2.4.2 二次函数的应用 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册

4 二次函数的应用（第2课时）
课题 二次函数的应用（第2课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P48-50
教学目标 经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值。 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。
教学重难点 重点：能将简单的实际问题转化为数学问题，分析和表示变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。 难点：能够正确理解题意，从实际问题中抽象出二次函数模型。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5 000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件。（多媒体呈现） 教师：如果你是服装厂的负责人，你会选择以怎样的价格批发给经销商？ 学生：......（问题限制较少，学生回答的开放度会较高，目的只在调动学生的参与积极性） 教师：天下攘攘，皆为利往，如果作为服装厂的负责人的你想要在这次批发中获得最大利润，你要怎么定价呢？今天这节课，我们就一块儿探究下如何利用二次函数确定最大销售利润。（板书课题：二次函数的应用 第1课时） 以英国古代圈地运动为背景，创设情境，有助于提升学生学习的兴趣，同时引出问题和本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究】如何获取最大销售利润 教师：回顾上题，我们在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题，常用的等量关系是什么？ 学生：销售总利润=单件利润×销售量。 教师：本题中，如果设批发单价为x元，那么单件利润、降价后的销售量以及总利润分别是多少？
学生：单件利润为（x-10）元； 降价后的销售量为()件； 总利润为（x-10）（）元。 教师：如果用y元来表示总利润，那么我们就会得到总利润y与单价x之间的函数关系式。同学们写出关系式，思考通过关系式，我们是否能够得到当批发单价为多少时，销售利润最大？ 学生：销售利润用y元表示，则 y=（x-10）（） =-5 000（x2-24x+140） =-5 000（x-12）2+20 000。 ∵-5 000＜0，10<12<13， ∴当x＝12元时，y最大= 20 000元。 所以，当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20 000元。 教师：你觉得在本题解答过程中，难点是什么？ 学生：利用单价x表示销售量。 教师：参照我们之前在学习一元二次方程应用时的方法，可以通过列表的方式比较直观地将销售问题中的各个量表示出来。 原价13原销售量5 000价格 变化13-x销售量变化现价x调价后销售量单利润x-10
教师：因为是每降价0.1元，多经销500件，所以销售量变化是，如果是每涨价0.3元，就少销售100件，那销售量变化多少？ 学生：件。 【归纳总结】 教师：所以我们解决该问题的思路是什么？ 学生：①设单价为x； ②用x表示降价后的单件利润和销售量； ③根据总利润=单利润×销售量，列出利润y与单件x之间的函数关系式； ④将关系式化为顶点式，在自变量取值范围内确定函数最值；⑤写出答语。 教师：非常好，那么本题，如果我们设降价m元，那么我们应该如何分析列式求解？可通过列表辅助分析。 学生： 原价13原销售量5 000价格 变化m销售量变化现价13-m调价后销售量单利润13-m-10
所以y=（13-m-10） 化简得，y=-5000（m-1）2+2 0000。 ∵-5 000＜0，10<12<13， ∴当m=1，即批发单价是12元时，y最大= 20 000元。 所以，当批发单价是12元时，厂家可以获得最大利润，最大利润是20 000元。 教师：想一想，我们用两种设未知数的方法，都解决了上述关于服装销售的问题，你觉得怎样设未知数更好？ 学生：... ...（开放性问题，学生选择哪种方法都可以） 教师：回顾本题的两种解法，共通之处是什么？ 学生：设未知数，表示单利润和销售量，列函数关系式，化顶点式，在自变量范围内确定最值。 教师：即 例 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满。经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？最高总收入是多少？（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流展示，教师引导查缺补漏规范解题步骤。 学生：设每间客房的日租金提高10x元，则每天客房出租数会减少6x间。 设客房日租金总收入为y元，则 y=（160+10x）（120－6x） =﹣60（x－2）2+19 440。 ∵x≥0，且120－6x＞0， ∴0≤x<20。 ∵﹣60＜0，∴当x=2时，y最大=194 40。 此时每件客房的日租金为160+10×2=180（元）。 因此，每件客房的日租金提高到180元时，客房总收入最高，最高收入为19 440元。 【拓展延伸】 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？，我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60 000。（多媒体呈现） 教师：我们是否可以利用函数图象将橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系描述出来？请同学们画出函数图象，并描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系。 学生： 当0≤x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x=10时，橙子的总产量最大；当103.学以致用，应用新知 考点 销售利润最大问题 P49 随堂练习 【变式训练】 某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为 　 　元（利润＝总销售额﹣总成本）。 答案：121 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。
4.随堂训练，巩固新知 1. 某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元，销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个；销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（x＞44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140 C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40） 答案：D 2. 某商店销售一种进价为40元/千克的海鲜产品，据调查发现，月销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间满足一次函数关系，部分信息如下表，下列说法错误的是（　　） 售价x（元/千克）50607080……销售量（千克）250240230220……
A．y与x之间的函数关系式为y＝﹣x+300 B．当售价为72元时，月销售利润为7296元 C．当每月购进这种海鲜的总进价不超过5000元时，最大利润可达到16900元 D．销售这种海鲜产品，每月最高可获得利润16900元 答案：C 3．“美丽乡村”建设全面改善了农村环境面貌，吸引大量返乡人员在家兴创业，某村结合本村优势成立了合作社，计划投资开展水产养殖和草莓种植，根据市场调查与预测，水产养殖的利润y1与投资量x（x≥0）成正比例关系，如图2所示；草莓种植的利润y2与投资量x成二次函数关系，如图1所示（注：利润与投资量的单位都是万元）． （1）直接写出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式； （2）如果该村合作社以8万元资金投入水产养殖和草莓种植，至少获得多少利润？能获取的最大利润是多少？ （3）在（2）的基础上要保证获利不低于22万元，该村合作社至多应投资水产养殖多少万元？ 解：（1）设。 把P（1，2）代入y1＝kx中得：k＝2； 把Q（2，2）代入中得：2＝4a，解得； ∴。 （2）设投入水产养殖的资金为m万元，则投入草莓种植的资金为（8﹣m）万元，总利润为W万元。 由题意得，＝＝＝， ∵，0≤m≤8， ∴当m＝6时，W最小，最小值为14， ∴至少获得14万元的利润； 当m＝0时，，当m＝8时，， ∵32＞16， ∴当m＝0时，W最大，最大为32， ∴能获取的最大利润是32万元。 （3）当W＝22时，则， 解得m＝2或m＝10（舍去）， ∴要保证获利不低于22万元，则m≤2， ∴投入水产养殖的资金至多为2万元。 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 会利用二次函数解决销售问题中的最大利润问题。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：P50 习题2.9。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 二次函数的应用（第2课时）销售利润问题教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课所涉及的最大利润问题是考虑当自变量取何值时函数取得最大值的典型问题。解决问题的关键是如何把实际问题转化为数学问题，从而利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。 在本节课中，以学生相对熟悉T恤衫的销售为问题情境，逐步设问，层层递进，使学生能够细致的了解题目的解法，同时引导学生通过另一种设未知数的方法，获得解决本类题目的一般思路，进而通过例题在巩固学生所学的基础上，规范学生解题步骤，最后通过课堂练习与检测进一步巩固学生所学。 反思，更进一步提升。