4.7 相似三角形的性质（第1课时）教学设计（表格式）北师大版数学九年级上册

7 相似三角形的性质
课题 第1课时 相似三角形中对应线段的性质 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P106-107
教学目标 1.经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质。利用相似三角形的性质解决一些实际问题。 2.培养学生的探索精神和合作意识；通过运用相似三角形的性质，增强学生的应用意识。在探索过程中发展学生类比的数学思想及全面思考的思维品质。
教学重难点 重点：明确相似三角形中对应线段与相似比的关系。 难点：能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 在生活中，我们经常利用相似的知识解决建筑类问题。如图，小王依据图纸上的△ABC，以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C'，CD和C'D'分别是它们的立柱。 教师提问：相似吗？为什么？ 学生回答：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠A=∠A′。 又∵CD⊥AB，C′D′⊥A′B′， ∴∠ADC=∠A′D′C′。 ∴△ACD∽△A′C′D′。 教师追问：如果相似，它们的相似比是多少？ 学生回答：1∶2。 教师追问：如果CD=1.5 cm，那么模型房的房梁立柱有多高？ 学生回答：∵，CD=1.5 cm， ∴C′D′=3 cm。 教师提问：同学们能发现相似三角形有怎样的性质？ 这节课，我们来学习相似三角形的性质。（教师板书课题： 第1课时 相似三角形的性质） 通过学生熟悉的建筑模型房入手，从相似三角形的最基本性质展开研究。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 想一想： 已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC与△A'B'C'的相似比为k。 教师提问：它们对应高的比是多少？ 学生活动：有了前面情境导入，学生很容易能回答出：它们对应高的比为k。 总结：相似三角形对应高的比等于相似比。 教师提问：对应角平分线的比是多少？ 教师活动：教师可以给出图形、已知条件和问题，鼓励学生自主探究。 根据“想一想”已知。 AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′；E，E′分别为BC，B′C′的中点。试探究AD与A′D′的比值关系，AE与A′E′呢？ 师生活动：教师鼓励学生类比探究，小组合作，分组给出猜想并证明自己的猜想。 预设：猜想1：=k。 证明：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′，=k。 ∵AD平分∠BAC，A′D′平分∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′。 ∴△BAD∽△B′A′D′（两个角分别相等的两个三角形相似）。 ∴===k。 猜想2：=k。 证明：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B′，=k。 ∵E，E′分别为BC，B′C′的中点， ∴，。 ∴。 ∵=k， ∴=k。 ∵∠B=∠B′， ∴△BAE∽△B′A′E′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 ∴===k。 总结：相似三角形对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。 【归纳总结】 定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比。 【探究2】 议一议： 如图，已知△ABC∽△A′B′C′，△ABC与△A′B′C′的相似比为k；点D，E在BC边上，点D′，E′在B′C′边上。 教师提问：若∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′，则等于多少？ 预设：∵△ABC∽△A′B′C′， ∴∠BAC=∠B′A′C′，∠B=∠B′，=k。 ∵∠BAD=∠BAC，∠B′A′D′=∠B′A′C′， ∴∠BAD=∠B′A′D′。 ∴△BAD∽△B′A′D′（两个角分别相等的两个三角形相似）。 ∴===k。 教师提问：若BE=BC，B′E′=B′C′，则等于多少？ 预设：∵△ABC∽△A'B'C'， ∴∠B=∠B′，=k。 ∵BE=BC，B′E′=B′C′， ∴。 ∵=k， ∴=k。 ∵∠B=∠B′， ∴△BAE∽△B′A′E′（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 ∴===k。 教师提问：同学们还能提出哪些问题？与同伴交流。 教师活动：鼓励学生大胆提出问题，发展他们发现问题、提出问题的能力。对于有困难的学生，教师可进行适当的引导。例如：可这样启发学生：问题（1）中，若将换成，，结论还成立吗？若换成（k≠0）呢？你的理由。同样，将问题（2）中的也进行这样的变化，结论还成立吗？问题（1）中的线段AD与A'D'、问题（2）中的线段AE与A'E'有什么共同的特点？ 总结：相似三角形对应角的n等分线的比和对应边的n等分线的比等于相似比。 【教材例题】 例1 如图，AD是△ABC的高，AD=h，点R在AC边上，点S在AB边上，SR⊥AD，垂足为E。当SR=BC时，求DE的长。如果SR=BC呢？ 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：∵SR⊥AD，BC⊥AD， ∴SR∥BC。 ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C。 ∴△ASR∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴（相似三角形对应高的比等于相似比）， 即。 当SR=BC时，得。解得DE=h。 当SR=BC时，得。解得DE=h。 通过问题的形式,指导学生进行几何方法的论证,提高学生参与数学学习的意识,培养学生发现、概括、证明规律的能力。 通过学生小组合作探究，类比前面探究过程，引发学生主动探究意识、培养合作交流能力，发展学生的类比的思维能力，与归纳总结能力。 有了前面探索的基础，学生完全有能力独立完成“变式问题”的探索，在探索过程中，发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力，培养学生全面思考的思维品质。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。
3.学以致用，应用新知 考点1 相似三角形中对应线段的比 例1 已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为_______。 答案：4∶1 变式训练 两个相似三角形对应高之比为1∶2，那么它们对应中线之比为（ ） A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶8 答案：1∶2 考点2 相似三角形中对应线段的比的应用 例2 如图，有一块等腰三角形材料，底边BC=80 cm，高AD=120 cm，现要把它加工成正方形零件，使其一边在BC边上，其余两个顶点分别在AB，AC上，则这个正方形零件的边长为（ ） A. 36 cm B. 40 cm C. 48 cm D. 60 cm 答案：C 变式训练 大约在两千多年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的试验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端。”如图所示的小孔成像试验中，若物距为10 cm，像距为15 cm。蜡烛火焰倒立的像的高度是8 cm，则蜡烛火焰的高度是（ ） A. B. 6 C. D. 8 答案：C 通过例题的讲解，巩固学生理解相似三角形中对应线段的比，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生应用相似三角形中对应线段的比，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1. 如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是（ ） A. 1∶2 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶16 答案：B 2. 四分仪是一种十分古老的测量仪器。其出现可追溯到数学家托勒密的《天文学大成》。图1是古代测量员用四分仪测量一方井的深度，将四分仪置于方井上的边沿，通过窥衡杆测望井底点F、窥衡杆与四分仪的一边BC交于点H。图2中，四分仪为正方形ABCD。方井为矩形BEFG。若测量员从四分仪中读得AB为1，BH为0.5，实地测得BE为2.5。则井深BG为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 答案：A 3. 如图，若△ADE∽△ACB，且，DE＝10，则BC=_______。 答案：15 4. 如图，图1是装了液体的高脚杯，加入一些液体后如图2所示，则此时液面AB为_______cm。 答案： 5. 如图4，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60 cm，AD=40 cm，四边形PQRS是正方形。 解：（1）∵四边形PQRS是正方形， ∴RS∥BC。 ∴∠ASR=∠B，∠ARS=∠C。 ∴△ASR∽△ABC。 （2）∵△ASR∽△ABC， ∴。 设正方形PQRS的边长为x cm， 则AE=（40-x）cm， ∴。 解得x=24。 所以，正方形PQRS的边长为24 cm。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P108习题4.11中的T1、T2、T3、T4、T5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 相似三角形中对应线段的性质 1.相似三角形对应高的比 2.相似三角形对应角平分线的比 3.相似三角形对应中线的比 提纲掣领，重点突出。
教后反思 相似图形是现实生活中广泛存在的现象。探索相似图形的一些重要性质的过程，不但可以使学生更好地认识、描述物体的形状，体会图形相似在刻画现实世界中的重要作用，而且也可以通过解决现实世界中的具体问题，提高学生应用数学的意识和合作交流的能力。因此教学中注意让学生充分经历从具体到抽象，再由抽象上升到具体的学习过程，综合运用以前所学过的研究图形性质的各种方法，逐步加强逻辑推理能力。 反思，更进一步提升。