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
解析:日销售量不少于20个时,日利润不少于96元,其中日销售量为20个时,日利润为96元;日销售量为21个时,日利润为97元.从题中条形统计图可以看出,日销售量为20个的有3天,日销售量为21个的有2天.设日销售量为20个的3天分别记为a,b,c,日销售量为21个的2天分别记为A,B,从这5天中任选2天,可能的情况有(a,b),(a,c),(a,A),(a,B),(b,c),(b,A),(b,B),
(c,A),(c,B),(A,B),共10种,其中选出的2天的日销售量都为21个的情况只有(A,B)1种,所以所求概率为P=.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
5.若a∈A且a-1 A,a+1 A,则称a为集合A的孤立元素.若集合M={1,2,3,4,5,6},集合N为集合M的三元子集,则集合N中的元素都是孤立元素的概率为 ( )
A. B.
C. D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
解析:集合M={1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},
{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,4,5},{1,4,6},{1,5,6},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},
{2,4,5},{2,4,6},{2,5,6},{3,4,5},{3,4,6},{3,5,6},{4,5,6},共20个.满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1,3,5},{1,3,6},{1,4,6},{2,4,6},一共4种.由古典概率模型公式,可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P==.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
6.(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是 ( )
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B.每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回地抽取两次,则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D.每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本点总数为16
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
解析:记4件产品分别为1,2,3,a,其中a表示次品.样本空间Ω={(1,2),
(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P==,故A正确;每次抽取1件,不放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),
(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,故B错误;
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,故C正确;每次抽取1件,有放回地抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,故D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
7.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数,则两个数都是奇数的
概率是 .若有放回地任取两个数,则两个数都是偶数的概率是 .
解析:从5个数字中不放回地任取两个数,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),
(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,且每个样本点出现的可能性相等.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
因为都是奇数的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),共3个,故所求概率P=.从5个数字中有放回地任取两个数,样本点共有25个,且每个样本点出现的可能性相等,都为偶数的样本点有(2,4),(4,2),(2,2),(4,4),共4个,故概率P=.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
8.从1,2,3,4,5,6中随机选取2个不同的数字组成logab(a>0,且a≠1),则恰好能使得logab<1的概率是 .
解析:用(a,b)表示随机选取的2个不同的数字,则试验的样本空间是Ω={(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),
(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},共包含25个样本点,
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
记能使得logab<1(a>0,且a≠1)为事件A,则A={(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),
(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5)},
共包含15个样本点,故所求概率P==.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
9.(10分)为保护学生视力,让学生在学校专心学习,促进学生身心健康发展,教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》,对中小学生的手机使用和管理作出了规定.某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”.
从该校中随机调查了100名学生,得到如下统计表:
时间t/min [0,12) [12,24) [24,36) [36,48) [48,60) [60,72]
人数 10 36 34 10 6 4
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数;(同一组数据用该组区间的中点值作代表)
解:由题意得,随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数为=6×+18×+30×+42×+54×+66×=
=27.36(min).
所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27.36 min.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
(2)用分层随机抽样的方法从使用手机时间在[48,60)和[60,72]的两组学生中抽取5人,再从这5人中随机抽取2人,求这2人来自不同组的概率.
解:由分层随机抽样的方法知,抽取的5人在[48,60)组的有3人,记为a,b,c,在[60,72]组的有2人,记为A,B,从5人中抽取2人的所有样本点为ab,ac,aA,aB,bc,bA,bB,cA,cB,AB,共10个,来自不同组的样本点为aA,aB,bA,bB,cA,cB,共6个,故所求概率P==.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
10.(15分)已知函数f(x)=ax2-bx-1,集合P={1,2,3,4},Q={2,4,6,8},若分别从集合P,Q中随机抽取一个数a和b,构成数对(a,b).
(1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞)”,求事件A的概率;
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
解:由题知a∈{1,2,3,4},b∈{2,4,6,8},所以数对(a,b)的可能取值为(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),
(4,4),(4,6),(4,8)共16对.若函数f(x)的单调递增区间为[1,+∞),则函数
f(x)的对称轴为x==1,即b=2a,所以满足条件的样本点有(1,2),
(2,4),(3,6),(4,8),共4对,所以事件A的概率为P(A)==.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
(2)记事件B为“方程=2有4个根”,求事件B的概率.
解:因为a>0,二次函数开口向上,所以方程|f(x)|=2有4个根,即为f(x)=2和f(x)=-2,各有2个根,所以二次函数f(x)=ax2-bx-1的最小值小于-2.
所以<-2,即b2>4a,满足条件的样本点有(1,4),(1,6),(1,8),
(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8),共11对,所以事件B的概率P(B)=.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
11.(15分)某商场做促销活动,顾客每购满100元可抽奖一次.在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球,其中3个红球、1个黑球、1个黄球.某顾客购满100元,可抽奖一次.
(1)若从中依次不放回地取出2个球,取出的球中有黄球,则送一件价值10元的礼品,求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率;……
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
解:3个红球分别记为1,2,3,1个黑球记为a,1个黄球记为b.
从袋中依次不放回地取出2个球,所包含的样本点为(1,2),(1,3),(2,3),
(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(2,1),(3,1),(3,2),(a,1),(a,2),(a,3),
(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共20个,有黄球的样本点为(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),
(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共8个,所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为=.
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
(2)若从口袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,当取出的2个球中没有红球时,送一件价值50元的礼品,问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗
1
5
6
7
8
9
10
11
3
4
2
解:从袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,所包含的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),
(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b),共25个,
取出的2个球中没有红球的样本点为(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),共4个,
所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为<20%,
所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%.课时跟踪检测(五十二) 古典概型的综合问题
(满分80分，选填小题每题5分)
1．小林打算从冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项这四个项目中任意选两项进行系统的学习，则小林没有选择冰壶的概率为( )
A. B.
C. D.
2．从集合{0,1,2,3}中随机地取一个数a，从集合{3,4，6}中随机地取一个数b，则向量m＝(b，a)与向量n＝(－1,2)垂直的概率为( )
A. B.
C. D.
3．已知a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，则函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率是( )
A. B.
C. D.
4．某商场对某一商品搞活动，已知该商品每个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为( )
A. B.
C. D.
5．若a∈A且a－1 A，a＋1 A，则称a为集合A的孤立元素．若集合M＝{1,2,3,4,5,6}，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为( )
A. B.
C. D.
6．(多选)一个袋子中装有3件正品和1件次品，按以下要求抽取2件产品，其中结论正确的是( )
A．任取2件，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
B．每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本点总数为16
C．每次抽取1件，不放回地抽取两次，则取出的2件中恰有1件次品的概率是
D．每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本点总数为16
7．从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数，则两个数都是奇数的概率是________．若有放回地任取两个数，则两个数都是偶数的概率是________.
8．从1,2,3,4,5,6中随机选取2个不同的数字组成logab(a>0，且a≠1)，则恰好能使得logab<1的概率是________.
9．(10分)为保护学生视力，让学生在学校专心学习，促进学生身心健康发展，教育部于2021年1月15日下发文件《关于加强中小学生手机管理工作的通知》，对中小学生的手机使用和管理作出了规定．某中学研究型学习小组调查研究“中学生每日使用手机的时间”．
从该校中随机调查了100名学生，得到如下统计表：
时间t/min [0，12) [12，24) [24，36) [36，48) [48，60) [60，72]
人数 10 36 34 10 6 4
(1)估计该校学生每日使用手机的时间的平均数；(同一组数据用该组区间的中点值作代表)
(2)用分层随机抽样的方法从使用手机时间在[48,60)和[60,72]的两组学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，求这2人来自不同组的概率.
10.(15分)已知函数f(x)＝ax2－bx－1，集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{2,4,6,8}，若分别从集合P，Q中随机抽取一个数a和b，构成数对(a，b)．
(1)记事件A为“函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)”，求事件A的概率；
(2)记事件B为“方程＝2有4个根”，求事件B的概率.
11．(15分)某商场做促销活动，顾客每购满100元可抽奖一次．在一个口袋内装有除颜色外其余完全相同的5个小球，其中3个红球、1个黑球、1个黄球．某顾客购满100元，可抽奖一次．
(1)若从中依次不放回地取出2个球，取出的球中有黄球，则送一件价值10元的礼品，求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率；
(2)若从口袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，当取出的2个球中没有红球时，送一件价值50元的礼品，问这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗？
课时跟踪检测(五十二)
1．选C 记冰壶、短道速滑、花样滑冰、冬季两项分别为A，B，C，D，则从这四个项目中任意选两项的情况有AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6种，其中没有选择冰壶的有BC，BD，CD，共3种，所以所求概率为＝.
2．选D 依题意，向量m＝(b，a)的不同结果有(3,0)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(6,0)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，共12个，由m·n＝－b＋2a＝0，得b＝2a，则m⊥n的事件有(4,2)，(6,3)，共2个，所以向量m＝(b，a)与向量n＝(－1,2)垂直的概率为P＝＝.
3．选A ∵a∈{0,1,2}，b∈{－1,1,3,5}，∴共含有12个样本点．函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增，①当a＝0时，f(x)＝－2bx，符合条件的只有(0，－1)，即a＝0，b＝－1；②当a≠0时，需要满足≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．∴函数f(x)＝ax2－2bx在区间(1，＋∞)上单调递增的概率是P＝.
4．选B 日销售量不少于20个时，日利润不少于96元，其中日销售量为20个时，日利润为96元；日销售量为21个时，日利润为97元．从题中条形统计图可以看出，日销售量为20个的有3天，日销售量为21个的有2天．设日销售量为20个的3天分别记为a，b，c，日销售量为21个的2天分别记为A，B，从这5天中任选2天，可能的情况有(a，b)，(a，c)，(a，A)，(a，B)，(b，c)，(b，A)，(b，B)，(c，A)，(c，B)，(A，B)，共10种，其中选出的2天的日销售量都为21个的情况只有(A，B)1种，所以所求概率为P＝.
5．选C 集合M＝{1,2,3,4,5,6}的三元子集有{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,6}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,5}，{1,4,6}，{1,5,6}，{2,3，4}，{2,3,5}，{2,3,6}，{2,4,5}，{2,4,6}，{2,5，6}，{3,4,5}，{3,4,6}，{3,5,6}，{4,5,6}，共20个．满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为{1,3,5}，{1,3,6}，{1,4,6}，{2,4,6}，一共4种．由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率P＝＝.
6．选ACD 记4件产品分别为1,2,3，a，其中a表示次品．样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,3)，(2，a)，(3，a)}，共6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，“恰有一件次品”的样本点为(1，a)，(2，a)，(3，a)，因此其概率P＝＝，故A正确；每次抽取1件，不放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)}，因此n(Ω)＝12，故B错误；“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6，其概率为，故C正确；每次抽取1件，有放回地抽取两次，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)}，因此n(Ω)＝16，故D正确．
7．解析：从5个数字中不放回地任取两个数，样本点有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，且每个样本点出现的可能性相等．因为都是奇数的样本点有(1,3)，(1,5)，(3,5)，共3个，故所求概率P＝.从5个数字中有放回地任取两个数，样本点共有25个，且每个样本点出现的可能性相等，都为偶数的样本点有(2,4)，(4,2)，(2,2)，(4,4)，共4个，故概率P＝.
答案：
8．解析：用(a，b)表示随机选取的2个不同的数字，则试验的样本空间是Ω＝{(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}，共包含25个样本点，记能使得logab<1(a>0，且a≠1)为事件A，则A＝{(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)}，共包含15个样本点，故所求概率P＝＝.
答案：
9．解：(1)由题意得，随机选取的该校这100名学生每日使用手机的时间的平均数为
＝6×＋18×＋30×＋42×＋54×＋66×＝＝27.36(min)．
所以估计该校学生每日使用手机的时间的平均数为27.36 min.
(2)由分层随机抽样的方法知，抽取的5人在[48,60)组的有3人，记为a，b，c，在[60,72]组的有2人，记为A，B，从5人中抽取2人的所有样本点为ab，ac，aA，aB，bc，bA，bB，cA，cB，AB，共10个，来自不同组的样本点为aA，aB，bA，bB，cA，cB，共6个，
故所求概率P＝＝.
10．解：(1)由题知a∈{1,2,3,4}，b∈{2,4,6,8}，所以数对(a，b)的可能取值为(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)共16对．若函数f(x)的单调递增区间为[1，＋∞)，则函数f(x)的对称轴为x＝＝1，即b＝2a，
所以满足条件的样本点有(1,2)，(2,4)，(3,6)，(4,8)，共4对，所以事件A的概率为
P(A)＝＝.
(2)因为a>0，二次函数开口向上，所以方程|f(x)|＝2有4个根，即为f(x)＝2和f(x)＝－2，各有2个根，所以二次函数f(x)＝ax2－bx－1的最小值小于－2.
所以<－2，即b2>4a，满足条件的样本点有(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,6)，(4,8)，共11对，所以事件B的概率P(B)＝.
11．解：(1)3个红球分别记为1,2,3,1个黑球记为a,1个黄球记为b.
从袋中依次不放回地取出2个球，所包含的样本点为(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1，a)，(2，a)，(3，a)，(1，b)，(2，b)，(3，b)，(a，b)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b，a)，共20个，有黄球的样本点为(1，b)，(2，b)，(3，b)，(a，b)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b，a)，共8个，所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为＝.
(2)从袋中连续取两次球，每次取1个球后放回，所包含的样本点为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3，a)，(3，b)，(a,1)，(a,2)，(a,3)，(a，a)，(a，b)，(b,1)，(b,2)，(b,3)，(b，a)，(b，b)，共25个，
取出的2个球中没有红球的样本点为(a，a)，(a，b)，(b，a)，(b，b)，共4个，
所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为<20%，
所以这位顾客获得一件价值50元的商品的可能性不会超过20%.