3.1.2 等比数列的性质及应用(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题,理解等比中项.
2.掌握等比数列的有关性质,并能解决一些简单问题.
1.等比中项
如果在a与b之间插入一个数G,使得 成等比数列,那么根据等比数列的定义,=, ,G=±.我们称G为a,b的等比中项.
2.等比数列的性质
一般地,如果{an}是等比数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则 ,特别地,如果2s=p+q,则= .
3.等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为q的等比数列,则:
①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列;
②{|an|}是公比为|q|的等比数列;
③{}(m为常数,n∈N+)是公比为qm的等比数列.
(2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列.
[基点训练]
1.若{an},{bn}都是等比数列,则下列数列仍是等比数列的是 ( )
A.{an+bn} B.{an-bn}
C.{anbn} D.{an+5}
2.在等比数列{an}中,若a1,a10是方程3x2-2x-6=0的两根,则a4·a7= ( )
A.-6 B.-2
C.2 D.
3.在等比数列{an}中,an>0,且a1a10=27,则log3a2+log3a9等于 ( )
A.9 B.6
C.3 D.2
题型(一) 等比中项及应用
[例1] (1)等比数列{an}中,a4=48,a8=3,则a4与a8的等比中项为 ( )
A.12 B.-12
C.±12 D.30
(2)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),a5是a4与a8的等比中项,则= ( )
A.- B.-
C. D.
听课记录:
[思维建模]
在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
[针对训练]
1.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项,则= .
2.已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
题型(二) 等比数列的性质及应用
[例2] 已知{an}为等比数列,
(1)若a2a4=,求a1a5;
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例(3)改为“a5+a6=3,a15+a16=6”,求a25+a26的值.
2.本例(1)条件变为“若a5a6a7=-27”,求a2a6+a2a10+a6a10的最大值.
[思维建模]
等比数列的运算常用的两条思路
(1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他;
(2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N+) am·an=ak·al=.
[针对训练]
3.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= ( )
A.6 B.9
C.±6 D.±9
4.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为 ( )
A.20 B.10
C.5 D.
题型(三) 等比数列的实际应用
[例3] 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱
听课记录:
[思维建模]
解等比数列应用题的步骤
(1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意;
(2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题;
(3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数;
(4)还原:即最后转化为实际问题作出回答.
[针对训练]
5.某制糖厂2011年制糖5万吨,如果从2012年起,平均每年的产量比上一年增加20%,那么到哪一年,该制糖厂的年制糖量开始超过30万吨 (结果保留到个位,lg 6≈0.778,lg 1.2≈0.079)
等比数列的性质及应用
课前环节
1.a,G,b G2=ab 2.asat=apaq apaq
[基点训练]
1.选C 两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C.
2.选B a4a7=a1a10==-2.
3.选C 因为a2a9=a1a10=27,
所以log3a2+log3a9=log327=3.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解析:(1)记a4与a8的等比中项为G,则G2=a4a8=48×3=144,所以G=±12.故选C.
(2)因为a5是a4与a8的等比中项,
所以=a4a8.
又因为数列{an}为等差数列,公差为d(d≠0),
所以(a1+4d)2=(a1+3d)(a1+7d),
化简得2a1d=-5d2,即2a1=-5d,
所以=-.故选A.
答案:(1)C (2)A
[针对训练]
1.解析:由题意知,a3是a1和a9的等比中项,∴=a1a9.∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得a1=d, ∴==.
答案:
2.证明:因为b是a,c的等比中项,所以b2=ac,且a,b,c均不为零,又(a2+b2)·(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,
(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)·(b2+c2),由a,b,c均不为零,可得a2+b2≠0,b2+c2≠0,故ab+bc≠0,即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)等比数列{an}中,
∵a2a4=,
∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=.
(2)由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25,即(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5=5.
(3)由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]=log395=10.
[变式拓展]
1.解:∵数列{an}为等比数列,∴a5+a6,a15+a16,a25+a26也成等比数列,
∴a25+a26===12.
2.解:法一 因为数列{an}是等比数列,所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2=<0,所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27,
当且仅当-3a2=-,即a2=-3时取等号.
法二 因为数列{an}是等比数列,所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27,当且仅当a4=a8=-3时取等号.
[针对训练]
3.选A 因为a5a7a9a11= =36,所以=6(负值舍去),所以a2a14==6.故选A.
4.选B 在等比数列{an}中,由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an,
由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,….
由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,
∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1.
∴n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)n万元.
(2)由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元),
∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元.
[针对训练]
5.解:记该制糖厂每年制糖产量依次为a1,a2,a3,…,an,….则依题意可得a1=5,=1.2(n≥2且n∈N+),从而an=5×1.2n-1,令an>30,故1.2n-1>6,
即n-1>log1.26=≈≈9.85.
故n=11.
即从2021年开始,该制糖厂年制糖量开始超过30万吨.(共55张PPT)
等比数列的性质及应用
(强基课——梯度进阶式教学)
3.1.2
课时目标
1.能在具体问题情境中,发现数列的等比关系,并解决相应的问题,理解等比中项.
2.掌握等比数列的有关性质,并能解决一些简单问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.等比中项
如果在a与b之间插入一个数G,使得______成等比数列,那么根据等比数列的定义,=,________,G=±.我们称G为a,b的等比中项.
2.等比数列的性质
一般地,如果{an}是等比数列,而且正整数s,t,p,q满足s+t=p+q,则_________,特别地,如果2s=p+q,则=_____.
a,G,b
G2=ab
asat=apaq
apaq
3.等比数列的常用结论
(1)若{an}是公比为q的等比数列,则:
①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列;
②{|an|}是公比为|q|的等比数列;
③{}(m为常数,n∈N+)是公比为qm的等比数列.
(2)若{an},{bn}分别是公比为q1,q2的等比数列,则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列.
1.若{an},{bn}都是等比数列,则下列数列仍是等比数列的是 ( )
A.{an+bn} B.{an-bn}
C.{anbn} D.{an+5}
解析:两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C.
基点训练
√
2.在等比数列{an}中,若a1,a10是方程3x2-2x-6=0的两根,则a4·a7= ( )
A.-6 B.-2
C.2 D.
解析:a4a7=a1a10==-2.
√
3.在等比数列{an}中,an>0,且a1a10=27,则log3a2+log3a9等于 ( )
A.9 B.6
C.3 D.2
解析:因为a2a9=a1a10=27,所以log3a2+log3a9=log327=3.
√
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 等比中项及应用
[例1] (1)等比数列{an}中,a4=48,a8=3,则a4与a8的等比中项为 ( )
A.12 B.-12
C.±12 D.30
解析:(1)记a4与a8的等比中项为G,则G2=a4a8=48×3=144,所以G=±12.故选C.
√
(2)已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),a5是a4与a8的等比中项,则=( )
A.- B.-
C. D.
√
(2)因为a5是a4与a8的等比中项,所以=a4a8.又因为数列{an}为等差数列,公差为d(d≠0),所以(a1+4d)2=(a1+3d)(a1+7d),化简得2a1d=-5d2,即2a1=-5d,所以=-.故选A.
[思维建模]
在一个等比数列中,从第2项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.
针对训练
1.在等差数列{an}中,公差d≠0,且a3是a1和a9的等比中项,则= .
解析:由题意知,a3是a1和a9的等比中项,∴=a1a9.∴(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得a1=d, ∴==.
2.已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
证明:因为b是a,c的等比中项,所以b2=ac,且a,b,c均不为零,又(a2+b2)·(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)·(b2+c2),由a,b,c均不为零,可得a2+b2≠0,b2+c2≠0,故ab+bc≠0,即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.
题型(二) 等比数列的性质及应用
[例2] 已知{an}为等比数列,
(1)若a2a4=,求a1a5;
解:等比数列{an}中,∵a2a4=,
∴=a1a5=a2a4=,∴a1a5=.
(2)若an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,求a3+a5;
解: 由等比中项,化简条件得+2a3a5+=25,
即(a3+a5)2=25,
∵an>0,∴a3+a5=5.
(3)若an>0,a5a6=9,求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.
解: 由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9,
∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3(a1a2·…·a10)=log3[(a1a10)(a2a9)(a3a8)
(a4a7)(a5a6)]=log395=10.
[变式拓展]
1.本例(3)改为“a5+a6=3,a15+a16=6”,求a25+a26的值.
解:∵数列{an}为等比数列,
∴a5+a6,a15+a16,a25+a26也成等比数列,
∴a25+a26===12.
2.本例(1)条件变为“若a5a6a7=-27”,求a2a6+a2a10+a6a10的最大值.
解:法一 因为数列{an}是等比数列,
所以a5a6a7==-27,所以a6=-3,所以a2=<0,
所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27,
当且仅当-3a2=-,即a2=-3时取等号.
法二 因为数列{an}是等比数列,
所以a5a6a7==-27,
所以a6=-3,
所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27,当且仅当a4=a8=-3时取等号.
[思维建模]
等比数列的运算常用的两条思路
(1)根据已知条件,寻找、列出两个方程,确定a1,q,然后求其他;
(2)利用性质巧解,其中m+n=k+l=2s(m,n,k,l,s∈N+) am·an=ak·al=.
针对训练
3.在等比数列{an}中,若a5a7a9a11=36,则a2a14= ( )
A.6 B.9
C.±6 D.±9
解析:因为a5a7a9a11= =36,所以=6(负值舍去),所以a2a14==6.故选A.
√
4.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20,a2a8=2,则+++的值为( )
A.20 B.10
C.5 D.
解析:在等比数列{an}中,由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B.
√
题型(三) 等比数列的实际应用
[例3] 某人买了一辆价值13.5万元的新车,专家预测这种车每年按10%的速度贬值.
(1)用一个式子表示n(n∈N+)年后这辆车的价值.
解:从第一年起,每年车的价值(万元)依次设为a1,a2,a3,…,an,
由题意,得a1=13.5,a2=13.5(1-10%),a3=13.5(1-10%)2,….
由等比数列定义,知数列{an}是等比数列,首项a1=13.5,公比q=1-10%=0.9,
∴an=a1·qn-1=13.5×(0.9)n-1.∴n年后车的价值为an+1=13.5×(0.9)n万元.
(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车,他大概能得到多少钱
解: 由(1)得a5=a1·q4=13.5×0.94≈8.9(万元),
∴用满4年时卖掉这辆车,大概能得到8.9万元.
[思维建模]
解等比数列应用题的步骤
(1)审题:解决数列应用题的关键是读懂题意;
(2)建立数学模型:将实际问题转化为等比数列的问题;
(3)解数学模型:注意隐含条件,数列中n的值是正整数;
(4)还原:即最后转化为实际问题作出回答.
针对训练
5.某制糖厂2011年制糖5万吨,如果从2012年起,平均每年的产量比上一年增加20%,那么到哪一年,该制糖厂的年制糖量开始超过30万吨 (结果保留到个位,lg 6≈0.778,lg 1.2≈0.079)
解:记该制糖厂每年制糖产量依次为a1,a2,a3,…,an,….则依题意可得a1=5,=1.2(n≥2且n∈N+),从而an=5×1.2n-1,令an>30,故1.2n-1>6,即n-1>log1.26=≈≈9.85.故n=11.
即从2021年开始,该制糖厂年制糖量开始超过30万吨.
课时跟踪检测
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
A级——综合提能
1.在等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于( )
A. B.
C. D.
解析:∵a2a6==a3a5,∴a3a5=.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,a是b,c的等比中项,且a+3b+c=10,则a的值是 ( )
A.1 B.-1
C.-3 D.-4
解析:由题意,得解得a=-4,b=2,c=8.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.已知数列{an}为各项都是正数的等比数列,=9a1·a9,则等于( )
A.3 B.
C. D.
解析:设正项等比数列{an}的公比为q,则an>0,q>0.由等比数列的性质得=9a1·a9=9,∴a6=3a5,∴q=3,则===.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.等比数列{an}为递减数列,若a7·a14=6,a4+a17=5,则等于( )
A. B.
C. D.6
解析:∵a7·a14=a4·a17=6,a4+a17=5,∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个根,
解得a4=2,a17=3或a4=3,a17=2,∵an>an+1,∴a4=3,a17=2,
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
法一 由得q13==,
则===.
法二 由==q13=,
则===.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.画一个边长为2的正方形,再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形……这样共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于 ( )
A.2 024 B.1 012
C.2 048 D.4 096
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:依题意,得这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an},所以an=2×()n-1,所以第10个正方形的面积S==[2×()9]2=4×29=2 048.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.在等比数列a,2a+2,3a+3,…中,a= .
解析:由题意,得(2a+2)2=a(3a+3),
解得a=-4或a=-1.
当a=-1时,2a+2=0,3a+3=0,不满足条件;
当a=-4时,等比数列为-4,-6,-9,…,满足条件.
-4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++= .
解析:因为+=,+=,由等比数列的性质知a7a10=a8a9,所以+++==÷=-.
-
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an·an+1·an+2>的最大正整数n的值为 .
解析:设数列{an}的公比为q(q>0),
∵a2·a4=4=,且a3>0,∴a3=2,又a1+a2+a3=++2=14,
∴=-3(舍去)或=2,即q=,a1=8.
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
又an=a1qn-1=8×=,∴an·an+1·an+2=>,
即23n-9<9,∵n∈N+,∴n的最大值为4.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.已知{an}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.
(1)求{an}的通项公式;
解:设数列{an}的公差为d,
由题意知解得
所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)记{an}的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.
解:由(1)可得Sn===n(1+n).
因为a1,ak,Sk+2成等比数列,所以=a1Sk+2,
从而(2k)2=2(k+2)(k+3),
即k2-5k-6=0,解得k=6或k=-1(舍去),因此k=6.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.某公司的月销售额近几年下跌严重,从某年的6月销售额128万元,到8月跌至32万元,你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗 若按此计算,什么时候月销售额跌至8万元
解:设每月平均下降的百分比为x,则每月的销售额构成了等比数列{an},且a1=128,
则a2=a1(1-x),a3=a1(1-x)2=128(1-x)2=32,
解得x=50%.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
设an=8,即an=128×(1-50%)n-1=8,解得n=5,
即从该年6月算起第5个月,也就是在该年的10月,该公司的月销售额跌至8万元.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
B级——应用创新
11.已知等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a8a15等于( )
A.±2 B.±4
C.2 D.4
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:∵T13=4T9,
∴a1a2·…·a9a10a11a12a13=4a1a2·…·a9,
∴a10a11a12a13=4.又∵a10a13=a11a12=a8a15,
∴(a8a15)2=4,∴a8a15=±2.
又∵{an}为递减数列,∴q>0,∴a8a15=2.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则 ( )
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
√
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9==8,即b5=2.S11==11a6
=11π,故A正确;因为a2+a10=2a6=2π,b4b6==4,所以sin=sin=1,故B错误;设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d
=3a6=3π,故C正确;由b5=2,得b3·b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.已知数列{an}是公比不为1的等比数列,且=,则mn=______________
_______________________.(写出满足上述条件的一个值即可)
解析:在等比数列{an}中,由=得am·an=a3·a5,
所以m+n=3+5=8,不妨令m≤n,则m,n的不同取值有m=1,n=7;
或者m=2,n=6;
或者m=3,n=5;或者m=n=4,所以mn的所有取值为7,12,15,16.
7(答案不唯一,
7,12,15,16中任一个均可)
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.已知在等差数列{an}中,a2+a4=16,a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,把各项按如图所示排列.则从上到下第10行,从左到右的第11个数值为________.
275或8
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:设数列{an}的公差为d,由a2+a4=16,得a1+2d=8,①
由a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,得(a2+1)2=(a1+1)(a4+1),
整理得d2-a1d-d=0,②由①②解得d=3或d=0.
当d=3时,a1=2,an=3n-1.
由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项,a92=3×92-1=275.
当d=0时,an=8,a92=8.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S5=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
解:由题意设等差数列{an}的公差为d,
由a1=2,S5=20,得5a1+10d=20,
解得d=1,故an=2+n-1=n+1.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)若等比数列{bn}的公比q=,且满足a4+b4=9,求满足an解:因为等比数列{bn}的公比q=,且满足a4+b4=9,而a4=5,则b4=4,
故b1===32,则bn=32×=26-n.
又an1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
当n=1,2,3时,n+1<26-n显然成立,由于n+1随着n的增大而增大,26-n随着n的增大而减小,当n≥4时,n+1≥5,26-n≤4,
故当n≥4时,n+1<26-n无解,故满足anA级——综合提能
1.在等比数列{an}中,若a2a6+=π,则a3a5等于 ( )
A. B.
C. D.
2.若互不相等的实数a,b,c成等差数列,a是b,c的等比中项,且a+3b+c=10,则a的值是 ( )
A.1 B.-1
C.-3 D.-4
3.已知数列{an}为各项都是正数的等比数列,=9a1·a9,则等于 ( )
A.3 B.
C. D.
4.等比数列{an}为递减数列,若a7·a14=6,a4+a17=5,则等于 ( )
A. B.
C. D.6
5.画一个边长为2的正方形,再以这个正方形的一条对角线为边画第2个正方形,以第2个正方形的一条对角线为边画第3个正方形……这样共画了10个正方形,则第10个正方形的面积等于 ( )
A.2 024 B.1 012
C.2 048 D.4 096
6.在等比数列a,2a+2,3a+3,…中,a= .
7.在等比数列{an}中,若a7+a8+a9+a10=,a8a9=-,则+++= .
8.已知各项都为正数的等比数列{an}中,a2·a4=4,a1+a2+a3=14,则满足an·an+1·an+2>的最大正整数n的值为 .
9.已知{an}为等差数列,且a1+a3=8,a2+a4=12.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记{an}的前n项和为Sn,若a1,ak,Sk+2成等比数列,求正整数k的值.
10.某公司的月销售额近几年下跌严重,从某年的6月销售额128万元,到8月跌至32万元,你能求出该公司该年7月到9月之间平均每月下降的百分比吗 若按此计算,什么时候月销售额跌至8万元
B级——应用创新
11.已知等比数列{an}是递减数列,前n项的积为Tn,若T13=4T9,则a8a15等于 ( )
A.±2 B.±4
C.2 D.4
12.[多选]已知数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,{an}的前n项和为Sn,若a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,则 ( )
A.S11=11π B.sin=
C.a3+a7+a8=3π D.b3+b7≥4
13.已知数列{an}是公比不为1的等比数列,且=,则mn= .(写出满足上述条件的一个值即可)
14.已知在等差数列{an}中,a2+a4=16,a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,把各项按如图所示排列.则从上到下第10行,从左到右的第11个数值为 .
15.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,S5=20.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若等比数列{bn}的公比q=,且满足a4+b4=9,求满足an课时跟踪检测(九)
1.选C ∵a2a6==a3a5,∴a3a5=.
2.选D 由题意,得解得a=-4,b=2,c=8.
3.选D 设正项等比数列{an}的公比为q,
则an>0,q>0.
由等比数列的性质得=9a1·a9=9,
∴a6=3a5,∴q=3,
则===.
4.选A ∵a7·a14=a4·a17=6,a4+a17=5,
∴a4与a17为方程x2-5x+6=0的两个根,
解得a4=2,a17=3或a4=3,a17=2,
∵an>an+1,∴a4=3,a17=2,
法一 由
得q13==,
则===.
法二 由==q13=,
则===.
5.选C 依题意,得这10个正方形的边长构成以2为首项,为公比的等比数列{an},所以an=2×()n-1,所以第10个正方形的面积S==[2×()9]2=4×29=2 048.
6.解析:由题意,得(2a+2)2=a(3a+3),
解得a=-4或a=-1.
当a=-1时,2a+2=0,3a+3=0,不满足条件;
当a=-4时,等比数列为-4,-6,-9,…,满足条件.
答案:-4
7.解析:因为+=,+=,由等比数列的性质知a7a10=a8a9,所以+++==÷=-.
答案:-
8.解析:设数列{an}的公比为q(q>0),
∵a2·a4=4=,且a3>0,∴a3=2,
又a1+a2+a3=++2=14,
∴=-3(舍去)或=2,即q=,a1=8.
又an=a1qn-1=8×=,
∴an·an+1·an+2=>,
即23n-9<9,∵n∈N+,
∴n的最大值为4.
答案:4
9.解:(1)设数列{an}的公差为d,由题意知解得
所以an=a1+(n-1)d=2+2(n-1)=2n.
(2)由(1)可得Sn===n(1+n).
因为a1,ak,Sk+2成等比数列,
所以=a1Sk+2,
从而(2k)2=2(k+2)(k+3),
即k2-5k-6=0,解得k=6或k=-1(舍去),因此k=6.
10.解:设每月平均下降的百分比为x,则每月的销售额构成了等比数列{an},且a1=128,
则a2=a1(1-x),a3=a1(1-x)2=128(1-x)2=32,解得x=50%.
设an=8,即an=128×(1-50%)n-1=8,解得n=5,
即从该年6月算起第5个月,也就是在该年的10月,该公司的月销售额跌至8万元.
11.选C ∵T13=4T9,
∴a1a2·…·a9a10a11a12a13=4a1a2·…·a9,
∴a10a11a12a13=4.
又∵a10a13=a11a12=a8a15,
∴(a8a15)2=4,∴a8a15=±2.
又∵{an}为递减数列,
∴q>0,∴a8a15=2.
12.选ACD 因为数列{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1+a6+a11=3π,b1b5b9=8,所以a1+a6+a11=3a6=3π,即a6=π,b1b5b9==8,即b5=2.S11==11a6=11π,故A正确;因为a2+a10=2a6=2π,b4b6==4,所以sin=sin=1,故B错误;设等差数列{an}的公差为d,则a3+a7+a8=a6-3d+a6+d+a6+2d=3a6=3π,故C正确;由b5=2,得b3·b7>0,故b3+b7≥2=2=4,当且仅当b3=b7=2时等号成立,故D正确.
13.解析:在等比数列{an}中,由=得am·an=a3·a5,
所以m+n=3+5=8,不妨令m≤n,
则m,n的不同取值有m=1,n=7;
或者m=2,n=6;
或者m=3,n=5;或者m=n=4,所以mn的所有取值为7,12,15,16.
答案:7(答案不唯一,7,12,15,16中任一个均可)
14.解析:设数列{an}的公差为d,
由a2+a4=16,得a1+2d=8,①
由a1+1,a2+1,a4+1成等比数列,
得(a2+1)2=(a1+1)(a4+1),
整理得d2-a1d-d=0,②
由①②解得d=3或d=0.
当d=3时,a1=2,an=3n-1.由题图可得第10行第11个数为数列{an}中的第92项,a92=3×92-1=275.
当d=0时,an=8,a92=8.
答案:275或8
15.解:(1)由题意设等差数列{an}的公差为d,由a1=2,S5=20,得5a1+10d=20,解得d=1,故an=2+n-1=n+1.
(2)因为等比数列{bn}的公比q=,且满足a4+b4=9,而a4=5,则b4=4,故b1===32,则bn=32×=26-n.又an当n=1,2,3时,n+1<26-n显然成立,由于n+1随着n的增大而增大,26-n随着n的增大而减小,当n≥4时,n+1≥5,26-n≤4,故当n≥4时,n+1<26-n无解,故满足an
