2.2 导数的几何意义(深化课——题型研究式教学)
课时目标
1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义,会求简单函数的导函数.
2.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
1.曲线的切线定义
设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,从图象上可以看出:当Δx取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx趋于0时,点B将 ,割线AB将绕 .称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数 ,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应的切线方程为 .函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
题型(一) 利用导数的几何意义判断函数的图象变化
[例1] 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]内单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象可能是 ( )
听课记录:
[思维建模]
(1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值,从而得出在x=x0附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的.
(2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢.
[针对训练]
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系正确的是 ( )
A.0
B.0C.0D.0题型(二) 利用导数的几何意义求解切线问题
题点1 求切线方程
[例2] 已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
听课记录:
[变式拓展]
1.本例条件不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
2.本例条件不变,求满足斜率为1的曲线的切线方程.
[思维建模]
求曲线切线方程的两种情形
(1)如果所给点P(x0,y0)是切点,一般叙述为“在点P处的切线”,此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0),即得切线的斜率k=f'(x0),再根据点斜式得出切线方程.
(2)如果所给点P不是切点,应先设出切点M(x0,y0),再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述,点P不一定是切点,也不一定在曲线上.
题点2 求切点坐标或参数
[例3] (1)已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a= ( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
(2)已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为 .
听课记录:
[思维建模]
求切点坐标的步骤
(1)设出切点坐标;
(2)利用导数或斜率公式求出斜率;
(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;
(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.
[针对训练]
2.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为 ,切点坐标为 .
3.求函数f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程.
导数的几何意义
1.沿着曲线y=f(x)趋于点A 点A转动趋于直线l
2.f'(x0) y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
[题型(一)]
[例1] 选A 函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a,b]内单调递增,由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在区间[a,b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的,只有A选项符合.
[针对训练]
1.选C kAB==f(3)-f(2),f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,根据图象可知0[题型(二)]
[例2] 解:∵P(2,4)在曲线y=x3+上,
∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为k=
= =4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
[变式拓展]
1.解:设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,
则切线的斜率为
k= =,
∴切线方程为y-=(x-x0),
即y=x-+.
∵点P(2,4)在切线上,
∴4=2-+,即-3+4=0.
∴+-4+4=0,
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
2.解:设切点为(x0,y0),
由变式拓展1可知切线的斜率为k=,
即=1,x0=±1,
∴切点为或(-1,1),
∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1,
即3x-3y+2=0或x-y+2=0.
[例3] 解析:(1)f'(1)=
=
=[(Δx)2+3Δx+3+a]=3+a.
又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,
∴f'(1)·=(3+a)·=-1,解得a=1.
(2)设切点坐标为(x0,y0),则Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2,
∴=4x0+2Δx,∴f'(x0)==4x0.
又∵切线的斜率为k=tan 45°=1,∴4x0=1,
即x0=.
∴y0=2×+1=,
∴切点坐标为.
答案:(1)B (2)
[针对训练]
2.解析:设直线l与曲线C的切点为(x0,y0),因为y'==3x2-2x,
则y'=3-2x0=1,
解得x0=1或x0=-.
当x0=1时,y0=-+1=1.
又因为(x0,y0)在直线y=x+a上,将x0=1,y0=1代入得a=0,与已知条件矛盾,舍去.
当x0=-时,y0=-+1=,
则切点坐标为,
将代入直线y=x+a中得a=.
答案:
3.解:设切点为Q(a,a2+1),==2a+Δx,
=(2a+Δx)=2a.
所以所求切线的斜率为2a.
因此,=2a,
解得a=1±,
所求的切线方程为(2+2)x-y-(2+2)=0或(2-2)x-y-(2-2)=0.(共43张PPT)
2.2
导数的几何意义
(深化课——题型研究式教学)
课时目标
1.了解导函数的概念,理解导数的几何意义,会求简单函数的导函数.
2.根据导数的几何意义,会求曲线上某点处的切线方程.
1.曲线的切线定义
设函数y=f(x)的图象是一条光滑的曲线,从图象上可以看出:当Δx取不同的值时,可以得到不同的割线;当Δx趋于0时,点B将______________________,割线AB将绕__________________.称直线l为曲线y=f(x)在点A处的切线,或称直线l和曲线y=f(x)在点A处相切.该切线的斜率就是函数y=f(x)在x0处的导数f'(x0).
沿着曲线y=f(x)趋于点A
点A转动趋于直线l
2.导数的几何意义
函数y=f(x)在x0处的导数_____,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应的切线方程为_________________.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.
f'(x0)
y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 利用导数的几何意义判断函数的图象变化
题型(二) 利用导数的几何意义求
解切线问题
课时跟踪检测
题型(一) 利用导数的几何意义判断函数的图象变化
[例1] 若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]内单调递增,则函数y=f(x)在区间[a,b]内的图象可能是 ( )
√
解析:函数y=f(x)的导函数y=f'(x)在[a,b]内单调递增,由导数的几何意义可知,曲线y=f(x)在区间[a,b]内各点处的切线斜率是逐渐增大的,只有A选项符合.
[思维建模]
(1)曲线f(x)在x=x0附近的变化情况可通过在x=x0处的切线刻画.f'(x0)>0说明曲线在x=x0处的切线的斜率为正值,从而得出在x=x0附近曲线是上升的;f'(x0)<0说明在x=x0附近曲线是下降的.
(2)曲线在某点处的切线斜率反映了曲线在相应点处的变化情况,由切线的倾斜程度,可以判断出曲线升降的快慢.
针对训练
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则下列不等关系正确的是 ( )
A.0B.0C.0D.0√
解析:kAB==f(3)-f(2),f'(2)为函数f(x)的图象在点B(2,f(2))处的切线的斜率,f'(3)为函数f(x)的图象在点A(3,f(3))处的切线的斜率,根据图象可知0题型(二) 利用导数的几何意义求解切线问题
题点1 求切线方程
[例2] 已知曲线y=x3+,求曲线在点P(2,4)处的切线方程.
解:∵P(2,4)在曲线y=x3+上,∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率为
k= = =4.
∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为
y-4=4(x-2),即4x-y-4=0.
[变式拓展]
1.本例条件不变,求曲线过点P(2,4)的切线方程.
解:设曲线y=x3+与过点P(2,4)的切线相切于点A,
则切线的斜率为k= =,
∴切线方程为y-=(x-x0),
即y=x-+.
∵点P(2,4)在切线上,∴4=2-+,
即-3+4=0.∴+-4+4=0,
∴(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0,
∴(x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2.
故所求的切线方程为x-y+2=0或4x-y-4=0.
2.本例条件不变,求满足斜率为1的曲线的切线方程.
解:设切点为(x0,y0),
由变式拓展1可知切线的斜率为k=,
即=1,x0=±1,
∴切点为或(-1,1),
∴切线方程为y-=x-1或y-1=x+1,
即3x-3y+2=0或x-y+2=0.
[思维建模]
求曲线切线方程的两种情形
(1)如果所给点P(x0,y0)是切点,一般叙述为“在点P处的切线”,此时只要求函数f(x)在点x0处的导数f'(x0),即得切线的斜率k=f'(x0),再根据点斜式得出切线方程.
(2)如果所给点P不是切点,应先设出切点M(x0,y0),再求切线方程.要特别注意“过点P的切线”这一叙述,点P不一定是切点,也不一定在曲线上.
题点2 求切点坐标或参数
[例3] (1)已知曲线f(x)=x3+ax在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,则实数a=( )
A.2 B.1
C.-1 D.-2
√
解析: f'(1)===
[(Δx)2+3Δx+3+a]=3+a.
又曲线f(x)在x=1处的切线与直线x+4y=0垂直,
∴f'(1)·=(3+a)·=-1,
解得a=1.
(2)已知f(x)=2x2+1在某点处的切线的倾斜角为45°,则该切点的坐标为 .
解析:设切点坐标为(x0,y0),则Δy=[2(x0+Δx)2+1]-(2+1)=4x0·Δx+2(Δx)2,
∴=4x0+2Δx,∴f'(x0)==4x0.
又∵切线的斜率为k=tan 45°=1,∴4x0=1,即x0=.
∴y0=2×+1=,∴切点坐标为.
[思维建模]
求切点坐标的步骤
(1)设出切点坐标;
(2)利用导数或斜率公式求出斜率;
(3)利用斜率关系列方程,求出切点的横坐标;
(4)把横坐标代入曲线或切线方程,求出切点纵坐标.
针对训练
2.直线l:y=x+a(a≠0)和曲线C:y=x3-x2+1相切,则a的值为____,切点坐标为________.
解析:设直线l与曲线C的切点为(x0,y0),因为y'==3x2-2x,
则y'=3-2x0=1,解得x0=1或x0=-.
当x0=1时,y0=-+1=1.
又因为(x0,y0)在直线y=x+a上,
将x0=1,y0=1代入得a=0,与已知条件矛盾,舍去.
当x0=-时,y0=-+1=,
则切点坐标为,
将代入直线y=x+a中得a=.
3.求函数f(x)=x2+1过点P(1,0)的切线方程.
解:设切点为Q(a,a2+1),==2a+Δx,
=(2a+Δx)=2a.
所以所求切线的斜率为2a.
因此,=2a,解得a=1±,
所求的切线方程为(2+2)x-y-(2+2)=0或(2-2)x-y-(2-2)=0.
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A级——综合提能
1.函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)的几何意义是( )
A.在点x=x0处的斜率
B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值
C.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
D.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线的斜率
解析:f'(x0)的几何意义是在切点(x0,f(x0))处的切线斜率.故选D.
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2.已知函数f(x)满足f'(x1)>0,f'(x2)<0,则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 ( )
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解析:由f'(x1)>0,f'(x2)<0可知,f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正,在x=x2处切线的斜率为负.
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3.曲线y=f(x)=-在点M(1,-2)处的切线方程为( )
A.y=-2x+4 B.y=-2x-4
C.y=2x-4 D.y=2x+4
解析:因为==,所以当Δx→0时,f'(1)=2,即切线的斜率k=2.所以切线方程为y+2=2(x-1),即y=2x-4.
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4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为( )
A.30° B.45°
C.135° D.60°
解析:∵==1,∴切线的斜率为1,∴倾斜角为45°.
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5.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f'(4)等于 ( )
A. B.3
C.4 D.5
解析:根据导数的几何意义知f'(4)是曲线y=f(x)
在x=4处的切线的斜率k,k==,所以f'(4)=.
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6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y'|x=2= .
解析:因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知y'|x=2=3.
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7.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则=____.
解析:由导数的概念和几何意义知,=f'(1)=kAB==-2.
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8.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .
解析:∵f'(1)=2,又==
(aΔx+2a)=2a,∴2a=2,∴a=1.又f(1)=a+b=3,∴b=2,∴=2.
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9.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),Q(2,-1),且在点Q处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值.
解:∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1,1),∴a+b+c=1.①∵y'=
==
=(2ax+b+aΔx)=2ax+b,∴y'|x=2=4a+b,∴4a+b=1.②
又曲线过Q(2,-1)点,∴4a+2b+c=-1,③
联立①②③解得a=3,b=-11,c=9.
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10.试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
解:设所求切线的切点为A(x0,y0),
则f'(x0)===2x0.
∵点A在曲线y=x2上,∴y0=,
又∵A是切点,∴过点A的切线的斜率k=2x0,
∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,
∴其斜率为=.
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∴2x0=,解得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2.
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求的切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),即y=2x-1和y=10x-25.
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B级——应用创新
11.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是( )
A.aB.f'(2)C.f'(4)D.f'(2)√
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解析:由题图可知,在[2,4]上,函数增长的越来越快,故函数图象的切线斜率越来越大,而(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率为,其大小在点(2,f(2))处的切线斜率f'(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f'(4)之间,所以f'(2)1
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12.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
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解析:y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率k=y'=
==1-<1.即k<1.
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13.若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
解析:由题意知,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2.设y=f(x)=2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'(x)==4x=1,解得x=,∴P,故点P到直线y=x-2的最小距离d==.
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14.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为,则点P的横坐标的取值范围是 .
解析:∵f ' (x)=
==(Δx+2x+2)=2x+2,∴可设点P的横坐标为x0,则曲线C在点P处的切线斜率为2x0+2. 由已知得0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-,即点P的横坐标的取值范围为.
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15.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
解:∵==2x+Δx,
∴y'==(2x+Δx)=2x.
设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y'=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).
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又∵切线过点(1,a),且y0=+1,∴a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0.
∵切线有两条,∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.
故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).课时跟踪检测(十七) 导数的几何意义
A级——综合提能
1.函数f(x)在x=x0处导数f'(x0)的几何意义是 ( )
A.在点x=x0处的斜率
B.在点(x0,f(x0))处的切线与x轴所夹的锐角正切值
C.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率
D.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) 处的切线的斜率
2.已知函数f(x)满足f'(x1)>0,f'(x2)<0,则在x=x1和x=x2附近符合条件的f(x)的图象大致是 ( )
3.曲线y=f(x)=-在点M(1,-2)处的切线方程为 ( )
A.y=-2x+4 B.y=-2x-4
C.y=2x-4 D.y=2x+4
4.曲线y=x3-2在点处的切线的倾斜角为 ( )
A.30° B.45°
C.135° D.60°
5.如图,直线l是曲线y=f(x)在x=4处的切线,则f'(4)等于 ( )
A. B.3
C.4 D.5
6.已知函数y=f(x)在点(2,1)处的切线与直线3x-y-2=0平行,则y'|x=2= .
7.如图,函数f(x)的图象是折线段ABC,其中A,B,C的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则= .
8.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则= .
9.已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1,1),Q(2,-1),且在点Q处与直线y=x-3相切,求实数a,b,c的值.
10.试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
B级——应用创新
11.已知函数f(x)在R上可导,其部分图象如图所示,设=a,则下列不等式正确的是 ( )
A.aC.f'(4)12.若曲线y=x+上任意一点P处的切线斜率为k,则k的取值范围是 ( )
A.(-∞,-1) B.(-1,1)
C.(-∞,1) D.(1,+∞)
13.若点P是抛物线y=2x2+1上任意一点,则点P到直线y=x-2的最小距离为 .
14.设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为,则点P的横坐标的取值范围是 .
15.已知曲线y=x2+1,是否存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线 若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由.
课时跟踪检测(十七)
1.选D f'(x0)的几何意义是在切点(x0,f(x0))处的切线斜率.故选D.
2.选D 由f'(x1)>0,f'(x2)<0可知,f(x)的图象在x=x1处切线的斜率为正,在x=x2处切线的斜率为负.
3.选C 因为==,所以当Δx→0时,f'(1)=2,即切线的斜率k=2.所以切线方程为y+2=2(x-1),即y=2x-4.
4.选B ∵==1,∴切线的斜率为1,∴倾斜角为45°.
5.选A 根据导数的几何意义知f'(4)是曲线y=f(x)在x=4处的切线的斜率k,k==,所以f'(4)=.
6.解析:因为直线3x-y-2=0的斜率为3,所以由导数的几何意义可知y'=3.
答案:3
7.解析:由导数的概念和几何意义知,=f'(1)=kAB==-2.
答案:-2
8.解析:∵f'(1)=2,又==(aΔx+2a)=2a,∴2a=2,∴a=1.又f(1)=a+b=3,∴b=2,∴=2.
答案:2
9.解:∵曲线y=ax2+bx+c过点P(1,1),
∴a+b+c=1.①
∵y'=
=
=
=(2ax+b+aΔx)=2ax+b,
∴y'|x=2=4a+b,∴4a+b=1.②
又曲线过Q(2,-1)点,∴4a+2b+c=-1,③
联立①②③解得a=3,b=-11,c=9.
10.解:设所求切线的切点为A(x0,y0),
则f'(x0)===2x0.
∵点A在曲线y=x2上,∴y0=,
又∵A是切点,∴过点A的切线的斜率k=2x0,
∵所求切线过P(3,5)和A(x0,y0)两点,
∴其斜率为=.
∴2x0=,解得x0=1或x0=5.
从而切点A的坐标为(1,1)或(5,25).
当切点为(1,1)时,切线的斜率为k1=2x0=2.
当切点为(5,25)时,切线的斜率为k2=2x0=10.
∴所求的切线有两条,方程分别为y-1=2(x-1)和y-25=10(x-5),即y=2x-1和y=10x-25.
11.选B 由题图可知,在[2,4]上,函数增长的越来越快,故函数图象的切线斜率越来越大,而(2,f(2)),(4,f(4))两点连线的斜率为,其大小在点(2,f(2))处的切线斜率f'(2)与点(4,f(4))处的切线斜率f'(4)之间,所以f'(2)12.选C y=x+上任意一点P(x0,y0)处的切线斜率k=y'
===1-<1.即k<1.
13.解析:由题意知,当点P到直线y=x-2的距离最小时,点P为抛物线y=2x2+1的一条切线的切点,且该切线平行于直线y=x-2.设y=f(x)=2x2+1.由导数的几何意义知y'=f'(x)==4x=1,解得x=,∴P,故点P到直线y=x-2的最小距离d==.
答案:
14.解析:∵f ' (x)=
==(Δx+2x+2)=2x+2,∴可设点P的横坐标为x0,则曲线C在点P处的切线斜率为2x0+2. 由已知得0≤2x0+2≤1,∴-1≤x0≤-,即点P的横坐标的取值范围为.
答案:
15.解:∵==2x+Δx,
∴y'==(2x+Δx)=2x.
设切点为P(x0,y0),则切线的斜率为k=y'=2x0,由点斜式可得所求切线方程为y-y0=2x0(x-x0).
又∵切线过点(1,a),且y0=+1,∴a-(+1)=2x0(1-x0),即-2x0+a-1=0.
∵切线有两条,∴Δ=(-2)2-4(a-1)>0,解得a<2.
故存在实数a,使得经过点(1,a)能够作出该曲线的两条切线,a的取值范围是(-∞,2).