初中数学人教版九年级上册 21.2.3 公式法 课件（16张PPT）

(共16张PPT)
第21章 一元二次方程 授课：骆老师
21.2.1
直接开平方法
第21章 一元二次方程
21.2.3
公式法
授课：
时间：
有趣的挑战
解方程5x2＋4x－1＝0.
(1) 配方法解一元二次方程步骤是什么？
移项
二次项系数化为1
配完全平方
降次求根
(2) 比一比, 看谁解得最快
有趣的挑战
解方程5x2＋4x－1＝0.
解: 移项可得: ,
二次项系数化为1： ,
等式左右两边: ＝,
配成完全平方形式: ,
根据平方根的意义降次: ,
解得 .
问题思考
解关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
解: 移项可得: ,
二次项系数化为1： ,
等式左右两边: ＝,
配成完全平方形式: .
探索新知
ax2＋bx＋c＝0
配成完全平方形式
(1) 知识回顾: 如何解(x＋n)2＝p
①当p>0时, 方程有两个不相等的实数根, x1＝, x2＝;
②当p＝0时, 方程有两个相等的实数根, x1＝x2＝－n;
③当p<0时, 方程无实数根.
(2) 如何解 ？
需要对的值进行分类讨论,但,∴只需要对b2-4ac的值讨论.
探索新知
ax2＋bx＋c＝0
配成完全平方形式
(2) 如何解 ？
①当b2－4ac>0时, 方程有两个不相等的实数根;
②当b2－4ac＝0时, 方程有两个相等的实数根;
③当b2－4ac<0时, 方程无实数根.
一般地,式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式.
通常用希腊字母“△”表示, 即△＝b2－4ac.
归纳总结
一般地,式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式.
通常用希腊字母“△”表示, 即△＝b2－4ac.
ax2＋bx＋c＝0
配成完全平方形式
根的判别式：△=
①当△ > 0时, 方程有两个不相等的实数根;
②当△ ＝ 0时, 方程有两个相等的实数根;
③当△ < 0时, 方程无实数根.
典例精析
例1.判断下列方程是否有实数根
(1) 5x2＋4x－1＝0;
(2) 2x2＋3＝4x;
解: a＝5,b＝4,c＝－1,
∵△＝42－4×5×(－1)＝36>0,
∴方程有两个不相等的实数根.
解: a＝2,b＝－4,c＝3,
∵△＝(－4)2－4×2×3＝－8<0,
∴方程无实数根.
(1)在使用根的判别式时，我们需要注意什么？
使用根的判别式前一定要先把一元二次方程变为一般形式.
如果一元二次方程有实数根, 那么应包括相等或不相等两种情况,
∴△≥0.
(2)若一元二次方程有实数根, 则△的取值范围是
小试锋芒
练习1.若关于x的方程x2＋6x＋c＝0有两个相等的实数根, 则c的值是( ).
A. 36 B. 36 C. 9 D. 9
练习2.已知x2 x＋m＝0有实数根, 则m的取值范围是_____.
C
m≤3
典例精析
例2.求证: 关于x的方程x2 4mx＋4m2 9＝0总有两个不相等的实数根.
解: ∵△＝(－4m)2－4×1×(4m2－9)＝36>0,
∴方程总有两个不相等的实数根.
练习3.已知关于x的方程.
求证: 无论k取何值, 这个方程总有实数根.
解: ∵△＝ ≥0,
∴无论k取何值,方程总有实数根.
根的判别式：△=
①当△ > 0时, 方程有两个不相等的实数根,
即 ;
②当△ ＝ 0时, 方程有两个相等的实数根,
即 ;
③当△ < 0时, 方程无实数根.
∴ ,
进一步探索
ax2＋bx＋c＝0
配成完全平方形式
∴ ,
当△≥0时, x＝叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式.
典例精析
例3.解下列方程.
(1)5x2＋4x－1＝0;
(2)2x2＋3＝4x.
解: a＝5,b＝4,c＝－1,
∵△＝42－4×5×(－1)＝36>0,
∴
即 , .
解: a＝2,b＝－4,c＝3,
∵△＝(－4)2－4×2×3＝－8<0,
∴该方程无实数根.
练习4.解下列方程.
(1)x2－4x－7＝0;
(2)2x2＋1＝2x.
解: , .
解: .
问题思考
(1)这个方程的根是由_________确定；
(2)利用求根公式解一元二次方程的步骤是什么？
已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
系数a,b,c
①先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0;
②利用根的判别式判断根的情况;
③如果△≥0, 则将a,b,c代入求根公式求解.
利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
由配方法
推导得出.
典例精析
例4.关于x的一元二次方程x2 2mx＋(m 1)2＝0有两个相等的实数根.
(1)如何求m的值
解: △＝ (－2m)2－4(m－1)2＝8m－4
由题意得8m－4＝0
解得
(2)求这个方程的解.
解: 将代入得,
由(1)得△=0，
∴ .
小试锋芒
练习5.已知关于x的一元二次方程(m 1)x2＋2x＋2＝0有两个不相等的实数根.
(1)求m的取值范围;
(2)当m取满足条件的最大整数时, 求方程的根.
答案: (1)且;
(2) m＝0, 解得
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