人教版2025年七年级上册第2章《有理数的运算》单元检测卷 含解析

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人教版2025年七年级上册第2章《有理数的运算》单元检测卷
满分120分 时间120分钟
学校:___________ 姓名：___________ 班级：___________ 考号：___________
一、选择题（共30分）
1．的倒数是（ ）
A． B．2 C．1 D．
2．若，则□表示的数是（ ）
A．5 B． C． D．
3．从上升了后的温度，在温度计上显示正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．代数式可以表示成（ ）
A．3个相乘 B．个3相乘 C．3个相加 D．个3相加
5．在2025年初的科技界，一款名为DeepSeek的人工智能应用程序异军突起，引发了全球用户的热烈关注．这款应用于1月11日正式上线，仅仅数周时间就迎来了破亿的下载量，显示了其强大的市场吸引力．根据数据分析，自发布至2月9日，DeepSeek的累计下载量已突破亿．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
6．计算：=（ ）
A． B． C． D．
7．下列近似数中，说法正确的是（ ）
A．0.2与0.20精确度相同 B．精确到了十万位
C．精确到了十分位 D．1.2万精确到了万位
8．若与互为相反数，那么的值是（　　）
A． B． C． D．
9．a，b，c三个数在数轴上的位置如图所示，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．为求的值，可令，则，然后，可以得到，则．仿照计算的值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共18分）
11．计算： ．
12．把写成省略括号的和的形式是 ．
13．用科学记数法表示的数的原数为 ．
14．用四舍五入法对取近似数，精确到百分位是 　 　．
15．用定义一种新运算：对于任意有理数和，规定：．例如：．则
16．已知、互为相反数，、互为倒数，且，则代数式的值是 ．
三、解答题（共72分）
17．（8分）计算：
(1)；
(2)．
18．（6分）在计算“”时，嘉淇的做法如图所示．
(1)在上面嘉淇的计算过程中，开始出错的步骤是________(写序号即可)；
(2)在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：同号两数相加，________
(3)请写出该题正确的计算过程和结果．
19．（8分）计算．
(1) (2)
20．（6分）阅读下列材料，并解答问题：
材料一：乘积为1的两个数互为倒数，如和，即若设，则；
材料二：分配律：；
利用上述材料，请用简便方法计算：．
21．（8分）“滴滴”司机沈师傅从上午在东西方向的绿谷大道上营运，共连续运载十批乘客．若规定向东为正，向西为负．沈师傅营运十批乘客里程如下：（单位：千米），，，，，，，，，．
(1)将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面还是西面？距离多少千米？
(2)上午沈师傅开车的平均速度是多少？
22．（8分）对有理数，定义了一种新的运算，叫“乘加法”，记作“”．并按照此运算写出了一些式子：
，，，，，，，......
(1)根据以上式子特点将“乘加法”法则补充完整：同号得正，异号得_______，并把绝对值_______；一个数与0相“乘加”等于_______；
(2)根据法则计算：_______；________；
(3)若括号的作用与它在有理数运算中的作用相同，请计算：．
23．（8分）已知，．
(1)若，求的值；
(2)若，求的值．
24．（10分）念学习：
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”， 写作，读作“的圈4次方”，一般地把 写作a ，读作“a的圈n次方”．
初步探究：
(1)直接写出计算结果：　 　；　 　；
(2)下列关于除方说法中，错误的有　 　；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈n次方等于它本身的数是1或-1．
深入思考：
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
(3)归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：a =　 　；
(4)比较：　 　；（填“＞”“＜”或“=”）
(5)计算：．
25．（10分）在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答下列问题：
【提出问题】三个有理数，，满足，求的值．
【解决问题】
解：由题意，得，，三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．
当，，都是正数，即，，时，则；
当，，中有一个为正数，另两个为负数时，设，，，则．
所以的值为或．
【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：
(1)已知，，且，求的值．
(2)三个有理数，，满足，求的值．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B A B B B A C D
1．D
【分析】本题考查倒数的概念．倒数是指乘积为1的两个数，求一个数的倒数只需将其分子和分母交换位置，并保持符号不变．
根据倒数的定义进行求解即可．
【详解】解： 的倒数是，
故选：D．
2．B
【分析】本题主要考查了有理数的加法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据加法运算的法则进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了有理数的加法的应用，根据题意计算得出，找到显示为的即可求解．
【详解】解：
故选：B．
4．A
【分析】本题主要考查了乘方运算的概念．将化为，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴可以表示成3个相乘，
故选：A．
5．B
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．将亿用科学记数法表示即可．
【详解】解：亿，
故选：B．
6．B
【分析】本题考查了有理数的简便运算，
将原式中的项两两分组，利用每组的计算结果简化求和．
【详解】解：
=
故选B．
7．B
【分析】本题考查近似数的精确度判断，需根据各选项还原数值并确定其最后一位有效数字所在的数位；根据题目要求逐项判断即可．
【详解】A. 0.2精确到十分位，0.20精确到百分位，精确度不同，错误；
B. 还原为10,700,000，末位7位于十万位，故精确到十万位，正确；
C. 还原为1100，末位0位于十位，精确到十位，而非十分位，错误；
D. 1.2万还原为12000，末位2位于千位，精确到千位，而非万位，错误；
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了绝对值非负性，相反数，有理数加法等知识点的应用，由与互为相反数得，求出的值，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵与互为相反数，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
故选：．
9．C
【分析】本题考查了数轴、有理数的加法，熟练掌握数轴的性质是解题关键．先根据数轴的性质可得，，再根据有理数的加法法则逐项判断即可得．
【详解】解：由数轴可知，，．
A、，则此项正确，不符合题意；
B、，则此项正确，不符合题意；
C、，则此项不正确，符合题意；
D、，则此项正确，不符合题意；
故选：C．
10．D
【分析】本题考查的是有理数的混合运算的规律探究并应用，通过错位相减法求解，题目给出仿照例子，需构造类似方法计算．
【详解】解：令，两边同乘5，得：
将两式相减：
右边展开后，中间项全部抵消，仅剩，左边化简为，即：
，
解得：；
故选：D
11．6
【分析】本题主要考查了有理数的减法计算，求一个数的绝对值，先计算绝对值，再根据减去一个数等于加上这个数的相反数求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查了有理数的加减，属于应知应会题型，掌握有理数的加减运算法则是解题的关键；
根据有理数的加减运算法则解答即可．
【详解】解：把写成省略括号的和的形式是；
故答案为：．
13．202400
【分析】本题考查科学记数法，解题的关键是掌握用科学记数法表示数的方法．将小数点往右移5位即可得到原数．
【详解】解：
故答案为：202400．
14．
【分析】本题考查了近似数，注意按精确度得到的近似数末尾的0不能任意舍去．由精确度知，根据千分位的数“四舍五入”即可．
【详解】解：（精确到百分位）．
故答案为：．
15．
【分析】此题考查有理数的混合运算，要熟练掌握混合运算顺序是解题的关键．根据新定义进行计算即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：．
16．0
【分析】
此题考查了有理数的混合运算，代数式求值，相反数，倒数，以及绝对值，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．利用相反数，倒数，绝对值定义求出，及的值，将各自的值代入计算即可求出值．
【详解】解：根据题意的，，，
原式
；
故答案为：0．
17．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了有理数的加减混合运算．
（1）先去括号，再计算减法即可；
（2）先去括号，再根据交换律分别计算，最后计算加法即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．(1)②
(2)取加数的符号，再把绝对值相加；
(3)；过程见解析；
【分析】（1）根据有理数的加减法运算法则，即可求解；
（2）根据有理数加法运算法则进行计算，即可求解．
（3）根据有理数的加减运算进行计算即可求解．
【详解】（1）解：在上面嘉淇的计算过程中，开始出错的步骤是②；
故答案为：②
（2）在（1）中开始出错的步骤，应依据的正确运算法则是：同号两数相加，取加数的符号，再把绝对值相加；
故答案为：取加数的符号，再把绝对值相加；．
（3）解：该题正确的计算如下：
【点睛】本题考查有理数的加减运算，掌握有理数加减运算法则（同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．异号两数相加，绝对值相等时，和为零；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加仍得这个数．减去一个数，等于加上这个数的相反数）是解题关键．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键，
（1）先利用负数指数幂的运算法则化简，再进行计算即可得到答案；
（2）先利用乘法分配律，再利用整式加减法运算法则计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
20．
【分析】设，，先求得的值，再由倒数关系即可解答；
【详解】解：设，，
，
∵和互为倒数，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了倒数，乘法分配律，有理数的混合运算；当较难计算而较易计算时，可以利用倒数关系来简化运算．
21．(1)沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米
(2)千米小时
【分析】本题考查正负数的意义，有理数加法的实际应用，绝对值，熟练掌握正负数的意义是解题的关键；
（1）根据题意，列式计算即可求解；
（2）计算沈师傅每段行驶路程的绝对值之和，进而求解速度即可求解；
【详解】（1）解：根据题意可得：（千米）；
答：将最后一批乘客送到目的地时，沈师傅距离第一批乘客出发地的东面，距离千米；
（2）解：由题意得：（千米），
上午沈师傅开车的时间为小时分钟，
，
故沈师傅开车的时间为小时，
（千米小时）；
上午沈师傅开车的平均速度是千米小时；
22．(1)负，相加，这个数的绝对值
(2)，
(3)
【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是根据新定义的运算对式子进行计算．
（1）根据新的运算，对照式子直接写出答案即可；
（2）根据新的运算，写出运算的式子，再计算出结果即可；
（3）根据新的运算先分别算出和，再计算出即可．
【详解】（1）解：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；一个数与0相“乘加”等于这个数的绝对值，
故答案为：负，相加，这个数的绝对值；
（2）解：，
，
故答案为：，；
（3）解：
．
23．(1)的值是
(2)的值是
【分析】本题考查了代数式求值，涉及绝对值的意义，有理数的运算，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由得，得，则，或，，再代入求值即可；
（2）直接代入求值即可．
【详解】（1）解：因为，所以．
因为，所以．
因为，所以x，y异号，
所以，或，．
当，时，；
当，时，．
所以的值是．
（2）解：因为，，且，
所以，或，，
所以的值是．
24．(1)1，-3
(2)D
(3)
(4)
(5)
【分析】（1）利用a的圈n次方的意义，进行计算即可解答；
（2）利用a的圈n次方的意义，逐一判断即可解答；
（3）仿照上边的例题，把有理数的除方运算转化为乘方运算，进行计算即可解答；
（4）利用（3）的结论，进行计算即可解答；
（5）先算除方，再算乘除，后算加减，即可解答；
【详解】（1）；
；
故答案为：1；；
（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，故A不符合题意；
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，故B不符合题意；
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C不符合题意；
D．圈n次方等于它本身的数是1，的圈偶数次方等于1，的圈奇数次等于，故D符合题意；
故选：D；
（3）a ，
故答案为：；
（4）∵，，
∴，
故答案为：；
（5）
【点睛】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确新定义的内容，计算出所求式子的值．
25．(1)或；
(2)或．
【分析】（）仿照题目给出的思路和方法即可求解；
（）根据绝对值的意义分当，，都为负数，当，，中有一个为负数，另两个为正数时进行分析即可；
本题考查了绝对值的意义及有理数加减运算，正确理解绝对值的意义是解题的关键．
【详解】（1）解：因为，，且，
所以，或，
则或；
（2）解：因为，
所以，，都为负数或其中一个为负数，另两个为正数，
当，，都为负数，即，，时，
则原式=；
当，，中有一个为负数，另两个为正数时，设，，，
则原式，
综上所述，的值为或．