2.5.2 二次函数与一元二次方程 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册
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| 名称 | 2.5.2 二次函数与一元二次方程 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 195.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-23 21:53:18 | ||
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文档简介
4 二次函数与一元二次方程（第2课时）
课题 二次函数与一元二次方程（第2课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P53-57
教学目标 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 2. 经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法。 3. 通过图象，体会数与形的完美结合，体会解决问题的方法，培养学生合作交流的意识和探索精神。
教学重难点 重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解。 难点：用逼近法求一元二次方程近似解。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
复习回顾，导入新课 师生活动：教师提出问题，学生思考回答。 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。 学生：y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是（﹣2，0），（3，0）。 2.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程x2+2x=0的解为 。 一元二次方程x2+2x=0的解为x1=﹣2，x2=0。 教师：通过上节课的学习，我们能够根据二次函数与一元二次方程的关系，通过解方程确定二次函数图象与x轴交点的坐标，同时也能根据二次函数图象与x轴交点的横坐标得到一元二次方程的根。 同学们有没有发现，我们上节课遇到的二次函数图象与x轴交点的横坐标都是一个很明确的整数，所以我们能很轻易的通过交点横坐标得到对应方程的解。 有没有同学思考过，如果交点的横坐标不再是一个很明确的数，那么我们还能通过函数图象去确定对应方程的解吗？ 今天这节课，我们就一块儿探究下这个问题。（板书课题：二次函数与一元二次方程 第2课时） 由上节课所学的通过二次函数图象与x轴交点的横坐标得出对应方程的解，引发学生思考：如果二次函数图象与x轴交点的横坐标不再是一个很明确的整数，我们还能通过函数图象得到对应方程的根吗？进而引出本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 +2x-10=0 的根吗？（多媒体呈现） 教师：观察二次函数的图象，很明显抛物线y= x2 +2x-10与x轴有几个交点？ 学生：两个。 教师：所以一元二次方程x2 +2x-10=0应该有几个根？ 学生：两个。 教师：此时你能根据函数图象确定一元二次方程x2 +2x-10=0的根是多少吗？ 学生：不能。 教师：但我们通过图象，可以确定一元二次方程x2 +2x-10=0的两个根分别在哪两个数之间。 学生：一个根在-5和-4之间，一个根在2和3之间。 教师：根据函数图象，在-5和-4之间的根，我们可不可以进一步精确下，这个根是在-5和-4.5之间还是在-4.5和-4之间？ 学生：通过计算发现，当x=4.5时，函数值y=1.25>0，又因为当x=-5时，y>0，当x=-4时，y<0,函数图象在-5＜x＜-4时，是连续递减的，所以图象与x轴的交点在-4.5和-4之间。 教师：很棒的思路，那你根据图象还可以进一步精确下这个根的取值吗？精确到十分位即可，可以借用计算器。 学生：当x=-4.4时，y=0.56，当x=-4.3时，y=-0.11，所以，这个根在-4.3到-4.4之间，又因为x=-4.35时，y=0.222 5，即根在-4.35到-4.3之间，四舍五入，这个根的近似取值为4.3。 教师：非常好，x=4.3即为方程的一个近似根。（教师可利用几何画板等工具，通过放大图象等方法，直观地展示x，y的每一组取值） 我们在取自变量的值进行计算时，可以不断取范围中间的数，比如-5到-4之间，我们先取-4.5，再取-4.3；也可以按顺序取值，比如-5到-4之间，我们按-4.1，-4.2，-4.3的顺序取值，都可以。基本原则是根据图象，找到对应函数值分别为一正一负的两个差值尽可能小的自变量的值，进而确定方程的近似根。 教师：请同学们按照同样的方法，求一下方程另一个近似根。 学生：当x=2.5时，y=1.25，所以2＜x＜2.5; 当x=2.3时，y=-0.11,所以2.3＜x＜2.5; 当x=2.4时，y=0.56,所以2.3＜x＜2.4; 当x=2.35时，y=0.222 5,所以2.3＜x＜2.35; 所以，方程的另一个近似根为2.3。 教师：那么我们通过图象法得到的方程的根是否准确呢，可以通过什么方法验证一下？ 学生：可以通过一元二次方程的求根公式验证，由求根公式可得x=，即x1≈﹣4.3，x2≈2.3，所以通过图象法得到的方程的近似根是准确的。 【归纳总结】 师生活动：教师提出问题，学生思考交流讨论回答。 教师：通过二次函数的图象估计一元二次方程的近似根的一般步骤是什么？ 学生：作出对应的二次函数图象——通过二次函数图象与x轴交点的位置估计方程近似根的大致范围——通过计算缩小方程近似根的取值范围，得到符合精确度的取值。 【拓展提升】 请根据图象求一元二次方程x2+2x－10=3的近似根。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流讨论回答。 学生：由x2+2x－10=3可得x2+2x－13=0， x-4.9-4.8-4.7-4.75y1.210.44-0.310.062 5
x2.72.82.75y-0.310.440.062 5
所以，一元二次方程x2+2x－10=3的两个近似根是-4.7和2.7。 教师：如图，如果将函数图象换为函数y=x2+2x－10的图象，同学们还能求出一元二次方程x2+2x－10=3的近似根吗？ 学生：可以。因为一元二次方程x2+2x－10=3的解为直线y=3与抛物线y=x2+2x－10交点的横坐标，所以，过点（0，3）作直线AB⊥y轴，再分别过点A，B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，则点C，D的横坐标即为方程的解。 x-4.9-4.8-4.7-4.75y4.213.442.693.062 5
因为x=-4.7时，y的值更接近3，所以方程x2+2x－10=3的一个近似根为-4.7。 x2.72.82.75y2.693.443.062 5
因为x=2.7时，y的值更接近3，所以方程x2+2x－10=3的一个近似根为2.7。 综上，方程x2+2x－10=3的近似根为-4.7和2.7。
3.学以致用，应用新知 考点 利用二次函数图象估计一元二次方程的近似根 P55 随堂练习 【变式训练】 x……22.12.22.32.4……y……﹣1﹣0.390.240.891.56……
如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（ ） A．﹣4 B．2.2 C．﹣4.2 D．﹣4.3 答案：B 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。
4.随堂训练，巩固新知 1．我们可以用二次函数y＝x2+3x﹣3的图象（如图所示）估计一元二次方程x2+3x﹣3＝0的根的情况，由图象可知x2+3x﹣3＝0有1个根在﹣4和﹣3之间，另一个根在0和1之间，体现的数学思想主要是（ ） A．数形结合思想 B．方程思想 C．转化思想 D．分类思想 答案：A 2. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x…﹣2﹣101234…y…m﹣4.5m﹣2m﹣0.5mm﹣0.5m﹣2m﹣4.5…
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 答案：D 3. 一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ） A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2 C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2 答案：A 已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（ ） A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0 答案：B 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程。 能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：P57 习题2.11。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 二次函数与一元二次方程（第2课时）根据二次函数图象估计一元二次方程的近似解教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本课时内容在以往的教学中往往容易一带而过，以练代讲，但是这样的教学处理重结果，轻过程，学生无法体验到近似根的探索过程，特别是在计算器计算机盛行的时代，学生对近似根的求解往往不清楚。为此本节课以问题的形式引导学生参与研究，在经历和体验中总结方法，进而理解问题的本质。 同时课件以及几何画板的使用也使得学生能够更为直观地观察方程近似解的求解过程。 反思，更进一步提升。
课题 二次函数与一元二次方程（第2课时） 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P53-57
教学目标 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 2. 经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程，体会用二次函数函数图象求一元二次方程解的方法。 3. 通过图象，体会数与形的完美结合，体会解决问题的方法，培养学生合作交流的意识和探索精神。
教学重难点 重点：利用数形结合的思想估计一元二次方程近似解。 难点：用逼近法求一元二次方程近似解。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
复习回顾，导入新课 师生活动：教师提出问题，学生思考回答。 若方程ax2+bx+c=0的根为x1=﹣2和x2=3，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是 。 学生：y=ax2+bx+c的图象与x轴交点坐标是（﹣2，0），（3，0）。 2.二次函数的图象如图所示，则一元二次方程x2+2x=0的解为 。 一元二次方程x2+2x=0的解为x1=﹣2，x2=0。 教师：通过上节课的学习，我们能够根据二次函数与一元二次方程的关系，通过解方程确定二次函数图象与x轴交点的坐标，同时也能根据二次函数图象与x轴交点的横坐标得到一元二次方程的根。 同学们有没有发现，我们上节课遇到的二次函数图象与x轴交点的横坐标都是一个很明确的整数，所以我们能很轻易的通过交点横坐标得到对应方程的解。 有没有同学思考过，如果交点的横坐标不再是一个很明确的数，那么我们还能通过函数图象去确定对应方程的解吗？ 今天这节课，我们就一块儿探究下这个问题。（板书课题：二次函数与一元二次方程 第2课时） 由上节课所学的通过二次函数图象与x轴交点的横坐标得出对应方程的解，引发学生思考：如果二次函数图象与x轴交点的横坐标不再是一个很明确的整数，我们还能通过函数图象得到对应方程的根吗？进而引出本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 你能利用二次函数的图象估计一元二次方程 x2 +2x-10=0 的根吗？（多媒体呈现） 教师：观察二次函数的图象，很明显抛物线y= x2 +2x-10与x轴有几个交点？ 学生：两个。 教师：所以一元二次方程x2 +2x-10=0应该有几个根？ 学生：两个。 教师：此时你能根据函数图象确定一元二次方程x2 +2x-10=0的根是多少吗？ 学生：不能。 教师：但我们通过图象，可以确定一元二次方程x2 +2x-10=0的两个根分别在哪两个数之间。 学生：一个根在-5和-4之间，一个根在2和3之间。 教师：根据函数图象，在-5和-4之间的根，我们可不可以进一步精确下，这个根是在-5和-4.5之间还是在-4.5和-4之间？ 学生：通过计算发现，当x=4.5时，函数值y=1.25>0，又因为当x=-5时，y>0，当x=-4时，y<0,函数图象在-5＜x＜-4时，是连续递减的，所以图象与x轴的交点在-4.5和-4之间。 教师：很棒的思路，那你根据图象还可以进一步精确下这个根的取值吗？精确到十分位即可，可以借用计算器。 学生：当x=-4.4时，y=0.56，当x=-4.3时，y=-0.11，所以，这个根在-4.3到-4.4之间，又因为x=-4.35时，y=0.222 5，即根在-4.35到-4.3之间，四舍五入，这个根的近似取值为4.3。 教师：非常好，x=4.3即为方程的一个近似根。（教师可利用几何画板等工具，通过放大图象等方法，直观地展示x，y的每一组取值） 我们在取自变量的值进行计算时，可以不断取范围中间的数，比如-5到-4之间，我们先取-4.5，再取-4.3；也可以按顺序取值，比如-5到-4之间，我们按-4.1，-4.2，-4.3的顺序取值，都可以。基本原则是根据图象，找到对应函数值分别为一正一负的两个差值尽可能小的自变量的值，进而确定方程的近似根。 教师：请同学们按照同样的方法，求一下方程另一个近似根。 学生：当x=2.5时，y=1.25，所以2＜x＜2.5; 当x=2.3时，y=-0.11,所以2.3＜x＜2.5; 当x=2.4时，y=0.56,所以2.3＜x＜2.4; 当x=2.35时，y=0.222 5,所以2.3＜x＜2.35; 所以，方程的另一个近似根为2.3。 教师：那么我们通过图象法得到的方程的根是否准确呢，可以通过什么方法验证一下？ 学生：可以通过一元二次方程的求根公式验证，由求根公式可得x=，即x1≈﹣4.3，x2≈2.3，所以通过图象法得到的方程的近似根是准确的。 【归纳总结】 师生活动：教师提出问题，学生思考交流讨论回答。 教师：通过二次函数的图象估计一元二次方程的近似根的一般步骤是什么？ 学生：作出对应的二次函数图象——通过二次函数图象与x轴交点的位置估计方程近似根的大致范围——通过计算缩小方程近似根的取值范围，得到符合精确度的取值。 【拓展提升】 请根据图象求一元二次方程x2+2x－10=3的近似根。（多媒体呈现） 师生活动：教师提出问题，学生思考交流讨论回答。 学生：由x2+2x－10=3可得x2+2x－13=0， x-4.9-4.8-4.7-4.75y1.210.44-0.310.062 5
x2.72.82.75y-0.310.440.062 5
所以，一元二次方程x2+2x－10=3的两个近似根是-4.7和2.7。 教师：如图，如果将函数图象换为函数y=x2+2x－10的图象，同学们还能求出一元二次方程x2+2x－10=3的近似根吗？ 学生：可以。因为一元二次方程x2+2x－10=3的解为直线y=3与抛物线y=x2+2x－10交点的横坐标，所以，过点（0，3）作直线AB⊥y轴，再分别过点A，B作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，则点C，D的横坐标即为方程的解。 x-4.9-4.8-4.7-4.75y4.213.442.693.062 5
因为x=-4.7时，y的值更接近3，所以方程x2+2x－10=3的一个近似根为-4.7。 x2.72.82.75y2.693.443.062 5
因为x=2.7时，y的值更接近3，所以方程x2+2x－10=3的一个近似根为2.7。 综上，方程x2+2x－10=3的近似根为-4.7和2.7。
3.学以致用，应用新知 考点 利用二次函数图象估计一元二次方程的近似根 P55 随堂练习 【变式训练】 x……22.12.22.32.4……y……﹣1﹣0.390.240.891.56……
如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣9中，x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣9＝0的一个近似解（精确到0.1）为（ ） A．﹣4 B．2.2 C．﹣4.2 D．﹣4.3 答案：B 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。
4.随堂训练，巩固新知 1．我们可以用二次函数y＝x2+3x﹣3的图象（如图所示）估计一元二次方程x2+3x﹣3＝0的根的情况，由图象可知x2+3x﹣3＝0有1个根在﹣4和﹣3之间，另一个根在0和1之间，体现的数学思想主要是（ ） A．数形结合思想 B．方程思想 C．转化思想 D．分类思想 答案：A 2. 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中，自变量x与函数y的对应值如下表： x…﹣2﹣101234…y…m﹣4.5m﹣2m﹣0.5mm﹣0.5m﹣2m﹣4.5…
若1＜m＜1.5，则下面叙述正确的是（ ） A．该函数图象开口向上 B．该函数图象与y轴的交点在x轴的下方 C．对称轴是直线x＝m D．若x1是方程ax2+bx+c＝0的正数解，则2＜x1＜3 答案：D 3. 一元二次方程2x2﹣x﹣2＝0的近似根可以看做是下列哪两个函数图象交点的横坐标（ ） A．y＝2x2和y＝x+2 B．y＝2x2和y＝﹣x﹣2 C．y＝﹣2x2和y＝x+2 D．y＝﹣2x2和y＝﹣x+2 答案：A 已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为直线x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，则下列说法正确的是（ ） A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．ab＞0 答案：B 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 经历探索用二次函数图象求解一元二次方程近似解的过程。 能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：P57 习题2.11。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 二次函数与一元二次方程（第2课时）根据二次函数图象估计一元二次方程的近似解教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本课时内容在以往的教学中往往容易一带而过，以练代讲，但是这样的教学处理重结果，轻过程，学生无法体验到近似根的探索过程，特别是在计算器计算机盛行的时代，学生对近似根的求解往往不清楚。为此本节课以问题的形式引导学生参与研究，在经历和体验中总结方法，进而理解问题的本质。 同时课件以及几何画板的使用也使得学生能够更为直观地观察方程近似解的求解过程。 反思，更进一步提升。