1.4 解直角三角形 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 1.4 解直角三角形 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 647.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-23 21:36:35 | ||
图片预览
文档简介
4 解直角三角形
课题 解直角三角形 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P16-18
教学目标 1.了解解直角三角形的含义。 2.经历解直角三角形的过程, 掌握解直角三角形的方法。
教学重难点 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素。 难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题。
教学准备 多媒体课件、三角尺、直尺。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.如图，现有一个长6 m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)？ （2）当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 学生：解：（1）由题意，得6×sin75°≈5.8 m。 （2）由题意，得cos α==0.4,cos 0.4≈66°。可以安全使用。 教师:在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题。为了解决这些问题，则往往需要确定直角三角形的边或角。 我们知道，直角三角形有三条边和三个角，一共6个元素，那么除直角以外，当我们至少知道几个元素时，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题。 （教师板书课题： 4 解直角三角形） 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 体会数学知识来源于生活，激发学生的学习兴趣，由此引入对解直角三角形的探究.
2.实践探究，学习新知 【复习回顾】 教师：在Rt△ABC中，∠C=90°。a，b，c，∠A，∠B这些元素间有哪些等量关系呢？谁来说说它们各角、各边以及边角之间有什么关系？（多媒体呈现） 学生：（1） 两锐角互余：∠A+∠B=90°； （2） 三边满足勾股定理：a2+b2=c2； （3） 边与角的关系： sin A=cos B= ；sin B=cos A= ；tan A= ；tan B= 。 师生活动：教师提出问题，学生思考讨论回答，多媒体呈现。 【探究1】 对于一个直角三角形，如果5个元素中已知一个元素，能求出其他的元素吗？ 如图Rt △ABC 中, ∠C= 90° 。 （1） ∠A=30°,你能求出其他剩下的元素吗？ （2）如果一条边的长为3 cm，你又能求出其他元素吗？（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考讨论回答。 学生：（1）只可以求出∠B=60°；（2）不能求出其他元素。 教师：当我们只知道直角以外的1个元素时，无法全部求出剩余的4个元素。 【探究2】 如果5个元素中已知两个元素，能求出其他的元素吗？ 在Rt△ABC中, （1）根据AC=，BC=，你能求出这个三角形的其他元素吗？ （2）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗 （3）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗 （多媒体呈现） 师生活动：教师出示问题，学生思考讨论，学生黑板演示，教师引导讲解。 学生：（1）能。在Rt△ABC中，∵AB2=AC2+BC2，AC=，BC=，∴AB=。在Rt△ABC中，，∴∠A=60°，∠B=30°。 （2）能。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°。 ∵，AB=30，∴BC=ABsin A=。 ∵，AB=30，∴AC=ABsin B=。 （3）不能求出三角形的边长。 教师（概念引入）：我们可以发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，像这样的，由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 【例题讲解】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝，求这个三角形的其他元素. 师生活动：学生思考解题，板书呈现，教师补充讲解。 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理，得a2＋b2＝c2，a＝，b＝， ∴c＝＝2。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝＝， ∴∠B＝30°，∠A＝60°。 【归纳总结】 （多媒体呈现） 师生活动：教师引导学生归纳在已知条件下如何解直角三角形，部分情况求解方法很多，可引导学生思考各方法之间的差异和共性。 通过回顾旧知，达到学以致用的目的，再通过一道例题，真正把学到的知识用到实处，通过解题，归纳出解直角三角形的定义。 引导学生探索，在至少知道几个元素的情况下可以求得直角三角形中的剩余元素（解直角三角形），进而引出解直角三角形的概念。
3.学以致用，应用新知 考点 解直角三角形 P17 随堂练习 变式训练 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD。 ∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝。 由勾股定理得，AD＝＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋。 【拓展延伸】（多媒体呈现、教师讲解） 常见的做辅助线构造直角三角形的方法 三角形内部作辅助线（背靠背型） 背靠背型 平移变形 旋转变形 模型特点：三角形三个内角分别是：两个特殊角以及一个合角。（特殊角指已知三角函数值的角，合角指由两个特殊角组合成的角） 辅助线的常用做法：在三角形内部,过特殊角的合角的顶点作高，构造两个直角三角形. 三角形外部作辅助线（母子型） 母子型 平移变形 平移变形 旋转变形 旋转→平移变形 模型特点：三角形的三个内角分别是：一个特殊角、一个特殊角的补角以及一个差角.（差角指由两个特殊角作差形成的角） 辅助线的常用做法：在三角形外部,过特殊角的差角的顶点作高，构造两个直角三角形. 通过基本的练习，进一步巩固学生对解直角三角形的掌握情况。同时，通过变式训练，进一步明确必须是直角三角形的才可以解直角三角形，因此当图形不是直角三角形时，应当首先构建直角三角形。 拓展延伸
4.随堂训练，巩固新知 1. 已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么（ ） A．BC＝10cos 50° B．BC＝10sin 50° C．AC＝10tan 50° D．AC＝10cos 50° 答案：A 如图，在△ABC中，tan B＝1，sin C，AB，则边BC的长为（ ） A． B． C． D． 答案：B 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则tan∠AED的值为（ ） A． B． C．2 D．2 答案：C 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC的长和cos A的值． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理可知：BC5，cos A。 “木楔”是指木材制作的楔形物，它能够使榫卯配合的牢固程度最大化，如图1，是木工制作中一种叫做楔钉榫的补强方式，其所用木楔的截面图如图2所示，若 已 测 ∠C=90° ，∠B=25° ，AC=10 cm，则AB，BC的长度是多少？（结果精确到0.1 cm） （参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91， tan 25°≈0.47） 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin 25°，tan 25°， ∴AB≈23.8(cm), BC≈21.3(cm), ∴AB长23.8 cm，BC长21.3 cm。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1. 直角三角形中边与边、角与角、边与角的关系（基础）。 2. 解直角三角形定义。 3. 解直角三角形的方法（重点） 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P17 习题1.5 第1，2，3题。 课后练习巩固，让学生所学知识得以运用，提高解直角三角形的能力。
板书设计 4 解直角三角形一、解直角三角形教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课，为解直角三角形应用题之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务。培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧。把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性。因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用。 本节课由生活中的实际问题引出课题，激发了学生学习数学的积极性。同时通过通过师生互动的教学形式，归纳出只有具有至少一边的两个条件，可解直角三角形，以及直角三角形的基本类型和解法。同时为了深化知识，设计变式训练，提高学生的解题能力。 反思，更进一步提升。
课题 解直角三角形 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P16-18
教学目标 1.了解解直角三角形的含义。 2.经历解直角三角形的过程, 掌握解直角三角形的方法。
教学重难点 重点：理解并掌握直角三角形边角之间的关系，运用直角三角形的两锐角互余、勾股定理及锐角三角函数求直角三角形的未知元素。 难点：从已知条件出发，正确选用适当的边角关系或三角函数解题。
教学准备 多媒体课件、三角尺、直尺。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角α一般要满足50°≤α≤75°.如图，现有一个长6 m的梯子，问： （1）使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0.1 m)？ （2）当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角α等于多少(精确到1°)？这时人是否能够安全使用这个梯子？ 学生：解：（1）由题意，得6×sin75°≈5.8 m。 （2）由题意，得cos α==0.4,cos 0.4≈66°。可以安全使用。 教师:在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题。为了解决这些问题，则往往需要确定直角三角形的边或角。 我们知道，直角三角形有三条边和三个角，一共6个元素，那么除直角以外，当我们至少知道几个元素时，就可以求出其他的元素呢？这就是我们本节课要研究的问题。 （教师板书课题： 4 解直角三角形） 师生活动：教师出示问题，学生回答，然后教师引出课题。 体会数学知识来源于生活，激发学生的学习兴趣，由此引入对解直角三角形的探究.
2.实践探究，学习新知 【复习回顾】 教师：在Rt△ABC中，∠C=90°。a，b，c，∠A，∠B这些元素间有哪些等量关系呢？谁来说说它们各角、各边以及边角之间有什么关系？（多媒体呈现） 学生：（1） 两锐角互余：∠A+∠B=90°； （2） 三边满足勾股定理：a2+b2=c2； （3） 边与角的关系： sin A=cos B= ；sin B=cos A= ；tan A= ；tan B= 。 师生活动：教师提出问题，学生思考讨论回答，多媒体呈现。 【探究1】 对于一个直角三角形，如果5个元素中已知一个元素，能求出其他的元素吗？ 如图Rt △ABC 中, ∠C= 90° 。 （1） ∠A=30°,你能求出其他剩下的元素吗？ （2）如果一条边的长为3 cm，你又能求出其他元素吗？（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考讨论回答。 学生：（1）只可以求出∠B=60°；（2）不能求出其他元素。 教师：当我们只知道直角以外的1个元素时，无法全部求出剩余的4个元素。 【探究2】 如果5个元素中已知两个元素，能求出其他的元素吗？ 在Rt△ABC中, （1）根据AC=，BC=，你能求出这个三角形的其他元素吗？ （2）根据∠A= 60°,斜边AB=30,你能求出这个三角形的其他元素吗 （3）根据∠A=60°,∠B=30°, 你能求出这个三角形的其他元素吗 （多媒体呈现） 师生活动：教师出示问题，学生思考讨论，学生黑板演示，教师引导讲解。 学生：（1）能。在Rt△ABC中，∵AB2=AC2+BC2，AC=，BC=，∴AB=。在Rt△ABC中，，∴∠A=60°，∠B=30°。 （2）能。在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°。 ∵，AB=30，∴BC=ABsin A=。 ∵，AB=30，∴AC=ABsin B=。 （3）不能求出三角形的边长。 教师（概念引入）：我们可以发现，在直角三角形中，只要知道其中两个元素（至少有一个是边）就可以求出其余的几个元素，像这样的，由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。 【例题讲解】 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝，b＝，求这个三角形的其他元素. 师生活动：学生思考解题，板书呈现，教师补充讲解。 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，根据勾股定理，得a2＋b2＝c2，a＝，b＝， ∴c＝＝2。 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝＝＝， ∴∠B＝30°，∠A＝60°。 【归纳总结】 （多媒体呈现） 师生活动：教师引导学生归纳在已知条件下如何解直角三角形，部分情况求解方法很多，可引导学生思考各方法之间的差异和共性。 通过回顾旧知，达到学以致用的目的，再通过一道例题，真正把学到的知识用到实处，通过解题，归纳出解直角三角形的定义。 引导学生探索，在至少知道几个元素的情况下可以求得直角三角形中的剩余元素（解直角三角形），进而引出解直角三角形的概念。
3.学以致用，应用新知 考点 解直角三角形 P17 随堂练习 变式训练 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长. 解：如图，过点C作CD⊥AB于点D， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B＝45°， ∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD。 ∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝。 由勾股定理得，AD＝＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋。 【拓展延伸】（多媒体呈现、教师讲解） 常见的做辅助线构造直角三角形的方法 三角形内部作辅助线（背靠背型） 背靠背型 平移变形 旋转变形 模型特点：三角形三个内角分别是：两个特殊角以及一个合角。（特殊角指已知三角函数值的角，合角指由两个特殊角组合成的角） 辅助线的常用做法：在三角形内部,过特殊角的合角的顶点作高，构造两个直角三角形. 三角形外部作辅助线（母子型） 母子型 平移变形 平移变形 旋转变形 旋转→平移变形 模型特点：三角形的三个内角分别是：一个特殊角、一个特殊角的补角以及一个差角.（差角指由两个特殊角作差形成的角） 辅助线的常用做法：在三角形外部,过特殊角的差角的顶点作高，构造两个直角三角形. 通过基本的练习，进一步巩固学生对解直角三角形的掌握情况。同时，通过变式训练，进一步明确必须是直角三角形的才可以解直角三角形，因此当图形不是直角三角形时，应当首先构建直角三角形。 拓展延伸
4.随堂训练，巩固新知 1. 已知在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝50°，AB＝10，那么（ ） A．BC＝10cos 50° B．BC＝10sin 50° C．AC＝10tan 50° D．AC＝10cos 50° 答案：A 如图，在△ABC中，tan B＝1，sin C，AB，则边BC的长为（ ） A． B． C． D． 答案：B 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的格点上，AB，CD相交于点E，则tan∠AED的值为（ ） A． B． C．2 D．2 答案：C 如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝12，求BC的长和cos A的值． 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理可知：BC5，cos A。 “木楔”是指木材制作的楔形物，它能够使榫卯配合的牢固程度最大化，如图1，是木工制作中一种叫做楔钉榫的补强方式，其所用木楔的截面图如图2所示，若 已 测 ∠C=90° ，∠B=25° ，AC=10 cm，则AB，BC的长度是多少？（结果精确到0.1 cm） （参考数据：sin 25°≈0.42，cos 25°≈0.91， tan 25°≈0.47） 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°， sin 25°，tan 25°， ∴AB≈23.8(cm), BC≈21.3(cm), ∴AB长23.8 cm，BC长21.3 cm。 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1. 直角三角形中边与边、角与角、边与角的关系（基础）。 2. 解直角三角形定义。 3. 解直角三角形的方法（重点） 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P17 习题1.5 第1，2，3题。 课后练习巩固，让学生所学知识得以运用，提高解直角三角形的能力。
板书设计 4 解直角三角形一、解直角三角形教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课，为解直角三角形应用题之前的准备课，旨在建立好解直角三角形的数学模型，以便有效的为现实生活服务。培养学生解答实际应用题的技能，掌握如何构建解直角三角形的思想方法、技巧。把勾股定理和锐角三角函数的前期准备知识有机的组织起来，使学生能承前启后、有思想性和可操作性。因此，本节课在教材教学计划中起着一发牵制全局的重要作用。 本节课由生活中的实际问题引出课题，激发了学生学习数学的积极性。同时通过通过师生互动的教学形式，归纳出只有具有至少一边的两个条件，可解直角三角形，以及直角三角形的基本类型和解法。同时为了深化知识，设计变式训练，提高学生的解题能力。 反思，更进一步提升。