2.2.4 二次函数的图象与性质 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 2.2.4 二次函数的图象与性质 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 238.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-23 21:51:57 | ||
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文档简介
2 二次函数的图象与性质（第4课时）
课题 二次函数的图象与性质（第4课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P39-41
教学目标 经历探索二次函数 y ax 2 bx c 的图象的作法和性质的过程； 推导二次函数 y ax 2 bx c 的对称轴和顶点坐标公式； 能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问.
教学重难点 重点：推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问 题。 难点：用配方法推导 y ax 2 bx c 的对称轴和顶点坐标公式。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 教师：我们已经认识了二次函数y=ax2，y=ax2+c，y=a（x－h）2，y=a（x－h）2+k的图象与性质，那么还有哪些二次函数的图象是我们尚未研究的呢？ 学生：y=ax2+bx+c。 教师：它的图象是怎样的呢？又具备哪些性质？今天这节课我们就来研究二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质。（板书课题：二次函数的图象与性质 第4课时） 通过回顾与设问，引出本节课需要研究的二次函数y=ax2+bx+c。
2.实践探究，学习新知 【探究1】二次函数y=2x2－8x＋7的图象与性质 教师：二次函数的图象是什么形状？它和我们学过的二次函数y=2x2的图象有什么关系？（多媒体呈现） 师生活动：学生先大胆猜想，教师再借用几何画板图象演示。 学生：二次函数y=2x2－8x＋7的图象是抛物线。因为二次函数y=2x2－8x＋7与y=2x2的二次项系数a相同，所以二次函数y=2x2－8x＋7与y=2x2的图象的开口方向和开口大小相同。因为（0，0）不在二次函数y=2x2－8x＋7的图象上，所以二次函数y=2x2－8x＋7与y=2x2的顶点坐标肯定不同。 教师追问：那么二次函数y=2x2－8x＋7的顶点坐标是什么？ 我们知道，二次函数y＝a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k），那么，可以通过将二次函数y=2x2－8x＋7转化成y＝a(x-h)2+k的形式，确定顶点坐标吗？ 学生：y=2x2－8x＋7 =2（x2－4x＋22－22）＋7 =2（x2－4x＋2）－8＋7 =2(x－2)2－1。 ∴二次函数y=2x2－8x＋7的顶点坐标是（2，﹣1）。 教师：所以二次函数y=2x2－8x＋7的图象可以看做是由y=2x2的图象通过怎样平移得到的？ 学生：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的。 教师：如果用描点法作二次函数y=2x2－8x＋7的图象，列表时x可以取哪些值？作出图象，并说明图象的增减性。
学生：取x=2及其两侧对称的3组数。 x-1012345y1771-11717
增减性：当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。 教师：利用配方法确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标，并做出图象。（多媒体呈现） （1）y=3x2－6x＋7；（2）y=2x2－12x+8。 学生：（1）y=3x2－6x＋7=3(x－1)2＋4，对称轴x=1,顶点坐标（1,4），作图如下。 （2）y=2x2－12x+8=2(x－3)2－10，对称轴x=3,顶点坐标（3，-10），作图如下。 【归纳总结】配方法的步骤 ①“提”：提出二次项系数； ②“配”：括号内配成完全平方（括号内加上再减去一次项系数一半的平方）； ③“化”：化成y＝a(x-h)2+k的形式。 【探究2】二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 教师：对于y=ax2+bx+c形式的二次函数，我们在求其对称轴和顶点坐标时，有没有不需要每次都配方化简，更为一般化的方法？ 师生活动：教师带领学生推导对称轴及顶点坐标公式。 例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标。 y=ax2+bx+c =a(x2+x)+c =a[x2+2·x+()2-()2]+c =a(x+)2+。 所以，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=，顶点坐标是（，）。 教师：在之后求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标时，就可以通过套用公式求得。 【探究3】二次函数图象的对称轴和顶点坐标的意义 桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状。而且左、有两条抛物线关于y轴对称。按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示。（多媒体呈现） 钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ 两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 学生：（1），所以钢缆的最低点到桥面的距离是1m。 （2）两条钢缆最低点之间的距离是20+20=40（m）。 先确定二次函数y 2x2 8x 7与y 2x2的图象形状相同，顶点坐标不同，再引出如何确定顶点坐标，进而引出可通过配方法确定顶点坐标。
3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数图象的对称轴和顶点坐标 P41随堂练习 考点2 二次函数图象的平移 将二次函数y＝x2﹣2x+2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x+4 C．y＝x2+2x+4 D．y＝x2+2x+3 答案：C 考点3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个． ①abc＞0； ②4a+2b+c＜0； ③函数的最大值为a+b+c；④当﹣3≤x≤1时，y≥0； ⑤x＜﹣1时，y随x增大而减少． A．4 B．3 C．2 D．1 答案：B 及时巩固练习，体现学以致用的思想。同时教师可根据学生的掌握情况及时讲解。
4.随堂训练，巩固新知 1. 已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 答案：D 2．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B． C．D． 答案：A 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（ ） A．b＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．3a+c＝0 答案：D 4．已知二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，将其图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y1随x增大而增大；当4＜x＜5时，y1随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ） A．1≤k≤3 B．2≤k≤3 C．3≤k≤4 D．4≤k≤5 答案：D 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 配方法确定二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标； 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴公式和顶点坐标公式； 二次函数图象的对称轴和顶点坐标的意义。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：P41 习题2.5。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 二次函数的图象与性质（第4课时）配方法 对称轴、顶点坐标公式教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课由二次函数y=2x2－8x＋7的图象的顶点坐标，引出配方法，进而由特殊到一般，推出二次函数y=ax2+bx+c的对称轴及顶点坐标公式，最后通过实际应用，体现二次函数对称轴及顶点坐标的意义。 整节课采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的教学方式。还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图、合作交流的过程。同时课件及几何画板的使用，也使得学生能够更为直观地认识到函数的图象与性质。 反思，更进一步提升。
课题 二次函数的图象与性质（第4课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P39-41
教学目标 经历探索二次函数 y ax 2 bx c 的图象的作法和性质的过程； 推导二次函数 y ax 2 bx c 的对称轴和顶点坐标公式； 能利用二次函数的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问.
教学重难点 重点：推导二次函数的对称轴和顶点坐标公式，并利用此解决一些问 题。 难点：用配方法推导 y ax 2 bx c 的对称轴和顶点坐标公式。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 教师：我们已经认识了二次函数y=ax2，y=ax2+c，y=a（x－h）2，y=a（x－h）2+k的图象与性质，那么还有哪些二次函数的图象是我们尚未研究的呢？ 学生：y=ax2+bx+c。 教师：它的图象是怎样的呢？又具备哪些性质？今天这节课我们就来研究二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质。（板书课题：二次函数的图象与性质 第4课时） 通过回顾与设问，引出本节课需要研究的二次函数y=ax2+bx+c。
2.实践探究，学习新知 【探究1】二次函数y=2x2－8x＋7的图象与性质 教师：二次函数的图象是什么形状？它和我们学过的二次函数y=2x2的图象有什么关系？（多媒体呈现） 师生活动：学生先大胆猜想，教师再借用几何画板图象演示。 学生：二次函数y=2x2－8x＋7的图象是抛物线。因为二次函数y=2x2－8x＋7与y=2x2的二次项系数a相同，所以二次函数y=2x2－8x＋7与y=2x2的图象的开口方向和开口大小相同。因为（0，0）不在二次函数y=2x2－8x＋7的图象上，所以二次函数y=2x2－8x＋7与y=2x2的顶点坐标肯定不同。 教师追问：那么二次函数y=2x2－8x＋7的顶点坐标是什么？ 我们知道，二次函数y＝a(x-h)2+k的顶点坐标为（h，k），那么，可以通过将二次函数y=2x2－8x＋7转化成y＝a(x-h)2+k的形式，确定顶点坐标吗？ 学生：y=2x2－8x＋7 =2（x2－4x＋22－22）＋7 =2（x2－4x＋2）－8＋7 =2(x－2)2－1。 ∴二次函数y=2x2－8x＋7的顶点坐标是（2，﹣1）。 教师：所以二次函数y=2x2－8x＋7的图象可以看做是由y=2x2的图象通过怎样平移得到的？ 学生：先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的。 教师：如果用描点法作二次函数y=2x2－8x＋7的图象，列表时x可以取哪些值？作出图象，并说明图象的增减性。
学生：取x=2及其两侧对称的3组数。 x-1012345y1771-11717
增减性：当x＜2时，y随x的增大而减小；当x＞2时，y随x的增大而增大。 教师：利用配方法确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标，并做出图象。（多媒体呈现） （1）y=3x2－6x＋7；（2）y=2x2－12x+8。 学生：（1）y=3x2－6x＋7=3(x－1)2＋4，对称轴x=1,顶点坐标（1,4），作图如下。 （2）y=2x2－12x+8=2(x－3)2－10，对称轴x=3,顶点坐标（3，-10），作图如下。 【归纳总结】配方法的步骤 ①“提”：提出二次项系数； ②“配”：括号内配成完全平方（括号内加上再减去一次项系数一半的平方）； ③“化”：化成y＝a(x-h)2+k的形式。 【探究2】二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 教师：对于y=ax2+bx+c形式的二次函数，我们在求其对称轴和顶点坐标时，有没有不需要每次都配方化简，更为一般化的方法？ 师生活动：教师带领学生推导对称轴及顶点坐标公式。 例2 求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标。 y=ax2+bx+c =a(x2+x)+c =a[x2+2·x+()2-()2]+c =a(x+)2+。 所以，二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴是直线x=，顶点坐标是（，）。 教师：在之后求二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标时，就可以通过套用公式求得。 【探究3】二次函数图象的对称轴和顶点坐标的意义 桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状。而且左、有两条抛物线关于y轴对称。按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用y=x2+x+10表示。（多媒体呈现） 钢缆的最低点到桥面的距离是多少？ 两条钢缆最低点之间的距离是多少？ 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 学生：（1），所以钢缆的最低点到桥面的距离是1m。 （2）两条钢缆最低点之间的距离是20+20=40（m）。 先确定二次函数y 2x2 8x 7与y 2x2的图象形状相同，顶点坐标不同，再引出如何确定顶点坐标，进而引出可通过配方法确定顶点坐标。
3.学以致用，应用新知 考点1 二次函数图象的对称轴和顶点坐标 P41随堂练习 考点2 二次函数图象的平移 将二次函数y＝x2﹣2x+2的图象向上平移2个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到的抛物线的表达式为（ ） A．y＝x2﹣2x+3 B．y＝x2﹣2x+4 C．y＝x2+2x+4 D．y＝x2+2x+3 答案：C 考点3 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个． ①abc＞0； ②4a+2b+c＜0； ③函数的最大值为a+b+c；④当﹣3≤x≤1时，y≥0； ⑤x＜﹣1时，y随x增大而减少． A．4 B．3 C．2 D．1 答案：B 及时巩固练习，体现学以致用的思想。同时教师可根据学生的掌握情况及时讲解。
4.随堂训练，巩固新知 1. 已知抛物线y＝x2﹣2x+3，下列结论错误的是（ ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线x＝1 C．抛物线的顶点坐标为（1，2） D．当x＞1时，y随x的增大而减小 答案：D 2．二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A．B． C．D． 答案：A 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且经过点（﹣3，0），则下列结论正确的是（ ） A．b＞0 B．c＜0 C．a+b+c＞0 D．3a+c＝0 答案：D 4．已知二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3，将其图象向右平移k（k＞0）个单位，得到二次函数的图象，使得当﹣1＜x＜3时，y1随x增大而增大；当4＜x＜5时，y1随x增大而减小．则实数k的取值范围是（ ） A．1≤k≤3 B．2≤k≤3 C．3≤k≤4 D．4≤k≤5 答案：D 5．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣2，并与x轴交于A，B两点，若OA＝5OB，则下列结论中：①abc＞0；②（a+c）2﹣b2＝0；③9a+4c＜0；④若m为任意实数，则am2+bm+2b≥4a，正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 配方法确定二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴和顶点坐标； 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴公式和顶点坐标公式； 二次函数图象的对称轴和顶点坐标的意义。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：P41 习题2.5。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 二次函数的图象与性质（第4课时）配方法 对称轴、顶点坐标公式教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课由二次函数y=2x2－8x＋7的图象的顶点坐标，引出配方法，进而由特殊到一般，推出二次函数y=ax2+bx+c的对称轴及顶点坐标公式，最后通过实际应用，体现二次函数对称轴及顶点坐标的意义。 整节课采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的教学方式。还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图、合作交流的过程。同时课件及几何画板的使用，也使得学生能够更为直观地认识到函数的图象与性质。 反思，更进一步提升。