6.3 反比例函数应用 教学设计（表格式）北师大版数学九年级上册

3 反比例函数的应用
课题 第3节 反比例函数的应用 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P158-159
教学目标 1.经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型、进而解决问题的过程，进一步体会模型思想，发展应用意识。 2.能用反比例函数解决简单实际问题，进一步体会数形结合的思想，发展几何直观。
教学重难点 重点：建立反比例函数的模型，进而解决实际问题。 难点：经历应用反比例函数模型解决实际问题的过程，培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 某科技小组进行野外考察，途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地。为了安全、迅速通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺垫了若干块木板，构筑成一条临时通道，从而顺利完成了任务。 教师提问：你能解释他们这样做的道理吗？ 学生活动：根据前面学习的知识说一说。 这节课，我们来学习反比例函数的应用。（教师板书课题： 第3节 反比例函数的应用） 先让学生把所学习的有关反比例函数的知识应用到实际问题中，去解决实际问题，让学生体会到学习与生活的联系。
2.实践探究，学习新知 【探究1】 当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积S（m2）的变化，人和木板对底面的压强p（Pa）将如何变化？ 如果任和木板对湿地地面的压力合计为600 N，那么 （1）用含S的代数式表示p，p是S的反比例函数吗？为什么？ （2）当木板面积为0.2 m2时，压强是多少？ （3）如果要求压强不超过6000 Pa，木板面积至少要多大？ （4）在平面直角坐标系中，画出相应的函数图象。 （5）请利用图象对（2）和（3）作出直观解释，并与同伴交流。 师生活动：教师引导通过小组合作的形式完成，给学生充分的思考、交流、展示的时间。在（4）中，要启发学生思考：为什么只需在第一象限作函数图象？此外，还要注意单位长度所表示的数值。在（5）中，要留有充分时间让学生交流，领会实际问题的数学意义及反比例函数模型的应用，体会数与形的统一。 预设：（1）由p=得p=，p是S的反比例函数。 （2）当S=0.2 m2时，p==3 000（Pa）。因此，当木板面积为0.2 m2时，压强是3 000 Pa。 （3）当p=6 000 Pa时，S==0.1（m2）。因此，如果要求压强不超过6 000 Pa，木板面积至少要0.1 m2。 （4）函数图象如图所示。 （5）（2）是已知图象上某点的横坐标为0.2，求该点的纵坐标；（3）是已知图象上点的纵坐标不大于6 000，求这些点所处的位置及它们横坐标的取值范围。 教师活动：教师肯定同学们的回答后提一个问题：大家知道反比例函数的图象是两支曲线，它们要么位于第一、三象限，要么位于第二、四象限，为什么（4）只画一支曲线，是不是另一支曲线丢掉了呢？还是因为题中只给出了第一象限呢？ 学生活动：学生思考后回答，第三象限的曲线不存在，因为这是实际问题，S不可能取负数，所以第三象限的曲线不存在。 【探究2】 做一做： 教师活动：请同学们结合我们刚刚讲解的内容，完成以下的题目。（出示多媒体课件） 问题1：蓄电池的电压为定值。使用此电源时，用电器的电流I（A）与电阻R（Ω）之间的函数关系如图所示。 （1）蓄电池的电压是多少？你能写出这一函数的表达式吗？ （2）如果以此蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过10 A，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？ 教师活动：教师可以进行问题引导：①从图形来看，I和R之间可能是哪种函数关系？②如何求函数表达式？ 学生活动：学生根据提示问题思考并解答，小组交流、展示，师生共同评议。 预设：（1）∵电流I与电压U之间的关系为IR=U（U为定值）， 把图象上的点A的坐标（9，4）代入，得U=36。 ∴蓄电池的电压U=36 V。 ∴这一函数的表达式为 （2）当I≤10 A时，解得R≥3.6（Ω）。 所以可变电阻应不小于3.6 Ω。 问题2：如图，正比例函数y=k1x的图象与反比例函数y=的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为（，2）。 （1）分别写出这两个函数的表达式； （2）你能求出点B的坐标吗？你是怎样求的？与同伴进行交流。 教师活动：教师可以进行问题引导：①点A的坐标对于求两个函数的表达式有什么帮助？②如何利用两个函数的表达式求点B的坐标？ 学生活动：学生根据提示问题思考并解答，小组交流、展示，师生共同评议。 预设：（1）把点A坐标（，2）分别代入y=k1x和y=中，解得k1=2，k2=6。 所以这两个函数的表达式分别为y=2x，y=。 （2）点B的坐标是两个函数组成的方程组的另一个解。 解得。 ∴B（-，-2）。 教师提问：在求点B的坐标时还有没有其他方法呢？点B与点A有何关系？ 学生回答：点B与点A关于原点成中心对称，因此，它们的横、纵坐标均互为相反数。由于点A的坐标为（，2），所以点B的坐标为（-，-2）。 先让学生把所有学习的有关反比例函数的知识应用到实际问题中，去解决实际问题，让学生体会到与纯函数问题的不同之处即应注意的问题。在处理时要注意对学生的指导，可以先让学生自己思考回答，回答不全面时教师再加以指点，尤其是在画函数图象时，学生可能会把两只曲线圈画出来，因此教师应注意引导其注意函数自变量的取值范围，即S>0，进而加深学生对实际问题的理解和应用能力。 通过这两个题目使学生进一步体会反比例函数在实际问题中的应用，培养学生观察问题、分析问题、解决问题的能力。通过对问题1的处理使学生感受由图形给出条件的问题的求解方法；问题2是一个综合题，通过对问题2的求解，让学生能够掌握几种函数图象相结合的题目的求解方法，了解综合题的分析思路和解题思路，进而使学生能够掌握综合性较强的函数题。在处理时要留给学生足够的空间和时间去交流讨论，以便学生能够较好地理解与掌握。
3.学以致用，应用新知 考点1 反比例函数的实际应用 例1 某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪，要求两边长均不小于5 m，则草坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ） A B C D 答案：C 变式训练 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压p（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压大于120 kPa时，气球将爆炸。为了安全起见，气球的体积应（ ） A. 不大于 m3 B. 小于 m3 C. 不小于 m3 D. 大于 m3 答案：C 考点2 反比例函数与一次函数的综合应用 例2 如图，已知直线y=mx与双曲线y=的一个交点坐标为（-1，3），则它们的另一个交点坐标是（ ） A. （1，3） B. （3，1） C. （1，-3） D. （-1，3） 答案：C 变式训练 如图，已知点A（-4，2），B（n，-4）是一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=图象的两个交点。 （1）求此反比例函数的解析式和点B坐标； （2）根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围。 解：（1）将A（-4，2）代入反比例函数y=中，得m=-4×2=-8， ∴反比例函数的解析式为y=。 ∴n=-8÷（-4）=2。 故B（2，-4）。 （2）一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围为-42。 通过例题的讲解，巩固学生解决反比例函数的实际应用，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题的讲解，巩固学生解决反比例函数与一次函数的综合应用，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。
4.随堂训练，巩固新知 1. 某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例。如图表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数表达式为（ ） A. I= B. I= C. I= D. I=- 答案：C 2. 如图所示，正比例函数y=k1x与反比例函数y-的图象相交于A，B两点，若点A的坐标为（2，1），则点B的坐标是（ ） A. （1，2） B. （-2，1） C. （-1，-2） D. （-2，-1） 答案：D 3. 密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m）随之变化。已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当V=5 m3时，ρ=1.98 kg/m3。 若3≤V≤9，二氧化碳密度ρ的变化范围_______。 答案：1.1≤ρ≤3.3 4. 某医药企业几年前研制并上市一种新的特效药，销售部门根据该药品过去几年的销售数据、同类特效药的销售数据以及对市场的分析、预估，绘制了该药品年销售量y（单位：万盒）随价格x（单位：元/盒）变化的大致图象（图象由部分双曲线AB与线段BC组成），如图所示。该药品2021年价格为60元/盒，经国家医保局与该医药企业谈判，将该药纳入医保，2022年价格下调至30元/盒．但在制药成本不变的情况下，当年销售该药品的利润还是与2021年相同，根据已知信息解决下列问题： （1）求2022年该药品的年销售量； （2）该企业2023年将使用新研发的制药技术，使制药成本降低40%。为惠及更多患者，该企业计划在2023年继续下调该药品的价格，并希望当年销售该药品的利润比2022年至少增加2 500万元用于制药技术的研发，请你为该企业设定该药品价格的范围，并说明理由. 解：（1）设双曲线AB的表达式为（k≠0）， 由图可知，反比例函数图象经过点（28，750）， 可得k=28×750=21 000， ∴（0≤x≤30）， ∴当x=30时，。 答：2022年该药品的年销售量是700万盒。 （2）设2021年的制药成本为a元/盒， 由图象可知，价格为60元/盒时，该药品的年销售量为100万盒。 ∵2022年销售该药品的利润与2021年相同， 可得700（30-a）=100（60-a）。 化简得7（30-a）=60-a。 解得a=25。 ∵2023年继续下调该药品的价格， ∴2023年该药品的价格x≤30， 则年销售量为万盒。 依题意得， ， 化简得。 ∵x>0， ∴根据不等式的性质，不等式两边同乘以正数x，可得x≥21， ∴21≤x<30。 答：该药品价格x满足21≤x<30。 5. 如图所示，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数的图象相交于两点A（1，n），B（-2，-1），与y轴相交于点C。 （1）求反比例函数和一次函数解析式； （2）直接写出：不等式kx+b>的解集是_______； （3）依据相关数据求△AOB的面积。 解：（1）∵反比例函数的图象过，B（-2，-1）， ∴m=（-2）×（-1）=2。 ∴反比例函数的表达式为。 ∵点A（1，n）在反比例函数图象上， ∴1×n=2。 ∴n=2。 ∴点A的坐标为（1，2）。 将点A，B的坐标分别代入一次函数y=kx+b中， 得 解得 ∴一次函数的表达式为y=x+1。 （2）根据图象可知，不等式kx+b>的解集是x>1或-21或-25.课堂小结，自我完善 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P159-160习题6.4中的T1、T2、T3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第3节 反比例函数的应用 1.反比例函数的实际应用 2.反比例函数与一次函数的综合应用 提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课采用教师引导和学生讨论相结合的教学方式，引导学生从已有的知识和生活经验出发，师生共同探究解决新问题的途径和方法。这一过程充分展现了教师的主导作用、学生的主体作用、教材的主源作用、旧知识的迁移作用、学生之间的相互作用，师生得到共同发展。 反思，更进一步提升。