2.1 导数的概念(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解导数概念的实际背景,掌握导数的概念.
2.会利用导数的概念求函数在某点处的导数.
1.导数的定义
设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为==.
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的 .
在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的 ,通常用符号f'(x0)表示,f'(x0)还可以写成 .
2.记法
f'(x0)== .
[微点助解]
(1)函数应在x0的附近有定义,否则导数不存在.
(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关.
(3)导数的实质是一个极限值.
[基点训练]
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)表示f(x)在x=x0处的瞬时变化率. ( )
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关. ( )
(3)设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,当Δx趋近于0时,x趋近于x0,所以f'(x0)==. ( )
2.若f(x)=,则f'(1)等于 ( )
A.1 B.-1
C. D.-
3.[多选]下列各式正确的是 ( )
A.f'(x0)=
B.f'(x0)=
C.f'(x0)=
D.f'(x0)=
题型(一) 导数的概念
[例1] 设f(x)在x0处可导,则等于 ( )
A.-4f'(x0) B.f'(x0)
C.f'(x0) D.4f'(x0)
听课记录:
[思维建模]
利用导数定义解题时,应充分体会导数定义的实质,虽然表达式不同,但表达的实质可能相同.
[针对训练]
1.设函数f(x)在x=x0处可导,以下有关的值的说法正确的是 ( )
A.与x0,h都有关
B.仅与x0有关而与h无关
C.仅与h有关而与x0无关
D.与x0,h均无关
2.若f'(x0)=-2,则= ( )
A.-12 B.-9
C.-6 D.-3
题型(二) 求函数在某点处的导数
[例2] 根据导数的定义,求下列函数的导数.
(1)求函数y=x2+3在x=1处的导数;
(2)求函数y=在x=2处的导数.
听课记录:
[思维建模]
求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f'(x0)= .
[针对训练]
3.已知y=f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于 ( )
A.-4 B.2
C.-2 D.±2
4.求函数y=x-在x=1处的导数.
题型(三) 导数在实际问题中的意义
[例3] 某机械厂生产一种木材旋切机,已知总利润c(单位:元)与产量x(单位:台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600.
(1)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均变化率;
(2)求c'(1 000)与c'(1 500),并说明它们的实际意义.
听课记录:
[思维建模]
认识瞬时变化率的关键点
(1)极限思想是逼近的思想,瞬时变化率就是平均变化率的极限.
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导函数f'(x0)反映了函数在x=x0处的瞬时变化率,它揭示了事物在某时刻的变化情况.
[针对训练]
5.将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时,原油的温度(单位:℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的实际意义.
导数的概念
课前环节
1.固定的值 瞬时变化率 导数 y'
2.
[基点训练]
1.(1)√ (2)√ (3)√
2.选B ∵==,
∴f'(1)===-1.
3.选AD
=
=f'(x0),故D正确.易知A正确.
课堂环节
[题型(一)]
[例1] 选D =
4=4f'(x0),故选D.
[针对训练]
1.选B 导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x0及其附近的函数值有关,与h无关.
2.选C 因为f'(x0)=-2,
所以
=3·
=3
=3f'(x0)=-6.
[题型(二)]
[例2] 解:(1)因为Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2,
所以==2+Δx.
所以f'(1)==(2+Δx)=2.
(2)因为Δy=-,
所以===.
所以f'(2)===.
[针对训练]
3.选D 因为===,
所以f'(m)==-.
所以-=-,m2=4,解得m=±2.
4.解:∵Δy=(1+Δx)--=Δx+,∴==1+.
∴==2,
从而当x=1时,y'=2.
[题型(三)]
[例3] 解:(1)当产量由1 000台提高到 1 500台时,总利润的平均变化率为=
=2 000(元/台).
(2)设x=1 000时产量的改变量为Δx1,
则=
==-2Δx1+3 000.
令Δx1→0,可得c'(1 000)=3 000.
设x=1 500时产量的改变量为Δx2,
则=
==-2Δx2+1 000.
令Δx2→0,可得c'(1 500)=1 000.c'(1 000)的实际意义:当产量为1 000台时,多生产1台旋切机可多获得3 000元;c'(1 500)的实际意义:当产量为1 500台时,多生产1台旋切机可多获得1 000元.
[针对训练]
5.解:在第2 h时,原油温度的瞬时变化率为
=
==(-3+Δx)=-3,
其实际意义表示当x=2 h时,原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度,也就是说,在第2 h附近,原油温度大约以3 ℃/h的速率下降.
在第6 h时,原油温度的瞬时变化率为
=
==(5+Δx)=5,
其实际意义表示当x=6 h时,原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度,也就是说,在第6 h附近,原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.(共45张PPT)
2.1
导数的概念
(强基课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解导数概念的实际背景,掌握导数的概念.
2.会利用导数的概念求函数在某点处的导数.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
课时跟踪检测
课前环节/预知教材·自主落实主干基础
1.导数的定义
设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值y从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为==.
当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个_________,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0的____________.
在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在点x0处的_____,通常用符号f'(x0)表示,f'(x0)还可以写成_______.
固定的值
瞬时变化率
导数
y'
2.记法
f'(x0)==_______________________.
[微点助解]
(1)函数应在x0的附近有定义,否则导数不存在.
(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与Δx无关.
(3)导数的实质是一个极限值.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)f'(x0)表示f(x)在x=x0处的瞬时变化率.( )
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导数值与Δx的正、负无关.( )
(3)设x=x0+Δx,则Δx=x-x0,当Δx趋近于0时,x趋近于x0,所以f'(x0)=
=.( )
基点训练
√
√
√
2.若f(x)=,则f'(1)等于( )
A.1 B.-1
C. D.-
解析:∵==,∴f'(1)===-1.
√
3.[多选]下列各式正确的是 ( )
A.f'(x0)=
B.f'(x0)=
C.f'(x0)=
D.f'(x0)=
√
√
解析:
=
=f'(x0),故D正确.易知A正确.
课堂环节/题点研究·迁移应用融会贯通
题型(一) 导数的概念
[例1] 设f(x)在x0处可导,则等于( )
A.-4f'(x0) B.f'(x0)
C.f'(x0) D.4f'(x0)
解析:
=4=4f'(x0),故选D.
√
[思维建模]
利用导数定义解题时,应充分体会导数定义的实质,虽然表达式不同,但表达的实质可能相同.
针对训练
1.设函数f(x)在x=x0处可导,以下有关的值的说法正确的是( )
A.与x0,h都有关
B.仅与x0有关而与h无关
C.仅与h有关而与x0无关
D.与x0,h均无关
解析:导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x0及其附近的函数值有关,与h无关.
√
2.若f'(x0)=-2,则=( )
A.-12 B.-9
C.-6 D.-3
解析:因为f'(x0)=-2,所以
=3·=3
=3f'(x0)=-6.
√
题型(二) 求函数在某点处的导数
[例2] 根据导数的定义,求下列函数的导数.
(1)求函数y=x2+3在x=1处的导数;
解:因为Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2,
所以==2+Δx.
所以f'(1)==(2+Δx)=2.
(2)求函数y=在x=2处的导数.
解:因为Δy=-,
所以===.
所以f'(2)===.
[思维建模]
求函数y=f(x)在x=x0处的导数的步骤
(1)求函数值的变化量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
(2)求平均变化率=;
(3)取极限,得导数f'(x0)= .
3.已知y=f(x)=,且f'(m)=-,则m的值等于( )
A.-4 B.2
C.-2 D.±2
解析:因为===,
所以f'(m)==-.所以-=-,m2=4,解得m=±2.
√
针对训练
4.求函数y=x-在x=1处的导数.
解:∵Δy=(1+Δx)--=Δx+,∴==1+.
∴==2,
从而当x=1时,y'=2.
题型(三) 导数在实际问题中的意义
[例3] 某机械厂生产一种木材旋切机,已知总利润c(单位:元)与产量x(单位:台)之间的关系式为c(x)=-2x2+7 000x+600.
(1)求产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均变化率;
解:当产量由1 000台提高到1 500台时,总利润的平均变化率为=
=2 000(元/台).
(2)求c'(1 000)与c'(1 500),并说明它们的实际意义.
解:设x=1 000时产量的改变量为Δx1,
则=
==-2Δx1+3 000.
令Δx1→0,可得c'(1 000)=3 000.
设x=1 500时产量的改变量为Δx2,
则=
==-2Δx2+1 000.
令Δx2→0,可得c'(1 500)=1 000.c'(1 000)的实际意义:当产量为1 000台时,多生产1台旋切机可多获得3 000元;c'(1 500)的实际意义:当产量为1 500台时,多生产1台旋切机可多获得1 000元.
[思维建模]
认识瞬时变化率的关键点
(1)极限思想是逼近的思想,瞬时变化率就是平均变化率的极限.
(2)函数y=f(x)在x=x0处的导函数f'(x0)反映了函数在x=x0处的瞬时变化率,它揭示了事物在某时刻的变化情况.
针对训练
5.将原油精炼为汽油、柴油等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热.如果在第x h时,原油的温度(单位:℃)为f(x)=x2-7x+15(0≤x≤8).计算第2 h和第6 h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的实际意义.
解:在第2 h时,原油温度的瞬时变化率为
=
==(-3+Δx)=-3,
其实际意义表示当x=2 h时,原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度,也就是说,在第2 h附近,原油温度大约以3 ℃/h的速率下降.
在第6 h时,原油温度的瞬时变化率为
=
==(5+Δx)=5,
其实际意义表示当x=6 h时,原油温度的瞬时变化率即原油温度的瞬时变化速度,也就是说,在第6 h附近,原油温度大约以5 ℃/h的速率上升.
课时跟踪检测
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A级——综合提能
1.若函数f(x)在R上可导,则=( )
A.f'(2) B.-f'(2)
C.f'(-2) D.f'(Δx)
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2.若函数f(x)满足=2,则=( )
A.2 B.1
C.0 D.-1
解析:因为=2,所以=
-=-×2=-1.
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3.已知=,则f'(x0)=( )
A. B.
C. D.
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解析:根据题意,得=
=,
=+=2f'(x0),则f'(x0)=.
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4.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足=-1,则f'(0)等于( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
解析:∵f(x)图象过原点,∴f(0)=0.∴f'(0)===-1,故选C.
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5.若f(x)=x3,f'(x0)=3,则x0的值是 ( )
A.1 B.-1
C.±1 D.3
解析:∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=(x0+Δx)3-=3Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3,
∴=3+3x0Δx+(Δx)2.∴f'(x0)=[3+3x0Δx+(Δx)2]=3.由f'(x0)=3,得3=3,∴x0=±1.
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6.设函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a等于 .
解析:∵f'(1)=
==a,
又f'(1)=3,∴a=3.
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7.函数y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为 .
解析:∵Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,
∴==2Δx+16.∴f'(3)== (2Δx+16)=16.
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8.已知函数y=f(x)=2x2+1在x=x0处的导数为-8,则f(x0)= .
解析:由题知-8==(2Δx+4x0)=4x0,得x0=-2.
所以f(x0)=f(-2)=2×(-2)2+1=9.
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9.设函数f(x)可导且f(x)在x0处的导数值为1,则
= .
解析:依题意,得f'(x0)=1,
所以
==f'(x0)=.
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10.一条水管中流过的水量y(单位:m3)与时间t(单位:s)之间的函数关系为y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它的实际意义.
解:因为===3,所以f'(2)==3.f'(2)的实际意义是水流在t=2时的瞬时流速为3 m3/s.
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11.已知函数f(x)=x2-x.
(1)求f'(x);
解:因为Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2-(x+Δx)-x2+x=(Δx)2+2x·Δx-Δx,
所以=2x+Δx-.
所以f'(x)==2x-.
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(2)求f(x)在x=1处的导数.
解:由(1)得f'(1)=2×1-=.
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B级——应用创新
12.设函数y=f(x)在x=x0处可导,且 =a,则f'(x0)=____.
解析:∵
=
=-3f'(x0)=a,∴f'(x0)=-a.
-a
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13.(1)已知函数y=f(x)=13-8x+x2,且f'(x0)=4,求x0的值;
解:∵f'(x0)= =
=
= (-8+2x0+Δx)
=-8+2x0=4,∴x0=3.
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(2)已知函数y=f(x)=x2+2xf'(0),求f'(0)的值.
解:∵f'(0)= =
=
=[Δx+2f'(0)]=2f'(0),
∴f'(0)=0.
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14.设f(x)在R上可导,求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数之间的关系.
解:设f(-x)=g(x),则f(-x)在x=a处的导数为g'(a),于是g'(a)==,而f'(-a)=,令x=-t,则当x→-a时,t→a,∴f'(-a)==-
=-g'(a).这说明f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数.课时跟踪检测(十六) 导数的概念
A级——综合提能
1.若函数f(x)在R上可导,则= ( )
A.f'(2) B.-f'(2)
C.f'(-2) D.f'(Δx)
2.若函数f(x)满足=2,则= ( )
A.2 B.1
C.0 D.-1
3.已知=,则f'(x0)= ( )
A. B.
C. D.
4.若可导函数f(x)的图象过原点,且满足=-1,则f'(0)等于 ( )
A.-2 B.2
C.-1 D.1
5.若f(x)=x3,f'(x0)=3,则x0的值是 ( )
A.1 B.-1
C.±1 D.3
6.设函数f(x)=ax+3,若f'(1)=3,则a等于 .
7.函数y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为 .
8.已知函数y=f(x)=2x2+1在x=x0处的导数为-8,则f(x0)= .
9.设函数f(x)可导且f(x)在x0处的导数值为1,则= .
10.一条水管中流过的水量y(单位:m3)与时间t(单位:s)之间的函数关系为y=f(t)=3t.求函数y=f(t)在t=2处的导数f'(2),并解释它的实际意义.
11.已知函数f(x)=x2-x.
(1)求f'(x);
(2)求f(x)在x=1处的导数.
B级——应用创新
12.设函数y=f(x)在x=x0处可导,且 =a,则f'(x0)= .
13.(1)已知函数y=f(x)=13-8x+x2,且f'(x0)=4,求x0的值;
(2)已知函数y=f(x)=x2+2xf'(0),求f'(0)的值.
14.设f(x)在R上可导,求f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数之间的关系.
课时跟踪检测(十六)
1.A
2.选D 因为=2,
所以
=-
=-×2=-1.
3.选B 根据题意,
得==
,
=+
=2f'(x0),
则f'(x0)=.
4.选C ∵f(x)图象过原点,∴f(0)=0.∴f'(0)===-1,故选C.
5.选C ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=-=3Δx+3x0(Δx)2+(Δx)3,∴=3+3x0Δx+(Δx)2.∴f'(x0)=[3+3x0Δx+(Δx)2]=3.由f'(x0)=3,得3=3,∴x0=±1.
6.解析:∵f'(1)=
==a,
又f'(1)=3,∴a=3.
答案:3
7.解析:∵Δy=2(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)=2(Δx)2+16Δx,∴==2Δx+16.∴f'(3)== (2Δx+16)=16.
答案:16
8.解析:由题知-8==(2Δx+4x0)=4x0,得x0=-2.
所以f(x0)=f(-2)=2×(-2)2+1=9.
答案:9
9.解析:依题意,得f'(x0)=1,
所以
==f'(x0)=.
答案:
10.解:因为===3,所以f'(2)==3.f'(2)的实际意义是水流在t=2时的瞬时流速为3 m3/s.
11.解:(1)因为Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2-(x+Δx)-x2+x=(Δx)2+2x·Δx-Δx,
所以=2x+Δx-.
所以f'(x)==2x-.
(2)由(1)得f'(1)=2×1-=.
12.解析:∵
=
=-3f'(x0)=a,∴f'(x0)=-a.
答案:-a
13.解:(1)∵f'(x0)= =
=
= (-8+2x0+Δx)
=-8+2x0=4,
∴x0=3.
(2)∵f'(0)= =
=
=[Δx+2f'(0)]=2f'(0),
∴f'(0)=0.
14.解:设f(-x)=g(x),则f(-x)在x=a处的导数为g'(a),于是g'(a)==,而f'(-a)=,令x=-t,则当x→-a时,t→a,
∴f'(-a)==-
=-g'(a).这说明f(-x)在x=a处的导数与f(x)在x=-a处的导数互为相反数.
