2.3.1 确定二次函数的表达式 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册
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| 名称 | 2.3.1 确定二次函数的表达式 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 148.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-23 21:52:12 | ||
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文档简介
3 确定二次函数的表达式（第1课时）
课题 确定二次函数的表达式（第1课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P42-43
教学目标 体会确定二次函数表达式所需要的条件。 会用待定系数法确定二次函数的表达式。
教学重难点 重点：利用待定系数法确定二次函数的表达式。 难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 现代推铅球始于14世纪40年代欧洲炮兵闲暇期间推掷炮弹的游戏和比赛，后逐渐形成体育运动项目。一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中（4,3）为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？(多媒体呈现） 教师：我们之前学习过利用待定系数法确定一次函数、反比例函数的表达式，那么二次函数的表达式是不是也可以用待定系数法确定呢？我们知道待定系数法求函数表达式时，第一步是先设函数表达式，但我们之前学习的二次函数表达式的形式有多种，我们要如何选择呢 今天这节课，我们就一块儿探究下如何确定二次函数的表达式。（板书课题：二次函数表达式 第1课时） 创设有意义的问题情境，调动学生学习积极性，体会到数学来源于生活，同时引出课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】确定二次函数的表达式 教师：我们之前学习的二次函数的表达式的表现形式，可以归纳成两种，同学们知道是哪两种吗？ 学生：y=ax2+bx+c，y=a（x-h）2+k。 教师：是的，一种是一般式：y=ax2+bx+c，另一种是顶点式：y=a（x-h）2+k，顾名思义，我们在知道顶点坐标的情况下才会利用顶点式去确定函数表达式。 教师：同学们，想一想，我们如果利用二次函数的一般式或者顶点式确定函数表达式，那么，它们分别需要几个条件（点的坐标）？ 学生：一般式含有三个待定系数a，b，c，需要三个条件才能确定；顶点式也含有三个待定系数，a，h，k，如果已知顶点坐标（h，k），则只需另外一个点的坐标。 教师：非常好，回到刚才铅球的问题中（多媒体呈现），我们要求y与x之间的关系式，根据已知条件，函数表达式设为什么形式合适，为什么？ 学生：因为顶点坐标为（4，3），所以设y与x之间的关系式为y=a（x-4）2+3。 教师：同学们根据所设的表达式，求出该抛物线的表达式。 学生：将点（10，0）的坐标代入表达式y=a（x-4）2+3，得0=a（10-4）2+3，解得a=。所以，y与x之间的关系式为。 例 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式。 师生活动：教师提出问题，学生思考答题交流展示。 学生：将点（2，3）和（﹣1，﹣3）的坐标分别代入表达式y=ax2+c，得解得 ∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5。 教师：非常好，本题是在已知函数表达式的基础上，直接代入坐标求解方程得出的待定系数的值，那么是不是所有的让我们求表达式的题目都是这样的呢？ 其实并不是，就像我们之前确定的铅球抛物线的表达式一样，是需要我们根据已知条件设出形式合适的二次函数的表达式的，这也是我们本节课的重难点，除特征明显的顶点式以外，同学们，看下面这个题，尝试求出函数表达式。 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 学生：设抛物线关系式为y=ax +bx+c,由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)， ∴解得 ∴这个二次函数关系式为y=2x2-2x+1。 教师：非常好，因为题中未给出顶点坐标，所以设二次函数表达式为y=ax +bx+c，那同学们，除了列三元一次方程组以外，还有其他确定该二次函数表达式的方法吗？ 学生：有，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以直接设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1，将点（2，5）和（-2，13）的坐标分别代入表达式，得解得 所以，二次函数的表达式为y=2x2-2x+1。 教师：非常好，同一次函数y=kx+b的图象一样，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标即为c的值。那么同学们思考一下，在什么情况下，我们已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？ 学生：①已知两点中有一点是顶点；②已知二次函数y=ax +bx+c中一项系数。 【归纳总结】（多媒体呈现） 确定二次函数表达式的一般步骤：设——列——解——答。 设二次函数表达式时，表达式形式的选择： ①已知顶点坐标，与其他任意一点坐标，选用顶点式； ②已知任意两点坐标与y=ax +bx+c中任意一项系数的值，选用一般式。 通过师生互动，明确确定二次函数表达式的方法，以及确定表达式所需条件，同时使学生学以致用在已知顶点的情况下，确定二次函数表达式。 确定只含有两个待定系数的二次函数表达式，梳理解题过程。
3.学以致用，应用新知 考点 确定二次函数的表达式 P43 随堂练习 1，2 变式训练 已知二次函数的最小值为﹣3，这个函数的图象经过点（1，﹣2），且对称轴为x＝2，则这个二次函数的表达式为 ． 答案：y＝（x﹣2）2﹣3． 已知抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x+k交于点，）和点B（﹣2，m），求抛物线的表达式。 解：将点A（，）的坐标代入y＝x+k，得 =+k，解得k=1，所以直线y＝x+1。 将点B（﹣2，m）的坐标代入y＝x+1，得 m=-1，所以B（-2，-1）。 将点A（，），B（-2，-1）的坐标分别代入y＝ax2+bx+3，得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣2x+3。 在归纳总结的基础上，通过及时练习，进一步提升学生对确定二次函数的表达式的方法掌握。
4.随堂训练，巩固新知 抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（ ） A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5 C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2﹣5 答案：B 若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 答案：C 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（﹣1，3），且过点（0，5），那么二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为（ ） A．y＝﹣2x2+4x+5 B．y＝2x2+4x+5 C．y＝﹣2x2+4x﹣1 D．y＝2x2+4x+3 答案：B 抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣1，0），且对称轴是直线x＝1，该抛物线的表达式是 。 答案：y＝﹣（x﹣3）（x+1）． 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C。求抛物线的解析式和顶点C的坐标。 解：把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得 ，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3。 ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点C坐标为（1，4）。 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 能用待定系数法确定二次函数表达式； 用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：设-列-解-答； 用顶点式确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。 用一般式y=ax +bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有1个是已知的，那么再知道图象上两个点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：P43 习题2.6。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 确定二次函数的表达式（第1课时）确定二次函数的表达式教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课的重点是要学生用待定系数法求只需两个点坐标就能确定的二次函数的表达式，难点是学生能根据条件灵活应用二次函数的两种形式:一般式，顶点式，从而简化运算过程。 本节课探究的过程由浅入深，以实际情景着手，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到二次函数就在我们身边。同时在教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求二次函数表达式的一般方法。 反思，更进一步提升。
课题 确定二次函数的表达式（第1课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P42-43
教学目标 体会确定二次函数表达式所需要的条件。 会用待定系数法确定二次函数的表达式。
教学重难点 重点：利用待定系数法确定二次函数的表达式。 难点：根据问题灵活选用二次函数表达式的不同形式，用待定系数法确定二次函数表达式。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 现代推铅球始于14世纪40年代欧洲炮兵闲暇期间推掷炮弹的游戏和比赛，后逐渐形成体育运动项目。一名学生推铅球时，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，其中（4,3）为图象的顶点，你能求出y与x之间的关系式吗？(多媒体呈现） 教师：我们之前学习过利用待定系数法确定一次函数、反比例函数的表达式，那么二次函数的表达式是不是也可以用待定系数法确定呢？我们知道待定系数法求函数表达式时，第一步是先设函数表达式，但我们之前学习的二次函数表达式的形式有多种，我们要如何选择呢 今天这节课，我们就一块儿探究下如何确定二次函数的表达式。（板书课题：二次函数表达式 第1课时） 创设有意义的问题情境，调动学生学习积极性，体会到数学来源于生活，同时引出课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】确定二次函数的表达式 教师：我们之前学习的二次函数的表达式的表现形式，可以归纳成两种，同学们知道是哪两种吗？ 学生：y=ax2+bx+c，y=a（x-h）2+k。 教师：是的，一种是一般式：y=ax2+bx+c，另一种是顶点式：y=a（x-h）2+k，顾名思义，我们在知道顶点坐标的情况下才会利用顶点式去确定函数表达式。 教师：同学们，想一想，我们如果利用二次函数的一般式或者顶点式确定函数表达式，那么，它们分别需要几个条件（点的坐标）？ 学生：一般式含有三个待定系数a，b，c，需要三个条件才能确定；顶点式也含有三个待定系数，a，h，k，如果已知顶点坐标（h，k），则只需另外一个点的坐标。 教师：非常好，回到刚才铅球的问题中（多媒体呈现），我们要求y与x之间的关系式，根据已知条件，函数表达式设为什么形式合适，为什么？ 学生：因为顶点坐标为（4，3），所以设y与x之间的关系式为y=a（x-4）2+3。 教师：同学们根据所设的表达式，求出该抛物线的表达式。 学生：将点（10，0）的坐标代入表达式y=a（x-4）2+3，得0=a（10-4）2+3，解得a=。所以，y与x之间的关系式为。 例 已知二次函数y=ax2+c的图象经过点（2，3）和（－1，－3），求出这个二次函数的表达式。 师生活动：教师提出问题，学生思考答题交流展示。 学生：将点（2，3）和（﹣1，﹣3）的坐标分别代入表达式y=ax2+c，得解得 ∴所求二次函数表达式为：y=2x2－5。 教师：非常好，本题是在已知函数表达式的基础上，直接代入坐标求解方程得出的待定系数的值，那么是不是所有的让我们求表达式的题目都是这样的呢？ 其实并不是，就像我们之前确定的铅球抛物线的表达式一样，是需要我们根据已知条件设出形式合适的二次函数的表达式的，这也是我们本节课的重难点，除特征明显的顶点式以外，同学们，看下面这个题，尝试求出函数表达式。 已知二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流回答。 学生：设抛物线关系式为y=ax +bx+c,由题意可知，图象经过点（0，1），(2,5)和(-2,13)， ∴解得 ∴这个二次函数关系式为y=2x2-2x+1。 教师：非常好，因为题中未给出顶点坐标，所以设二次函数表达式为y=ax +bx+c，那同学们，除了列三元一次方程组以外，还有其他确定该二次函数表达式的方法吗？ 学生：有，因为二次函数的图象与y轴交点的纵坐标为1，所以直接设二次函数的表达式为y=ax2+bx+1，将点（2，5）和（-2，13）的坐标分别代入表达式，得解得 所以，二次函数的表达式为y=2x2-2x+1。 教师：非常好，同一次函数y=kx+b的图象一样，二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交点的纵坐标即为c的值。那么同学们思考一下，在什么情况下，我们已知二次函数图象上两点的坐标就可以确定它的表达式？ 学生：①已知两点中有一点是顶点；②已知二次函数y=ax +bx+c中一项系数。 【归纳总结】（多媒体呈现） 确定二次函数表达式的一般步骤：设——列——解——答。 设二次函数表达式时，表达式形式的选择： ①已知顶点坐标，与其他任意一点坐标，选用顶点式； ②已知任意两点坐标与y=ax +bx+c中任意一项系数的值，选用一般式。 通过师生互动，明确确定二次函数表达式的方法，以及确定表达式所需条件，同时使学生学以致用在已知顶点的情况下，确定二次函数表达式。 确定只含有两个待定系数的二次函数表达式，梳理解题过程。
3.学以致用，应用新知 考点 确定二次函数的表达式 P43 随堂练习 1，2 变式训练 已知二次函数的最小值为﹣3，这个函数的图象经过点（1，﹣2），且对称轴为x＝2，则这个二次函数的表达式为 ． 答案：y＝（x﹣2）2﹣3． 已知抛物线y＝ax2+bx+3与直线y＝x+k交于点，）和点B（﹣2，m），求抛物线的表达式。 解：将点A（，）的坐标代入y＝x+k，得 =+k，解得k=1，所以直线y＝x+1。 将点B（﹣2，m）的坐标代入y＝x+1，得 m=-1，所以B（-2，-1）。 将点A（，），B（-2，-1）的坐标分别代入y＝ax2+bx+3，得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣2x2﹣2x+3。 在归纳总结的基础上，通过及时练习，进一步提升学生对确定二次函数的表达式的方法掌握。
4.随堂训练，巩固新知 抛物线的对称轴为直线x＝3，y的最大值为﹣5，且与y＝x2的图象开口大小相同．则这条抛物线解析式为（ ） A．y＝﹣（x+3）2+5 B．y＝﹣（x﹣3）2﹣5 C．y＝（x+3）2+5 D．y＝（x﹣3）2﹣5 答案：B 若二次函数的图象的顶点坐标为（2，﹣1），且抛物线过（0，3），则二次函数的解析式是（ ） A．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 B．y＝﹣（x﹣2）2﹣1 C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x﹣2）2﹣1 答案：C 抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标是（﹣1，3），且过点（0，5），那么二次函数y＝ax2+bx+c的解析式为（ ） A．y＝﹣2x2+4x+5 B．y＝2x2+4x+5 C．y＝﹣2x2+4x﹣1 D．y＝2x2+4x+3 答案：B 抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点（﹣1，0），且对称轴是直线x＝1，该抛物线的表达式是 。 答案：y＝﹣（x﹣3）（x+1）． 如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点B（0，3），顶点为C。求抛物线的解析式和顶点C的坐标。 解：把A（﹣1，0）和点B（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得 ，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3。 ∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴抛物线的顶点C坐标为（1，4）。 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 能用待定系数法确定二次函数表达式； 用待定系数法确定二次函数表达式的步骤：设-列-解-答； 用顶点式确定二次函数关系式，当知道顶点（h,k）坐标时，那么再知道图象上的另一点坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。 用一般式y=ax +bx+c确定二次函数时，如果系数a,b,c中有1个是已知的，那么再知道图象上两个点的坐标，就可以确定这个二次函数的表达式。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：P43 习题2.6。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 确定二次函数的表达式（第1课时）确定二次函数的表达式教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课的重点是要学生用待定系数法求只需两个点坐标就能确定的二次函数的表达式，难点是学生能根据条件灵活应用二次函数的两种形式:一般式，顶点式，从而简化运算过程。 本节课探究的过程由浅入深，以实际情景着手，既增加了学生学习的兴趣，又让学生深切体会到二次函数就在我们身边。同时在教学中注意到利用问题串的形式，层层递进，逐步让学生掌握求二次函数表达式的一般方法。 反思，更进一步提升。