2.2.2 等差数列前n项和的应用(深化课——题型研究式教学)
课时目标
能构造等差数列求和模型,解决实际问题;能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.
题型(一) 等差数列前n项和的实际应用
[例1] 某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线
听课记录:
[思维建模] 应用等差数列解决实际问题的一般思路
[针对训练]
1.老张为锻炼身体,增强体质,计划从下个月1号开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里,则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为 ( )
A.8 B.9
C.13 D.14
题型(二) 等差数列前n项和的最值问题
1.等差数列前n项和公式的函数特征
由Sn=na1+d=dn2+n,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A≠0);当d=0时,Sn=na1,Sn是关于n的一次函数.
2.等差数列前n项和的最值
(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.
(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值.
[例2] 在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.
听课记录:
[变式拓展]
1.在本例中,根据第(2)题的结果,若Sn=0,求n.
2.将本例变为:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大
[思维建模]
等差数列前n项和的最值问题的三种解法
(1)利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
(2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数配方法求取得最值时n的值.
(3)利用二次函数的图象的对称性.
[针对训练]
2.[多选]设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则 ( )
A.d>0
B.a8=0
C.S7或S8为Sn的最大值
D.S5>S6
题型(三) 求数列{|an|}的前n项和
[例3] 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
听课记录:
[思维建模]
由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧
常先由Sn的最值判断出哪些项为正,哪些项为负或先求出an,解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正,哪些项为负.
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.
(2)若前k项为负,从k+1项开始以后的项非负,则{|an|}的前n项和Tn=
(3)若前k项为正,以后各项非正,则Tn=
(4)也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和.
[针对训练]
3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1,若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则T30= ( )
A.578 B.579
C.580 D.581
等差数列前n项和的应用
[题型(一)]
[例1] 解:从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-.25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500,而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线.
[针对训练]
1.选B 由已知可得这20天日跑步量成等差数列,记为{an},设其公差为d,前n项和为Sn,且a1=3,则S20=20a1+d,即20×3+d=98,解得d=,所以an=a1+(n-1)d=3+(n-1)·=+.由an>5,得+>5,解得n>11,所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20-11=9,故选B.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
由题意得解得
∴an=3n-12.
(2)法一 Sn==(3n2-21n)=-,
∴当n=3或4时,前n项和取得最小值,
最小值为S3=S4=-18.
法二 设Sn最小,则
即解得3≤n≤4,
又n∈N+,∴当n=3或n=4时,前n项和取得最小值,最小值为S3=S4=-18.
[变式拓展]
1.解:法一 因为S3=S4=-18为Sn的最小值,由二次函数的图象可知,其对称轴为x=,所以当x=0和x=7时,图象与x轴的交点为(0,0),(7,0),又n∈N+,所以S7=0,所以n=7.
法二 因为S3=S4,所以a4=S4-S3=0,故S7=×7×(a1+a7)=7a4=0,所以n=7.
2.解:法一 要求数列前多少项的和最大,从函数的观点来看,即求二次函数Sn=an2+bn的最大值,故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时,Sn最大.由S3=S11,可得3a1+d=11a1+d,即d=-a1.
从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,又a1>0,所以-<0.
故当n=7时,Sn最大.
法二 由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数,由S3=S11,可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由法一可知a=-<0,故当n=7时,Sn最大.
[针对训练]
2.选BC a1>0且S6=S9,∴6a1+d=9a1+d,化为a1+7d=0,可得a8=0,d<0.S7或S8为Sn的最大值,S5
[题型(三)]
[例3] 解:a1=S1=-×12+×1=101.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-3n+104.
∵n=1也适合上式,
∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104.
由an=-3n+104≥0得n≤34,
即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0.
法一 ①当n≤34时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n.
②当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=2-=n2-n+3 502.
故Tn=
法二 ①当n≤34时,同法一.
②当n≥35时,
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)
=-
=n2-n+3 502.
故Tn=
[针对训练]
3.选B 当n=1时,a1=S1=14,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=15-2n(n≥2),经检验n=1时,不成立,故得到an=令an<0,则15-2n<0,解得n>,且n≥2,n∈N+.当n≤7时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=+1=(14-n)n+1;当n≥8时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+a7-(a8+a9+…+an)=S7-(Sn-S7)=2S7-Sn=100-(14n-n2+1)=n2-14n+99.
故Tn=T30=579.故选B.(共52张PPT)
等差数列前n项和的应用
(深化课——题型研究式教学)
2.2.2
课时目标
能构造等差数列求和模型,解决实际问题;能够利用等差数列前n项和的函数性质求其前n项和的最值.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)
等差数列前n项和的实际应用
题型(二)
等差数列前n项和的最值问题
题型(三) 求数列{|an|}的前n项和
4
课时跟踪检测
题型(一) 等差数列前n项和的实际应用
[例1] 某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线
解:从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2,…,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-.25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500,而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线.
[思维建模] 应用等差数列解决实际问题的一般思路
针对训练
1.老张为锻炼身体,增强体质,计划从下个月1号开始慢跑,第一天跑步3公里,以后每天跑步比前一天增加的距离相同.若老张打算用20天跑完98公里,则预计这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为 ( )
A.8 B.9
C.13 D.14
√
解析:由已知可得这20天日跑步量成等差数列,记为{an},设其公差为d,前n项和为Sn,且a1=3,则S20=20a1+d,即20×3+d=98,解得d=,所以an=a1+(n-1)d=3+(n-1)·=+.由an>5,得+>5,解得n>11,所以这20天中老张日跑步量超过5公里的天数为20-11=9,故选B.
题型(二) 等差数列前n项和的最值问题
1.等差数列前n项和公式的函数特征
由Sn=na1+d=dn2+n,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A≠0);当d=0时,Sn=na1,Sn是关于n的一次函数.
2.等差数列前n项和的最值
(1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值.
(2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值.
特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值.
[例2] 在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:设等差数列{an}的公差为d,
由题意得解得
∴an=3n-12.
(2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值.
解: 法一 Sn==(3n2-21n)=-,
∴当n=3或4时,前n项和取得最小值,
最小值为S3=S4=-18.
法二 设Sn最小,则即
解得3≤n≤4,又n∈N+,∴当n=3或n=4时,前n项和取得最小值,最小值为S3=S4=-18.
[变式拓展]
1.在本例中,根据第(2)题的结果,若Sn=0,求n.
解:法一 因为S3=S4=-18为Sn的最小值,由二次函数的图象可知,其对称轴为x=,所以当x=0和x=7时,图象与x轴的交点为(0,0),(7,0),又n∈N+,所以S7=0,所以n=7.
法二 因为S3=S4,所以a4=S4-S3=0,故S7=×7×(a1+a7)=7a4=0,所以n=7.
2.将本例变为:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大
解:法一 要求数列前多少项的和最大,从函数的观点来看,即求二次函数Sn=an2+bn的最大值,故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时,Sn最大.由S3=S11,可得3a1+d=11a1+d,即d=-a1.
从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,又a1>0,所以-<0.故当n=7时,Sn最大.
法二 由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数,由S3=S11,可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由法一可知a=-<0,故当n=7时,Sn最大.
[思维建模]
等差数列前n项和的最值问题的三种解法
(1)利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值.
(2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数配方法求取得最值时n的值.
(3)利用二次函数的图象的对称性.
针对训练
2.[多选]设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则 ( )
A.d>0 B.a8=0
C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6
解析:a1>0且S6=S9,∴6a1+d=9a1+d,化为a1+7d=0,可得a8=0,d<0.S7或S8为Sn的最大值,S5√
√
题型(三) 求数列{|an|}的前n项和
[例3] 已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn.
解:a1=S1=-×12+×1=101.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=
-3n+104.
∵n=1也适合上式,∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104.
由an=-3n+104≥0得n≤34,即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0.
法一 ①当n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n.
②当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+
a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=2-=n2-n+3 502.
故Tn=
法二 ①当n≤34时,同法一.
②当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)
=-=n2-n+3 502.故Tn=
[思维建模]
由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧
常先由Sn的最值判断出哪些项为正,哪些项为负或先求出an,解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正,哪些项为负.
(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.
(2)若前k项为负,从k+1项开始以后的项非负,则{|an|}的前n项和Tn=
(3)若前k项为正,以后各项非正,则Tn=
(4)也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和.
针对训练
3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1,若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则T30= ( )
A.578 B.579
C.580 D.581
解析:当n=1时,a1=S1=14,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=15-2n(n≥2),经检验n=1时,不成立,故得到an=令an<0,则15-2n<0,解得n>,且n≥2,n∈N+.
√
当n≤7时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an=
+1=(14-n)n+1;当n≥8时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+a7-(a8+a9
+…+an)=S7-(Sn-S7)=2S7-Sn=100-(14n-n2+1)=n2-14n+99.故Tn=T30=579.故选B.
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A级——综合提能
1.等差数列{an}中,d=2,S3=-24,其前n项和Sn取最小值时n的值为( )
A.5 B.6
C.7 D.5或6
√
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解析:由d=2,S3=3a1+3d=-24,得a1=-10.令an=-10+(n-1)×2=0,解得n=6,所以a6=0.从而S5=S6均为最小值.
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2.已知等差数列{an}是无穷数列,若a1A.无最大值,有最小值 B.有最大值,无最小值
C.有最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值
解析:由数列{an}为等差数列,且a10,故数列{an}为递增数列,且a1<0,所以Sn有最小值,无最大值.
√
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3.若数列{an}满足an+1=an+2,且a3+a10=4,那么数列{an}的前n项和Sn的最小值是 ( )
A.S1 B.S5
C.S6 D.S11
√
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解析:根据an+1=an+2,可得an+1-an=2,所以数列{an}是公差为2的等差数列,再由a3+a10=2a1+11d=4,可得a1=-9,所以an=2n-11,Sn=-9n+×
2=n2-10n=(n-5)2-25,所以前n项和Sn取得最小值时,n=5.故选B.
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4.《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作,其中有物不知数问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何 意思是:有一些物品,不知道有多少个,只知道将它们三个三个地数,会剩下2个;五个五个地数,会剩下3个;七个七个地数,也会剩下2个.这些物品的数量是多少个 若一个正整数除以三余二,除以五余三,将这样的正整数由小到大排列,则前5个数的和为 ( )
A.189 B.190
C.191 D.192
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解析:根据题意,除以3余2,除以5余3的数,构成首项为8,公差为15的等差数列,则an=8+(n-1)×15=15n-7,所以将这样的正整数由小到大排列,则前5个数的和为=190.故选B.
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5.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=11,a5=3,则 ( )
A.S5=35 B.an=13-2n
C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36
√
√
√
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解析:设等差数列{an}的公差为d,则a5=a1+4d=11+4d=3,解得d=-2.
S5=5a1+d=5×11+10×(-2)=35,A正确;an=a1+(n-1)d=11-2(n-1)=13-2n,B正确;|an|=|13-2n|=故当n=6或7时,|an|取最小值1,C错误;Sn=na1+=11n-n(n-1)=-n2+12n=-(n-6)2+36,故当n=6时,Sn取得最大值36,D正确.故选ABD.
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6.等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为 .
解析:∵∴∴Sn的最大值为S5.
S5
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7.某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为_____万元.
解析:由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元,即每年的维修费构成以12为首项,4为公差的等差数列,则S10=10×12+×10×9×4=
300(万元).
300
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8.在等差数列{an}中,已知公差d>0,a3+a5=-4,a2a6=-12,则数列{|an|}的前4项和S4= .
解析:由
解得或(舍去).
故an=2n-10,当n≤4时,an<0,∴S4=-=20.
20
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9.等差数列{an}满足a4=11,a7=2,前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:设首项为a1,公差为d,
因为等差数列{an}满足a4=11,a7=2,
所以解得
所以an=20-3(n-1)=23-3n.
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(2)求Sn的最大值.
解: 因为当n≤7时,an=23-3n>0,
当n≥8时,an=23-3n<0,
所以Sn的最大值为S7.
因为a7=23-3×7=2,所以S7=×7=77.
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10.(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
解:设{an}的公差为d,则
解得a1=13,d=-2.
所以{an}的通项公式为an=13+(n-1)·(-2)=15-2n.
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(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
解: 由(1)得|an|=
当n≤7时,Tn=13n+×(-2)=14n-n2,
当n≥8时,Tn=T7+1+3+5+…+(2n-15)=T7+1+3+5+…+[2(n-7)-1]=14×7-72+=98-14n+n2.综上,Tn=
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B级——应用创新
11.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,n>(n+1)Sn(n∈N+),且<-1,则在Sn中( )
A.最小值是S7 B.最小值是S8
C.最大值是S8 D.最大值是S7
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解析:由n>(n+1)Sn,得>,即->0.而-=,所以d>0.因为<-1,所以<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7.
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12.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S8=-556,an+2-an=6,则 ( )
A.an=3n-83
B.{Sn}中的最小值为S28
C.使Sn<0的n的最大值为52
D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37
√
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解析:依题意,等差数列{an}的公差d==3,由S8=-556,得8a1+28×3
=-556,解得a1=-80,数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=3n-83,A正确;显然等差数列{an}是递增数列,且a27<0,a28>0,则{Sn}中的最小值为S27,B错误;又Sn==,由Sn<0,得0=81×27=37,D正确.故选AD.
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解:设等差数列{an}的公差为d.
因为bn=所以b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,
b3=a3-6=a1+2d-6.
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因为S4=32,T3=16,
所以
整理得解得
所以{an}的通项公式为an=2n+3.
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(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
解: 证明:由(1)知an=2n+3,所以Sn==n2+4n.
当n为奇数时,Tn=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3
=[-1+3+7+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+30+…+(4n+2)]=
+=.
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当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)==>0,所以Tn>Sn.
当n为偶数时,Tn=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]=
[-1+3+7+…+(2n-5)]+[14+22+30+…+(4n+6)]
=+=.
当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)==>0,所以Tn>Sn.
综上可知,当n>5时,Tn>Sn.
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14.某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同公顷数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同公顷数的土地沙化,具体情况如下表所示:
而一旦植完,则不会被沙化.
(1)每年沙化的土地公顷数为多少
2022年 2023年 2024年
新植公顷数 1 000 1 400 1 800
沙地公顷数 25 200 24 000 22 400
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解:依题意,每年比上一年多造林400公顷,其中2023年新植1 400公顷,
故当年沙地应为25 200-1 400=23 800公顷,而实际沙地面积为24 000公顷,所以2023年沙化土地面积为24 000-23 800=200公顷,
同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷.
所以每年沙化的土地面积为200公顷.
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(2)到哪一年可绿化完全部荒沙地
解: 设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1,a2,a3,…,an,则an=
1 800+(n-1)×400=400n+1 400,所以n年造林的面积总和为Sn=1 800n+
×400,
由(1)知,每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷,依题意可得Sn-200n≥24 000,化简得n2+7n-120≥0,解得n≥8.
故8年,即到2031年可绿化完全部荒沙地.课时跟踪检测(七) 等差数列前n项和的应用
A级——综合提能
1.等差数列{an}中,d=2,S3=-24,其前n项和Sn取最小值时n的值为 ( )
A.5 B.6
C.7 D.5或6
2.已知等差数列{an}是无穷数列,若a1A.无最大值,有最小值 B.有最大值,无最小值
C.有最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值
3.若数列{an}满足an+1=an+2,且a3+a10=4,那么数列{an}的前n项和Sn的最小值是 ( )
A.S1 B.S5
C.S6 D.S11
4.《孙子算经》是我国南北朝时著名的数学著作,其中有物不知数问题:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何 意思是:有一些物品,不知道有多少个,只知道将它们三个三个地数,会剩下2个;五个五个地数,会剩下3个;七个七个地数,也会剩下2个.这些物品的数量是多少个 若一个正整数除以三余二,除以五余三,将这样的正整数由小到大排列,则前5个数的和为 ( )
A.189 B.190
C.191 D.192
5.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=11,a5=3,则 ( )
A.S5=35 B.an=13-2n
C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36
6.等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为 .
7.某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为 万元.
8.在等差数列{an}中,已知公差d>0,a3+a5=-4,a2a6=-12,则数列{|an|}的前4项和S4= .
9.等差数列{an}满足a4=11,a7=2,前n项和为Sn.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求Sn的最大值.
10.(2023·全国乙卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.
B级——应用创新
11.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,n>(n+1)Sn(n∈N+),且<-1,则在Sn中 ( )
A.最小值是S7 B.最小值是S8
C.最大值是S8 D.最大值是S7
12.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S8=-556,an+2-an=6,则 ( )
A.an=3n-83
B.{Sn}中的最小值为S28
C.使Sn<0的n的最大值为52
D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37
13.(2023·新课标Ⅱ卷)已知{an}为等差数列,bn=记Sn,Tn分别为数列{an},{bn}的前n项和,S4=32,T3=16.
(1)求{an}的通项公式;
(2)证明:当n>5时,Tn>Sn.
14.某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同公顷数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同公顷数的土地沙化,具体情况如下表所示:
2022年 2023年 2024年
新植公顷数 1 000 1 400 1 800
沙地公顷数 25 200 24 000 22 400
而一旦植完,则不会被沙化.
(1)每年沙化的土地公顷数为多少
(2)到哪一年可绿化完全部荒沙地
课时跟踪检测(七)
1.选D 由d=2,S3=3a1+3d=-24,得a1=-10.令an=-10+(n-1)×2=0,解得n=6,所以a6=0.从而S5=S6均为最小值.
2.选A 由数列{an}为等差数列,且a10,故数列{an}为递增数列,且a1<0,所以Sn有最小值,无最大值.
3.选B 根据an+1=an+2,可得an+1-an=2,所以数列{an}是公差为2的等差数列,再由a3+a10=2a1+11d=4,可得a1=-9,所以an=2n-11,Sn=-9n+×2=n2-10n=(n-5)2-25,所以前n项和Sn取得最小值时,n=5.故选B.
4.选B 根据题意,除以3余2,除以5余3的数,构成首项为8,公差为15的等差数列,则an=8+(n-1)×15=15n-7,所以将这样的正整数由小到大排列,则前5个数的和为=190.故选B.
5.选ABD 设等差数列{an}的公差为d,则a5=a1+4d=11+4d=3,解得d=-2.S5=5a1+d=5×11+10×(-2)=35,A正确;an=a1+(n-1)d=11-2(n-1)=13-2n,B正确;|an|=|13-2n|=故当n=6或7时,|an|取最小值1,C错误;Sn=na1+=11n-n(n-1)=-n2+12n=-(n-6)2+36,故当n=6时,Sn取得最大值36,D正确.故选ABD.
6.解析:∵
∴∴Sn的最大值为S5.
答案:S5
7.解析:由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元,即每年的维修费构成以12为首项,4为公差的等差数列,则S10=10×12+×10×9×4=300(万元).
答案:300
8.解析:由
解得或(舍去).
故an=2n-10,当n≤4时,an<0,
∴S4=-=20.
答案:20
9.解:(1)设首项为a1,公差为d,
因为等差数列{an}满足a4=11,a7=2,
所以解得
所以an=20-3(n-1)=23-3n.
(2)因为当n≤7时,an=23-3n>0,
当n≥8时,an=23-3n<0,
所以Sn的最大值为S7.
因为a7=23-3×7=2,
所以S7=×7=77.
10.解:(1)设{an}的公差为d,
则
解得a1=13,d=-2.
所以{an}的通项公式为an=13+(n-1)·(-2)=15-2n.
(2)由(1)得|an|=
当n≤7时,
Tn=13n+×(-2)=14n-n2,
当n≥8时,Tn=T7+1+3+5+…+(2n-15)=T7+1+3+5+…+[2(n-7)-1]=14×7-72+=98-14n+n2.
综上,Tn=
11.选A 由n>(n+1)Sn,得>,即->0.而-=,所以d>0.因为<-1,所以<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7.
12.选AD 依题意,等差数列{an}的公差d==3,由S8=-556,得8a1+28×3=-556,解得a1=-80,数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=3n-83,A正确;显然等差数列{an}是递增数列,且a27<0,a28>0,则{Sn}中的最小值为S27,B错误;又Sn==,由Sn<0,得013.解:(1)设等差数列{an}的公差为d.
因为bn=所以b1=a1-6,b2=2a2=2a1+2d,b3=a3-6=a1+2d-6.
因为S4=32,T3=16,
所以
整理得解得
所以{an}的通项公式为an=2n+3.
(2)证明:由(1)知an=2n+3,
所以Sn==n2+4n.
当n为奇数时,Tn=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-7)+(4n+2)]+2n-3=[-1+3+7+…+(2n-7)+(2n-3)]+[14+22+30+…+(4n+2)]=+=.
当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)==>0,所以Tn>Sn.
当n为偶数时,Tn=(-1+14)+(3+22)+(7+30)+…+[(2n-5)+(4n+6)]=[-1+3+7+…+(2n-5)]+[14+22+30+…+(4n+6)]=+=.
当n>5时,Tn-Sn=-(n2+4n)==>0,所以Tn>Sn.
综上可知,当n>5时,Tn>Sn.
14.解:(1)依题意,每年比上一年多造林400公顷,其中2023年新植1 400公顷,
故当年沙地应为25 200-1 400=23 800公顷,而实际沙地面积为24 000公顷,所以2023年沙化土地面积为24 000-23 800=200公顷,
同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷.
所以每年沙化的土地面积为200公顷.
(2)设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1,a2,a3,…,an,则an=1 800+(n-1)×400=400n+1 400,所以n年造林的面积总和为Sn=1 800n+×400,
由(1)知,每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷,依题意可得Sn-200n≥24 000,
化简得n2+7n-120≥0,解得n≥8.
故8年,即到2031年可绿化完全部荒沙地.