2.2.1 等差数列的前n项和公式(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.理解并应用等差数列前n项和的性质.
1.等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和公式
[微点助解]
(1)公式Sn=反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.
(2)由公式Sn=na1+d知d=0时,Sn=na1;d≠0时,等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”.
(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
2.等差数列前n项和的常见性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为 .
(2)若Sn,S2n,S3n,…分别为等差数列{an}的前n项,前2n项,前3n项,…和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为 .
(3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.
(4)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇= ,=(S奇≠0).
(5)若等差数列的项数为2n+1,则=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项),S偶-S奇=-an+1,= (S奇≠0).
(6)在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则=-(m+n).
上述性质可用于小题,大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn,S2n,S3n,…成等差数列.
[基点训练]
1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10= ( )
A.-20 B.-40
C.-60 D.-80
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于 ( )
A.72 B.54
C.36 D.18
3.已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项的和是 ( )
A.112 B.51
C.28 D.18
题型(一) 等差数列前n项和的基本运算
[例1] (1)已知{an}为等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,an=11,Sn=35,求a1,n;
(2)在等差数列{an}中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10.
听课记录:
[变式拓展]
本例(1)中,将“d=2”改为“a1=3”,其他条件不变,求n和公差d.
[思维建模]
(1)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,特别地,m+n=2r,则2ar=am+an,常与求和公式Sn=结合使用.
[针对训练]
1.(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,a3+a7= ( )
A.-2 B.
C.1 D.
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= .
题型(二) 等差数列前n项和公式的应用
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)求证:数列{an}是等差数列.
听课记录:
[变式拓展]
若本例中数列{an}的前n项和为Sn=3n2+4n+1(n∈N+).求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列,若是,请证明;若不是,请说明理由.
[思维建模]
由Sn求得通项公式an的特点:若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列.
[针对训练]
3.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r.
(1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列;
(2)若数列{an}是等差数列,求r满足的条件.
题型(三) 等差数列前n项和的性质及应用
[例3] 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110.
听课记录:
[思维建模]
等差数列前n项和运算的几种思维方法
(1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解.
(2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算.
(3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列进行求解.
[针对训练]
4.在项数为2n+1的等差数列中,若所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n= ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 023,-=6,则S2 025= .
等差数列的前n项和公式
课前环节
1.Sn= Sn=na1+d 2.(1) (2)n2d (4)nd (5)
[基点训练]
1.选D 由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×(-2)=-80.
2.选A 由a4=18-a5,可得a4+a5=18,所以S8==4(a4+a5)=4×18=72,故选A.
3.选C 由题意知,解得则S7=7a1+d=28,故选C.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:(1)由题设可得
解得或
(2)由题设可得
即解得
故a10=2+3×(10-1)=29.
[变式拓展]
解:法一 由
得解得
法二 ∵a1=3,an=11,Sn=35,
∴35==7n,即n=5.
又11=3+(5-1)d,∴d=2.
[针对训练]
1.选D 法一 利用等差数列的基本量 由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9=9a1+d=1 9a1+36d=1.
又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=(9a1+36d)=.
法二 利用等差数列的性质 根据等差数列的性质,得a1+a9=a3+a7,由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9===1,故a3+a7=.
法三 特殊值法 不妨取等差数列公差d=0,则S9=1=9a1 a1=,则a3+a7=2a1=.
2.解析:法一 设等差数列{an}的公差为d,则由a2+a6=2,得a1+d+a1+5d=2,即-4+6d=2,解得d=1,所以S10=10×(-2)+×1=25.
法二 设等差数列{an}的公差为d,因为a2+a6=2a4=2,所以a4=1,所以d===1,所以S10=10×(-2)+×1=25.
答案:25
[题型(二)]
[例2] 解:(1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+4n-3(n-1)2-4(n-1)=6n+1,
当n=1时,a1=S1=3+4=7,满足an=6n+1,
即数列{an}的通项公式an=6n+1.
(2)证明:∵an=6n+1,
∴当n≥2时,an-an-1=6n+1-6(n-1)-1=6为常数,则数列{an}是等差数列.
[变式拓展]
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+4n+1-3(n-1)2-4(n-1)-1=6n+1,
当n=1时,a1=S1=3+4+1=8,
不满足an=6n+1,
所以an=
显然{an}不是等差数列.
[针对训练]
3.解:(1)证明:当r=0时,Sn=25n-2n2,令n=1,S1=25-2=23,所以n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2,所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,此时a1=27-4=23,所以an=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4,可得数列{an}是公差为-4的等差数列.
(2)Sn=25n-2n2+r,令n=1,得S1=25-2+r=23+r,所以n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2+r,所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4,可得n≥2时,数列{an}是公差为-4的等差数列,若数列{an}是等差数列,则a1=27-4=23=23+r,所以r=0.
[题型(三)]
[例3] 解:法一 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,∵S10=100,S100=10,
∴
解得
∴S110=110a1+d=110×+×=-110.
法二 设等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn.
由题设条件可知
解得故S110=-×1102+×110=-110.
法三 ∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列,
设公差为d,∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10,解得d=-22,
∴前11项和S110=11×100+×(-22)=-110.
法四 由也是等差数列,构造新的等差数列b1==10,b10==,
则d=(b10-b1)=×=-,所以b11==b10+d=+=-1,
∴S110=-110.
法五 直接利用性质Sn=m,Sm=n,Sm+n=-(m+n),可得S110=-110.
[针对训练]
4.选B 根据等差数列前n项和的性质可得==,解得n=10.
5.解析:由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d,则-=6d=6,所以d=1.故=+2 024d=-2 023+2 024=1,所以S2 025=1×2 025=2 025.
答案:2 025(共57张PPT)
等差数列的前n项和公式
(强基课——梯度进阶式教学)
2.2.1
课时目标
1.了解等差数列前n项和公式的推导过程.
2.掌握等差数列前n项和公式.
3.理解并应用等差数列前n项和的性质.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.等差数列的前n项和公式
已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数
求和 公式 ____________ _______________
Sn=
Sn=na1+d
[微点助解]
(1)公式Sn=反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和.
(2)由公式Sn=na1+d知d=0时,Sn=na1;d≠0时,等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”.
(3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数.
2.等差数列前n项和的常见性质
(1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为__.
(2)若Sn,S2n,S3n,…分别为等差数列{an}的前n项,前2n项,前3n项,…和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为_____.
(3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.
n2d
nd
(4)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=___, =(S奇≠0).
(5)若等差数列的项数为2n+1,则=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项),
S偶-S奇=-an+1, =________(S奇≠0).
(6)在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则Sm+n=-(m+n).
上述性质可用于小题,大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn,S2n,
S3n,…成等差数列.
1.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10= ( )
A.-20 B.-40
C.-60 D.-80
解析:由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×(-2)=-80.
基点训练
√
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于 ( )
A.72 B.54
C.36 D.18
解析:由a4=18-a5,可得a4+a5=18,所以S8==4(a4+a5)=4×18=72,故选A.
√
3.已知等差数列{an},若a2=10,a5=1,则{an}的前7项的和是 ( )
A.112 B.51
C.28 D.18
解析:由题意知,解得则S7=7a1+d=28,故选C.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 等差数列前n项和的基本运算
[例1] (1)已知{an}为等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,an=11,Sn=35,求a1,n;
解:由题设可得
解得或
(2)在等差数列{an}中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10.
解: 由题设可得
即解得
故a10=2+3×(10-1)=29.
[变式拓展]
本例(1)中,将“d=2”改为“a1=3”,其他条件不变,求n和公差d.
解:法一 由
得解得
法二 ∵a1=3,an=11,Sn=35,
∴35==7n,即n=5.
又11=3+(5-1)d,∴d=2.
[思维建模]
(1)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq,特别地,m+n=2r,则2ar=am+an,常与求和公式Sn=结合使用.
针对训练
1.(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,a3+a7= ( )
A.-2 B.
C.1 D.
解析:法一 利用等差数列的基本量
由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9=9a1+d=1 9a1+36d=1.又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=(9a1+36d)=.
√
法二 利用等差数列的性质 根据等差数列的性质,得a1+a9=a3+a7,由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9===1,故a3+a7=.
法三 特殊值法 不妨取等差数列公差d=0,则S9=1=9a1 a1=,则a3+a7=2a1=.
2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10= .
解析:法一 设等差数列{an}的公差为d,
则由a2+a6=2,得a1+d+a1+5d=2,
即-4+6d=2,解得d=1,
所以S10=10×(-2)+×1=25.
25
法二 设等差数列{an}的公差为d,
因为a2+a6=2a4=2,所以a4=1,
所以d===1,
所以S10=10×(-2)+×1=25.
题型(二) 等差数列前n项和公式的应用
[例2] 已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n(n∈N+).
(1)求数列{an}的通项公式an;
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+4n-3(n-1)2-4(n-1)=6n+1,
当n=1时,a1=S1=3+4=7,满足an=6n+1,
即数列{an}的通项公式an=6n+1.
(2)求证:数列{an}是等差数列.
解: 证明:∵an=6n+1,
∴当n≥2时,an-an-1=6n+1-6(n-1)-1=6为常数,
则数列{an}是等差数列.
[变式拓展]
若本例中数列{an}的前n项和为Sn=3n2+4n+1(n∈N+).求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列,若是,请证明;若不是,请说明理由.
解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+4n+1-3(n-1)2-4(n-1)-1=6n+1,
当n=1时,a1=S1=3+4+1=8,不满足an=6n+1,
所以an=显然{an}不是等差数列.
[思维建模]
由Sn求得通项公式an的特点:若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列.
针对训练
3.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r.
(1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列;
解:证明:当r=0时,Sn=25n-2n2,令n=1,S1=25-2=23,
所以n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2,
所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,
此时a1=27-4=23,所以an=27-4n,
所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4,
可得数列{an}是公差为-4的等差数列.
(2)若数列{an}是等差数列,求r满足的条件.
解: Sn=25n-2n2+r,令n=1,得S1=25-2+r=23+r,
所以n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2+r,
所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,
所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4,可得n≥2时,数列{an}是公差为-4的等差数列,若数列{an}是等差数列,
则a1=27-4=23=23+r,所以r=0.
题型(三) 等差数列前n项和的性质及应用
[例3] 已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110.
解:法一 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,∵S10=100,S100=10,
∴解得
∴S110=110a1+d=110×+×=-110.
法二 设等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn.
由题设条件可知解得
故S110=-×1102+×110=-110.
法三 ∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列,
设公差为d,∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10,解得d=-22,
∴前11项和S110=11×100+×(-22)=-110.
法四 由也是等差数列,构造新的等差数列b1==10,b10==,
则d=(b10-b1)=×=-,
所以b11==b10+d=+=-1,∴S110=-110.
法五 直接利用性质Sn=m,Sm=n,Sm+n=-(m+n),可得S110=-110.
[思维建模]
等差数列前n项和运算的几种思维方法
(1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解.
(2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算.
(3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列进行求解.
4.在项数为2n+1的等差数列中,若所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n= ( )
A.9 B.10
C.11 D.12
解析:根据等差数列前n项和的性质可得 ==,解得n=10.
针对训练
√
5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 023,-=6,则S2 025=
______.
解析:由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d,则-=6d=6,所以d=1.故=+2 024d=-2 023+2 024=1,所以S2 025=1×2 025=2 025.
2 025
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——综合提能
1.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
解析:等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,所以λ=-1.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
3
4
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=17,S17=340,则数列{an}的公差是 ( )
A.-4 B.-3
C. D.3
解析:因为S17===17a9=340,所以a9=20,又a8=17,所以d=a9-a8=20-17=3.故选D.
√
1
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
3
4
2
3.已知等差数列{an}中,a1=1,Sn为{an}的前n项和,S5=5S3-5,则S4= ( )
A.4 B.-2
C.3 D.-1
解析:记等差数列{an}的公差为d,则S5=5a1+10d=5(3a1+3d)-5,整理得2a1+d-1=0,又a1=1,所以d=-1,所以S4=4×1+×(-1)=-2.故选B.
√
1
5
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13
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3
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2
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9= ( )
A.27 B.45
C.81 D.18
解析:由等差数列{an},得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,可得2(S6-S3)= S3+S9-S6,即2×(36-9)=9+ S9-S6,解得S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.故选B.
√
1
5
6
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8
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11
12
13
14
3
4
2
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5,a1+S11=67,则a3·a12是{an}中的 ( )
A.第30项 B.第36项
C.第48项 D.第60项
√
1
5
6
7
8
9
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2
解析:设公差为d,
则解得
所以an=n,则a3·a12=3×12=36,令an=36,则n=36,所以a3·a12是{an}中的第36项.故选B.
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6.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5
=5,则S10=____.
解析:因为数列an为等差数列,则由题意得解得则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.
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7.等差数列{an},{bn}前n项和分别为Sn,Tn,且=3,则=_____.
解析:由等差数列性质可得==3,解得=.
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8.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N+)均在函数y=2x-3的图象上,则数列{an}的通项公式an= .
解析:依题意得=2n-3,即Sn=2n2-3n,所以数列{an}为等差数列,且a1=S1=-1,a2=S2-S1=3,设其公差为d,则d=4,所以an=4n-5(n∈N+).
4n-5
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9.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:设等差数列{an}的公差为d,由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.
从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
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(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
解: 由(1)可知an=3-2n,
所以Sn==2n-n2.
由Sk=-35,可得2k-k2=-35,
即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.
又k∈N+,故k=7.
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10.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+c,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列.
解:当n=1时,a1=S1=2+c,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n+c)-[(n-1)2+(n-1)+c]=2n.
∴数列{an}的通项公式是an=
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①当c=0时,an=2n为等差数列;
②当c≠0时,a1=2+c≠2×1,∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数,∴{an}不是等差数列.
故当c=0时,{an}是等差数列,当c≠0时,{an}不是等差数列.
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B级——应用创新
11.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则=( )
A. B.
C. D.
√
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解析:由已知得=,可设Sn=kn(3n+5),Tn=kn(4n+6),则a7=S7-S6=182k-138k=44k,b8=T8-T7=304k-238k=66k,即==,故选A.
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12.[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,an+1+an=3n,则 ( )
A.a4=5
B.S20=300
C.S31=720
D.n为奇数时,Sn=
√
√
√
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解析:由an+1+an=3n,则an+2+an+1=3(n+1),两式作差,得an+2-an=3,a1=1,当n为奇数时,{an}是首项为1,公差为3的等差数列,即an=n-;a2=2,当n为偶数时,{an}是首项为2,公差为3的等差数列,即an=n-1.所以a4=a2+3=5,A正确;S20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=+=300,
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B正确;S31=(a1+a3+…+a31)+(a2+a4+…+a30)=+=721,C错误;n为奇数时,
Sn=+=+=,D正确.故选ABD.
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13.已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,在ak和ak+1之间插入k个2(k∈N+)形成一个新数列{bn},则{bn}的前2 024项的和为 .
解析:在数列{bn}中,在ak+1的前面的所有项的项数为k+(1+2+…+k)=
≤2 024,当k=62时,=2 015,即在a63的前面的所有项的项数为2 015,又在a63与a64之间共有63个2,所以数列{bn}的前2 024项中包含数列{an}的项有63项,中间插入2的数量为1+2+…+62+8=1 961,所以数列{bn}的前2 024项和为+1 961×2=7 891.
7 891
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14.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式an;
解:设等差数列{an}的公差为d,且d>0.
∵a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.
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又公差d>0,∴a3
∴∴
∴an=4n-3,n∈N+.
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(2)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.
解: 由(1)知,Sn=n×1+×4=2n2-n,
∴bn==,∴b1=,b2=,b3=.
∵{bn}是等差数列,∴2b2=b1+b3,∴2c2+c=0,∴c=- (c=0舍去).
经检验,c=-符合题意,∴c=-.课时跟踪检测(六) 等差数列的前n项和公式
A级——综合提能
1.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是 ( )
A.-2 B.-1
C.0 D.1
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=17,S17=340,则数列{an}的公差是 ( )
A.-4 B.-3
C. D.3
3.已知等差数列{an}中,a1=1,Sn为{an}的前n项和,S5=5S3-5,则S4= ( )
A.4 B.-2
C.3 D.-1
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9= ( )
A.27 B.45
C.81 D.18
5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且a5=5,a1+S11=67,则a3·a12是{an}中的 ( )
A.第30项 B.第36项
C.第48项 D.第60项
6.(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10= .
7.等差数列{an},{bn}前n项和分别为Sn,Tn,且=3,则= .
8.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N+)均在函数y=2x-3的图象上,则数列{an}的通项公式an= .
9.在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.
10.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+c,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列.
B级——应用创新
11.已知等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且=,则= ( )
A. B.
C. D.
12.[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1,a2=2,an+1+an=3n,则 ( )
A.a4=5
B.S20=300
C.S31=720
D.n为奇数时,Sn=
13.已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,在ak和ak+1之间插入k个2(k∈N+)形成一个新数列{bn},则{bn}的前2 024项的和为 .
14.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足:a3a4=117,a2+a5=22.
(1)求数列{an}的通项公式an;
(2)若数列{bn}是等差数列,且bn=,求非零常数c.
课时跟踪检测(六)
1.选B 等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,所以λ=-1.
2.选D 因为S17===17a9=340,所以a9=20,又a8=17,所以d=a9-a8=20-17=3.故选D.
3.选B 记等差数列{an}的公差为d,则S5=5a1+10d=5(3a1+3d)-5,整理得2a1+d-1=0,又a1=1,所以d=-1,所以S4=4×1+×(-1)=-2.故选B.
4.选B 由等差数列{an},得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,可得2(S6-S3)= S3+S9-S6,即2×(36-9)=9+ S9-S6,解得S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.故选B.
5.选B 设公差为d,
则
解得
所以an=n,则a3·a12=3×12=36,
令an=36,则n=36,所以a3·a12是{an}中的第36项.故选B.
6.解析:因为数列an为等差数列,则由题意得解得
则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.
答案:95
7.解析:由等差数列性质可得==3,解得=.
答案:
8.解析:依题意得=2n-3,即Sn=2n2-3n,所以数列{an}为等差数列,且a1=S1=-1,a2=S2-S1=3,设其公差为d,则d=4,所以an=4n-5(n∈N+).
答案:4n-5
9.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.
从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.
(2)由(1)可知an=3-2n,
所以Sn==2n-n2.
由Sk=-35,可得2k-k2=-35,
即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.
又k∈N+,故k=7.
10.解:当n=1时,a1=S1=2+c,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n+c)-[(n-1)2+(n-1)+c]=2n.
∴数列{an}的通项公式是an=
①当c=0时,an=2n为等差数列;
②当c≠0时,a1=2+c≠2×1,∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数,∴{an}不是等差数列.
故当c=0时,{an}是等差数列,当c≠0时,{an}不是等差数列.
11.选A 由已知得=,可设Sn=kn(3n+5),Tn=kn(4n+6),则a7=S7-S6=182k-138k=44k,b8=T8-T7=304k-238k=66k,即==,故选A.
12.选ABD 由an+1+an=3n,则an+2+an+1=3(n+1),两式作差,得an+2-an=3,a1=1,当n为奇数时,{an}是首项为1,公差为3的等差数列,即an=n-;a2=2,当n为偶数时,{an}是首项为2,公差为3的等差数列,即an=n-1.所以a4=a2+3=5,A正确;S20=(a1+a3+…+a19)+
(a2+a4+…+a20)=+=300,B正确;S31=(a1+a3+…+a31)+(a2+a4+…+a30)=+=721,C错误;
n为奇数时,Sn=+=+=,D正确.故选ABD.
13.解析:在数列{bn}中,在ak+1的前面的所有项的项数为k+(1+2+…+k)=≤2 024,当k=62时,=2 015,即在a63的前面的所有项的项数为 2 015,又在a63与a64之间共有63个2,所以数列{bn}的前2 024项中包含数列{an}的项有63项,中间插入2的数量为1+2+…+62+8=1 961,所以数列{bn}的前2 024项和为+1 961×2=7 891.
答案:7 891
14.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,且d>0.
∵a3+a4=a2+a5=22,又a3a4=117,
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根.
又公差d>0,∴a3∴∴∴an=4n-3,n∈N+.
(2)由(1)知,Sn=n×1+×4=2n2-n,
∴bn==,
∴b1=,b2=,b3=.
∵{bn}是等差数列,
∴2b2=b1+b3,
∴2c2+c=0,∴c=- (c=0舍去).
经检验,c=-符合题意,∴c=-.