3.1.1 等比数列的概念及其通项公式
(概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念,掌握等比数列通项公式的意义.
2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程,能利用公式进行简单运算.
逐点清(一) 等比数列的概念
[多维度理解]
如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比值都是 常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).
[微点助解]
(1)定义强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)等比数列的公比q可正可负,但不能为0,等比数列中任一项不为0.
(3)常数列(除0,0,0,…外)都是公比为1的等比数列.
[细微点练明]
1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有 ( )
①数列1,2,6,18,…; ②数列{an}中,已知=2,=2;③常数列a,a,…,a,…;④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2.下列通项公式中代表等比数列的是 ( )
A.an=c B.an=n+1
C.an=n2 D.an=2n
3.判断下列数列是否为等比数列,并写出公比.
(1)1,3,32,33,…,3n-1,…;
(2)-1,1,2,4,8,…;
(3)a1,a2,a3,…,an,….
逐点清(二) 等比数列的通项公式
[多维度理解]
若首项是a1,公比是q,则等比数列{an}的通项公式为an= (a1≠0,q≠0).
[微点助解]
(1)在已知首项a1,公比q的条件下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项.
(2)可以利用通项公式判断数列是否为等比数列.
(3)an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=….
[细微点练明]
1.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则此数列的公比等于 ( )
A.1 B.2
C.-2 D.-1
2.在递增等比数列{an}中,a3=4,且3a5是a6和a7的等差中项,则a10= ( )
A.256 B.512
C.1 024 D.2 048
3.已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+)=5an+1,求数列{an}的通项公式.
4.在等比数列{an}中,已知a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.
逐点清(三) 等比数列的通项公式与指数型函数的关系
1.当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).
2.由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下:
(1)当或时,等比数列{an}为递增数列;
(2)当或时,等比数列{an}为递减数列.
(3)当q=1时,等比数列{an}为常数列.
(4)当q<0时,等比数列{an}为摆动数列.
[微点助解]
(1)q<0或q=1时,等比数列通项公式不具备指数型函数特点.
(2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,只有q>0且q≠1时存在单调性.
[典例] (1)根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是 ( )
A.an=n B.an=
C.an=2-n D.an=log2n
(2)[多选]下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 ( )
A.q>1 {an}为递增数列
B.{an}为递增数列 q>1
C.0
D.q>1{an}为递增数列,且{an}为递增数列 q>1
听课记录:
[思维建模]
(1)具备“an=kan(k≠0)”形式,如an=2n-1,an=3×为等比数列.
(2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,如a1>0,q>1或a1<0,00,01,{an}递减.
[针对训练]
1.数列{an}是各项均为实数的等比数列,则“a2>a1>0”是“数列{an}为单调递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.已知q是等比数列{an}的公比,则“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
等比数列的概念及其通项公式
[逐点清(一)]
[多维度理解] 2 同一个
[细微点练明]
1.选A ①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A.
2.选D 利用逐个检验,A中,c如果为0,显然不是等比数列;B,C不符合常数;D中,==2为常数,符合.
3.解:(1)记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….∵==3(n≥2,n∈N+),
∴数列为等比数列,且公比为3.
(2)记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,∵=-1≠=2,∴此数列不是等比数列.
(3)当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.
[逐点清(二)]
[多维度理解] a1qn-1
[细微点练明]
1.选B 设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,解得q=2.
2.选B 设等比数列{an}的公比为q,因为3a5是a6和a7的等差中项,所以6a5=a6+a7,即6a5=a5q+a5q2.又因为a5≠0,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.又因为等比数列{an}是递增数列,所以q=2.又因为a3=4,所以a10=a3q7=4×27=512.故选B.
3.解:设等比数列{an}的公比为q,由2(an+an+2)=5an+1 2q2-5q+2=0 q=2或q=,由=a10=a1q9>0 a1>0,又数列{an}递增,所以q=2.=a10 (a1q4)2=a1q9 a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.
4.解:设公比为q,由题意,得
由得q=,∴a1=32.
又an=1,∴32×=1,
即26-n=20,∴n=6.
[逐点清(三)]
[典例] 解析:(1)等比数列的通项公式具有“指数型函数”的结构.
(2)若a1=-2,q=2>1,则{an}的各项为-2,-4,-8,…,是递减数列,A不正确;若等比数列{an}的各项为-16,-8,-4,-2,…,是递增数列,则q=<1,B不正确,D正确;若a1=-16,q=∈(0,1),则{an}的各项为-16,-8,-4,…,显然是递增数列,C不正确.
答案:(1)C (2)ABC
[针对训练]
1.选A ∵a2>a1>0,∴a1q>a1>0,可得q>1,于是数列{an}为单调递增数列;反之不成立,例如数列是单调递增数列,但a1=-<0.∴“a2>a1>0”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不必要条件.故选A.
2.选D 已知q是等比数列{an}的公比,当a1=1,q=-1时,a1(1-q)>0,数列为摆动数列,推不出数列{an}是递增数列.当数列{an}是递增数列时,不妨取an=2n,则a1=2,q=2,不满足a1(1-q)>0.故“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件.(共56张PPT)
等比数列的概念及其通项公式
(概念课——逐点理清式教学)
3.1.1
课时目标
1.通过生活中的实例,理解等比数列的概念,掌握等比数列通项公式的意义.
2.掌握等比数列的通项公式及其推导过程,能利用公式进行简单运算.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 等比数列的概念
逐点清(二) 等比数列的通项公式
逐点清(三) 等比数列的通项公式与
指数型函数的关系
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 等比数列的概念
01
多维度理解
如果一个数列从第___项起,每一项与它的前一项的比值都是_______常数,那么称这样的数列为等比数列,称这个常数为等比数列的公比,通常用字母q表示(q≠0).
2
同一个
[微点助解]
(1)定义强调“从第2项起”,因为第1项没有前一项.
(2)等比数列的公比q可正可负,但不能为0,等比数列中任一项不为0.
(3)常数列(除0,0,0,…外)都是公比为1的等比数列.
1.以下条件中,能判定数列是等比数列的有 ( )
①数列1,2,6,18,…; ②数列{an}中,已知=2,=2;③常数列a,a,…,a,…;
④数列{an}中,=q(q≠0),其中n∈N+.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
细微点练明
解析:①中,数列不符合等比数列的定义,故不是等比数列;②中,前3项是等比数列,多于3项时,无法判定,故不能判定是等比数列;③中,当a=0时,不是等比数列;④中,数列符合等比数列的定义,是等比数列.故选A.
2.下列通项公式中代表等比数列的是 ( )
A.an=c B.an=n+1
C.an=n2 D.an=2n
解析:利用逐个检验,A中,c如果为0,显然不是等比数列;B,C不符合常数;D中,==2为常数,符合.
√
3.判断下列数列是否为等比数列,并写出公比.
(1)1,3,32,33,…,3n-1,…;
解:记数列为{an},显然a1=1,a2=3,…,an=3n-1,….
∵==3(n≥2,n∈N+),
∴数列为等比数列,且公比为3.
(2)-1,1,2,4,8,…;
解:记数列为{an},显然a1=-1,a2=1,a3=2,…,∵=-1≠=2,
∴此数列不是等比数列.
(3)a1,a2,a3,…,an,….
解:当a=0时,数列为0,0,0,…是常数列,不是等比数列;当a≠0时,数列为a1,a2,a3,…,an,…,显然此数列为等比数列,且公比为a.
逐点清(二)
等比数列的通项公式
02
多维度理解
若首项是a1,公比是q,则等比数列{an}的通项公式为an=_______ (a1≠0,q≠0).
a1qn-1
[微点助解]
(1)在已知首项a1,公比q的条件下,利用通项公式可求出等比数列中的任意一项.
(2)可以利用通项公式判断数列是否为等比数列.
(3)an=a1·qn-1=a2·qn-2=a3·qn-3=….
1.已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则此数列的公比等于 ( )
A.1 B.2
C.-2 D.-1
解析:设等比数列{an}的公比为q,因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a1q=4a1+a1q2,即q2-4q+4=0,解得q=2.
√
细微点练明
2.在递增等比数列{an}中,a3=4,且3a5是a6和a7的等差中项,则a10= ( )
A.256 B.512
C.1 024 D.2 048
解析:设等比数列{an}的公比为q,因为3a5是a6和a7的等差中项,所以6a5=a6+a7,即6a5=a5q+a5q2.又因为a5≠0,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3.又因为等比数列{an}是递增数列,所以q=2.又因为a3=4,所以a10=a3q7=4×27=512.故选B.
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3.已知等比数列{an}为递增数列,且=a10,2(an+ an+2)=5an+1,求数列{an}的通项公式.
解:设等比数列{an}的公比为q,
由2(an+an+2)=5an+1 2q2-5q+2=0 q=2或q=,
由=a10=a1q9>0 a1>0,
又数列{an}递增,
所以q=2.=a10 (a1q4)2=a1q9 a1=q=2,
所以数列{an}的通项公式为an=2n.
逐点清(三) 等比数列的通项公式
与指数型函数的关系
03
多维度理解
1.当q>0且q≠1时,等比数列{an}的第n项an是函数f(x)=·qx(x∈R)当x=n时的函数值,即an=f(n).
2.由等比数列与指数函数的关系可得等比数列的单调性如下:
(1)当或时,等比数列{an}为递增数列;
(2)当或时,等比数列{an}为递减数列.
(3)当q=1时,等比数列{an}为常数列.
(4)当q<0时,等比数列{an}为摆动数列.
[微点助解]
(1)q<0或q=1时,等比数列通项公式不具备指数型函数特点.
(2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,只有q>0且q≠1时存在单调性.
[典例] (1)根据下列通项公式能判断数列为等比数列的是 ( )
A.an=n B.an=
C.an=2-n D.an=log2n
解析:等比数列的通项公式具有“指数型函数”的结构.
√
(2)[多选]下面关于公比为q的等比数列{an}的叙述不正确的是 ( )
A.q>1 {an}为递增数列
B.{an}为递增数列 q>1
C.0D.q>1 {an}为递增数列,且{an}为递增数列 q>1
√
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解析:若a1=-2,q=2>1,则{an}的各项为-2,-4,-8,…,是递减数列,A不正确;若等比数列{an}的各项为-16,-8,-4,-2,…,是递增数列,则q=<1,B不正确,D正确;若a1=-16,q=∈(0,1),则{an}的各项为-16,-8,-4,…,显然是递增数列,C不正确.
[思维建模]
(1)具备“an=kan(k≠0)”形式,如an=2n-1,an=3×为等比数列.
(2)等比数列的单调性由a1和q共同决定,如a1>0,q>1或a1<0,00,01,{an}递减.
针对训练
1.数列{an}是各项均为实数的等比数列,则“a2>a1>0”是“数列{an}为单调递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析:∵a2>a1>0,∴a1q>a1>0,可得q>1,于是数列{an}为单调递增数列;反之不成立,例如数列是单调递增数列,但a1=-<0.∴“a2>a1>0”是“数列{an}为单调递增数列”的充分不必要条件.故选A.
2.已知q是等比数列{an}的公比,则“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的 ( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
解析:已知q是等比数列{an}的公比,当a1=1,q=-1时,a1(1-q)>0,数列为摆动数列,推不出数列{an}是递增数列.当数列{an}是递增数列时,不妨取an=2n,则a1=2,q=2,不满足a1(1-q)>0.故“a1(1-q)>0”是“数列{an}是递增数列”的既不充分也不必要条件.
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A级——综合提能
1.下列三个数依次成等比数列的是( )
A.1,4,8 B.-1,2,4
C.9,6,4 D.4,6,8
解析:42≠1×8,A错误;22≠-1×4,B错误;因为==,所以9,6,4依次成等比数列,C正确;62≠4×8,D错误.故选C.
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2.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=-8,则公比q= ( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
解析:依题意a4=a1q3=q3=-8,q=-2.故选D.
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3.在等比数列{an}中,a1=2,a4=.若am=2-11,则m=( )
A.17 B.16
C.14 D.13
解析:设等比数列{an}的公比为q,
因为a1=2,a4=,所以2q3=,解得q=.
又am=2-11,所以2×=2-11,可得m=13.
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4.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 这句话的意思是:一尺长的木棍,每天截去一半,永远也截不完.从数学上来说,如果木棍初始长度为1,记第n天截去一半之后木棍剩余的长度为an,则数列{an}的各项依次为 ( )
A.1,,,,… B.,,,,…
C.,,,,… D.,,,,…
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解析:根据题意,a1=1×=,a2=×=,
a3=×=,a4=×=,….故选B.
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5.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= ( )
A.14 B.12
C.6 D.3
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解析:设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得
即解得所以a6=a1q5=3,故选D.
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6.在等比数列{an}中,若a1=1,=2a6,则公比q= .
解析:∵=2a6,a1=1,∴(q3)2=2q5,得q=2.
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7.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为 .
解析:设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=,∴q=.
∴这4个数依次为80,40,20,10.
80,40,20,10
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8.已知正项等比数列{an},若3a1,a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q= .
解析:因为正项等比数列{an},3a1,a3,2a2成等差数列,所以解得q=3.
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9.已知等比数列{an}的首项为a1=27,公比q=.
(1)求a8;
解:由等比数列的通项公式可知a8=a1q7=27×=.
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(2)判断18是否是这个数列中的项,如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
解:an=27×=,
设18是数列中的第n项,则=18,
化简得32-n=2,因为这个方程无正整数解,
所以18不是数列中的项.
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10.(1)一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18,求这个数列的通项公式;
解:法一 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意得
解得∴an=a1qn-1=×.
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法二 ∵{an}为等比数列,∴q===.
∴an=a3qn-3=12×=×.
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(2)已知等比数列{an}中,a5=3,a7=27,求q及an.
解: 由a7=a5q2,得q2==9,∴q=±3,则a1=,
当q=3时,an=a1qn-1=×3n-1=3n-4;
当q=-3时,an=a1qn-1=×(-3)n-1=-(-3)n-4.
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11.[多选]已知{an}为等差数列,满足4a3-a8=7,a2+a7=11,{bn}为等比数列,满足b1=a1,b4=a15,则 ( )
A.{an}的首项与公差相等 B.a2,a5,a11成等比数列
C.{bn}的首项与公比相等 D.b3,b5,b6成等差数列
√
√
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解析:因为{an}是等差数列,设公差为d,则4a3-a8=3a1+d=7,a2+a7=2a1+
7d=11,解得a1=2,d=1,故A错误;可得an=2+n-1=n+1,所以a2=3,a5=6,
a11=12,是等比数列,故B正确;数列{bn}为等比数列,且b1=a1=2,b4=a15=16,所以q=2,则bn=2n,故C正确;b3=8,b5=32,b6=64,不是等差数列,故D错误.
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15
3
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2
12.在数列{an}中,a1=, m,n∈N+,am+n=aman,则a6等于( )
A. B.
C. D.
√
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2
解析:由于 m,n∈N+,有am+n=aman,且a1=,令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以an=a1qn-1=×=,故a6==.
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13.已知等比数列{an}满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2…an取得最小值的n为 .
解析:设公比为q,则q==3,∴a1-a3=-8a1=-,
∴a1=,a2=,a3=,a4=1,…,
∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.
3或4
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14.能说明“若等比数列{an}满足a1______________.
解析:由题意可知,若“等比数列{an}是递增数列”,
需满足当a1<0时,公比00时,公比q>1;
又因为命题为假命题,所以公比q<0即可满足题意,
an=-(-2)n-1,n∈N+
(答案不唯一)
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2
不妨取,首项a1=-1,公比q=-2,则a2=2,满足a1此时数列{an}是摆动数列,通项公式为an=a1qn-1=(-1)(-2)n-1=
-(-2)n-1,n∈N+.
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15.已知无穷数列1,1,…,1,…,求证:
(1)这个数列是等比数列;
证明:任取数列中的相邻两项an=1,an+1=1,则==1,
且a1=1=1≠0.
由等比数列定义可知这个数列为等比数列.
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(2)这个数列中的任一项是其后第5项的;
证明: 任取数列中的一项am=1,则其后第5项应为am+5=1.
则==1=10-1=,得证.
1
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2
(3)数列中任两项之积仍为数列中的项.
证明: 任取数列中两项=1,=1,
则=1·1=1.
∵n1≥1,n2≥1,且n1,n2∈N*,n1≠n2,∴n1+n2-2>0,且n1+n2-2∈N*,
∴符合已知数列中的项的特点,即为数列中的项.课时跟踪检测(八) 等比数列的概念及其通项公式
A级——综合提能
1.下列三个数依次成等比数列的是 ( )
A.1,4,8 B.-1,2,4
C.9,6,4 D.4,6,8
2.已知等比数列{an}中,a1=1,a4=-8,则公比q= ( )
A.2 B.-4
C.4 D.-2
3.在等比数列{an}中,a1=2,a4=.若am=2-11,则m= ( )
A.17 B.16
C.14 D.13
4.我国古代哲学著作《庄子》中有一句话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.” 这句话的意思是:一尺长的木棍,每天截去一半,永远也截不完.从数学上来说,如果木棍初始长度为1,记第n天截去一半之后木棍剩余的长度为an,则数列{an}的各项依次为 ( )
A.1,,,,… B.,,,,…
C.,,,,… D.,,,,…
5.已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6= ( )
A.14 B.12
C.6 D.3
6.在等比数列{an}中,若a1=1,=2a6,则公比q= .
7.在160与5中间插入4个数,使它们同这两个数成等比数列,则这4个数依次为 .
8.已知正项等比数列{an},若3a1,a3,2a2成等差数列,则{an}的公比q= .
9.已知等比数列{an}的首项为a1=27,公比q=.
(1)求a8;
(2)判断18是否是这个数列中的项,如果是,求出是第几项;如果不是,说明理由.
10.(1)一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18,求这个数列的通项公式;
(2)已知等比数列{an}中,a5=3,a7=27,求q及an.
B级——应用创新
11.[多选]已知{an}为等差数列,满足4a3-a8=7,a2+a7=11,{bn}为等比数列,满足b1=a1,b4=a15,则 ( )
A.{an}的首项与公差相等
B.a2,a5,a11成等比数列
C.{bn}的首项与公比相等
D.b3,b5,b6成等差数列
12.在数列{an}中,a1=, m,n∈N+,am+n=aman,则a6等于 ( )
A. B.
C. D.
13.已知等比数列{an}满足a1-a3=-,a2-a4=-,则使得a1a2…an取得最小值的n为 .
14.能说明“若等比数列{an}满足a115.已知无穷数列1,1,…,1,…,求证:
(1)这个数列是等比数列;
(2)这个数列中的任一项是其后第5项的;
(3)数列中任两项之积仍为数列中的项.
课时跟踪检测(八)
1.选C 42≠1×8,A错误;22≠-1×4,B错误;因为==,所以9,6,4依次成等比数列,C正确;62≠4×8,D错误.故选C.
2.选D 依题意a4=a1q3=q3=-8,q=-2.故选D.
3.选D 设等比数列{an}的公比为q,因为a1=2,a4=,所以2q3=,解得q=.又am=2-11,所以2×=2-11,可得m=13.
4.选B 根据题意,a1=1×=,a2=×=,a3=×=,a4=×=,….故选B.
5.选D 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,由题意可得
即解得所以a6=a1q5=3,故选D.
6.解析:∵=2a6,a1=1,∴(q3)2=2q5,得q=2.
答案:2
7.解析:设这6个数所成等比数列的公比为q,则5=160q5,∴q5=,∴q=.∴这4个数依次为80,40,20,10.
答案:80,40,20,10
8.解析:因为正项等比数列{an},3a1,a3,2a2成等差数列,
所以
解得q=3.
答案:3
9.解:(1)由等比数列的通项公式可知a8=a1q7=27×=.
(2)an=27×=,
设18是数列中的第n项,则=18,
化简得32-n=2,因为这个方程无正整数解,
所以18不是数列中的项.
10.解:(1)法一 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,
由题意得解得
∴an=a1qn-1=×.
法二 ∵{an}为等比数列,∴q===.
∴an=a3qn-3=12×=×.
(2)由a7=a5q2,得q2==9,∴q=±3,则a1=,
当q=3时,an=a1qn-1=×3n-1=3n-4;
当q=-3时,an=a1qn-1=×(-3)n-1=-(-3)n-4.
11.选BC 因为{an}是等差数列,设公差为d,则4a3-a8=3a1+d=7,a2+a7=2a1+7d=11,解得a1=2,d=1,故A错误;可得an=2+n-1=n+1,所以a2=3,a5=6,a11=12,是等比数列,故B正确;数列{bn}为等比数列,且b1=a1=2,b4=a15=16,所以q=2,则bn=2n,故C正确;b3=8,b5=32,b6=64,不是等差数列,故D错误.
12.选C 由于 m,n∈N+,有am+n=aman,且a1=,令m=1,则an+1=a1an=an,即数列{an}是首项为,公比为的等比数列,所以an=a1qn-1=×=,故a6==.
13.解析:设公比为q,则q==3,∴a1-a3=-8a1=-,∴a1=,a2=,a3=,a4=1,…,∴n=3或n=4时,a1a2…an取得最小值.
答案:3或4
14.解析:由题意可知,若“等比数列{an}是递增数列”,
需满足当a1<0时,公比00时,公比q>1;
又因为命题为假命题,所以公比q<0即可满足题意,
不妨取,首项a1=-1,公比q=-2,则a2=2,满足a1此时数列{an}是摆动数列,通项公式为an=a1qn-1=(-1)(-2)n-1=-(-2)n-1,n∈N+.
答案:an=-(-2)n-1,n∈N+(答案不唯一)
15.证明:(1)任取数列中的相邻两项an=1,an+1=1,则==1,
且a1=1=1≠0.
由等比数列定义可知这个数列为等比数列.
(2)任取数列中的一项am=1,则其后第5项应为am+5=1.
则==1=10-1=,得证.
(3)任取数列中两项=1,=1,则=1·1=1.
∵n1≥1,n2≥1,且n1,n2∈N*,n1≠n2,∴n1+n2-2>0,且n1+n2-2∈N*,
∴符合已知数列中的项的特点,
即为数列中的项.