3.3 垂径定理 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 3.3 垂径定理 教学设计（表格式）北师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 219.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-07-23 22:00:22 | ||
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文档简介
3 垂径定理
课题 圆的对称性 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P74-77
教学目标 探索并证明垂径定理，发展推理能力。
教学重难点 重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及运用垂径定理及其逆定理解决有关问题。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 同学们知道赵州桥吗？1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，同学们知道桥拱所在圆的半径是多少吗？想不想知道？ 师生活动：利用多媒体播放赵州桥相关视频、图片，让学生体会古代人们设计桥梁的技术与智慧，教师引出课题。 通过今天这节课的学习，我们来探究圆的对称性。（板书课题：垂径定理） 以石拱桥为背景，创设情境，让学生领略古人建造石拱桥的智慧，渗透数学与生活息息相关的思想，引出本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】探索垂径定理 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。（多媒体呈现） （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 教师活动：提出问题，教师引导学生总结出垂径定理。 学生活动：然后交流讨论，学生代表回答。 学生：（1）是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线。 （2）等量关系有OC=OD，∠AMO=∠BMO=∠AMC=∠BMC=90°，AM=BM，=，=。 理由：因为OC，OD都是圆的半径，所以OC=OD； 因为CD⊥AB，所以∠AMO=∠BMO=∠AMC=∠BMC=90°； 通过折叠发现AM=BM，=，=。 教师：同学们，还有其他方法说明AM=BM，=，=吗？ 学生：连接OA，OB，则OA=OB。 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM=ON，∴Rt△OAM≌Rt△OBM。 ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC。∴=。 ∵∠AOD=180°－∠AOC，∠BOD=180°－∠BOC， ∴∠AOD=∠BOD。 ∴=。 教师：同学们，这里的弦AB可以是直径吗？ 学生：可以是直径，当AB是直径时，∠AOC=∠BOC=∠AOD=∠BOD=90°，所以===。 教师：同学们可以把圆的这种性质通过文字语言表述出来吗？ 学生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 教师活动：板书或多媒体呈现垂径定理。 【探究2】垂径定理逆定理 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由。（多媒体呈现） 学生活动：思考交流讨论，模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，然后板演展示。 教师活动：巡视指导，在学生回答基础上引导学生提炼并总结出垂径定理的逆定理。 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 教师追问：为什么这里被平分的弦不可以是直径？ 学生：因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。 例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图,点O是所在圆的圆心），其中CD=600 m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径。 解：连接OC。设弯路的半径为R m，则OF=（R－90）m。 ∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300（m）。 在Rt△OCF中，根据勾股定理，得 OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R－90）2。 解这个方程，得R=545。 所以，这段弯路的半径为545 m。 在教师引导下探究垂径定理，培养学生独立探究问题和解决问题的能力，在发现结论和说理的过程中，训练学生的总结归纳能力和推理论证能力，体会研究图形的多种方法。
3.学以致用，应用新知 考点 垂径定理及其推论 随堂练习 1，2 【变式训练】 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是（ ） A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5 答案：D 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。
4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，交AB于点E，若，则BE的长为（ ） A． B．6 C． D．8 答案：B 2. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 3．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A． B．4 C． D．5 答案：D 4. 如图，AC是⊙O的直径，BD⊥AC，连接AB，OB，OD，作DE∥AB交⊙O于点E，若AC＝8，BD＝4，则DE的长为 （ ） A．4 B． C．3 D． 答案：B 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为 。 答案：4 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：习题3.3。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 垂径定理垂径定理 垂径定理逆定理教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课通过以石拱桥创设的情景，引发学生解决问题的热情，从而使学生能够积极地投身到课堂的探究活动中。同时本节课的教学策略主要是通过教师引导，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，并在此过程中注重培养学生的逻辑推理能力和语言表达能力。整体而言，本节课充分将课堂还给学生，以学生为主体，进而把数学的课堂变成数学探讨的课堂，学生探究的课堂。 反思，更进一步提升。
课题 圆的对称性 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P74-77
教学目标 探索并证明垂径定理，发展推理能力。
教学重难点 重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。 难点：垂径定理及其逆定理的证明，以及运用垂径定理及其逆定理解决有关问题。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情境，导入新课 同学们知道赵州桥吗？1400年前，我国隋朝建造的赵州石拱桥的桥拱是圆弧形，它的跨度（即弧所对的弦长）为37.4米，拱高（即弧的中点到弦的距离）为7.2米，同学们知道桥拱所在圆的半径是多少吗？想不想知道？ 师生活动：利用多媒体播放赵州桥相关视频、图片，让学生体会古代人们设计桥梁的技术与智慧，教师引出课题。 通过今天这节课的学习，我们来探究圆的对称性。（板书课题：垂径定理） 以石拱桥为背景，创设情境，让学生领略古人建造石拱桥的智慧，渗透数学与生活息息相关的思想，引出本节课课题。
2.实践探究，学习新知 【探究1】探索垂径定理 如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M。（多媒体呈现） （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ （2）你能找出图中有哪些等量关系？说一说你的理由。 教师活动：提出问题，教师引导学生总结出垂径定理。 学生活动：然后交流讨论，学生代表回答。 学生：（1）是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线。 （2）等量关系有OC=OD，∠AMO=∠BMO=∠AMC=∠BMC=90°，AM=BM，=，=。 理由：因为OC，OD都是圆的半径，所以OC=OD； 因为CD⊥AB，所以∠AMO=∠BMO=∠AMC=∠BMC=90°； 通过折叠发现AM=BM，=，=。 教师：同学们，还有其他方法说明AM=BM，=，=吗？ 学生：连接OA，OB，则OA=OB。 在Rt△OAM和Rt△OBM中， ∵OA=OB，OM=ON，∴Rt△OAM≌Rt△OBM。 ∴AM=BM，∠AOC=∠BOC。∴=。 ∵∠AOD=180°－∠AOC，∠BOD=180°－∠BOC， ∴∠AOD=∠BOD。 ∴=。 教师：同学们，这里的弦AB可以是直径吗？ 学生：可以是直径，当AB是直径时，∠AOC=∠BOC=∠AOD=∠BOD=90°，所以===。 教师：同学们可以把圆的这种性质通过文字语言表述出来吗？ 学生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 教师活动：板书或多媒体呈现垂径定理。 【探究2】垂径定理逆定理 如图，AB是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。 （1）该图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）图中有哪些等量关系？说一说你的理由。（多媒体呈现） 学生活动：思考交流讨论，模仿垂径定理的证明过程，自行证明逆定理，然后板演展示。 教师活动：巡视指导，在学生回答基础上引导学生提炼并总结出垂径定理的逆定理。 垂径定理的逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 教师追问：为什么这里被平分的弦不可以是直径？ 学生：因为任意两条直径都互相平分，但不一定垂直。 例 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（即图,点O是所在圆的圆心），其中CD=600 m，E为上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径。 解：连接OC。设弯路的半径为R m，则OF=（R－90）m。 ∵OE⊥CD，∴CF=CD=×600=300（m）。 在Rt△OCF中，根据勾股定理，得 OC2=CF2+OF2，即R2=3002+（R－90）2。 解这个方程，得R=545。 所以，这段弯路的半径为545 m。 在教师引导下探究垂径定理，培养学生独立探究问题和解决问题的能力，在发现结论和说理的过程中，训练学生的总结归纳能力和推理论证能力，体会研究图形的多种方法。
3.学以致用，应用新知 考点 垂径定理及其推论 随堂练习 1，2 【变式训练】 如图，⊙O的半径为5cm，弦AB＝8cm，P是弦AB上的一个动点，则OP的长度范围是（ ） A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5 答案：D 学以致用，通过及时练习，进一步提升学生对新知的理解与运用。
4.随堂训练，巩固新知 1. 如图，AB为⊙O的直径，半径OA的垂直平分线交⊙O于点C，D，交AB于点E，若，则BE的长为（ ） A． B．6 C． D．8 答案：B 2. 如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EB．若AB＝4，CD＝1，则EB的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 答案：B 3．已知⊙O的半径为7，AB是⊙O的弦，点P在弦AB上．若PA＝4，PB＝6，则OP＝（ ） A． B．4 C． D．5 答案：D 4. 如图，AC是⊙O的直径，BD⊥AC，连接AB，OB，OD，作DE∥AB交⊙O于点E，若AC＝8，BD＝4，则DE的长为 （ ） A．4 B． C．3 D． 答案：B 5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝4，BP＝12，∠APC＝30°，则CD的长为 。 答案：4 进一步巩固新知，同时为学生提供自我检测的机会，教师也可针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 教师引导学生畅所欲言地谈谈本节课的收获： 利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。 解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。 通过小结，回顾探索新知识的过程，进一步感悟其中蕴含的数学思想方法，提高学生的概括能力，培养学生良好的回顾和反思的习惯。
6.布置作业 1.书面作业：习题3.3。 让学生所学知识得以运用，在巩固学生知识技能的同时也减轻学生负担。
板书设计 垂径定理垂径定理 垂径定理逆定理教师题目讲解 学生活动区投影区
提纲掣领，重点突出。
教后反思 本节课通过以石拱桥创设的情景，引发学生解决问题的热情，从而使学生能够积极地投身到课堂的探究活动中。同时本节课的教学策略主要是通过教师引导，让学生通过观察、思考、交流等合作活动亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，并在此过程中注重培养学生的逻辑推理能力和语言表达能力。整体而言，本节课充分将课堂还给学生，以学生为主体，进而把数学的课堂变成数学探讨的课堂，学生探究的课堂。 反思，更进一步提升。