2.2.3 二次函数的图象与性质 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 2.2.3 二次函数的图象与性质 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 137.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-23 21:38:28 | ||
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文档简介
2 二次函数的图象与性质（第3课时）
课题 二次函数的图象与性质（第3课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P36-39
教学目标 能够作出y=a（x－h）2和y=a（x－h）2+k的图象，理解它们与y=ax2的图象的关系，理解a，h，k对二次函数图象的影响。 能正确找出y=a（x－h）2+k的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
教学重难点 重点：二次函数y=a（x－h）2+k的图象与性质。 难点：理解二次函数y=a（x－h）2和y=a（x－h）2+k图象之间的关系，理解二次函数y=a（x－h）2+k中a，h，k对函数图象的影响。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 我们已学习过两种类型的二次函数，y=ax2与y=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y轴，顶点都是原点。还知道函数y=ax2的图象经过上下移动可以得到y=ax2+c的图象是，那么如果将函数y=ax2的图象左右移动，我们会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质 本节课我们就来研究有关问题。（板书课题：二次函数的图象与性质 第3课时） 通过二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2经过上下平移得到，设问y=ax2经过左右平移会得到怎样的函数形式，进而引出本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】二次函数y=a（x－h）2的图象与性质 教师：在平面直角坐标系中作二次函数y=2x2，y=2（x－1）2和y=2(x＋1)2的图象。（多媒体呈现） (1)完成下表： x﹣4﹣3﹣2﹣101234y=2x2y=2（x－1）2y=2（x+1）2
观察上表，你能发现2(x-1)2，y=2（x+1）2与2x2的值有什么关系？ (2)分别画二次函数y=2x2和y=2(x-1)2，y=2（x+1）2的图象。 (3)二次函数y=2(x-1)2，y=2（x+1）2的图象与二次函数y=2x2的图象分别有什么关系 它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？ 学生：（1） x﹣4﹣3﹣2﹣101234y=2x23218820281832y=2（x－1）25032188202818y=2（x+1）21882028183250
x=﹣4时，y=2x2的值与x=﹣3时，y=2（x－1）2的值相等； x=﹣3时，y=2x2的值与x=﹣2时，y=2（x－1）2的值相等； x=﹣2时，y=2x2的值与x=﹣1时，y=2（x－1）2的值相等； …… x=﹣3时，y=2x2的值与x=﹣4时，y=2（x+1）2的值相等； x=﹣2时，y=2x2的值与x=﹣3时，y=2（x+1）2的值相等； x=﹣1时，y=2x2的值与x=﹣2时，y=2（x+1）2的值相等； …… （2）图象如图所示。 (3)根据列表及图象可得，二次函数y=2(x-1)2，y=2（x+1）2的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，且二次函数y=2(x-1)2的图象可由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度获得，二次函数y=2(x+1)2的图象可由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度获得。 二次函数y=2(x-1)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示。 函数表达式y=2(x-1)2y=2(x+1)2开口方向向上向上对称轴直线x=1直线x=-1顶点坐标（1，0）（-1，0）增减性当x＜1时，y随x的增大而减小； 当x＞1时，y随x的增大而增大当x＜-1时，y随x的增大而减小； 当x＞-1时，y随x的增大而增大
【归纳总结】 二次函数y=a（x－h）2的图象与性质 函数表达式y=a(x-h)2（a＜0）y=a(x-h)2（a＞0）开口方向向下向上对称轴直线x=h顶点坐标（h，0）增减性当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大
二次函数y=a（x－h）2与y=ax2的图象之间的关系 当h＞0时，将二次函数y=ax2的图象向右平移h个单位长度，得到y=a（x－h）2的图象； 当h＜0时，将二次函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度，得到y=a（x－h）2的图象。 【探究2】二次函数y=a（x－h）2+k的图象与性质 教师：猜一猜，二次函数y=2(x+1)2－3的图象，可以由y=2x2的图象平移得到吗？请说明平移方法，并通过画图验证。 学生：可以。将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，就可以得到二次函数y=2(x+1)2－3的图象。 列表如下。 x﹣4﹣3﹣2﹣101234y=2x23218820281832y=2（x+1）2－3155-1-3-15152947
画图如下。 教师追问：那么， 二次函数y=a（x－h）2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到吗？如何平移。 学生：①当h＞0，k＞0时，二次函数y=ax2的图象先向右平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象； ②当h＞0，k＜0时，二次函数y=ax2的图象先向右平移h个单位长度，再向下平移|k|个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象； ①当h＜0，k＞0时，二次函数y=ax2的图象先向左平移|h|个单位长度，再向上平移k个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象； ①当h＜0，k＜0时，二次函数y=ax2的图象先向左平移|h|个单位长度，再向下平移|k|个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象。 教师：由图象变化推得表达式的变化，我们可简记为：左加右减，上加下减。由平移，我们可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象性质，请完成下表。（多媒体呈现） 学生： 抛物线y=a（x－h）2+k（a＞0）y=a（x－h）2+k（a＜0）开口方向向上向下顶点坐标（h，k）对称轴x=h增减性当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大最值当x=h时，y有最小值为k当x=h时，y有最大值为k
通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论。 对于函数间的关系，可先由学生猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程。
3.学以致用，应用新知 考点 二次函数的图象与性质 P38随堂练习 变式训练 y＝a（x﹣h）2+k的图象可以看成y＝ax2的图象先沿x轴整体左（右）平移 个单位： 当h＞O时，向 平移； 当h＜0时，向 平移．再沿对称轴整体上（下）平移 个单位：当k＞O时，向 平移； 当k＜0时，向下平移．因此，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向由 值决定，对称轴为 ，顶点坐标为 。 答案：右 左 |k| 上a 直线x＝h （h，k） 在知识梳理的基础上，通过及时的练习，进一步提升学生对二次函数的图象与性质的理解掌握，同时教师可根据学生的掌握情况及时讲解。
4.随堂训练，巩固新知 1. 关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（ ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线x＝1 C．顶点坐标为（﹣1，﹣2） D．当x＞1时，y随x的增大而增大 答案：C 2. 如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 答案：B 3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 答案：A 4．点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A．m＞2 B．m C．m＜1 D．m＜2 答案：B 5．小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 二次函数y=a（x－h）2和y=a（x－h）2+k图象的性质； 二次函数y=ax2，y=a（x－h）2，y=a（x－h）2+k图象之间的关系。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：P39 习题2.4。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 二次函数的图象与性质（第3课时）二次函数y=a（x－h）2 二次函数y=a（x－h）2+k 平移教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的教学方式。本课时还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 在学生的探究过程中,教师要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系, 是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化，或者图象的变化将要引起表达式的何种变化。 要引导学生从感性认识上升到理性认识。 反思，更进一步提升。
课题 二次函数的图象与性质（第3课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P36-39
教学目标 能够作出y=a（x－h）2和y=a（x－h）2+k的图象，理解它们与y=ax2的图象的关系，理解a，h，k对二次函数图象的影响。 能正确找出y=a（x－h）2+k的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标。
教学重难点 重点：二次函数y=a（x－h）2+k的图象与性质。 难点：理解二次函数y=a（x－h）2和y=a（x－h）2+k图象之间的关系，理解二次函数y=a（x－h）2+k中a，h，k对函数图象的影响。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 我们已学习过两种类型的二次函数，y=ax2与y=ax2+c，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y轴，顶点都是原点。还知道函数y=ax2的图象经过上下移动可以得到y=ax2+c的图象是，那么如果将函数y=ax2的图象左右移动，我们会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质 本节课我们就来研究有关问题。（板书课题：二次函数的图象与性质 第3课时） 通过二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2经过上下平移得到，设问y=ax2经过左右平移会得到怎样的函数形式，进而引出本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】二次函数y=a（x－h）2的图象与性质 教师：在平面直角坐标系中作二次函数y=2x2，y=2（x－1）2和y=2(x＋1)2的图象。（多媒体呈现） (1)完成下表： x﹣4﹣3﹣2﹣101234y=2x2y=2（x－1）2y=2（x+1）2
观察上表，你能发现2(x-1)2，y=2（x+1）2与2x2的值有什么关系？ (2)分别画二次函数y=2x2和y=2(x-1)2，y=2（x+1）2的图象。 (3)二次函数y=2(x-1)2，y=2（x+1）2的图象与二次函数y=2x2的图象分别有什么关系 它们的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么 当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？ 学生：（1） x﹣4﹣3﹣2﹣101234y=2x23218820281832y=2（x－1）25032188202818y=2（x+1）21882028183250
x=﹣4时，y=2x2的值与x=﹣3时，y=2（x－1）2的值相等； x=﹣3时，y=2x2的值与x=﹣2时，y=2（x－1）2的值相等； x=﹣2时，y=2x2的值与x=﹣1时，y=2（x－1）2的值相等； …… x=﹣3时，y=2x2的值与x=﹣4时，y=2（x+1）2的值相等； x=﹣2时，y=2x2的值与x=﹣3时，y=2（x+1）2的值相等； x=﹣1时，y=2x2的值与x=﹣2时，y=2（x+1）2的值相等； …… （2）图象如图所示。 (3)根据列表及图象可得，二次函数y=2(x-1)2，y=2（x+1）2的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，且二次函数y=2(x-1)2的图象可由二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度获得，二次函数y=2(x+1)2的图象可由二次函数y=2x2的图象向左平移1个单位长度获得。 二次函数y=2(x-1)2图象的开口方向、对称轴和顶点坐标如下表所示。 函数表达式y=2(x-1)2y=2(x+1)2开口方向向上向上对称轴直线x=1直线x=-1顶点坐标（1，0）（-1，0）增减性当x＜1时，y随x的增大而减小； 当x＞1时，y随x的增大而增大当x＜-1时，y随x的增大而减小； 当x＞-1时，y随x的增大而增大
【归纳总结】 二次函数y=a（x－h）2的图象与性质 函数表达式y=a(x-h)2（a＜0）y=a(x-h)2（a＞0）开口方向向下向上对称轴直线x=h顶点坐标（h，0）增减性当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大
二次函数y=a（x－h）2与y=ax2的图象之间的关系 当h＞0时，将二次函数y=ax2的图象向右平移h个单位长度，得到y=a（x－h）2的图象； 当h＜0时，将二次函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度，得到y=a（x－h）2的图象。 【探究2】二次函数y=a（x－h）2+k的图象与性质 教师：猜一猜，二次函数y=2(x+1)2－3的图象，可以由y=2x2的图象平移得到吗？请说明平移方法，并通过画图验证。 学生：可以。将二次函数y=2x2的图象先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，就可以得到二次函数y=2(x+1)2－3的图象。 列表如下。 x﹣4﹣3﹣2﹣101234y=2x23218820281832y=2（x+1）2－3155-1-3-15152947
画图如下。 教师追问：那么， 二次函数y=a（x－h）2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到吗？如何平移。 学生：①当h＞0，k＞0时，二次函数y=ax2的图象先向右平移h个单位长度，再向上平移k个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象； ②当h＞0，k＜0时，二次函数y=ax2的图象先向右平移h个单位长度，再向下平移|k|个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象； ①当h＜0，k＞0时，二次函数y=ax2的图象先向左平移|h|个单位长度，再向上平移k个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象； ①当h＜0，k＜0时，二次函数y=ax2的图象先向左平移|h|个单位长度，再向下平移|k|个单位长度，可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象。 教师：由图象变化推得表达式的变化，我们可简记为：左加右减，上加下减。由平移，我们可以得到二次函数y=a（x－h）2+k的图象性质，请完成下表。（多媒体呈现） 学生： 抛物线y=a（x－h）2+k（a＞0）y=a（x－h）2+k（a＜0）开口方向向上向下顶点坐标（h，k）对称轴x=h增减性当x＜h时，y随x的增大而增大； 当x＞h时，y随x的增大而减小当x＜h时，y随x的增大而减小； 当x＞h时，y随x的增大而增大最值当x=h时，y有最小值为k当x=h时，y有最大值为k
通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论。 对于函数间的关系，可先由学生猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程。
3.学以致用，应用新知 考点 二次函数的图象与性质 P38随堂练习 变式训练 y＝a（x﹣h）2+k的图象可以看成y＝ax2的图象先沿x轴整体左（右）平移 个单位： 当h＞O时，向 平移； 当h＜0时，向 平移．再沿对称轴整体上（下）平移 个单位：当k＞O时，向 平移； 当k＜0时，向下平移．因此，二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象是一条抛物线，它的开口方向由 值决定，对称轴为 ，顶点坐标为 。 答案：右 左 |k| 上a 直线x＝h （h，k） 在知识梳理的基础上，通过及时的练习，进一步提升学生对二次函数的图象与性质的理解掌握，同时教师可根据学生的掌握情况及时讲解。
4.随堂训练，巩固新知 1. 关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（ ） A．开口方向向上 B．对称轴是直线x＝1 C．顶点坐标为（﹣1，﹣2） D．当x＞1时，y随x的增大而增大 答案：C 2. 如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值（ ） A．﹣3和5 B．﹣4和5 C．﹣4和﹣3 D．﹣1和5 答案：B 3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝3（x+1）2+4m（m为常数）上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（ ） A．y1＜y2＜y3 B．y2＜y1＜y3 C．y3＜y1＜y2 D．y3＜y2＜y1 答案：A 4．点A（m﹣1，y1），B（m，y2）都在二次函数y＝（x﹣1）2+n的图象上．若y1＜y2，则m的取值范围为（ ） A．m＞2 B．m C．m＜1 D．m＜2 答案：B 5．小嘉说：将二次函数y＝x2的图象平移或翻折后经过点（2，0）有4种方法： ①向右平移2个单位长度 ②向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 ③向下平移4个单位长度 ④沿x轴翻折，再向上平移4个单位长度 你认为小嘉说的方法中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 答案：D 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 二次函数y=a（x－h）2和y=a（x－h）2+k图象的性质； 二次函数y=ax2，y=a（x－h）2，y=a（x－h）2+k图象之间的关系。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：P39 习题2.4。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 二次函数的图象与性质（第3课时）二次函数y=a（x－h）2 二次函数y=a（x－h）2+k 平移教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的教学方式。本课时还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！ 在学生的探究过程中,教师要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系, 是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化，或者图象的变化将要引起表达式的何种变化。 要引导学生从感性认识上升到理性认识。 反思，更进一步提升。