4.7 相似三角形的性质（第2课时）教学设计（表格式）北师大版数学九年级上册

7 相似三角形的性质
课题 第2课时 相似三角形周长比、面积比的性质 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P109-110
教学目标 1.掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系；并能灵活运用相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系解决实际问题。 2.经历探索相似三角形性质的过程，进一步体验由特殊到一般的归纳思想和方法，感悟转化的思想，积累数学活动经验。
教学重难点 重点：理解并初步掌握相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 难点：掌握相似三角形的周长比、面积比在实际中的应用。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 如图所示是一个三角形的花坛，要在上面种满花草，园丁沿与AB平行的方向画一条直线，将花坛分割出一片三角形地块，测出△CDE的面积为10 m2，CD长为4 m，BD长为6 m。 教师提问：同学们你们能计算出整个花坛△ABC的面积吗？ 学生活动：学生可能会利用三角形面积公式先求出高，再利用上节课学习的相似三角形的性质来解题，教师应予以肯定。 教师活动：事实上，相似三角形的面积比与相似比存在一定的关系，这节课，我们来学习相似三角形周长比、面积比的性质。（教师板书课题： 第2课时 相似三角形周长比、面积比的性质） 教师通过学生熟悉的场景和事物引出所学内容,使学生感受到数学就在我们身边,数学离不开生活,渗透善于观察生活中的数学的学习意识,同时也激发了学生的学习兴趣,加强了非智力因素的培养。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 教师提问：如图，如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为2，那么△ABC与△A'B'C'的周长比是多少？面积比呢？ 师生活动：教师鼓励学生自主解决，在求周长比时会用到笔记的等比性质，在求面积比时需要作出三角形的高，教师可在学生遇到困难时适当指导，并重视学生间的相互交流和启发。 预设：∵===2， ∴ = = =2； 如图，分别作△ABC和△A'B'C'的高CD，C′D′。 ∵△ABC∽△A'B'C'， ∴=k（相似三角形对应高的比等于相似比）。 ∵S△ABC=AB·CD，S△A′B′C′=A′B′·C′D′。 ∴。 教师提问：如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长比和面积比吗？ 师生活动：教师鼓励学生在相似比为2的基础上自主求解，并交流展示。 预设：∵===k， ∴ = = =k； 如图，分别作△ABC和△A'B'C'的高CD，C′D′。 ∵△ABC∽△A'B'C'， ∴=k。 ∵S△ABC=AB·CD，S△A′B′C′=A′B′·C′D′。 ∴。 【归纳总结】 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 【探究2】 议一议： 两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的n边形呢？ 师生活动：教师可以给出图形、已知和问题，引导学生自主探索得到结论。 已知：如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k（k>0）。 （1）四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的周长比是多少？ （2）连接相应的对角线BD，B′D′，所得的△BCD与△B′C′D′相似吗？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ （3）设△ABD，△A′B′D′，△BCD，△B′C′D′的面积分别是,, , ,则，各是多少？ （4）四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比是多少？如果把四边形换成五边形，那么结论又如何呢？ 解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′相似比为k， ∴=k。 ∴。 （2）△BCD∽△B′C′D′，且相似比都为k。 ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， ∴，∠C=∠C′。 在△BCD和△B′C′D′中， ∵，∠C=∠C′， ∴△BCD∽△B′C′D′。 ∴=k。 同理可知，△ABD∽△A′B′D′，且相似比为k。 （3）∵△ABD∽△A′B′D′, △BCD∽△B′C′D′， ∴=k2。 （4） =k2。 如果把四边形换成五边形，那么结论依旧成立。 总结：相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 【教材例题】 例4 如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分（图中阴影部分）的面积是△ABC的面积的一半。已知BC=2，求△ABC平移的距离。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：根据题意，可知EG∥AB。 ∴∠GEC=∠B，∠EGC=∠A。 ∴△GEC∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。 ∴（相似三角形的面积比等于相似比的平方）， 即。 ∴EC2=2。 ∴EC=（负值舍去）。 ∴BE=BC-EC=2-， 即△ABC平移的距离为2-。 学生通过计算相似比为2时，两个相似三角形的周长与面积比，积累在特殊相似比情况下，如何求解周长比和面积比的经验，为猜想并尝试推导一般情况下（相似比为k）周长比和面积比做铺垫。由此让学生感悟由特殊到一般的归纳思想和方法，体会类比的数学思想方法。 引导学生发现，无论是三角形、四边形，还是多边形，都有相同的结论，相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。学生亲身经历问题发现的过程，对知识从初步印象上升到了理论探求、证明的高度，今后在记忆和应用上会更加深刻。 对知识进行巩练习，使学生对知队加深理解，便于教师及时了解学生对本节课内容的掌握情况。培养学生应用所学知识解决问题的能力。
3.学以致用，应用新知 考点1 相似三角形的周长比 例1 如图，△ABC与△DEF都是正方形网格中的格点三角形（顶点在格点上），那么△ABC与△DEF的周长比为（ ） A. 1∶ B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4 答案：A 变式训练 两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为14 cm，那么小三角形的周长为（ ） A. 15 cm B. 17 cm C. 19 cm D. 21 cm 答案：D 考点2 相似三角形的面积比 例2 如图，△ABC是一块花园，D，E分别为线段BC，BA的中点，△EBD内种植的是太阳花，四边形AEDC内种植薰衣草。设整个花园的面积为S1，种植太阳花区域的面积为S2，则=（ ） A. B. C. D. 答案：B 变式训练 两个相似三角形的面积之比是4∶9，其中一个三角形的周长为24 cm，则另一个三角形的周长是（ ） A. 16 cm B. 16 cm或28 cm C. 36 cm D. 16 cm或36 cm 答案：D 通过例题的讲解，巩固学生应用相似三角形的周长比，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生应用相似三角形的面积比，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，△ABO∽△CDO，BO=2OD，△CDO的周长为4，则△ABO的周长为（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 答案：C 2. 如图，在4×4的正方形网格中，△ABC的最短边长为，△MNG与△ABC相似，且其最短边长为2，则△MNG的面积为 （ ） A. 5 B. 5.5 C. 6 D. 6.5 答案：A 3. 两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm和18 cm，若较大三角形的周长是42 cm，面积是12 cm2，则较小三角形的周长_______cm，面积为_______cm2。 答案：14 4. 如图，在△ABC中，AB=5，D是AB上的一点，AD=2，DE BC，交AC于点E，则△DEC与△ABC的面积比为_______。 答案：6∶25 5. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DC与BE相交于点O，且DO=2，BO=DC=6，OE=3。 （1）求证：DE BC； （2）如果四边形BCED的面积比△ADE的面积大12，求△ABC的面积。 解：（1）∵OD=2，DC=6，OE=3， ∴OC=4，，。 ∴。 ∵∠DOE=∠BOC， ∴△DOE∽△COB。 ∴∠ODE=∠OCB， ∴DE∥BC。 （2）∵DE∥BC， ∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB。 ∴△ADE∽△ABC。 ∴。 设△ADE的面积为x，则△ABC的面积为4x， ∴四边形BCED的面积为3x。 由题意得，3x-x=2x=12， 解得x=6。 ∴S△ABC=4x=24。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.相似三角形的周长比、面积比的性质 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 2.相似多边形的周长比、面积比的性质 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P110-112习题4.12中的T1、T2、T3、T4、T5。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第2课时 相似三角形周长比、面积比的性质 1.相似三角形的周长比 2.相似三角形的面积比 3.相似多边形的周长比、面积比 提纲掣领，重点突出。
教后反思 经历相似三角形的性质的探索过程，培养学生的探索能力。通过交流、归纳，总结相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系，体验化归思想。运用相似多边形的周长比，面积比解决实际问题，训练学生的运用能力，增强学生对知识的应用意识。 反思，更进一步提升。