4 数列在日常经济生活中的应用
课时目标
1.掌握单利、复利的概念.
2.了解零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用.
1.单利、复利
单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为利息=本金×利率×存期. 以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和,则有S=
复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是S=
2.三种存款模型
(1)零存整取模型:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本金与利息和(以下简称本利和),这是整取.规定每次存入的钱不计复利.若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,那么到期整取时本利和为y=nx+x= .
(2)定期自动转存模型:储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.若储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,那么储户所得本利和为Q= .
(3)分期付款模型:分期付款中,一般规定每次付款额相同,每期付款的时间间隔相同,每月利息按 计算,各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和.
[微点助解]
(1)单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型.
(2)零存整取、活期储蓄、定期储蓄(即整存整取)等都是计单利的储蓄模型.
(3)定期自动转存是计复利的储蓄类型.
(4)复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时第一期本金的数额是不同的.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“零存整取”储蓄业务的数学模型是等差数列. ( )
(2)“定期自动转存”储蓄业务的数学模型是等比数列. ( )
(3)同一笔钱用单利计息和复利计息的收益是一样的. ( )
2.现存入银行10 000元钱,年利率是3.60%,那么按照复利,第5年末的本利和是 ( )
A.10 000×1.0363 B.10 000×1.0364
C.10 000×1.0365 D.10 000×1.0366
3.阿明存入5万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,到期后自动转存,那么10年后共得本利和为 万元.(精确到0.001)
题型(一) 银行存款模型
[例1] 比较下面两种储蓄方式,哪种方式更简便合算
(1)将1 000元本金存入银行一年后(年利率为5.67%),再把本息自动转存两次,存满三年后,可得本利和多少元
(2)将1 000元本金存入银行三年期定期整存整取种类(年利率为6.21%),三年后可得本利和多少元
听课记录:
[思维建模]
储蓄方法一是复利问题,各年底本利和构成等比数列an=1 000(1+5.67%)n,这里求的是a3=1 000×1.056 73
≈1 179.92元.储蓄方法二也可以看作是零存整取中的一次存款到期后的本利和.零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.其公式为:利息=本金×利率×存期,本利和=本金×(1+存期×利率).
[针对训练]
1.某人从2023年起,每年1月1日到银行新存入2万元(一年定期),若年利率为2%保持不变,且每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数约为 ( )
(单位:万元,参考数据:1.029≈1.195,1.0210≈1.219,1.0211≈1.243)
A.2.438 B.19.9
C.22.3 D.24.3
2.某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,已知月利率是0.165%,按单利计息,那么实际取出多少钱
题型(二) 分期付款模型
[例2] 王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房,按复利计算,并从贷款后的次月初开始还贷,分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式:①等额本金:在还款期内把本金总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息;②等额本息:在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式,已知第一个还贷月应还15 000元,最后一个还贷月应还6 500元,试计算王先生该笔贷款的总利息;
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式,贷款月利率为0.3%,银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半,已知王先生家庭月收入为23 000元,试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素,参考数据:1.003119≈1.428,1.003120≈1.433,1.003121≈1.437)
听课记录:
[思维建模]
分期付款中的有关计算方法既是重点,又是难点,突破难点的关键在于:
(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额的增值.(注:最后一次付款没有利息)
(2)明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.
(3)等额本息还款法是每期所付的金额相同,每期所付金额及产生的利息和成等比数列;等额本金还款法是每期所付金额为每期应还本金与所欠款额的利息,每期所付金额成等差数列.
[针对训练]
3.张老师购买安居工程集资房92 m2,单价为 1 000元/平方米,一次性国家财政补贴28 800元,学校补贴14 400元,余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款(注①),每期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一次,再经过一年又付款一次,等等,共付10次,10年后付清.如果按年利率7.5%,每年按复利计算(注②),那么每年付款多少元 (计算结果精确到元)(注③)
注:①分期付款:各期所付的款以及各期所付的款最后一次付款时所生的利息合计,应等于个人负担的购房余额的现价及这个条款现价最后一次付款时所生的利息之和.
②每年按复利计算,即本年利息计入次年的本金生息.
③参考数据:1.0759≈1.917,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216.
题型(三) 产值增长模型
[例3] 某工厂引进新设备,随着员工对新设备的了解及熟悉,该设备每天生产的零件数量比前一天增加20%.已知该设备第一天生产某种零件1 000件,且该设备每天最多可以生产该零件5 000件.记第一天该设备生产的零件数量为a1件,第n天生产的零件数量为an件.
(1)求该设备第二天和第三天的总产量;
(2)求至少需要几天,该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能 (参考数据:取lg 2=0.30,lg 3=0.48)
听课记录:
[针对训练]
4.某市近8年的生产总值第一年为1 000亿元,从第二年开始以10%的速度增长,那么这个城市近8年的生产总值一共是多少亿元(精确到0.01亿元)
数列在日常经济生活中的应用
课前环节
1.P(1+nr) P(1+r)n
2.(1)x (2)P(1+r)n (3)复利
[基点训练]
1.(1)√ (2)√ (3)×
2.选C 由复利公式得S=10 000×(1+3.60%)5=10 000×1.0365.
3.解析:10年后的本利和S=5×(1+0.022 5)10≈6.246(万元).
答案:6.246
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 解:(1)1 000元本金参加一年整存整取,到期可得本利和为1 000×(1+5.67%)=1 056.70(元).
转存一次时,本金为1 056.70元,
所以到期本利和为1 056.70×(1+5.67%)≈1 116.61(元).
再转存一次时,本金为1 116.61元,
所以到期本利和为1 116.61×(1+5.67%)≈1 179.92(元).
即存一年,再转存两次,三年后本利和约为 1 179.92元.
(2)1 000元本金参加三年期整存整取,到期可得本利和为A=p(1+r·n),这里r表示利率,n是计息期限,p是本金,
即A=1 000×(1+6.21%×3)=1 000×1.186 3=1 186.30(元).
所以利用第二种储蓄方式更简便合算.
[针对训练]
1.选C 由题意,2023年存的2万元共存了 10年,本息和为2(1+0.02)10万元,2024年存的 2万元共存了9年,本息和为2(1+0.02)9万元,…,2032年存的2万元共存了1年,本息和为2(1+0.02)万元,所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数约为2(1+0.02)10+2(1+0.02)9+…+2(1+0.02)=2×≈≈22.3万元.
2.解:实际取出的钱等于本金+利息.
到12月最后一天取款时,
第1个月存款利息为100×12×0.165%,第2个月存款利息为100×11×0.165%,
…
第11个月存款利息为100×2×0.165%,
第12个月存款利息为100×1×0.165%,
所以S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+…+100×2×0.165%+100×1×0.165%
=100×0.165%×(1+2+3+…+12)
=100×0.165%×
=12.87.
所以实际取出100×12+12.87=1 212.87(元).
[题型(二)]
[例2] 解:(1)由题可知,等额本金还贷方式中,每月的还贷额构成一个等差数列{an},Sn表示数列{an}的前n项和,
则a1=15 000,a120=6 500,
故S120=×120=1 290 000.
故王先生该笔贷款的总利息为
1 290 000-1 000 000=290 000元.
(2)设王先生每月还贷额为x元,
则有x+x(1+0.003)1+x(1+0.003)2+…+x(1+0.003)119=1 000 000×(1+0.003)120,
即=1 000 000×(1+0.003)120,
故x=≈9 928.
因为9 928<23 000×=11 500,所以王先生该笔贷款能够获批.
[针对训练]
3.解:设每年应付款x元,
第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元,
第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元,
…
第九年付款及所生利息之和为x×1.075元,
第十年付款为x元,而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92-(28 800+14 400)]×1.07510=48 800×1.07510(元),
因此有x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=48 800×1.07510.
所以x=48 800×1.07510×≈48 800×2.061×0.071≈7 141(元).
故每年需付款7 141元.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)由题意得a1=1 000,
an+1=an(1+20%)=1.2an,即=1.2,
所以数列{an}是以首项为1 000,公比为1.2的等比数列.
所以an=1 000×1.2n-1.
所以a2=1 000×1.2=1 200,
a3=1 000×1.22=1 440,
故该设备第二天和第三天的总产量为1 200+1 440=2 640件.
(2)设第k天可以达到该设备的最大产能,
由题意可得1 000×1.2k-1≥5 000,
两边取常用对数得3+(k-1)lg 1.2≥lg 5+3,
即k≥+1,所以k≥+1=+1=+1=9.75.
因为k∈N+,所以k的最小值是10,即至少需要10天,该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能.
[针对训练]
4.解:∵某市近8年的生产总值第一年为 1 000亿元,从第二年开始以10%的速度增长,
∴每年的生产总值构成一个以首项a1=1 000,公比为q=1+10%=1.1的等比数列.∴这个城市近8年的生产总值一共是S8==10 000×(1.18-1)≈11 435.89(亿元).(共69张PPT)
4
数列在日常经济生活中
的应用
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.掌握单利、复利的概念.
2.了解零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.单利、复利
单利 单利的计算是仅在原有本金上计算利息,对本金所产生的利息不再计算利息.其公式为利息=本金×利率×存期.
以符号P代表本金,n代表存期,r代表利率,S代表本利和,则有S=________
复利 复利是指一笔资金除本金产生利息外,在下一个计息周期内,以前各计息周期内产生的利息也计算利息的计息方法.复利的计算公式是S=_________
P(1+nr)
P(1+r)n
2.三种存款模型
(1)零存整取模型:每月定时存入一笔相同数目的现金,这是零存;到约定日期,可以取出全部本金与利息和(以下简称本利和),这是整取.规定每次存入的钱不计复利.若每月存入金额为x元,月利率r保持不变,存期为n个月,那么到期整取时本利和为y=nx+x=______________.
x
(2)定期自动转存模型:储户某日存入一笔1年期定期存款,1年后,如果储户不取出本利和,则银行按存款到期时的1年期定期存款利率自动办理转存业务,第2年的本金就是第1年的本利和.若储户存入定期为1年的P元存款,定期年利率为r,连存n年后,那么储户所得本利和为Q=_______.
P(1+r)n
(3)分期付款模型:分期付款中,一般规定每次付款额相同,每期付款的时间间隔相同,每月利息按_____计算,各期所付的款额连同到最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价及从购买到最后一次付款的利息和.
复利
[微点助解]
(1)单利和复利分别以等差数列和等比数列为数学模型.
(2)零存整取、活期储蓄、定期储蓄(即整存整取)等都是计单利的储蓄模型.
(3)定期自动转存是计复利的储蓄类型.
(4)复利计算是把上期末的本利和作为下一期的本金,在计算时第一期本金的数额是不同的.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)“零存整取”储蓄业务的数学模型是等差数列.( )
(2)“定期自动转存”储蓄业务的数学模型是等比数列.( )
(3)同一笔钱用单利计息和复利计息的收益是一样的.( )
基点训练
√
√
×
2.现存入银行10 000元钱,年利率是3.60%,那么按照复利,第5年末的本利和是 ( )
A.10 000×1.0363 B.10 000×1.0364
C.10 000×1.0365 D.10 000×1.0366
解析:由复利公式得S=10 000×(1+3.60%)5=10 000×1.0365.
√
3.阿明存入5万元定期存款,存期1年,年利率为2.25%,到期后自动转存,那么10年后共得本利和为 万元.(精确到0.001)
解析:10年后的本利和S=5×(1+0.022 5)10≈6.246(万元).
6.246
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 银行存款模型
[例1] 比较下面两种储蓄方式,哪种方式更简便合算
(1)将1 000元本金存入银行一年后(年利率为5.67%),再把本息自动转存两次,存满三年后,可得本利和多少元
解: 1 000元本金参加一年整存整取,到期可得本利和为1 000×
(1+5.67%)=1 056.70(元).
转存一次时,本金为1 056.70元,
所以到期本利和为1 056.70×(1+5.67%)≈1 116.61(元).
再转存一次时,本金为1 116.61元,
所以到期本利和为1 116.61×(1+5.67%)≈1 179.92(元).
即存一年,再转存两次,三年后本利和约为1 179.92元.
(2)将1 000元本金存入银行三年期定期整存整取种类(年利率为6.21%),三年后可得本利和多少元
解: 1 000元本金参加三年期整存整取,到期可得本利和为A=p(1+r·n),这里r表示利率,n是计息期限,p是本金,
即A=1 000×(1+6.21%×3)=1 000×1.186 3=1 186.30(元).
所以利用第二种储蓄方式更简便合算.
[思维建模]
储蓄方法一是复利问题,各年底本利和构成等比数列an=1 000(1+
5.67%)n,这里求的是a3=1 000×1.056 73≈1 179.92元.储蓄方法二也可以看作是零存整取中的一次存款到期后的本利和.零存整取是等差数列求和在经济方面的应用.其公式为:利息=本金×利率×存期,本利和=本金×(1+存期×利率).
针对训练
1.某人从2023年起,每年1月1日到银行新存入2万元(一年定期),若年利率为2%保持不变,且每年到期存款均自动转为新的一年定期,到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数约为 ( )
(单位:万元,参考数据:1.029≈1.195,1.0210≈1.219,1.0211≈1.243)
A.2.438 B.19.9
C.22.3 D.24.3
√
解析:由题意,2023年存的2万元共存了 10年,本息和为2(1+0.02)10万元,2024年存的 2万元共存了9年,本息和为2(1+0.02)9万元,…,2032年存的2万元共存了1年,本息和为2(1+0.02)万元,所以到2033年1月1日将之前所有存款及利息全部取回,他可取回的钱数约为2(1+0.02)10+2(1+
0.02)9+…+2(1+0.02)=2×≈≈22.3万元.
2.某人从1月起每月第一天存入100元,到12月最后一天取出全部本金和利息,已知月利率是 0.165%,按单利计息,那么实际取出多少钱
解:实际取出的钱等于本金+利息.
到12月最后一天取款时,
第1个月存款利息为100×12×0.165%,第2个月存款利息为100×11×0.165%,
…
第11个月存款利息为100×2×0.165%,
第12个月存款利息为100×1×0.165%,
所以S12=100×12×0.165%+100×11×0.165%+…+100×2×0.165%
+100×1×0.165%
=100×0.165%×(1+2+3+…+12)
=100×0.165%×
=12.87.
所以实际取出100×12+12.87=1 212.87(元).
题型(二) 分期付款模型
[例2] 王先生今年初向银行申请个人住房贷款100万元购买住房,按复利计算,并从贷款后的次月初开始还贷,分10年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式:①等额本金:在还款期内把本金总额等分,每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息;②等额本息:在还款期内,每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).
(1)若王先生采取等额本金的还贷方式,已知第一个还贷月应还15 000元,最后一个还贷月应还6 500元,试计算王先生该笔贷款的总利息;
解:由题可知,等额本金还贷方式中,每月的还贷额构成一个等差数列{an},Sn表示数列{an}的前n项和,
则a1=15 000,a120=6 500,
故S120=×120=1 290 000.
故王先生该笔贷款的总利息为
1 290 000-1 000 000=290 000元.
(2)若王先生采取等额本息的还贷方式,贷款月利率为0.3%,银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半,已知王先生家庭月收入为23 000元,试判断王先生该笔贷款能否获批.(不考虑其他因素,参考数据:1.003119≈
1.428,1.003120≈1.433,1.003121≈1.437)
解:设王先生每月还贷额为x元,
则有x+x(1+0.003)1+x(1+0.003)2+…+x(1+0.003)119
=1 000 000×(1+0.003)120,
即=1 000 000×(1+0.003)120,
故x=≈9 928.
因为9 928<23 000×=11 500,
所以王先生该笔贷款能够获批.
[思维建模]
分期付款中的有关计算方法既是重点,又是难点,突破难点的关键在于:
(1)准确计算出在贷款全部付清时,各期所付款额的增值.(注:最后一次付款没有利息)
(2)明确各期所付的款额连同到最后一次付款时所生的利息之和,等于商品售价及从购买到最后一次付款时的利息之和.
(3)等额本息还款法是每期所付的金额相同,每期所付金额及产生的利息和成等比数列;等额本金还款法是每期所付金额为每期应还本金与所欠款额的利息,每期所付金额成等差数列.
针对训练
3.张老师购买安居工程集资房92 m2,单价为1 000元/平方米,一次性国家财政补贴28 800元,学校补贴14 400元,余款由个人负担.房地产开发公司对教师实行分期付款(注①),每期为一年,等额付款,签订购房合同后一年付款一次,再经过一年又付款一次,等等,共付10次,10年后付清.如果按年利率7.5%,每年按复利计算(注②),那么每年付款多少元 (计算结果精确到元)(注③)
注:①分期付款:各期所付的款以及各期所付的款最后一次付款时所生的利息合计,应等于个人负担的购房余额的现价及这个条款现价最后一次付款时所生的利息之和.
②每年按复利计算,即本年利息计入次年的本金生息.
③参考数据:1.0759≈1.917,1.07510≈2.061,1.07511≈2.216.
解:设每年应付款x元,
第一年付款及所生利息之和为x×1.0759元,
第二年付款及所生利息之和为x×1.0758元,
…
第九年付款及所生利息之和为x×1.075元,
第十年付款为x元,而所购房余款的现价及其利息之和为[1 000×92-(28 800+14 400)]×1.07510=48 800×1.07510(元),
因此有x(1+1.075+1.0752+…+1.0759)=48 800×1.07510.
所以x=48 800×1.07510×≈48 800×2.061×0.071≈7 141(元).
故每年需付款7 141元.
题型(三) 产值增长模型
[例3] 某工厂引进新设备,随着员工对新设备的了解及熟悉,该设备每天生产的零件数量比前一天增加20%.已知该设备第一天生产某种零件1 000件,且该设备每天最多可以生产该零件5 000件.记第一天该设备生产的零件数量为a1件,第n天生产的零件数量为an件.
(1)求该设备第二天和第三天的总产量;
解:由题意得a1=1 000,an+1=an(1+20%)=1.2an,即=1.2,
所以数列{an}是以首项为1 000,公比为1.2的等比数列.
所以an=1 000×1.2n-1.
所以a2=1 000×1.2=1 200,
a3=1 000×1.22=1 440,
故该设备第二天和第三天的总产量为1 200+1 440=2 640件.
(2)求至少需要几天,该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能 (参考数据:取lg 2=0.30,lg 3=0.48)
解:设第k天可以达到该设备的最大产能,
由题意可得1 000×1.2k-1≥5 000,
两边取常用对数得3+(k-1)lg 1.2≥lg 5+3,即k≥+1,
所以k≥+1=+1=+1=9.75.
因为k∈N+,所以k的最小值是10,即至少需要10天,该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能.
针对训练
4.某市近8年的生产总值第一年为1 000亿元,从第二年开始以10%的速度增长,那么这个城市近8年的生产总值一共是多少亿元(精确到0.01亿元)
解:∵某市近8年的生产总值第一年为1 000亿元,从第二年开始以10%的速度增长,
∴每年的生产总值构成一个以首项a1=1 000,公比为q=1+10%=1.1的等比数列.∴这个城市近8年的生产总值一共是S8==10 000×(1.18-1)≈11 435.89(亿元).
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1.按复利计算,存入一笔5万元的三年定期存款,年利率为4%,则3年后支取可获得利息为 ( )
A.(5×0.04)3万元 B.5(1+0.04)3万元
C.3×(5×0.04)万元 D.[5(1+0.04)3-5]万元
解析:3年后的本利和为5×(1+0.04)3万元,利息为[5×(1+0.04)3-5]万元.
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2.我们知道,偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定,按照等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为0.4%,设张华第n个月的还款金额为an元,则an= ( )
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A.2 192 B.3 912-8n
C.3 920-8n D.3 928-8n
解析:由题意可知,每月还本金为2 000元, 则an=2 000+[480 000-(n-1)
×2 000]×0.4%=3 928-8n.
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3.某房屋开发商出售一套50万元的住宅,可以首付5万元,以后每过一年付5万元,9年后共10次付清,也可以一次付清(此后一年定期存款税后利率设为2%,按复利计算)并优惠x%,为鼓励购房者一次付款,问优惠率应不低于多少 (x取整数,参考数据:1.029≈1.19,1.0210≈1.2,1.0211≈1.24) ( )
A.15% B.16%
C.17% D.18%
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解析:由题意知,50(1-x%)(1+2%)9≤5(1.029+1.028+…+1.02+1), 整理得1-x%≤≈≈0.840 3.所以x%≥15.97%.所以一次付款的优惠率应不低于16%.
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4.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N+)年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于 ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
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解析:设该设备第n年的运营费用为an万元,
则数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,则an=2n.
所以该设备使用n年的运营费用总和为Tn=n2+n.
设第n年的盈利总额为Sn,则Sn=11n-(n2+n)-9=-n2+10n-9.
故年平均盈利额为10-.因为n+≥2=6,
当且仅当n=3时,等号成立.故当n=3时,年平均盈利额取得最大值4.
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5.[多选]市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.方式①:等额本金,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;方式②:等额本息,每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2021年7月7日贷款到账,则2021年8月7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004,则下列说法正确的是 ( )
(参考数据:1.004240≈2.61,计算结果取整数)
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A.选择方式①,若第一个还款月应还4 900元,最后一个还款月应还2 510元,则小张该笔贷款的总利息为289 200元
B.选择方式②,小张每月还款额为3 800元
C.选择方式②,小张总利息为333 840元
D.从经济利益的角度来考虑,小张应选择方式①
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解析:由题意可知,等额本金贷款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为{an},Sn表示数列{an}的前n项和,则a1=4 900,a240=2 510,
所以S240==120×(4 900+2 510)=889 200,
故小张该笔贷款的总利息为889 200-600 000=289 200(元),故A正确.
设小张选择等额本息贷款方式时,每月还款额为x元,
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则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239=600 000×(1+0.004)240,
所以x×=600 000×1.004240,
即x=≈
≈3 891,故B错误.
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小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240-600 000=933 840-600 000=333 840(元),故C正确.
因为333 840>289 200,所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择方式①,故D正确.
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6.[多选]某牧场2022年年初牛的存栏数为500,预计以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…,cn,…,其中n∈N+,则下列结论正确的是 ( )
(参考数据:1.25≈2.488 3,1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,1.210≈6.191 7)
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A.c2=540
B.cn+1与cn的递推公式为cn+1=1.2cn-60
C.按照计划2028年年初存栏数首次突破1 000
D.令S10=c1+c2+c3+…+c10,则S10≈8 192(精确到1)
解析:由题意得c1=500,并且cn+1=1.2cn-60,故B正确;
c2=1.2c1-60=1.2×500-60=540,故A正确;
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设cn+1-x=1.2(cn-x),则cn+1=1.2cn-0.2x,
∴0.2x=60,则x=300.
∴cn+1-300=1.2(cn-300),即数列{cn-300}是首项为c1-300=200,公比为1.2的等比数列,则cn-300=200×1.2n-1,∴cn=300+200×1.2n-1.
令cn=300+200×1.2n-1>1 000,则1.2n-1>3.5.
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∵1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,
∴n-1≥7,则n≥8.
故2029年年初存栏数首次突破1 000,故C错误;
S10=c1+c2+c3+…+c10=300×10+200×=3 000+1 000×(1.210-1)
≈3 000+1 000×(6.191 7-1)≈8 192,故D正确.
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7.某公司第1年年初向银行贷款1 000万元投资项目,贷款按复利计算,年利率为10%,约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元,利润随即存入银行,存款利息按复利计算,年利率也为10%,则到第n年年初该项目总收益为_______________万元,到第___年的年初,可以一次性还清贷款.
解析:由题知,到第n年年初,
借贷总额为1 000(1+10%)n=1 000×1.1n,
总收益为300+300×1.1+…+300×1.1n-2=3 000×(1.1n-1-1).
3 000×(1.1n-1-1)
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当n=5时,1 000×1.1n=1 610.51>300+300×1.1+…+300×1.1n-1=1 392.3,
当n=6时,1 000×1.1n=1 771.561<300+300×1.1+…+300×1.1n-1=1 831.53.
故第n年年初该项目总收益为3 000×(1.1n-1-1),
到第6年的年初,可以一次性还清贷款.
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8.在一次人才招聘会上,甲、乙两家公司开出的工资标准分别是:
甲公司:第一年月工资1 500元,以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元;
乙公司:第一年月工资2 000元,以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%.
设某人年初想从甲、乙两公司中选择一家公司去工作.
(1)若此人分别在甲公司或乙公司连续工作n年,则他在两公司第n年的月工资分别为多少
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解:在甲公司连续工作第n年的月工资是 1 500+230(n-1)=230n+1 270,
在乙公司连续工作第n年的月工资是2 000×(1+5%)n-1=2 000×1.05n-1.
(2)若此人在一家公司连续工作10年,则从哪家公司得到的报酬较多 (1.0510≈1.628 9,结果精确到1元)
解:在甲公司连续工作10年,得到的工资之和为
12×=304 200;
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在乙公司连续工作10年,得到的工资之和为12×=
480 000(1.0510-1)≈301 872<304 200.
所以从甲公司得到的报酬较多.
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9.“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,掌握好这两个概念,对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额,把它扣除利息后,折合成现时的值,而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如,在复利计息的情况下,设本金为A,每期利率为r,期数为n,到期末的本利和为S,则S=A(1+r)n,其中,S称为n期末的终值,A称为n期后终值S的现值,即n期后的S元现在的价值为A=.
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现有如下问题:小明想买一座公寓有如下两个方案,
方案一:一次性付全款25万元;
方案二:分期付款,每年初付款3万元,第十年年初付完;
(1)已知一年期存款的年利率为2.5%,试讨论两种方案哪一种更好
解:法一 (从终值来考虑)若全款购置,则25万元10年后的价值为
25(1+2.5%)10≈32.00(万元).
若分期付款,每年初所付金额3万元,10年后的总价值为S=3(1+2.5%)10+
3(1+2.5%)9+…+3(1+2.5%)≈34.44(万元).因此,付全款较好.
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法二 (从现值来考虑)每年初付租金3万元的10年现值之和为
Q=3+++…+ 1.02510Q=3×1.025×
Q≈≈26.91(万元),比一次付款25万元多,故一次性付全款的方案较好.
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(2)若小明把房子租出去,第一年年初收取租金2万元,此后每年初涨租金1 000元,参照第(1)问中的存款年利率2.5%,预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.(精确到百元)
参考数据:(1+2.5%)10≈1.28.
解:由题意,设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元,
则T=2(1+2.5%)10+2.1(1+2.5%)9+…+2.9(1+2.5%).
记1+2.5%=q,an=-0.1n+3,
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则T=a1q+a2q2+…+a10q10,qT=a1q2+a2q3+…+a9q10+a10q11,
作差可得(1-q)T=2.9q-0.1(q2+q3+…+q10)-2q11 (1-q)T
=3q-0.1(q+q2+q3+…+q10)-2q11
T=3·-0.1·-2·≈27.88(万元).
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10.在国家一系列利好政策的支持下,我国新能源汽车产业发展迅速.某汽车企业计划大力发展新能源汽车,2021年全年生产新能源汽车1万辆,之后每年新能源汽车的产量都在前一年的基础上增加50%.记2021年为第一年,其产量为a1=1万辆,该汽车企业第n年生产的新能源汽车为an万辆.
(1)求a5的值;
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解:由题意得an+1=(1+50%)an=an,
所以数列{an}是以a1=1为首项,为公比的等比数列,则an=.
所以a5==.
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(2)若从第k年开始计算,连续3年该汽车企业生产的新能源汽车的总产量不低于19万辆,求k的最小值.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
解:由题意ak+ak+1+ak+2≥19,即++≥19,
即为·≥19,则≥4,即lg≥lg 22.
所以(k-1)·(lg 3-lg 2)≥2lg 2.因为lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,
所以0.18(k-1)≥2×0.30,解得k≥.又因k∈N+,所以k的最小值为5.
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11.甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司,每人出资50万元作为启动资金投入生产,到当年年底,资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定公司从第一年开始,每年年底拿出60万元分红,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为an万元.
(1)求a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
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解:由题意得,投入生产的启动资金共有50×4=200万元.
所以a1=200(1+50%)-60=200×-60=240,a2=a1(1+50%)-60=a1-60=300,
an+1=an(1+50%)-60=an-60.
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(2)至少经过多少年,公司分红后的剩余资金不低于1 200万元
(年数取整数,参考数据:1.55≈7.59,1.56≈11.39)
解:由(1)知an=an-1-60=-60=an-2-×60-60
=an-3-×60-×60-60=…=a1-×60-
×60-…×60-×60-60=240×-60=120×+120.
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而a1=240也满足该式,
故an=120×+120.
令120×+120≥1 200,所以≥9.
因为1.55≈7.59,1.56≈11.39,n-1≥6,即n≥7.
所以至少经过7年,公司分红后的剩余资金不低于1 200万元.课时跟踪检测(十四) 数列在日常经济生活中的应用
1.按复利计算,存入一笔5万元的三年定期存款,年利率为4%,则3年后支取可获得利息为 ( )
A.(5×0.04)3万元
B.5(1+0.04)3万元
C.3×(5×0.04)万元
D.[5(1+0.04)3-5]万元
2.我们知道,偿还银行贷款时,“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式,其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还,每一期的还款金额由两部分组成,一部分为每期本金,即贷款本金除以还款期数,另一部分是利息,即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元,张华跟银行约定,按照等额本金还款法,每个月还一次款,20年还清,贷款月利率为0.4%,设张华第n个月的还款金额为an元,则an= ( )
A.2 192 B.3 912-8n
C.3 920-8n D.3 928-8n
3.某房屋开发商出售一套50万元的住宅,可以首付5万元,以后每过一年付5万元,9年后共10次付清,也可以一次付清(此后一年定期存款税后利率设为2%,按复利计算)并优惠x%,为鼓励购房者一次付款,问优惠率应不低于多少 (x取整数,参考数据:1.029≈1.19,1.0210≈1.2,1.0211≈1.24) ( )
A.15% B.16%
C.17% D.18%
4.某企业为节能减排,用9万元购进一台新设备用于生产.第一年需运营费用2万元,从第二年起,每年运营费用均比上一年增加2万元,该设备每年生产的收入均为11万元.设该设备使用了n(n∈N+)年后,年平均盈利额达到最大值(盈利额等于收入减去成本),则n等于 ( )
A.6 B.5
C.4 D.3
5.[多选]市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房,银行给小张提供了两种贷款方式.方式①:等额本金,每月的还款额呈递减趋势,且从第二个还款月开始,每月还款额与上月还款额的差均相同;方式②:等额本息,每个月的还款额均相同.银行规定,在贷款到账日的次月当天开始首次还款(若2021年7月7日贷款到账,则2021年8月 7日首次还款).已知小张该笔贷款年限为20年,月利率为0.004,则下列说法正确的是 ( )
(参考数据:1.004240≈2.61,计算结果取整数)
A.选择方式①,若第一个还款月应还4 900元,最后一个还款月应还2 510元,则小张该笔贷款的总利息为289 200元
B.选择方式②,小张每月还款额为3 800元
C.选择方式②,小张总利息为333 840元
D.从经济利益的角度来考虑,小张应选择方式①
6.[多选]某牧场2022年年初牛的存栏数为500,预计以后每年存栏数的增长率为20%,且在每年年底卖出60头牛.设牧场从2022年起每年年初的计划存栏数依次为c1,c2,c3,…,cn,…,其中n∈N+,则下列结论正确的是 ( )
(参考数据:1.25≈2.488 3,1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,1.210≈6.191 7)
A.c2=540
B.cn+1与cn的递推公式为cn+1=1.2cn-60
C.按照计划2028年年初存栏数首次突破1 000
D.令S10=c1+c2+c3+…+c10,则S10≈8 192(精确到1)
7.某公司第1年年初向银行贷款1 000万元投资项目,贷款按复利计算,年利率为10%,约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元,利润随即存入银行,存款利息按复利计算,年利率也为10%,则到第n年年初该项目总收益为 万元,到第 年的年初,可以一次性还清贷款.
8.在一次人才招聘会上,甲、乙两家公司开出的工资标准分别是:
甲公司:第一年月工资1 500元,以后每年的月工资比上一年的月工资增加230元;
乙公司:第一年月工资2 000元,以后每年的月工资在上一年的月工资基础上递增5%.
设某人年初想从甲、乙两公司中选择一家公司去工作.
(1)若此人分别在甲公司或乙公司连续工作n年,则他在两公司第n年的月工资分别为多少
(2)若此人在一家公司连续工作10年,则从哪家公司得到的报酬较多 (1.0510≈1.628 9,结果精确到1元)
9.“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念,掌握好这两个概念,对于顺利解决有关金融中的数学问题以及理解各种不同的算法都是十分有益的.所谓“现值”是指在n期末的金额,把它扣除利息后,折合成现时的值,而“终值”是指n期后的本利和.它们计算的基点分别是存期的起点和终点.例如,在复利计息的情况下,设本金为A,每期利率为r,期数为n,到期末的本利和为S,则S=A(1+r)n,其中,S称为n期末的终值,A称为n期后终值S的现值,即n期后的S元现在的价值为A=.
现有如下问题:小明想买一座公寓有如下两个方案,
方案一:一次性付全款25万元;
方案二:分期付款,每年初付款3万元,第十年年初付完;
(1)已知一年期存款的年利率为2.5%,试讨论两种方案哪一种更好
(2)若小明把房子租出去,第一年年初收取租金2万元,此后每年初涨租金1 000元,参照第(1)问中的存款年利率2.5%,预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值.(精确到百元)
参考数据:(1+2.5%)10≈1.28.
10.在国家一系列利好政策的支持下,我国新能源汽车产业发展迅速.某汽车企业计划大力发展新能源汽车,2021年全年生产新能源汽车1万辆,之后每年新能源汽车的产量都在前一年的基础上增加50%.记2021年为第一年,其产量为a1=1万辆,该汽车企业第n年生产的新能源汽车为an万辆.
(1)求a5的值;
(2)若从第k年开始计算,连续3年该汽车企业生产的新能源汽车的总产量不低于19万辆,求k的最小值.(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)
11.甲、乙、丙、丁四人合资注册一家公司,每人出资50万元作为启动资金投入生产,到当年年底,资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年相同.四人决定公司从第一年开始,每年年底拿出60万元分红,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底公司分红后的剩余资金为an万元.
(1)求a1,a2,并写出an+1与an的关系式;
(2)至少经过多少年,公司分红后的剩余资金不低于1 200万元
(年数取整数,参考数据:1.55≈7.59,1.56≈11.39)
课时跟踪检测(十四)
1.选D 3年后的本利和为5×(1+0.04)3万元,利息为[5×(1+0.04)3-5]万元.
2.选D 由题意可知,每月还本金为2 000元, 则an=2 000+[480 000-(n-1)×2 000]×0.4%=3 928-8n.
3.选B 由题意知,50(1-x%)(1+2%)9≤5(1.029+1.028+…+1.02+1),
整理得1-x%≤≈≈0.840 3.所以x%≥15.97%.所以一次付款的优惠率应不低于16%.
4.选D 设该设备第n年的运营费用为an万元,则数列{an}是以2为首项,2为公差的等差数列,则an=2n.所以该设备使用n年的运营费用总和为Tn=n2+n.设第n年的盈利总额为Sn,则Sn=11n-(n2+n)-9=-n2+10n-9.故年平均盈利额为10-.因为n+≥2=6,当且仅当n=3时,等号成立.故当n=3时,年平均盈利额取得最大值4.
5.选ACD 由题意可知,等额本金贷款方式中,每月的还款额构成一个等差数列,记为{an},Sn表示数列{an}的前n项和,则a1=4 900,a240=2 510,所以S240==120×(4 900+2 510)=889 200,故小张该笔贷款的总利息为889 200-600 000=289 200(元),故A正确.
设小张选择等额本息贷款方式时,每月还款额为x元,
则x+x(1+0.004)+x(1+0.004)2+…+x(1+0.004)239=600 000×(1+0.004)240,
所以x×=600 000×1.004240,
即x=
≈
≈3 891,故B错误.
小张采取等额本息贷款方式的总利息为3 891×240-600 000=933 840-600 000=333 840(元),故C正确.
因为333 840>289 200,所以从经济利益的角度来考虑,小张应选择方式①,故D正确.
6.选ABD 由题意得c1=500,并且cn+1=1.2cn-60,故B正确;c2=1.2c1-60=1.2×500-60=540,故A正确;设cn+1-x=1.2(cn-x),则cn+1=1.2cn-0.2x,
∴0.2x=60,则x=300.∴cn+1-300=1.2(cn-300),即数列{cn-300}是首项为c1-300=200,公比为1.2的等比数列,则cn-300=200×1.2n-1,∴cn=300+200×1.2n-1.令cn=300+200×1.2n-1>1 000,则1.2n-1>3.5.∵1.26≈2.986 0,1.27≈3.583 2,∴n-1≥7,则n≥8.故2029年年初存栏数首次突破1 000,故C错误;S10=c1+c2+c3+…+c10=300×10+200×=3 000+1 000×(1.210-1)≈3 000+1 000×(6.191 7-1)≈8 192,故D正确.
7.解析:由题知,到第n年年初,
借贷总额为1 000(1+10%)n=1 000×1.1n,
总收益为300+300×1.1+…+300×1.1n-2=3 000×(1.1n-1-1).
当n=5时,1 000×1.1n=1 610.51>300+300×1.1+…+300×1.1n-1=1 392.3,
当n=6时,1 000×1.1n=1 771.561<300+300×1.1+…+300×1.1n-1=1 831.53.
故第n年年初该项目总收益为3 000×(1.1n-1-1),
到第6年的年初,可以一次性还清贷款.
答案:3 000×(1.1n-1-1) 6
8.解:(1)在甲公司连续工作第n年的月工资是1 500+230(n-1)=230n+1 270,
在乙公司连续工作第n年的月工资是 2 000×(1+5%)n-1=2 000×1.05n-1.
(2)在甲公司连续工作10年,得到的工资之和为12×=304 200;
在乙公司连续工作10年,得到的工资之和为12×=480 000(1.0510-1)≈301 872<304 200.
所以从甲公司得到的报酬较多.
9.解:(1)法一 (从终值来考虑)若全款购置,则25万元10年后的价值为25(1+2.5%)10≈32.00(万元).
若分期付款,每年初所付金额3万元,10年后的总价值为S=3(1+2.5%)10+3(1+2.5%)9+…+3(1+2.5%)≈34.44(万元).
因此,付全款较好.
法二 (从现值来考虑)每年初付租金3万元的10年现值之和为Q=3+++…+ 1.02510Q=3×1.025× Q≈≈26.91(万元),比一次付款25万元多,故一次性付全款的方案较好.
(2)由题意,设小明第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值为T万元,
则T=2(1+2.5%)10+2.1(1+2.5%)9+…+2.9(1+2.5%).记1+2.5%=q,an=-0.1n+3,则T=a1q+a2q2+…+a10q10,qT=a1q2+a2q3+…+a9q10+a10q11,作差可得(1-q)T=2.9q-0.1(q2+q3+…+q10)-2q11 (1-q)T=3q-0.1(q+q2+q3+…+q10)-2q11 T=3·-0.1·-2·≈27.88(万元).
10.解:(1)由题意得an+1=(1+50%)an=an,所以数列{an}是以a1=1为首项,为公比的等比数列,则an=.所以a5==.
(2)由题意ak+ak+1+ak+2≥19,即++≥19,即为·≥19,则≥4,即lg≥lg 22.所以(k-1)·(lg 3-lg 2)≥2lg 2.因为lg 2≈0.30,lg 3≈0.48,所以0.18(k-1)≥2×0.30,解得k≥.又因k∈N+,所以k的最小值为5.
11.解:(1)由题意得,投入生产的启动资金共有50×4=200万元.
所以a1=200(1+50%)-60=200×-60=240,a2=a1(1+50%)-60=a1-60=300,
an+1=an(1+50%)-60=an-60.
(2)由(1)知an=an-1-60
=-60=an-2-×60-60
=an-3-×60-×60-60=…=a1-×60-×60-…×60-×60-60=240×-60=120×+120.
而a1=240也满足该式,
故an=120×+120.
令120×+120≥1 200,
所以≥9.
因为1.55≈7.59,1.56≈11.39,n-1≥6,即n≥7.
所以至少经过7年,公司分红后的剩余资金不低于1 200万元.
