2.1.2 等差数列的性质及应用(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
了解数列的等差中项,能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质;并能运用等差数列的性质简化计算,能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.
1.等差数列的增减性
对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),
(1)当d>0时,数列{an}为 数列;
(2)当d<0时,数列{an}为 数列;
(3)当d=0时,数列{an}为 数列.
2.等差中项
如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,且A= .在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
3.等差数列的项与序号的关系
(1)等差数列通项公式的推广
通项公式 通项公式的推广
an=a1+(n-1)d (揭示首末两项的关系) an=am+(n-m)d (揭示任意两项之间的关系)
(2)项的运算性质
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an= .
①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am+an= .
②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1
=…=ak+an-k+1=….
4.等差数列的性质
数列 结论
{c+an} 公差为d的等差数列
{c·an} 公差为cd的等差数列
{an+an-k} 公差为2d的等差数列
{pan+qbn} 公差为pd1+qd2的等差数列
[基点训练]
1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a4等于 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
2.等差数列{an}中,a3=7,a7=-5,则公差d= ( )
A.3 B.-3
C.2 D.-2
3.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an+bn}是 ( )
A.公差为-1的等差数列
B.公差为20的等差数列
C.公差为-20的等差数列
D.公差为19的等差数列
4.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{an+2an+2}是公差为 的等差数列.
题型(一) 等差中项及应用
[例1] (1)已知2a=3b=m,ab≠0,且a,ab,b成等差数列,则m等于 ( )
A. B.
C. D.6
(2)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
听课记录:
[思维建模]
等差中项的计算
(1)条件:若A是a与b的等差中项.
(2)计算公式:A=.
[针对训练]
1.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项为 ( )
A.8 B.6
C.4.5 D.3
2.已知,,成等差数列,求证:,,也成等差数列.
题型(二) 等差数列的性质及应用
[例2] (1)已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15等于 ( )
A.7 B.14
C.21 D.7(n-1)
(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
听课记录:
[变式拓展]
在等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,求a10.
[思维建模]
(1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.
[针对训练]
3.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 ( )
A.84 B.72
C.60 D.48
4.[多选]已知单调递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 ( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
题型(三) 等差数列的实际应用
[例3] 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往 14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费
听课记录:
[变式拓展]
在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往 18.5 km(不足1 km,按1 km计费)处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需支付多少车费
[思维建模]
(1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.
(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.
[针对训练]
5.某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境,第一天植树2 000棵,以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天(即到3月13日结束)植树33 800棵,则植树节(3月12日)这一天植树 ( )
A.3 000棵 B.3 100棵
C.3 200棵 D.3 300棵
6.世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目:把60磅面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的两份之和的是较小的三份之和,则最小的1份为 ( )
A.磅 B.磅
C.磅 D.磅
等差数列的性质及应用
课前环节
1.递增 递减 常 2.
3.(2)ap+aq 2ak
[基点训练]
1.选C a3+a4+a5=3a4=12,a4=4.
2.选B 由题意得4d=a7-a3=-5-7=-12,所以d=-3.
3.选D (a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19,即数列{an+bn}是公差为19的等差数列.
4.解析:(an+1+2an+3)-(an+2an+2)=(an+1-an)+2(an+3-an+2)=d+2d=3d.
答案:3d
课堂环节
[题型(一)]
[例1] (1)选C ∵2a=3b=m,
∴a=log2m,b=log3m,
∵a,ab,b成等差数列,
∴2ab=a+b,
∵ab≠0,
∴+=2,
∴=logm2,=logm3,
∴logm2+logm3=logm6=2(m>0),
解得m=.故选C.
(2)解:∵-1,a,b,c,7成等差数列,
∴b是-1与7的等差中项,
∴b==3.
又a是-1与3的等差中项,∴a==1.
又c是3与7的等差中项,∴c==5.
∴该数列为-1,1,3,5,7.
[针对训练]
1.选D ∵m+2n=8,2m+n=10,∴3m+3n=18,∴m+n=6,∴2m-n和2n-m的等差中项为==3.
2.证明:∵,,成等差数列,
∴=+,即2ac=b(a+c).
∵+=
==
==,
∴,,成等差数列.
[题型(二)]
[例2] (1)选B 因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,
所以a3+a15=2a9=2×7=14.
(2)解:法一:利用an=am+(n-m)d
设数列 {an}的公差为d,
则a60=a15+(60-15)d=8+45d=20,
所以d===,
所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.
法二:利用隔项成等差数列
因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,
设其公差为d,a15为首项,则a60为第四项,
所以a60=a15+3d,解得d=4,
所以a75=a60+d=24.
[变式拓展]
解:法一 设数列{an}的公差为d.
则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2(a1+14d)
=4a1+36d=4(a1+9d)
=4a10=40,
∴a10=10.
法二 ∵a3+a7+2a15=(a3+a15)+(a7+a15)=2a9+2a11=2(a9+a11)=4a10=40,∴a10=10.
[针对训练]
3.选C 在等差数列{an}中,a3+a11=2a7=40,可得a7=20,所以a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故选C.
4.选BD 设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,
∴a1+a2+a3+…+a101=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+a100=2a51=0,故B、D正确,A错误;又∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.
[题型(三)]
[例3] 解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,
那么当出租车行至14 km处时,n=11,
此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付车费23.2元.
[变式拓展]
解:由题意知,当出租车行至18.5 km处时,n=16,此时需支付车费a16=11.2+(16-1)×1.2=29.2(元).即需要支付车费29.2元.
[针对训练]
5.选B 由题意知,这13天中每天植树数量为等差数列{an},则a1=2 000,
设数列{an}的公差为d,则13×2 000+×13×12d=33 800,
解得d=100,所以a12=2 000+11×100=3 100.故选B.
6.选D 设五个人从小到大所得面包为a1,a2,a3,a4,a5,其公差为d,则由题意可得(a4+a5)=a1+a2+a3,即(2a1+7d)=3a1+3d,整理可得d=4a1,又a1+a2+a3+a4+a5=60,即5a1+10d=60,即有a1+8a1=12,即a1=,即最小的1份为磅.故选D.(共60张PPT)
等差数列的性质及应用
(强基课——梯度进阶式教学)
2.1.2
课时目标
了解数列的等差中项,能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质;并能运用等差数列的性质简化计算,能根据实例抽象出等差数列进行简单的应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.等差数列的增减性
对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),
(1)当d>0时,数列{an}为_____数列;
(2)当d<0时,数列{an}为_____数列;
(3)当d=0时,数列{an}为__数列.
递增
递减
常
2.等差中项
如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项,且A=_____.在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.
3.等差数列的项与序号的关系
(1)等差数列通项公式的推广
通项公式 通项公式的推广
an=a1+(n-1)d (揭示首末两项的关系) an=am+(n-m)d
(揭示任意两项之间的关系)
(2)项的运算性质
若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=_______.
①特别地,当m+n=2k(m,n,k∈N+)时,am+an=_____.
②对有穷等差数列,与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和,即a1+an=a2+an-1=…=ak+an-k+1=….
ap+aq
2ak
4.等差数列的性质
数列 结论
{c+an} 公差为d的等差数列
{c·an} 公差为cd的等差数列
{an+an-k} 公差为2d的等差数列
{pan+qbn} 公差为pd1+qd2的等差数列
1.如果等差数列{an}中,a3+a4+a5=12,那么a4等于 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析: a3+a4+a5=3a4=12,a4=4.
基点训练
√
2.等差数列{an}中,a3=7,a7=-5,则公差d= ( )
A.3 B.-3
C.2 D.-2
解析:由题意得4d=a7-a3=-5-7=-12,所以d=-3.
√
3.已知等差数列{an}:1,0,-1,-2,…;等差数列{bn}:0,20,40,60,…,则数列{an+bn}是 ( )
A.公差为-1的等差数列
B.公差为20的等差数列
C.公差为-20的等差数列
D.公差为19的等差数列
解析: (a2+b2)-(a1+b1)=(a2-a1)+(b2-b1)=-1+20=19,即数列{an+bn}是公差为19的等差数列.
√
4.若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列{an+2an+2}是公差为_____的等差数列.
解析:(an+1+2an+3)-(an+2an+2)=(an+1-an)+2(an+3-an+2)=d+2d=3d.
3d
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 等差中项及应用
[例1] (1)已知2a=3b=m,ab≠0,且a,ab,b成等差数列,则m等于 ( )
A. B.
C. D.6
解析:∵2a=3b=m,∴a=log2m,b=log3m,
∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,
∵ab≠0,∴+=2,∴=logm2,=logm3,
∴logm2+logm3=logm6=2(m>0),解得m=.故选C.
√
(2)在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列.
解:∵-1,a,b,c,7成等差数列,
∴b是-1与7的等差中项,
∴b==3.
又a是-1与3的等差中项,∴a==1.
又c是3与7的等差中项,∴c==5.
∴该数列为-1,1,3,5,7.
[思维建模]
等差中项的计算
(1)条件:若A是a与b的等差中项.
(2)计算公式:A=.
针对训练
1.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则2m-n和2n-m的等差中项为 ( )
A.8 B.6
C.4.5 D.3
解析:∵m+2n=8,2m+n=10,∴3m+3n=18,∴m+n=6,∴2m-n和2n-m的等差中项为==3.
√
2.已知,,成等差数列,求证:,,也成等差数列.
证明:∵,,成等差数列,
∴=+,即2ac=b(a+c).
∵+=====,
∴,,成等差数列.
题型(二) 等差数列的性质及应用
[例2] (1)已知数列{an}是等差数列,若a1-a9+a17=7,则a3+a15等于 ( )
A.7 B.14
C.21 D.7(n-1)
解析:因为a1-a9+a17=(a1+a17)-a9=2a9-a9=a9=7,所以a3+a15=2a9=2×7=14.
√
(2)已知{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
解:法一:利用an=am+(n-m)d
设数列 {an}的公差为d,
则a60=a15+(60-15)d=8+45d=20,
所以d===,
所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24.
法二:利用隔项成等差数列
因为{an}为等差数列,
所以a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,
设其公差为d,a15为首项,则a60为第四项,
所以a60=a15+3d,解得d=4,
所以a75=a60+d=24.
[变式拓展]
在等差数列{an}中,a3+a7+2a15=40,求a10.
解:法一 设数列{an}的公差为d.
则a3+a7+2a15=a1+2d+a1+6d+2(a1+14d)
=4a1+36d=4(a1+9d)=4a10=40,∴a10=10.
法二 ∵a3+a7+2a15=(a3+a15)+(a7+a15)=
2a9+2a11=2(a9+a11)=4a10=40,∴a10=10.
[思维建模]
(1)灵活利用等差数列的性质,可以减少运算.令m=1,an=am+(n-m)d即变为an=a1+(n-1)d,可以减少记忆负担.
(2)等差数列运算的两种常用思路
①基本量法:根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.
②巧用性质法:观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N+),则am+an=ap+aq=2ar.
针对训练
3.在等差数列{an}中,a3+a11=40,则a4-a5+a6+a7+a8-a9+a10的值为 ( )
A.84 B.72
C.60 D.48
解析:在等差数列{an}中,a3+a11=2a7=40,可得a7=20,所以a4-a5+a6
+a7+a8-a9+a10=(a4+a10)-(a5+a9)+(a6+a7+a8)=3a7=60.故选C.
√
4.[多选]已知单调递增的等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0,则下列各式一定成立的有 ( )
A.a1+a101>0 B.a2+a100=0
C.a3+a100≤0 D.a51=0
√
√
解析:设等差数列{an}的公差为d,易知d>0,∵等差数列{an}满足a1+a2+
a3+…+a101=0,且a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51,∴a1+a2+a3+…+a101
=(a1+a101)+(a2+a100)+…+(a50+a52)+a51=101a51=0,∴a51=0,a1+a101=a2+
a100=2a51=0,故B、D正确,A错误;又∵a51=a1+50d=0,∴a1=-50d,∴a3+
a100=(a1+2d)+(a1+99d)=2a1+101d=2×(-50d)+101d=d>0,故C错误.
题型(三) 等差数列的实际应用
[例3] 某市出租车的计价标准为1.2元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费
解:根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元.
所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.
令a1=11.2,表示4 km处的车费,公差d=1.2,
那么当出租车行至14 km处时,n=11,
此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).
即需要支付车费23.2元.
[变式拓展]
在本例中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km计费)处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需支付多少车费
解:由题意知,当出租车行至18.5 km处时,n=16,此时需支付车费a16=11.2+(16-1)×1.2=29.2(元).即需要支付车费29.2元.
[思维建模]
(1)解决实际应用问题,首先要认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.
(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.
针对训练
5.某镇政府计划从3月1日开始植树绿化环境,第一天植树2 000棵,以后每天植树的棵数比前一天多相同的数量.若该镇政府计划用13天(即到3月13日结束)植树33 800棵,则植树节(3月12日)这一天植树 ( )
A.3 000棵 B.3 100棵
C.3 200棵 D.3 300棵
√
解析:由题意知,这13天中每天植树数量为等差数列{an},则a1=2 000,设数列{an}的公差为d,则13×2 000+×13×12d=33 800,解得d=100,所以a12=2 000+11×100=3 100.故选B.
6.世界上最古老的数学著作《莱因德纸草书》中有一道这样的题目:把60磅面包分给5个人,使每人所得成等差数列,且使较大的两份之和的是较小的三份之和,则最小的1份为( )
A.磅 B.磅
C.磅 D.磅
√
解析:设五个人从小到大所得面包为a1,a2,a3,a4,a5,其公差为d,则由题意可得(a4+a5)=a1+a2+a3,即(2a1+7d)=3a1+3d,整理可得d=4a1,又a1+a2+a3+a4+a5=60,即5a1+10d=60,即有a1+8a1=12,即a1=,即最小的1份为磅.故选D.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——综合提能
1.等差数列{an}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则x的值为( )
A.5x+15 B.2x+1
C.2 D.0
√
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15
2
3
4
2.在等差数列{an}中,已知a4=2,a8=14,则a15等于 ( )
A.32 B.-32
C.35 D.-35
解析:由a8-a4=(8-4)d=4d,得d=3,所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35.
√
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3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为 ( )
A.12 B.8
C.6 D.4
解析:由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=
4a8=32,∴a8=8,又d≠0,∴m=8.
√
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4.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为 ( )
A. B.±
C.- D.-
解析:由等差数列的性质,得a1+a7+a13=3a7=4π,∴a7=.
tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan=-.
√
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5.已知等差数列{an}递增且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是 ( )
A.(-∞,3) B.(3,6)
C.(3,+∞) D.(6,+∞)
解析:因为{an}为等差数列,设公差为d,又数列{an}递增,所以d>0.所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6,则2a6-6=3d>0,解得a6>3.
√
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6.在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N+,则am+n的值为___.
解析:设等差数列的公差为d,则d===-1,从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0.
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7.已知等差数列{an}满足am-1+am+1--1=0,且m>1,则a1+a2m-1=____.
解析:因为数列{an}为等差数列,则am-1+am+1=2am,则am-1+am+1--1=0可化为2am--1=0,解得am=1,所以a1+a2m-1=2am=2.
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8.设a>0,b>0,若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项,则2a+b= .
解析:∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项,∴2ln 3=ln 9a+ln 3b,
∴ln 32=ln(9a·3b)=ln 32a+b,∴32=32a+b,∴2a+b=2.
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9.若数列是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c的调和中项.
(1)求和1的调和中项;
解:设和1的调和中项为b,依题意得3,,1成等差数列,所以==2,解得b=,故和1的调和中项为.
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(2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式.
解: 依题意,是等差数列,设其公差为d,
则3d=- d=,
所以=+(n-1)d=+(n-1)=,
故an=.
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10.已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.
(1)求a20的值;
解:因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,
所以a3=6,a4=8,则公差d=2,
所以a20=a3+17d=40.
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(2)若bn=an-,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
解: 由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n,所以bn=×2n-=3n-.
由bn>0,即3n->0,得n>,
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
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B级——应用创新
11.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则由an+bn所组成的数列的第37项的值为( )
A.0 B.37
C.100 D.-37
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解析:设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,则{cn}也是等差数列,设其公差为d,则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.故d=c2-c1=0.故cn=100(n∈N+).从而c37=100.
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12.[多选]若数列{an}是等差数列,公差d>0,则下列对数列{bn}的判断正确的是 ( )
A.若bn=-an,则数列{bn}是递减数列
B.若bn=,则数列{bn}是递增数列
C.若bn=an+an+1,则数列{bn}是公差为d的等差数列
D.若bn=an+n,则数列{bn}是公差为d+1的等差数列
√
√
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解析:由an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)且d>0,得bn=-an=-dn+(d-a1),即数列{bn}是递减数列,故A正确;由bn==[dn+(a1-d)]2,当d>a1时,如d=1,a1=-2,数列{bn}先减后增,故B错误;由bn=an+an+1=2dn+(2a1-d),则数列{bn}是公差为2d的等差数列,故C错误;由bn=an+n=(d+1)n+(a1-d),则数列{bn}是公差为d+1的等差数列,故D正确.
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13.[多选]《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则 ( )
A.冬至的日影子长最长,为15.5尺
B.立夏比谷雨的日影子长多1尺
C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列
D.清明的日影子长为8.5尺
√
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解析:依题意,从冬至起,日影子长依次记为a1,a2,…,a12,则数列{an}
(n∈N+,n≤12)是等差数列,因此,a1+a4+a7=37.5,而a1+a7=2a4,解得a4=12.5,又a12=4.5,设数列{an}的公差为d,于是得:解得a1=15.5,d=-1,A正确;a10-a9=-1,立夏比谷雨的日影子长少1尺,B不正确;而a3,a5,a7成等差数列,即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列,C正确;a8=a1+(8-1)d=8.5,即清明的日影子长为8.5尺,D正确.
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14.在如表所示的5×5矩形的25个空格中填入正整数,使得每一行,每一列都成等差数列,则标有*号的空格应填的数是____.
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2y 186
y 103
0 x 2x
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解析:记aij为第i行第j列的格中所填的数,则a52=x,a41=y.由第3行得a33=,由第3列得a33=2×103-2x,所以2x+y=113①.由第1列得a21=3y,
则由第2行得a23=2×74-3y,
由第3列得a33+103=a23+2x,则a23=3×103-4x,所以2×74-3y=3×103-4x,
即4x-3y=161②,
解①②,得x=50,y=13,所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172,a13=2a33-a53=112,a14==142,故标有*号的空格应填的数是142.
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15.有一批小家电原销售价格为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所购买各台的单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类小家电,则去哪一家商场购买花费较少
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解:设某单位需购买小家电n台.
在甲商场购买时,所买小家电的售价构成等差数列{an},an=780+(n-1)×(-20)=
-20n+800,由an=-20n+800≥440,解得n≤18,即购买台数不超过18台时,每台售价(800-20n)元;
购买台数超过18台时,每台售价440元.
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到乙商场购买时,每台售价为800×75%=600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800-20n)n-600n=20n(10-n).当n<10时,(800-20n)n>600n,到乙商场购买花费较少;当n=10时,(800-20n)n=600n,到甲、乙商场购买花费相同;
当1018时,440n<600n,到甲商场购买花费较少.
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因此,当购买小家电台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买小家电10台时,到两家商场购买花费相同;当购买小家电台数多于10台时,到甲商场购买花费较少.课时跟踪检测(四) 等差数列的性质及应用
A级——综合提能
1.等差数列{an}的前三项依次为x,2x+1,4x+2,则x的值为 ( )
A.5x+15 B.2x+1
C.2 D.0
2.在等差数列{an}中,已知a4=2,a8=14,则a15等于 ( )
A.32 B.-32
C.35 D.-35
3.已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m的值为 ( )
A.12 B.8
C.6 D.4
4.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π,则tan(a2+a12)的值为 ( )
A. B.±
C.- D.-
5.已知等差数列{an}递增且满足a1+a8=6,则a6的取值范围是 ( )
A.(-∞,3) B.(3,6)
C.(3,+∞) D.(6,+∞)
6.在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N+,则am+n的值为 .
7.已知等差数列{an}满足am-1+am+1--1=0,且m>1,则a1+a2m-1= .
8.设a>0,b>0,若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项,则2a+b= .
9.若数列是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c的调和中项.
(1)求和1的调和中项;
(2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式.
10.已知{an}为等差数列,且a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24.
(1)求a20的值;
(2)若bn=an-,试判断数列{bn}从哪一项开始大于0.
B级——应用创新
11.设数列{an},{bn}都是等差数列,且a1=25,b1=75,a2+b2=100,则由an+bn所组成的数列的第37项的值为 ( )
A.0 B.37
C.100 D.-37
12.[多选]若数列{an}是等差数列,公差d>0,则下列对数列{bn}的判断正确的是 ( )
A.若bn=-an,则数列{bn}是递减数列
B.若bn=,则数列{bn}是递增数列
C.若bn=an+an+1,则数列{bn}是公差为d的等差数列
D.若bn=an+n,则数列{bn}是公差为d+1的等差数列
13.[多选]《周髀算经》中有这样一个问题:冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则 ( )
A.冬至的日影子长最长,为15.5尺
B.立夏比谷雨的日影子长多1尺
C.大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列
D.清明的日影子长为8.5尺
14.在如表所示的5×5矩形的25个空格中填入正整数,使得每一行,每一列都成等差数列,则标有*号的空格应填的数是 .
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0 x 2x
15.有一批小家电原销售价格为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销:买一台单价为780元,买两台单价为760元,以此类推,每多买一台则所购买各台的单价均减少20元,但每台最少不低于440元;乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类小家电,则去哪一家商场购买花费较少
课时跟踪检测(四)
1.D
2.选C 由a8-a4=(8-4)d=4d,得d=3,所以a15=a8+(15-8)d=14+7×3=35.
3.选B 由等差数列的性质,得a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8,又d≠0,∴m=8.
4.选D 由等差数列的性质,得a1+a7+a13=3a7=4π,∴a7=.tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan=-.
5.选C 因为{an}为等差数列,设公差为d,又数列{an}递增,所以d>0.所以a1+a8=a3+a6=2a6-3d=6,则2a6-6=3d>0,解得a6>3.
6.解析:设等差数列的公差为d,则d===-1,从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0.
答案:0
7.解析:因为数列{an}为等差数列,则am-1+am+1=2am,则am-1+am+1--1=0可化为2am--1=0,解得am=1,所以a1+a2m-1=2am=2.
答案:2
8.解析:∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项,∴2ln 3=ln 9a+ln 3b,∴ln 32=ln(9a·3b)=ln 32a+b,∴32=32a+b,∴2a+b=2.
答案:2
9.解:(1)设和1的调和中项为b,依题意得3,,1成等差数列,所以==2,解得b=,
故和1的调和中项为.
(2)依题意,是等差数列,设其公差为d,
则3d=- d=,
所以=+(n-1)d=+(n-1)=,
故an=.
10.解:(1)因为a1+a3+a5=18,a2+a4+a6=24,所以a3=6,a4=8,则公差d=2,
所以a20=a3+17d=40.
(2)由(1)得an=a3+(n-3)d=6+(n-3)×2=2n,所以bn=×2n-=3n-.
由bn>0,即3n->0,得n>,
所以数列{bn}从第7项开始大于0.
11.选C 设cn=an+bn,由于{an},{bn}都是等差数列,则{cn}也是等差数列,设其公差为d,则c1=a1+b1=25+75=100,c2=a2+b2=100.故d=c2-c1=0.故cn=100(n∈N+).从而c37=100.
12.选AD 由an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)且d>0,得bn=-an=-dn+(d-a1),即数列{bn}是递减数列,故A正确;由bn==[dn+(a1-d)]2,当d>a1时,如d=1,a1=-2,数列{bn}先减后增,故B错误;由bn=an+an+1=2dn+(2a1-d),则数列{bn}是公差为2d的等差数列,故C错误;由bn=an+n=(d+1)n+(a1-d),则数列{bn}是公差为d+1的等差数列,故D正确.
13.选ACD 依题意,从冬至起,日影子长依次记为a1,a2,…,a12,则数列{an}(n∈N+,n≤12)是等差数列,因此,a1+a4+a7=37.5,而a1+a7=2a4,解得a4=12.5,又a12=4.5,设数列{an}的公差为d,于是得:解得a1=15.5,d=-1,A正确;a10-a9=-1,立夏比谷雨的日影子长少1尺,B不正确;而a3,a5,a7成等差数列,即大寒、雨水、春分的日影子长成等差数列,C正确;a8=a1+(8-1)d=8.5,即清明的日影子长为8.5尺,D正确.
14.解析:记aij为第i行第j列的格中所填的数,则a52=x,a41=y.由第3行得a33=,由第3列得a33=2×103-2x,所以2x+y=113①.由第1列得a21=3y,则由第2行得a23=2×74-3y,
由第3列得a33+103=a23+2x,则a23=3×103-4x,所以2×74-3y=3×103-4x,即4x-3y=161②,
解①②,得x=50,y=13,所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172,a13=2a33-a53=112,a14==142,故标有*号的空格应填的数是142.
答案:142
15.解:设某单位需购买小家电n台.
在甲商场购买时,所买小家电的售价构成等差数列{an},an=780+(n-1)×(-20)=-20n+800,由an=-20n+800≥440,解得n≤18,即购买台数不超过18台时,每台售价(800-20n)元;
购买台数超过18台时,每台售价440元.
到乙商场购买时,每台售价为800×75%=600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800-20n)n-600n=20n(10-n).当n<10时,(800-20n)n>600n,到乙商场购买花费较少;当n=10时,(800-20n)n=600n,到甲、乙商场购买花费相同;当1018时,440n<600n,到甲商场购买花费较少.
因此,当购买小家电台数少于10台时,到乙商场购买花费较少;当购买小家电10台时,到两家商场购买花费相同;当购买小家电台数多于10台时,到甲商场购买花费较少.
