第一章 动量与动量守恒定律
5 碰撞
基础过关练
题组一 碰撞的特点和分类
1.下列关于碰撞的说法不正确的是 ( )
A.弹性碰撞是一个理想化模型
B.两个小球碰撞过程作用时间极短,内力远远大于外力,故两小球组成的系统动量守恒
C.两个刚性球发生弹性碰撞,碰撞过程中任何时刻两刚性球的总动能都守恒
D.发生完全非弹性碰撞的两个物体,系统损失的机械能都转化成了内能
2.如图所示,甲、乙两人穿着同款充气服走起路来有些控制不好平衡,在极短时间内发生了一维直线碰撞。若甲的质量为m,乙的质量为3m,且以相同的速率v在光滑水平面上发生相向碰撞,碰撞后乙静止不动,则这次碰撞 ( )
A.属于完全非弹性碰撞
B.属于弹性碰撞
C.总动能全部转化为内能
D.碰撞后甲的速度大小为4v
3.质量为0.5 kg的甲物块静止在水平面上,质量为1 kg的乙物块在水平面上以一定的初速度向甲滑去并与甲发生正碰后,两者粘在一起,碰撞过程甲物块受到乙物块的冲量大小为2 N·s,则碰撞前乙的速度大小为 ( )
A.3 m/s B.4.5 m/s
C.6 m/s D.7.5 m/s
题组二 碰撞过程遵循的三个原则
4.(多选题)在光滑的水平地面上,质量m1=0.1 kg的轻球以v1=10 m/s的速度和静止的重球发生正碰,重球质量m2=0.4 kg。若设v1的方向为正,并以v'1和v'2分别表示轻球和重球的碰后速度,判断以下几组数据中可能正确的是 ( )
A.v'1=v'2=2 m/s
B.v'1=0,v'2=2.5 m/s
C.v'1=-6 m/s,v'2=4 m/s
D.v'1=-10 m/s,v'2=5 m/s
5.在光滑的水平面上,两个质量均为m的完全相同的滑块以大小均为p的动量相向运动,发生正碰,碰后系统的总动能不可能是 ( )
A.0 B. C. D.
题组三 弹性碰撞中“一动碰一静”模型的简单应用
6.2023年9月21日,“天宫课堂”第四课开讲,神舟十六号航天员景海鹏、朱杨柱、桂海潮在空间站内做了“验证动量守恒定律”的实验。假设实验所用较小钢球的质量为较大钢球质量的一半,较小钢球以大小为1 m/s的水平向左的速度与静止的较大钢球正碰,碰后速度分别为v1、v2,两钢球的碰撞可视为弹性碰撞。则 ( )
A.v1=v2=0.5 m/s
B.v1=0,v2=1 m/s
C.v1=1 m/s,v2=0
D.v1=- m/s,v2= m/s
7.冰壶是冬奥会的运动项目之一。若在冬奥会冰壶比赛中,一蓝色冰壶沿着赛道直线运动,与一个质量、材质完全相同的红色冰壶发生正面弹性碰撞。忽略冰壶与冰面间的摩擦,下列可以准确地表示出两个冰壶动量随时间的变化关系的是 ( )
A B
C D
8.如图所示,质量为m的A球在光滑水平面上静止放置,质量为2m的B球向左运动,速度大小为v0,B球与A球碰撞且无机械能损失,碰后A球速度大小为v1,B球的速度大小为v2。碰后相对速度与碰前相对速度的比值定义为恢复系数,即e=,下列选项正确的是 ( )
A.e=1 B.e= C.e= D.e=
9.(多选题)1932年,查德威克用未知射线轰击氢核,发现这种射线是由质量与质子大致相等的中性粒子(即中子)组成。如图,中子以速度v0分别碰撞静止的氢核和氮核,碰撞后氢核和氮核的速度分别为v1和v2。设碰撞为弹性正碰,中子的质量为m,氢核的质量为m,氮核的质量为14m,不考虑相对论效应,下列说法正确的是 ( )
A.v2大于v1
B.中子和氮核碰撞后向相反方向运动
C.碰撞后氮核的动量比氢核的小
D.碰撞后氮核的动能比氢核的小
题组四 爆炸问题
10.如图所示,光滑水平面上甲、乙两球间粘少许炸药,一起以0.5 m/s的速度向右做匀速直线运动。已知甲、乙两球质量分别为0.1 kg和0.2 kg。某时刻炸药突然爆炸,分开后两球仍沿原直线运动,从爆炸开始计时,经过3.0 s,两球之间的距离为x=2.7 m,则下列说法正确的是 ( )
A.刚分离时,甲、乙两球的速度方向相同
B.刚分离时,甲球的速度大小为0.6 m/s
C.刚分离时,乙球的速度大小为0.3 m/s
D.爆炸过程中释放的能量为0.027 J
11.(经典题)一枚在空中飞行的导弹,质量为M,在某点速度为v,方向水平。导弹在该点突然炸成两块,如图所示,其中质量为m的一块沿着与v相反的方向飞去,速率为v1。爆炸过程的相互作用时间为Δt,忽略该过程中的重力和空气阻力,求:
(1)爆炸后另一块的速率v2;
(2)爆炸过程中另一块对质量为m的一块的平均作用力大小。
能力提升练
题组一 弹性碰撞模型的应用
1.(多选题)如图所示,运动的球A(质量、初速度都确定)在光滑水平面上与一个原来静止的球B(质量可改变)发生弹性碰撞 ( )
A.要使B球获得最大动能,则应让B球质量与A相等
B.要使B球获得最大速度,则应让B球质量远小于A球质量
C.要使B球获得最大动量,则应让B球质量远大于A球质量
D.若B球质量远小于A球质量,则B球将获得最大动能、最大速度及最大动量
2.内壁光滑的圆环管道固定于水平面上,图为水平面的俯视图。O为圆环圆心,直径略小于管道内径的甲、乙两个等大的小球(均可视为质点)分别静置于P、Q处,PO⊥OQ,甲、乙两球质量分别为km、m。现给甲球一瞬时冲量,使甲球沿图示方向运动,甲、乙两球发生弹性碰撞,碰撞时间不计,碰后甲球立即反弹,甲球刚到P'处时,恰好与乙球再次发生碰撞,则 ( )
A.k= B.k= C.k= D.k=
题组二 碰撞中的图像问题
3.(多选题)在冰壶比赛中,运动员手持毛刷擦刷冰面,可以改变冰壶滑行时受到的阻力。如图(a),蓝壶静止在圆形区域内,运动员用等质量的红壶撞击蓝壶,两壶发生正碰。若碰撞前后两壶的v-t图像如图(b)所示,其中蓝壶的图线与红壶的图线的延长线与t轴相交于同一点。关于冰壶的运动,下列说法正确的是 ( )
A.碰撞后蓝壶的初速度大小为0.8 m/s
B.碰撞前红壶的加速度大小为0.4 m/s2
C.碰撞后红壶运动的距离为0.15 m
D.碰撞后蓝壶运动的距离为1.35 m
4.(经典题)在光滑水平面上的两个小球A、B发生正碰,如图为它们碰撞前后的位置-时间图像,小球A、B的质量分别为m1和m2,已知m1=0.1 kg。由此可以判断 ( )
A.碰前A做匀加速直线运动,B做匀速直线运动
B.碰后B和A运动方向相同
C.由动量守恒定律可以算出m2=0.3 kg
D.碰撞过程中系统损失了0.4 J的机械能
题组三 多物体或多过程碰撞问题
5.某机车以速度v驶向停在平直铁轨上的三节车厢,与它们对接。机车先与第一节车厢相碰,紧接着又与第二节车厢相碰,之后再与第三节车厢相碰,每次碰后机车与车厢均会达到一个共同的速度。设机车和每节车厢的质量都相等,忽略铁轨的摩擦,则与最后一节车厢碰撞后整列车的速度为 ( )
A. B. C. D.
6.(经典题)质量为M、内壁间距为L的箱子静止于光滑的水平面上,箱子中间有一质量为m的小物块,小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ。初始时小物块停在箱子正中间,如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v,小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间,并与箱子保持相对静止,设碰撞都是弹性的,重力加速度为g,则整个过程中系统损失的动能为 ( )
A.mv2 B.
C.NμmgL D.2NμmgL
7.光滑水平面上依次放99个质量均为m的弹性小球,已知质量相等的两弹性小球正碰后交换速度。现一质量为2m的小球A以初速度v0与第99个小球发生弹性正碰,求:
(1)小球A第一次与第99个小球碰撞后的速度大小;
(2)第1个小球最终的速度大小;
(3)第99个小球最终的速度大小。
题组四 爆炸规律的应用
8.斜向上抛出一个爆竹,到达最高点时(速度水平向东)立即爆炸成质量相等的三块,前面一块速度水平向东,后面一块速度水平向西,前、后两块的水平速度(相对地面)大小相等、方向相反。则以下说法中正确的是 ( )
A.爆炸后的瞬间,中间那块的速度可能水平向西
B.爆炸后的瞬间,中间那块的速度大于爆炸前瞬间爆竹的速度
C.爆炸后三块将同时落到水平地面上,并且落地时的动量相同
D.爆炸后的瞬间,中间那块的动能可能小于爆炸前瞬间爆竹的总动能
9.在一次模拟训练中,质量为1.2 kg的微型导弹在0.01 s时间内发生第一次爆炸,向下高速喷出少量高压气体(此过程导弹位移可以忽略),然后被竖直发射到距地面h=80 m的最高点,在最高点时剩余火药在极短时间内发生第二次爆炸,爆炸过程中释放的能量有40%转化为动能,导弹被炸成两部分,其中质量为m1=0.8 kg的部分以v1=600 m/s的速度水平飞出,不计空气阻力和火药的质量,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)第一次火药爆炸过程中高压气体对导弹平均作用力大小;
(2)第二次火药爆炸后两部分导弹落地点之间距离;
(3)第二次火药爆炸中释放的能量。
答案与分层梯度式解析
第一章 动量与动量守恒定律
5 碰撞
基础过关练
1.C 由弹性碰撞和非弹性碰撞的特点可知A、B、D说法正确。对于C选项,两个刚性球发生弹性碰撞,碰撞前后系统的总动能守恒,但并不是碰撞过程中任何时刻的总动能都守恒,在碰撞过程中,两球形变还未完全恢复时,因形变产生的弹性势能没有完全释放,此时总动能不守恒,C说法错误。
2.B 设碰撞后甲的速度为v',以碰撞前乙的运动方向为正方向,根据动量守恒定律可得3mv-mv=mv',得v'=2v,故D错误;碰撞前甲、乙的总动能为Ek=×3mv2+mv2=2mv2,碰撞后甲、乙的总动能为Ek'=mv'2=2mv2,由于碰撞前后总动能相等,所以这次碰撞为弹性碰撞,系统总动能碰撞前后没有损失,没有转化为内能,故B正确,A、C错误。
3.C 取碰撞前乙的速度方向为正方向,设碰撞后甲、乙的速度大小为v1,对甲物块,根据动量定理可得m甲v1-0=I=2 N·s,解得v1=4 m/s;设碰撞前乙的速度大小为v0,甲、乙碰撞前后,根据动量守恒定律得m乙v0=(m甲+m乙)v1,解得v0=6 m/s,选C。
4.ABC 根据动量守恒有m1v1=m1v'1+m2v'2,碰撞前系统机械能不小于碰撞后系统机械能,则有m1≥m1v'+m2v',代入数据,同时满足上述两条件的选项为A、B、C,D选项的总动能增大,不可能发生。故选ABC。
5.B 两滑块发生碰撞时遵循动量守恒定律,由于开始时两个滑块以大小均为p的动量相向运动,所以总动量为0。若发生完全非弹性碰撞,则2mv=0,所以碰后系统总动能为0;若发生弹性碰撞,则两个滑块的总动能不变,碰前两滑块的总动能为2×=,因为碰撞后系统的动能不会增加,所以碰后两滑块的总动能应小于或等于,故选B。
方法技巧 处理碰撞问题的思路
(1)对于一个给定的碰撞过程,首先要看动量是否守恒,再看总机械能是否增加,并注意碰后的速度是否符合实际;
(2)要灵活运用Ek=或p=,Ek=pv或p=几个关系式。
6.D 设小钢球的质量为m,则较大钢球的质量为2m,两球碰撞过程中动量守恒,能量守恒,规定向左为正方向,根据动量守恒定律和能量守恒定律有,mv0=mv1+2mv2,m=m+·2m,解得v1=- m/s,v2= m/s,负号代表方向向右,故选D。
7.D 设两冰壶的质量均为m,取碰撞前蓝壶运动方向为正方向,蓝壶碰撞前的速度为v0,碰撞后的速度为v,红壶碰撞后的速度为v1,由于两冰壶发生正面弹性碰撞,可知碰撞前后动量守恒、动能守恒,有mv0=mv+mv1,m=mv2+m,联立解得v=v0=0,v1=v0=v0,可知碰撞后两冰壶速度互换,D正确。
8.A 取水平向左为正方向,A、B在碰撞的过程中,根据动量守恒定律可得2mv0=mv1+2mv2;在碰撞的过程中机械能守恒,可得×2m=m+×2m,解得v1=v0,v2=v0,则恢复系数e==1,故选A。
9.BD 设中子和氢核碰撞后中子速度为v3,由动量守恒定律和能量守恒定律可得mv0=mv1+mv3,m=m+m,联立解得v1=v0,v3=0。设中子和氮核碰撞后中子速度为v4,由动量守恒定律和能量守恒定律可得mv0=14mv2+mv4,m=·14m+m,联立解得v2=v0,v4=-v0,可得v1>v2,中子和氮核碰撞后向相反方向运动,故A错误,B正确;碰撞后氢核的动量为pH=mv1=mv0,氮核的动量为pN=14mv2=,可得pN>pH,故C错误;碰撞后氢核的动能为EkH=m=m,氮核的动能为EkN=·14m=,可得EkH>EkN,故D正确。
10.D 以水平向右为正方向,设甲、乙两球质量分别为m1、m2,刚分离时两球的速度分别为v1、v2,由动量守恒定律得(m1+m2)v0=m1v1+m2v2,根据题意有v2-v1=,代入数据得v2=0.8 m/s,v1=-0.1 m/s,说明刚分离时两球速度方向相反,A、B、C错误;爆炸过程中释放的能量ΔE=m1+m2-(m1+m2)=0.027 J,D正确。
11.答案 (1) (2)
解析 (1)取v的方向为正方向,爆炸过程系统动量守恒,有Mv=(M-m)v2-mv1
解得v2=。
(2)对质量为m的一块分析,以与原速度相反的方向(向左)为正方向,由动量定理可得
FΔt=mv1-m(-v)
解得F=。
能力提升练
1.ABC 设A球的质量为m1、B球质量为m2、碰撞前A球的速度为v0,取v0的方向为正方向,A与B发生弹性碰撞,根据动量守恒定律和机械能守恒定律可得m1v0=m1v1+m2v2,m1=m1+m2,解得v1=v0,v2=v0。当A、B两球质量相等时,碰撞后A的速度为零,B获得了A碰撞前的全部动能,B球获得了最大动能,故A正确;当A球质量远大于B球质量时,B球获得最大速度,速度接近碰前A速度的2倍,故B正确;当A球质量远小于B球质量时,A球几乎原速率反弹,A球被弹回的速度最大,B球动量的大小接近A球初始动量的2倍,B球获得最大动量,故C正确。由上面三项分析知,D错误。
模型构建 “一动碰一静”模型中,两物体发生弹性正碰后的速度满足:v1'=v1,v2'=v1。
结论:①当m1=m2时,v1'=0,v2'=v1(质量相等,速度交换);
②当m1>m2时,v1'>0,v2'>0,且v2'>v1'(大碰小,一起跑);
当m1 m2时,v1'≈v1,v2'≈2v1(极大碰极小,大不变,小加倍);
③当m10(小碰大,要反弹);
当m1 m2时,v1'≈-v1,v2'≈0(极小碰极大,小等速率反弹,大不变)。
2.B 设甲球的初速度为v0,碰撞后甲球的速度大小为v1,乙球的速度大小为v2,从发生第一次碰撞到再次碰撞的时间间隔为t,甲、乙两球发生弹性碰撞,则有km·v0=km·v1+m·v2,km=km+m,解得v1=v0,v2=v0,由题意可知,两球碰撞后,甲球运动了圆弧,乙球运动了圆弧,之后再次发生碰撞,则第一次碰后瞬间乙球的速度大小是甲球的5倍,即v2=-5v1,联立得到k=,故选B。
3.BD 由于v-t图线的斜率表示加速度,由题图(b)可知,碰撞前红壶的加速度为a== m/s2=-0.4 m/s2,即加速度大小为0.4 m/s2,B正确。由题图(b)可知,红壶与蓝壶碰撞前其速度大小为v1=1.2 m/s,碰撞后其速度大小为v1'=0.3 m/s,红壶与蓝壶碰撞过程动量守恒,有mv1=mv1'+mv,代入数据解得蓝壶碰撞后的初速度大小为v=0.9 m/s,A错误。假如红壶不与蓝壶碰撞,由题图(b)可知红壶可滑行的时间为t== s=4 s,由此可知碰撞后蓝壶的运动时间为t1=3 s;红壶和蓝壶碰撞后均做匀减速直线运动,根据公式x=t可得碰撞后红壶运动的距离为0.075 m,蓝壶运动的距离为1.35 m,C错误,D正确。
4.C 由x-t图线的斜率表示速度,可得A碰撞前的速度v1=4 m/s,B碰撞前的速度v2=0,知碰撞前B静止,A向正方向做匀速直线运动,A错误;碰撞后A的速度v1'=-2 m/s,向负方向运动,B的速度v2'=2 m/s,向正方向运动,根据动量守恒定律有m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2',解得m2=0.3 kg,B错误,C正确;两小球组成的系统在碰撞过程中的机械能损失为ΔE=-=0,D错误。
5.A 碰撞过程系统动量守恒,以机车的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得,第一次碰撞有mv=2mv1,解得v1=v,第二次碰撞有2mv1=3mv2,解得v2=v,第三次碰撞有3mv2=4mv3,解得v3=v,故选A。
一题多解 以机车的初速度方向为正方向,对全过程应用动量守恒定律,可得mv=4mv',解得v'=v,故选A。
6.B 对于小物块与箱子组成的系统,在整个过程中受到的合外力为零,故系统动量守恒,取水平向右为正方向,设最终小物块与箱子的共同速度为v1,则有mv=(M+m)v1,解得v1=,则整个过程中,系统损失的动能为ΔEk=mv2-(M+m)=,故A错误,B正确;小物块与箱壁碰撞N次后恰又回到箱子正中间,可知整个过程中,小物块与箱子的相对路程为s相=NL,则整个过程中因摩擦产生的内能为Q=μmgs相=NμmgL,根据能量守恒定律可知,系统损失的动能为ΔEk=Q=NμmgL,故C、D错误。
7.答案 (1) (2)v0 (3)
解析 (1)取v0的方向为正方向,根据动量守恒和机械能守恒有2mv0=2mvA1+mv99,=+
联立解得vA1=,v99=v0。
(2)质量相等的两弹性小球正碰后交换速度,则各小球依次与前面的小球正碰后,第1个小球的速度为v1=v99=v0。
(3)取v0的方向为正方向,小球A以速度vA1与第99个小球发生第二次弹性碰撞,有2mvA1=2mvA2+mv99'
=+
解得vA2==,v99'=v0=,
各小球依次正碰后,第2个小球以的速度弹射出去……
以此类推,可得第99个小球最后的速度v=。
8.B 设爆竹在最高点的速度大小为v0、方向水平向东,爆炸前瞬间爆竹的动量为3mv0,其中前面一块质量为m,速度大小为v,方向水平向东,后面一块质量为m,速度大小为v,方向水平向西,爆炸后中间一块的瞬时速度为v',取水平向东为正方向,爆炸前后动量守恒,则有3mv0=mv+m·v'-mv,解得v'=3v0>v0,即爆炸后的瞬间,中间那块的速度方向水平向东,且大于爆炸前瞬间爆竹的速度,故A错误,B正确。爆炸后三块碎片下落的高度相同,则获得的竖直速度相同,根据速度的合成可知末速度方向不同,所以落地时的动量不相同,故C错误。爆炸后中间那块的动能Ek'=mv'2=m,爆炸前瞬间爆竹的总动能Ek=·3m,所以Ek'>Ek,故D错误。
9.答案 (1)4 812 N (2)7 200 m (3)1.08×106 J
解析 (1)设第一次火药爆炸后导弹的速度为v,则有v2=2gh
解得v=40 m/s
以竖直向上为正方向,第一次火药爆炸过程对导弹根据动量定理有
(F-mg)t=mv-0
解得高压气体对导弹平均作用力大小为F=4 812 N。
(2)第二次爆炸过程水平方向动量守恒,以v1方向为正方向,有
m1v1-(m-m1)v2=0
解得v2=1 200 m/s
所以另一部分导弹的速度大小为1 200 m/s,方向与v1相反
两部分导弹下落的时间相等,下落高度相等,且有
h=gt2
解得t=4 s
所以两部分导弹落地点间距为
x=(v1+v2)t=7 200 m。
(3)第二次火药爆炸后两部分导弹的动能之和为Ek=m1+(m-m1)=4.32×105 J,则第二次火药爆炸中释放的能量为
E=
解得E=1.08×106 J。
7(共21张PPT)
1.碰撞
碰撞类问题的共同特点是物体间的相互作用时间很短,作用力很大,且远大于系统受到的外
力,可认为相互碰撞的物体组成的系统动量守恒。
2.碰撞的分类
(1)从能量角度分:按照碰撞前后两物体总动能是否变化,可将碰撞分为弹性碰撞和非弹性碰
撞两类。
知识点 1 碰撞的分类
必备知识 清单破
5 碰撞
①弹性碰撞:碰撞前后系统总动能不变的碰撞。如台球、钢球、冰壶等的碰撞及低能电子与
分子的碰撞等。发生弹性碰撞时动量守恒、机械能守恒,即有m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2', m1 +
m2 = m1v1'2+ m2v2'2。
②非弹性碰撞:系统总机械能减少的碰撞。如汽车追尾、子弹射穿光滑水平面上的木块并继
续运动等。发生非弹性碰撞时动量守恒、机械能减少,有m1v1+m2v2=m1v1'+m2v2',Ek初-Ek末=Q。
在非弹性碰撞中,如果两物体碰后粘在一起,以相同的速度运动,这种碰撞称为完全非弹性碰
撞。
(2)从碰撞前后物体运动的方向是否在同一条直线上分:分为正碰和斜碰。
①正碰(对心碰撞):两球相碰,碰撞之前球的运动速度与两球心的连线在同一条直线上,碰撞
之后两球的速度仍会沿着这条直线。
②斜碰(非对心碰撞):两个球发生碰撞,如果碰撞之前球的运动速度与两球心的连线不在同一
条直线上,碰撞之后两球的速度都会偏离原来两球心连线所在的直线。
1.1932年,英国物理学家查德威克发现了中子。
2.中子质量的计算
用中子分别与静止的氢核和氮核碰撞,测出中子碰撞前后的速度以及氢核和氮核碰撞后的速度,根据动量守恒和能量守恒列方程,联立求解出中子的质量。
知识点 2 中子的发现
爆炸是指在极短时间内释放出大量能量,产生高温,并放出大量气体,在周围介质中造成高压
的化学反应或状态变化。如普通炸药爆炸将化学能转化为内能和机械能;核爆炸将核能转化
为内能和机械能。
知识点 3 爆炸
知识辨析
1.打台球时,质量相等的母球与目标球发生碰撞,两个球一定交换速度吗
2.微观粒子间相互作用时,不直接接触,发生的是碰撞吗
3.让两个带正电的重离子加速后,沿同一直线相向运动并发生猛烈碰撞,碰撞后离子的动能是
否可以全部转化为内能
一语破的
1.不一定。只有质量相等的两个物体发生一维弹性碰撞时,系统的动量守恒,机械能守恒,才
会交换速度。
2.是。微观粒子间相互作用时,短时间内产生强大内力,所以仍然是碰撞,微观粒子碰撞又叫
散射。
3.可以。两个重离子碰撞前运动方向相反,若两离子碰撞前的动量等大,碰撞后两离子均静
止,这时动能完全转化为内能。
处理碰撞问题要遵循三个原则:
(1)动量守恒,即p1+p2=p1'+p2'。
(2)动能不增加,即Ek1+Ek2≥Ek1'+Ek2'或 + ≥ + 。
(3)速度要合理:①若碰撞前两物体同向运动,那么后面运动的物体的速度一定要大于前面运
动的物体的速度,即v后>v前,否则无法实现碰撞;碰撞后原来在前的物体速度一定增大,若碰撞
后两物体同向运动,则应有v前'≥v后'。②若两物体相向运动,那么碰撞后两物体的运动方向不
可能都不改变。
关键能力 定点破
定点 1 碰撞问题的处理原则
以质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2的静止小球发生对心弹性碰撞(一动碰一静模
型)为例,设碰撞后两球的速度分别为v1'、v2',弹性碰撞应满足动量守恒定律和机械能守恒定
律,则有m1v1=m1v1'+m2v2'①, m1 = m1v1'2+ m2v2'2②。
联立①②得v1'= ,v2'=
结论:(1)当m1=m2时,v1'=0,v2'=v1,两球碰后交换速度。
(2)当m1>m2时,v1'>0,v2'>0,碰后两球都沿v1的方向运动。
若m1 m2,这时m1-m2≈m1,m1+m2≈m1,v1'≈v1,v2'≈2v1,表明质量为m1的球的速度不变,质量为m2
的球以2v1的速度被撞出去。
(3)当m10,碰后质量为m1的球被反弹回来。
定点 2 弹性碰撞的规律
若m1 m2, ≈-1, ≈0,v1'≈-v1,v2'≈0,表明质量为m1的球被以原来的速率反向弹回,
而质量为m2的球仍静止。
知识拓展 质量为m1、速度为v1的小球与质量为m2、速度为v2的小球发生对心弹性碰撞,根
据动量守恒和机械能守恒有
解得v1'= ,v2'= 。联立以上两式可得v1'+v1=v2'+v2,v2=0时,有v1'+
v1=v2',这两个公式可用于弹性碰撞问题的快速计算。
典例 如图,在足够长的光滑水平面上,物体A、B、C位于同一直线上,A位于B、C之间。A的
质量为m,B、C的质量都为M,三者均处于静止状态。现使A以某一速度向右运动,求m和M之
间应满足什么条件,才能使A只与B、C各发生一次碰撞【1】。设物体间的碰撞都是弹性碰撞
【2】。
典例
信息提取 【1】A与C碰后反弹,然后再与B碰后再反弹,且反弹的速度必须小于等于C的速
度;
【2】既满足动量守恒定律也满足机械能守恒定律。
情景图示 本题的运动过程如图所示,碰撞过程中满足动量守恒定律和机械能守恒定律。
解析 A向右运动与C发生第一次碰撞,碰撞过程中,A与C组成的系统的动量守恒、机械能守
恒。
以水平向右为正方向,设开始时A的速度为v0,第一次碰撞后C的速度为vC1,A的速度为vA1,有mv0
=mvA1+MvC1,
m = m + M (由【2】得到),
联立以上两式得vA1= v0,vC1= v0,
如果m>M,第一次碰撞后,A与C速度同向,且A的速度小于C的速度,不可能与B发生碰撞;如果m
=M,第一次碰撞后,A停止,C以A碰前的速度向右运动,A不可能与B发生碰撞。
所以只需考虑m第一次碰撞后,A反向运动与B发生碰撞。设与B发生碰撞后,A的速度为vA2,B的速度为vB1,
同样有vA2= vA1= v0,
根据题意,要求A只与B、C各发生一次碰撞,应有vA2≤vC1(由【1】得到),
联立解得m2+4mM-M2≥0,
解得m≥( -2)M,
所以,m和M应满足的条件为( -2)M≤m答案 ( -2)M≤m常规意义上的碰撞,物体间作用力大、作用时间短,作用力是斥力。有些情况下,当两个物体
发生作用时,尽管作用时间比较长,甚至作用力也不是斥力,我们仍可以当成碰撞来处理,这类
问题我们称为类碰撞问题。常见模型具体分析如下。
1.类碰撞模型之“物块—弹簧模型”(如图甲)
模型特点:(1)两个或两个以上的物体与弹簧相互作用的过程中,若系统所受外力的矢量和为
零,则系统动量守恒。
(2)在能量方面,由于弹簧形变会使弹性势能发生变化,系统的总动能将发生变化;若系统所受
的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功,系统机械能守恒。
(3)弹簧处于最长(或最短)状态时两物体速度相等,弹簧弹性势能最大,系统动能通常最小(完
全非弹性碰撞拓展模型)。
定点 3 类碰撞模型的拓展
(4)弹簧恢复原长时,弹性势能为零,系统动能最大(弹性碰撞拓展模型,相当于碰撞结束时)。
2.类碰撞模型之“子弹打木块模型”(如图乙)
模型特点:(1)子弹打木块的过程很短暂,认为该过程中内力远大于外力,则系统动量守恒。
(2)在子弹打木块过程中摩擦生热,系统的机械能不守恒,一部分机械能转化为内能。
(3)若子弹不穿出木块,二者最后有共同速度,机械能损失最多(完全非弹性碰撞拓展模型)。
3.类碰撞模型之“板块模型”(如图丙)
模型特点:(1)系统的动量守恒,但机械能不守恒,摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少
的机械能。
(2)根据能量守恒,系统损失的动能ΔEk= Ek0,可以看出,滑块的质量越小,木块(或木板)的
质量越大,动能损失越多。
(3)该类问题既可以从动量、能量角度求解,相当于非弹性碰撞拓展模型,也可以从力和运动
的角度借助图示求解。
4.类碰撞模型之“滑块+光滑弧面(斜面)模型”(如图丁)
模型特点:(1)在光滑水平面上,把滑块、光滑弧面(斜面)看作一个整体,它们之间的作用力为
内力,滑块和弧面(斜面)组成的系统在水平方向动量守恒。在最高点,滑块、光滑弧面(斜面)
具有共同水平速度v共,有mv0=(M+m)v共;在最低点,滑块、光滑弧面(斜面)分离,有mv0=mv1+Mv2。
(2)由于只有动能和重力势能之间的转化,所以系统机械能守恒,从滑块滑上光滑弧面(斜面)
到到达最高点,有 m = (M+m) +mgh,其中h为滑块上升的最大高度,不一定等于圆弧(斜
面)轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型);在最低点,滑块、光滑弧面(斜面)分离,有 m =
m + M (弹性碰撞拓展模型)。
5.类碰撞模型之“悬绳模型”(如图戊)
模型特点:此模型系统机械能守恒,水平方向动量守恒,解题时需关注物体运动的最高点和最
低点。
典例 (多选)如图所示,水平光滑轨道宽和轻质弹簧自然长度均为d【1】,A、B两球质量分别为
m1、m2,已知m1=3m2,B的左边有一固定挡板,A由图示位置静止释放,B离开挡板后,当A与B相距
最远时【2】,A的速度为v0,则在以后的运动过程中 ( )
A.A的最小速度是0
B.A的最小速度是 v0
C.B的最大速度是 v0
D.B的最大速度是2v0
典例
信息提取 【1】当A运动到B正上方时,弹簧处于自然长度,A运动到B正上方的左右两侧时,
弹簧均处于伸长状态;
【2】A与B的速度相同。
BD
思路点拨 A与B的运动大致可分为以下三个过程:
第一个过程:A从图甲位置运动到图乙位置(B正上方),弹簧处于伸长状态,A向右做加速运动,B
被挡板挡住不动,A、B组成的系统水平方向受到挡板向右的作用力,动量不守恒。
第二个过程:A由图乙位置(B正上方)向右做减速运动,运动至图丙位置,弹簧处于伸长状态, B
离开挡板向右做加速运动,当A、B的速度相等时相距最远,此过程A、B组成的系统动量守恒【3】。
第三个过程:此后A继续减速,B继续加速,当二者再次相距最近时,A达到最小速度,B达到最大
速度,此过程A、B组成的系统动量守恒、机械能守恒【4】。
解析 取水平向右为正方向,设A运动到B正上方时速度为v1,由题意知,A与B相距最远时,A的
速度为v0,B的速度也为v0(由【2】得到),根据动量守恒,有m1v1=(m1+m2)v0(由【3】得到),解得v1
= v0;小球A到达B正上方(相距最近)后继续向右运动,A减速,B加速(由【1】得到),达到共同
速度时二者相距最远,此后A继续减速,B继续加速(由【1】得到),当两球再次相距最近时,A达
到最小速度,B达到最大速度,根据动量守恒、机械能守恒,有m1v1=m1v1'+m2v2', m1 = m1v1'2+
m2v2'2(由【4】得到),解得v1'= v1= × v0= v0,v2'= v1= × v0=2v0,故选B、D。
碰撞 爆炸
不同点 碰撞过程中没有其他形式的能转化为机械能,系统的动能不会增加 爆炸过程中往往有化学能或核能转化为动能,系统的动能增加
相 同 点 时间特点 相互作用时间很短 相互作用 力特点 物体间的相互作用力先是急剧增大,然后再急剧减小,平均作用力很大 系统动量的特点 系统的内力远远大于外力,外力可忽略不计,系统的总动量守恒 位移特点 由于碰撞、爆炸过程是在一瞬间发生的,时间极短,所以,在物体发生碰撞、爆炸的瞬间,可认为物体在碰撞、爆炸后仍在同一位置
定点 4 爆炸模型与碰撞模型的比较
