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第4章因式分解 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 宝安区期末）多项式的公因式是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据公因式的定义确定即可．
【解答】解：多项式的公因式是，
故选：．
2．（2025春 榆次区期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可．
【解答】解：是乘法运算，则不符合题意，
中不是整式，则不符合题意，
符合因式分解的定义，则符合题意，
中等号右边不是积的形式，则不符合题意，
故选：．
3．（2025春 金华期末）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】将各式因式分解后进行判断即可．
【解答】解：，则符合题意，
不能用平方差公式分解因式，则不符合题意，
不能用平方差公式分解因式，则不符合题意，
不能用平方差公式分解因式，则不符合题意，
故选：．
4．（2024春 覃塘区期中）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】
【分析】分别分析各选项中的代数式，能因式分解的先进行因式分解，再确定没有公因式的选项即可．
【解答】解：与没有公因式，选项符合题意；
与的公因式为，选项不符合题意；
与的公因式为，选项不符合题意；
与的公因式为，选项不符合题意．
故选：．
5．（2025春 渭滨区期末）若是一个完全平方式，则的值为
A．44 B．22 C．22或 D．44或
【答案】
【分析】由题意知，，则，计算求解即可．
【解答】解：由题意知，
，
，
解得：．
故选：．
6．（2025春 灵武市期末）如图，边长为，的长方形的周长为10，面积为6，则的值为
A．60 B．30 C．24 D．15
【答案】
【分析】先由题意得到，，再将提公因式分解因式，将，代入求解即可得到答案．
【解答】解：由条件可知，，
，
故选：．
7．（2025春 滕州市校级月考）把多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】的公因式为，提取公因式后化简即可．
【解答】解：
．
故选：．
8．（2025 太和县三模）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】将各式利用公式法因式分解后进行判断即可．
【解答】解：是乘法运算，则不符合题意，
，则不符合题意，
，则符合题意，
无法在实数范围内因式分解，则不符合题意，
故选：．
9．（2025春 长安区期末）在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下：
嘉嘉：添加，得到；
琪琪：添加，得到．
则下列判断正确的是
A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确
C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉嘉和琪琪的做法都不正确
【答案】
【分析】根据题干中的因式分解的过程进行判断即可．
【解答】解：嘉嘉添加，可以运用完全平方公式分解因式，
琪琪添加，可以运用完全平方公式分解因式，
那么嘉嘉和琪琪的做法都正确，
故选：．
10．（2025春 义乌市校级期中）聪明的你请思考下列问题，其中正确的有
①已知多项式是完全平方式，则常数；
②若，，则用含的代数式表示；
③若，则满足条件的值有3个；
④若，，则的值为9；
⑤已知，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】
【分析】利用完全平方式的特征，有理数的乘方法则，幂的乘方与积的乘方的运算性质，零指数幂的意义对每个结论进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：多项式是完全平方式，
常数，
①的结论错误；
，
，
，
．
②的结论正确；
，则满足条件的值有0，2，，
③的结论正确；
若，，
，
的值为．
④的结论错误；
设，则，，
，
，
，
，
．
⑤的结论错误．
正确的结论有：②③．
故选：．
二．填空题（共6小题）
11．（2025 潮阳区模拟）分解因式： ．
【分析】直接提取公因式法，进而分解因式得出答案．
【解答】解：原式．
故答案为：．
12．（2024春 汝城县期中）如果把多项式分解因式得，那么 ， ．
【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得、的值．
【解答】解：分解因式得，得
．
，．
解得，，
故答案为：，2．
13．（2024秋 三门峡期末）在括号内填入适当的单项式，使多项式 能因式分解，则括号内的单项式可以是 ．（填一种即可）
【答案】．
【分析】根据题意，多项式 ，当括号内的单项式为时，因式分解为：，进行解答即可．
【解答】解：当括号内的单项式为时，
．
故答案为：．
14．（2025 德阳模拟）已知，则 1 ， ．
【分析】根据完全平方公式，可得非负数的和为零，再根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零．
【解答】解：原方程等价于，
得，
解得．
故答案为：1，4．
15．（2025春 埇桥区期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是■，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则■处所对应的数是 6或 （写出所有可能的值）．
【答案】6或．
【分析】根据完全平方公式即可得出答案．
【解答】解：，
■，
■处所对应的数是6或，
故答案为：6或．
16．（2025 二道区校级开学）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立；③若，则；④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的有 ①②③ ．
【答案】①②③．
【分析】①将代入，故①正确，②利用平方的非负性，即可得，故②正确，③若，则，等式两边同时除以，再两边同时平方，即可得，故③正确，④根据完全平方公式可知，若为完全平方式，则，或，或，故④错误．
【解答】解：①当时，，故正确；
②，
，
恒成立，
故②正确；
③若，则，
可得，
，
，即，
故③正确；
④若为完全平方式，
则，或，
或或，
故④错误；
故答案为：①②③．
三．解答题（共8小题）
17．（2024 滨城区校级开学）因式分解．
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）提取公因式法解答即可．
（2）公式法解答即可．
【解答】解：（1）
．
（2）
．
18．（2024秋 徐汇区校级期中）已知，且满足．
（1）求的值；
（2）求，的值．
【答案】（1）2；
（2）34；．
【分析】（1）先利用提公因式结合已知条件得出，即可得解；
（2）根据即可求解；根据及平方根的定义即可求解．
【解答】解：（1），
，
，
，
，
；
（2）；
，
．
19．（2025春 桥西区期中）填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式□能因式分解．
（1）若在“□”内填入，分解因式：□；
（2）若在“□”内填入不超过10的整数，使□能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式．
【答案】（1）；
（2）2种；（答案不唯一）．
【分析】（1）根据题意提取公因式进行因式分解即可；
（2）根据因式分解的意义判断并选择一种进行因式分解即可．
【解答】解：（1）由题意得；
（2）由题意得有2种填法，可填2或8，
当时，
．
20．（2024 永修县二模）数学老师布置了一道数学题：化简．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
解：原式 解：原式
（1）对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是 ．
．甲是整式的乘法，乙是因式分解 ．甲、乙都是整式的乘法
．甲是因式分解，乙是整式的乘法 ．甲、乙都是因式分解
（2）请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程．
【答案】（1）；
（2）见解析．
【分析】（1）根据因式分解的概念和整式的化简，即可解答；
（2）按照整式的化简，将过程补充完整即可．
【解答】解：（1），为整式的乘法；
，为因式分解，
故选：；
（2）选择甲同学的解法：
原式．
选择乙同学的解法：
原式．
21．（2024秋 通许县期中）阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
（1）；
（2）．
【分析】（1）直接利用例题进行补项，进而分解因式得出答案．
（2）将分解成和，利用完全平方和平方差公式分解即可．
【解答】解：（1）（1）
；
（2）
22．（2022春 市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
（1）上述分解因式的方法是 提公因式法 ，共用了 次．
（2）若分解，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：为正整数）．
【答案】（1）提公因式法，2；
（2）；
（3）．
【分析】（1）利用提公因式法，进行分解即可解答；
（2）仿照已知的计算过程，即可解答；
（3）仿照已知的计算过程，即可解答．
【解答】解：（1）上述分解因式的方法是提公因式法，共用了2次，
故答案为：提公因式法，2；
（2），
则需要用上述方法2021次，结果是，
故答案为：；
（3）为正整数）
．
．
23．（2023秋 奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出、的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．
（1）上述式子中 ， ；
（2）对于一元多项式，必定有 ；
（3）请你用“试根法”分解因式：．
【答案】（1）；；
（2）；
（3）．
【分析】（1）将运算并整理后得到关于，的方程，解方程即可；
（2）根据题意即可求得答案；
（3）根据因式分解的意义及（2）中所求即可求得答案．
【解答】解：（1）
，
，，
则，，
故答案为：；；
（2）多项式的奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，
则，
故答案为：；
（3）由（2）可知因式分解后必有因式，
设，
则
，
则，，
即，，
．
24．（2025春 福田区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片 3 张．
（2）根据所学知识，解决如下问题：
已知：，，的值为 ；
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果满足，求的值，怎么解决呢？ 小英给出了如下两种方法： 方法1：设，，则，， ． 方法 ， ， ， ．
任务：（3）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若，求的值．
（4）如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，则图中阴影部分的面积和为 ．
【答案】（1）3；
（2）12；
（3）；
（4）144．
【分析】（1）计算即可；
（2）利用进行计算即可；
（3）利用题目所提供的两种方法进行计算即可；
（4）由题意得，，，设，，可得，，由进行计算即可．
【解答】解：（1），
要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片3张，
故答案为：3；
（2），
，
即，
，
，
，
故答案为：12；
（3）方法1：设，，则，，
，即，
，
即；
方法
（4），
，
即，
；
（4）由题意得，，，
设，，则，，
，
故答案为：144．中小学教育资源及组卷应用平台
第4章因式分解 单元培优测试卷
一．选择题（共10小题）
1．（2025春 宝安区期末）多项式的公因式是
A． B． C． D．
2．（2025春 榆次区期末）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是
A． B．
C． D．
3．（2025春 金华期末）下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是
A． B． C． D．
4．（2024春 覃塘区期中）下列各组中的两个多项式，没有公因式的是
A．与 B．与
C．与 D．与
5．（2025春 渭滨区期末）若是一个完全平方式，则的值为
A．44 B．22 C．22或 D．44或
6．（2025春 灵武市期末）如图，边长为，的长方形的周长为10，面积为6，则的值为
A．60 B．30 C．24 D．15
7．（2025春 滕州市校级月考）把多项式分解因式，提公因式后，另一个因式是
A． B． C． D．
8．（2025 太和县三模）下列因式分解正确的是
A． B．
C． D．
9．（2025春 长安区期末）在多项式中添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式分解因式，嘉嘉和琪琪的做法如下：
嘉嘉：添加，得到；
琪琪：添加，得到．
则下列判断正确的是
A．只有嘉嘉的做法正确 B．只有琪琪的做法正确
C．嘉嘉和琪琪的做法都正确 D．嘉嘉和琪琪的做法都不正确
10．（2025春 义乌市校级期中）聪明的你请思考下列问题，其中正确的有
①已知多项式是完全平方式，则常数；
②若，，则用含的代数式表示；
③若，则满足条件的值有3个；
④若，，则的值为9；
⑤已知，则．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题）
11．（2025 潮阳区模拟）分解因式： ．
12．（2024春 汝城县期中）如果把多项式分解因式得，那么 ， ．
13．（2024秋 三门峡期末）在括号内填入适当的单项式，使多项式 能因式分解，则括号内的单项式可以是 ．（填一种即可）
14．（2025 德阳模拟）已知，则 ， ．
15．（2025春 埇桥区期中）小兰在计算一个二项式的平方时，得到的正确结果是■，但中间项的某一部分不慎被墨汁污染了，则■处所对应的数是 （写出所有可能的值）．
16．（2025 二道区校级开学）我们经常利用完全平方公式以及变形公式进行代数式变形．已知关于的代数式，请结合你所学知识，判断下列说法：①当时，；②无论取任何实数，不等式恒成立；③若，则；④若是含有字母的代数式，且为完全平方式，则或．其中正确的有 ．
三．解答题（共8小题）
17．（2024 滨城区校级开学）因式分解．
（1）；
（2）．
18．（2024秋 徐汇区校级期中）已知，且满足．
（1）求的值；
（2）求，的值．
19．（2025春 桥西区期中）填式游戏：在“□”内填入适当的单项式，使多项式□能因式分解．
（1）若在“□”内填入，分解因式：□；
（2）若在“□”内填入不超过10的整数，使□能在有理数范围内因式分解，共有几种填法？请选择一种进行分解因式．
20．（2024 永修县二模）数学老师布置了一道数学题：化简．下面是甲、乙两位同学的部分运算过程：
解：原式 解：原式
（1）对于甲、乙同学的第一步计算，表述正确的是 ．
．甲是整式的乘法，乙是因式分解 ．甲、乙都是整式的乘法
．甲是因式分解，乙是整式的乘法 ．甲、乙都是因式分解
（2）请选择其中一位同学的解法，写出完整的解答过程．
21．（2024秋 通许县期中）阅读下列解题的过程．
分解因式：
解：
请按照上述解题思路完成下列因式分解：
（1）；
（2）．
22．（2022春 市中区期末）阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
（1）上述分解因式的方法是 ，共用了 次．
（2）若分解，则结果是 ．
（3）依照上述方法分解因式：为正整数）．
23．（2023秋 奉贤区期中）阅读下列材料，然后解答问题：
问题：分解因式：
解答：对于任意一元多项式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则（1）．在中，因为，，所以把代入多项式，得其值为0，由此确定多项式中有因式，于是可设，分别求出、的值，再代入，就容易分解多项式，这种分解因式的方法叫做“试根法”．
（1）上述式子中 ， ；
（2）对于一元多项式，必定有 ；
（3）请你用“试根法”分解因式：．
24．（2025春 福田区校级期末）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形．
（1）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片1张，号卡片2张，号卡片 张．
（2）根据所学知识，解决如下问题：
已知：，，的值为 ；
小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果满足，求的值，怎么解决呢？ 小英给出了如下两种方法： 方法1：设，，则，， ． 方法 ， ， ， ．
任务：（3）请你用材料中两种方法中的一种解答问题：若，求的值．
（4）如图，在长方形中，，，，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40，则图中阴影部分的面积和为 ．
