第二章 机械振动
1 简谐运动及其图像
基础过关练
题组一 对机械振动、简谐运动的理解
1.关于机械振动的位移和平衡位置的描述合理的是 ( )
A.平衡位置就是物体振动范围的中心位置
B.机械振动的位移是以平衡位置为起点的位移
C.做机械振动的物体运动的路程越大,发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移
2.下列关于简谐运动的说法中,正确的是 ( )
A.物体位移减小时,加速度增大,速度减小
B.物体位移方向总跟加速度方向相反,跟速度方向相同
C.物体的运动方向指向平衡位置时,速度方向跟位移方向相反;背离平衡位置时,速度方向跟位移方向相同
D.水平弹簧振子远离平衡位置时,振子的加速度方向跟速度方向相同,衡位置时,振子的加速度方向跟速度方向相反
题组二 振动图像的简单应用
3.如图,弹簧振子在M、N之间做简谐运动。以平衡位置O为原点,以向右为正方向建立x轴。若振子位于N点时开始计时,则其振动图像为 ( )
A B
C D
4.(多选题)如图甲所示,一弹簧振子在A、B间做简谐运动,取向右为正方向,振子经过平衡位置O点时开始计时,其振动的x-t图像如图乙所示。则下列说法正确的是 ( )
A.t2时刻振子在A点
B.t2时刻振子在B点
C.在t1~t2时间内,振子的位移在增大
D.在t3~t4时间内,振子的位移在减小
5.如图甲所示,振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动。当振子位于A点时弹簧处于原长状态。取竖直向上为正方向,振子的质量为m,重力加速度为g。振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是 ( )
A.t=0.8 s时,振子的速度方向竖直向上
B.t=0.6 s和t=1.0 s时,振子的速度相同
C.t=0.4 s和t=1.2 s时,振子的加速度相同
D.t=1.4 s时,振子位于O点下方6 cm处
6.一个质点做简谐运动,它的振动图像如图所示,则 ( )
A.图中的曲线部分是质点的运动轨迹
B.有向线段OA是质点在t1时刻的位移
C.有向线段OA在x轴上的投影是质点在t1时刻的位移
D.有向线段OA的斜率等于质点在t1时刻的瞬时速率
题组三 描述简谐运动的物理量
7.关于描述简谐运动的物理量,下列说法正确的是 ( )
A.振幅等于四分之一周期内振动物体走过的路程
B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C.一次全振动过程中,振动物体的位移大小等于振幅的四倍
D.频率是50 Hz时,1 s内振动物体速度方向改变100次
8.如图,O为平衡位置,小球在A、B间做无摩擦往复运动。若OB=5 cm,则小球完成一次全振动的路程s和振幅A分别为 ( )
A.s=10 cm,A=5 cm
B.s=10 cm,A=10 cm
C.s=20 cm,A=5 cm
D.s=20 cm,A=10 cm
9.(经典题)一质点做简谐运动,其位移x与时间t的关系图像如图所示,由图可知 ( )
A.质点振动的频率是4 Hz,振幅是2 cm
B.经过1 s质点通过的路程总是2 cm
C.0~3 s内,质点通过的路程为6 cm
D.t=3 s时,质点的振幅为零
题组四 对简谐运动表达式的理解
10.有一个弹簧振子,振幅为0.8 cm,周期为0.5 s,初始时具有正方向的最大加速度,则它的振动方程是 ( )
A.x=8×10-3 sin m
B.x=8×10-3 sin m
C.x=8×10-3 sin m
D.x=8×10-3 sin m
11.(经典题)一弹簧振子中振动物体的位移y随时间t变化的关系式为y=0.1 sin(2.5πt)m,则 ( )
A.弹簧振子的振幅为0.2 m
B.弹簧振子的频率为0.8 Hz
C.在t=0.2 s时,振动物体的运动速度最大
D.在任意0.4 s时间内,振动物体通过的路程均为0.2 m
12.如图所示,振子在a、b两点间做简谐运动,振幅为A=10 cm,振动周期为0.2 s,t=0时振子从平衡位置O开始向a运动,选向左为正方向。
(1)写出振子的振动方程;
(2)求经过2.1 s振子通过的路程。
能力提升练
题组一 简谐运动规律的应用
1.(多选题)一个弹簧振子的振幅是A,若在Δt的时间内振子运动的路程是s,则下列关系中一定正确的是 ( )
A.Δt=2T,s=8A B.Δt=,s=2A
C.Δt=,s=2A D.Δt=,s>A
2.一物体置于一平台上,随平台一起在竖直方向上做简谐运动,则 ( )
A.当平台振动到最高点时,物体对平台的压力最大
B.当平台振动到最低点时,物体对平台的压力最大
C.当平台经过平衡位置时,物体对平台的压力为零
D.物体在上下振动的过程中,物体的机械能守恒
题组二 简谐运动的图像、简谐运动表达式的理解及应用
3.(经典题)(多选题)一个质点以O点为平衡位置做简谐运动,位移随时间变化的图像如图,a、b、c、d表示质点在不同时刻的相应位置,则 ( )
A.质点通过位置c时速度最大,加速度为零
B.质点从位置a到位置c和从位置b到位置d所用时间相等
C.质点从位置a到位置b和从位置b到位置c的平均速度相等
D.质点通过位置b和通过位置d时速度方向相同
4.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,其振动图像如图所示。下列说法正确的是 ( )
A.图线上的某点的切线的斜率表示振子在某时刻的加速度
B.振子在0~1 s,2~3 s内位移方向跟它的瞬时速度方向相同
C.振子在前2 s内通过的路程是32 cm
D.第2 s末振子的速度为零,加速度为正向的最大值
5.一水平弹簧振子做简谐运动,从某时刻开始计时,其振动图像如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.振子计时起点位置是平衡位置
B.图中振子振动方程为x=2 cos cm
C.t=0时振子振动方向沿x轴向上
D.振子在1 s时的位移为2 cm,速度最大,加速度最大且指向平衡位置
6.弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm,如图所示。振子从B点到第二次经过O点,所用时间为0.75 s。若振子向右经过OB的中点P时开始计时,则振子的位移-时间关系为 ( )
A.x=0.2 sin m
B.x=0.1 sin m
C.x=0.1 sin m
D.x=0.2 sin m
7.如图所示为甲、乙两个质点做简谐运动的振动图像,实线为甲的振动图像,虚线为乙的振动图像,其中甲的振动方程为x=3a sin(5πt) cm。下列说法中正确的是 ( )
A.甲的振幅是3 cm
B.甲的频率是5π Hz
C.t=0时,甲、乙的相位差是
D.t=0时,甲、乙的相位差是
题组三 简谐运动的周期性和对称性
8.简谐运动的振动图像可用下述方法画出:如图甲所示,在弹簧振子的小球上安装一支绘图笔P,让一条纸带在与小球振动方向垂直的方向上匀速运动,笔P在纸带上画出的就是小球的振动图像。取水平向右的方向为小球离开平衡位置位移的正方向,纸带运动的距离转换为时间,得到的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是 ( )
A.弹簧振子的周期为2 s
B.2.5 s时小球正在向x轴正方向运动
C.t=6.5 s时小球的加速度沿x轴负方向
D.t=17 s时小球相对平衡位置的位移是10 cm
9.如图所示,可视为质点的小球以O为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动。若从小球经过O点开始计时,在t1=0.1 s时刻小球第一次经过O、B两点间的M点(图中未画出),在t2=0.5 s时刻小球第二次经过M点,则小球第三次通过M点的时刻为 ( )
A.1 s B.1.3 s C.1.6 s D.1.9 s
10.一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.2 m,t=1 s时位移为0.2 m,则 ( )
A.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为 s
B.若振幅为0.2 m,振子的周期可能为 s
C.若振幅为0.4 m,振子的周期可能为 s
D.若振幅为0.4 m,振子的周期可能为 s
11.一质点以O点为平衡位置在a、b两点间做简谐运动,M点在O点右侧,如图所示。t=0时质点位于O点并向右运动,t=0.3 s时质点第一次经过M点,t=0.7 s时质点第2次经过M点,aO=4 cm,求:
(1)质点的振动周期。
(2)t=0到t=10.5 s时间内质点运动的路程。
(3)质点第102次经过M点的时刻。
答案与分层梯度式解析
第二章 机械振动
1 简谐运动及其图像
基础过关练
1.B 平衡位置不一定是物体振动范围的中心位置,如树叶摆动时的平衡位置,故A错误;机械振动的位移是以平衡位置为起点指向物体所在位置的有向线段,故B正确;做机械振动的物体,其运动的路程随时间推移而增大,而位移却不一定增大,故C错误;机械振动的位移是以平衡位置为起点指向物体所在位置的有向线段,偏离平衡位置最远时物体的位移最大,故D错误。
2.C 做简谐运动的物体,位移减小时,加速度减小,速度增大,A错误;物体位移方向总跟加速度方向相反,物体远离平衡位置时,速度方向跟位移方向相同,物体向平衡位置运动时,速度方向跟位移方向相反,B错误,C正确;水平弹簧振子向平衡位置运动时,振子的加速度方向跟速度方向相同,远离平衡位置时,振子的加速度方向跟速度方向相反,D错误。
3.B 以向右为x轴正方向,振子运动到N点时,具有正向最大位移,所以振子运动到N点时开始计时振动图像应是B。
4.AC 振子在A点和B点时的位移最大,由于取向右为正方向,所以振子在A点有正向最大位移,在B点有负向最大位移,则t2时刻振子在A点,t4时刻振子在B点,A正确,B错误;振子的位移是以平衡位置为参考点的,所以在t1~t2和t3~t4时间内振子的位移都在增大,C正确,D错误。
5.B 由题图乙可知,t=0.8 s时,振子在平衡位置,速度方向竖直向下,速度最大,故A错误;由x-t图线的斜率表示速度,可知t=0.6 s和t=1.0 s时振子的速度相同,故B正确;t=0.4 s和t=1.2 s时,振子的加速度大小相等,方向相反,故C错误;由于从x=-12 cm处到平衡位置,振子的速度不断增大,则从t=1.2 s到t=1.4 s时间内的位移小于6 cm,所以t=1.4 s时,振子位于O点下方大于6 cm处,故D错误。
规律总结 对弹簧振子的说明
(1)弹簧振子有多种形式,对于不同的弹簧振子,在平衡位置处,弹簧不一定处于原长(如竖直放置的弹簧振子),但运动方向上的合外力一定为零,速度也一定最大。
(2)振子位于关于平衡位置对称的两点时,振子的位移大小相等,方向相反;振子的速度大小相等,方向可能相同,也可能相反。
(3)振子的位移是指相对平衡位置的位移,即由平衡位置指向振子所在的位置。振子向平衡位置运动,速度逐渐增大;振子远离平衡位置运动,速度逐渐减小。
6.C x-t图像反映了不同时刻质点的位移情况,不是运动轨迹,故A错误;质点在t1时刻的位移等于A点对应的纵坐标的值,可用有向线段OA在x轴上的投影表示,故B错误,C正确;质点在t1时刻的瞬时速率等于x-t图线上A点切线的斜率,并非有向线段OA的斜率,故D错误。
7.D 由于振动物体在平衡位置附近速度较大,因此四分之一周期内走过的路程不一定等于振幅,A错误;周期指做简谐运动的物体完成一次全振动所用的时间,B错误;一次全振动过程中,振动物体的位移为零,C错误;振动物体一个周期内速度方向改变2次,频率为50 Hz,1 s内速度方向改变100次,D正确。
8.C 由题可知,小球的振幅A=5 cm;小球完成一次全振动的路程s=4A=20 cm。故选C。
9.C 由图像读出振幅A=2 cm,周期T=4 s,所以频率f==0.25 Hz,A错误;如果不是从平衡位置或最大位移处开始计时,质点在1 s即个周期内通过的路程不等于2 cm,B错误;由于t=0时质点在最大位移处,则0~3 s内质点通过的路程为3A=6 cm,C正确;振幅等于质点偏离平衡位置的最大距离,t=3 s时,质点的位移为零,但振幅仍为2 cm,D错误。
10.B 由题意可知A=0.8 cm,ω==4π rad/s,设振动方程为x=A sin (ωt+φ),初始时具有正方向的最大加速度,可知t=0时x=-A,代入表达式有-A=A sin φ,解得φ=-,则振子的振动方程是x=8×10-3·sin m,选B。
11.D 弹簧振子的振幅为0.1 m,A错误;周期为T== s=0.8 s,频率为f==1.25 Hz,B错误;在t=0.2 s时,振动物体的位移y=0.1 sin 0.5π(m)=0.1 m,振动物体在最大位移处,速度为零,C错误;在任意0.4 s即半个周期内,振动物体通过的路程均为2A=0.2 m,D正确。
12.答案 (1)x=10 sin 10πt(cm) (2)420 cm
解析 (1)设振子的振动方程为x=A sint
代入数据得x=10 sin 10πt(cm)。
(2)时间t=2.1 s=10T+T
经过2.1 s振子通过的路程s=(4×10+2)A=420 cm。
能力提升练
1.AB 无论振子在哪个位置开始计时,每个全振动过程所通过的路程都为4A,每半个全振动过程通过的路程为2A;若振子在最大位移处或平衡位置开始计时,经过通过的路程为A,若不是从振子在最大位移处或平衡位置处开始计时,经过通过的路程可能小于A也可能大于A,但小于2A。综上可知A、B正确,C、D错误。
2.B 物体和平台一起做简谐运动,物体的加速度方向总是指向平衡位置,当处于平衡位置下方时,加速度向上,处于超重状态,根据牛顿第二定律,有N-mg=ma,在最低点加速度最大,支持力最大,根据牛顿第三定律,物体对平台的压力最大,故A错误,B正确;当平台经过平衡位置时,物体的加速度为零,物体对平台的压力与物体的重力大小相等,故C错误;物体运动过程中,支持力对它做功,故它的机械能不守恒,故D错误。
3.ABD 质点通过位置c即平衡位置时,速度最大,加速度为零,故A正确;由图像可知质点从位置a到c和从位置b到d所用的时间相等,均为2 s,故B正确;质点从位置a到b和从位置b到c,所用时间相同,但位移大小不同,则平均速度不相等,故C错误;由图像可看出,质点通过位置b和通过位置d时速度方向相同,故D正确。
4.D 位移-时间图线上某点的切线斜率表示振子在某时刻的速度,故A错误;振子相对平衡位置的位移的方向在0~1 s和2~3 s内跟它的瞬时速度的方向相反,故B错误;振子在前2 s内通过的路程是s=2×8 cm=16 cm,故C错误;第2 s末振子处于负向最大位移处,速度为零,加速度为正向的最大值,故D正确。
5.B 由题图知,振子计时起点位置不是平衡位置,故A错误;设振子振动方程为x=2 cos(ωt+φ)cm,当t=0时x=-1 cm,当t=1 s时x=2 cm,代入公式解得ω= rad/s,φ=,所以振子振动方程为x=2 coscm,故B正确;由题图知,t=0时振子振动方向沿x轴向下,故C错误;振子在1 s时的位移为2 cm,速度最小,加速度最大且指向平衡位置,故D错误。
6.C 弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm,所以振幅为0.1 m,振子从B点到第二次经过O点,所用时间为0.75 s,所以T=0.75 s,ω==2π rad/s,设振子的振动方程为x=0.1 sin(2πt+φ)m,振子向右经过OB的中点P时开始计时,t=0时x=5 cm,代入上式得φ=,则有x=0.1·sin m,故选C。
方法技巧 画出振子的振动图像,能更快写出振动方程。
7.C 根据甲的振动方程可知它的振幅是3a cm,A错误;由图像可知甲、乙做简谐运动的周期均为T=0.4 s,则频率f==2.5 Hz,B错误;已知甲的振动方程x=3a sin(5πt) cm,根据图像可知乙的振动方程x=3a·sin cm,则t=0时,甲、乙的相位差是,C正确,D错误。
8.C 由题图乙可知,弹簧振子的周期是4 s,A错误;2.5 s 时小球正在向x轴负方向运动,B错误;弹簧振子的周期为4 s,由周期性知t=6.5 s时小球的运动状态与t=2.5 s 时相同,t=2.5 s时小球的位移为正,加速度沿x轴负方向,C正确;t=17 s时小球的运动状态与t=1 s时相同,t=1 s时小球相对平衡位置的位移是0,故D错误。
9.B 小球从平衡位置第一次经过M点用时0.1 s,第一次经过M点到第二次经过M点用时为Δt=t2-t1=0.4 s,故从平衡位置到第一次到B点所用的时间为t==t1+=0.3 s,则周期为T=1.2 s,由题意可知小球从第一次通过M点到第三次通过M点间隔一个周期,故小球第三次通过M点的时刻为t3=t1+T=1.3 s,故选B。
10.C 若振幅为0.2 m,有nT+=1 s(n=0,1,2,3…),则T= s(n=0,1,2,3…),可知振子的周期不可能为 s,也不可能为 s,选项A、B错误;若振幅为0.4 m,一个周期内的可能振动情况如图甲,则有nT+=1 s(n=0,1,2,3…),可得T= s(n=0,1,2,3…);
甲
若一个周期内的振动如图乙,则有nT+=1 s(n=0,1,2,3…),可得T= s(n=0,1,2,3…);
乙
若一个周期内的振动如图丙,则有nT+=1 s(n=0,1,2,3…),可得T= s(n=0,1,2,3…);
丙
其中在T= s(n=0,1,2,3…)表达式中,当n=1时T= s,三个表达式中不可能得出T= s,选项C正确,D错误。
关键点拨 解答本题的关键是画出振子的振动草图,考虑一个周期内各种可能的运动情况,再结合简谐运动的周期性求解。
导师点睛 多解问题的原因
(1)周期性造成的多解问题:简谐运动是一种周期性的运动,其运动过程中每一个物理量都随时间周期性变化。因此,物体经过同一位置可以对应不同的时刻,物体的位移、加速度、速度都相同,这样就形成简谐运动的多解问题。
(2)对称性造成的多解问题:由于简谐运动具有对称性,因此当物体通过两个对称位置时,其位移、加速度大小相同,而速度可能相同,也可能等大反向,这也形成多解问题。
11.答案 (1)2 s (2)84 cm (3)100.7 s
解析 (1)根据题意有=0.3 s+ s
所以质点的振动周期T=2 s。
(2)根据题意可知振幅A=4 cm
因为Δt=10.5 s=5T+
所以质点运动的路程s=5×4A+A=21A=84 cm。
(3)质点第2次经过M点的时刻为t=0.7 s,在一个周期内质点经过M点2次,根据周期性,知质点在50个周期内经过M点100次,则质点第102次经过M点的时刻为t102=0.7 s+50T=100.7 s。
7(共20张PPT)
知识点 1 机械振动
必备知识 清单破
1 简谐运动及其图像
物体(或物体的某一部分)在某一位置两侧所做的往复运动,叫作机械振动,通常简称为振动,
这个位置称为平衡位置。
1.弹簧振子:将弹簧上端固定,下端连接一个小球,小球可在竖直方向上运动。弹簧的质量比
小球的质量小得多,可以忽略不计,若不计空气阻力,这样的系统称为弹簧振子,其中小球称为
振子。
2.位移-时间图像:以小球的平衡位置为坐标原点O,建立坐标系,横轴代表时间t,纵轴代表小球
相对平衡位置的位移x,作小球在平衡位置附近往复运动的位移-时间图像,称为弹簧振子的振
动图像。
知识点 2 简谐运动
3.简谐运动:如果质点的位移与时间的关系严格遵从正弦函数的规律,即它的振动图像是一条
正弦曲线,这样的运动叫作简谐运动。
1.振幅
(1)定义:振子离开平衡位置的最大距离,用A表示,单位为米(m)等。
(2)振动范围:振动物体运动的范围为振幅的两倍。
(3)物理意义:振幅是表示振动强弱的物理量。
2.全振动:如图,振子在光滑杆上的B点和B'点之间往复运动,如果振子由B点经O点运动到B'点,
又由B'点经O点回到B点,我们就说振子完成了一次全振动。
知识点 3 描述简谐运动的物理量
内容 周期 频率
定义 振子完成一次全振动所用的时间,用T表示 完成的全振动的次数与所用时间的比,用f表示
单位 秒(s) 赫兹(Hz)
物理含义 表示振动快慢的物理量 关系式 T= 3.周期和频率
4.相位:表示振动步调的物理量。
简谐运动的表达式为x=A sin t+φ0 =A sin (2πft+φ0)。A表示振动的振幅,T和f分别表
示物体振动的周期和频率,“2πft+φ0”是简谐运动的相位,φ0表示t=0时的相位,叫作初相位,简
称初相。
知识点 4 简谐运动的表达式
知识辨析
1.振子从离开平衡位置到第一次回到平衡位置的过程是一次全振动吗
2.如果弹簧振子在运动过程中,加速度越来越大,振子的速度方向与加速度方向一致吗
3.有同学说,既然弹簧振子的振动图像是一条正弦曲线,那么振子的运动轨迹也应是正弦曲
线。结合弹簧振子想一下,这种说法对吗 为什么
4.简谐运动的表达式为x=A sin (ωt+φ0),那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示
一语破的
1.不是。振子从离开平衡位置到第二次回到平衡位置的过程是一次全振动。
2.不一致。振子的加速度越来越大,说明振子在远离平衡位置,速度方向与加速度方向相反。
3.不对。因为振动图像不是运动轨迹。例如,水平方向的弹簧振子振动时,振子的运动轨迹是
一段线段。
4.能。简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示,也可以用余弦函数表示,只是对
应的初相位不同。
1.简谐运动的位移
(1)振动位移与运动物体在某一时间内的位移的区别
振动位移可用从平衡位置指向振子所在位置的有向线段表示,方向为从平衡位置指向振子所在位置,大小为平衡位置到该位置的距离;而物体在某一时间内的位移是相对于这段时间内
初始位置的位移,其方向由初始位置指向末位置,其大小等于初、末位置间的距离。
(2)位移的表示方法
以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某时刻振子偏离平衡位
置的位移可用该时刻振子所在位置的坐标来表示。例如,若某一时刻振子在平衡位置正方向
一侧,离平衡位置2 cm,则其所在位置可以表示为x=2 cm;若x=-8 cm,则表示振子在平衡位置负
方向一侧,距平衡位置8 cm。
关键能力 定点破
定点 1 简谐运动的运动特征
2.简谐运动的速度
(1)质点在平衡位置处位移为零而速度最大,在最大位移处速度为零。
(2)简谐运动中,质点的速度大小与位移大小有关,位移越大,速度越小。
(3)质点的速度方向与位移方向无关,如质点通过同一位置,其位移的方向是一定的,而速度方
向却有两种可能。
(4)速度的正、负号表示质点的运动方向与正方向相同或相反。
1.对全振动的理解
(1)全振动的概念:振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程,为一次全振动。
(2)全振动的四个特征
①物理量特征:位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征:历时一个周期。
③路程特征:振幅的4倍。
④相位特征:增加2π。
2.简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅与位移:振动中的位移是矢量,振幅是标量。在数值上,振幅与振动物体的最大位移相
等,但在同一简谐运动中振幅是确定的,而位移随时间做周期性变化。
定点 2 描述简谐运动的物理量
(2)振幅与路程:振动中的路程是标量,是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是:一个周
期内的路程为振幅的4倍,半个周期内的路程为振幅的2倍;若从振动物体在平衡位置或最大
位移处时开始计时,四分之一周期内通过的路程等于振幅;若从振动物体在其他位置时开始
计时,四分之一周期内通过的路程不等于振幅。
(3)振幅与周期:在简谐运动中,一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的,与振幅无关。
1.从图像可获取的信息
(1)任意时刻质点的位移的大小和方向。如图甲所示,质点在t1、t2时刻的位移分别为x1和-x2。
甲 乙
定点 3 简谐运动的图像、简谐运动表达式的理解及应用
(2)任意时刻质点的振动方向:看下一时刻质点的位置,如图乙中质点在a位置时,下一时刻离
平衡位置更远,故此刻质点向x轴正方向振动。
(3)简谐运动中速度和位移的关系:看下一时刻质点的位置,判断是远离还是衡位置。
若远离平衡位置,则速度越来越小,位移越来越大;若衡位置,则速度越来越大,位移越来
越小。如图乙中质点在b位置时,从正向位移处向着平衡位置运动,则速度为负且增大,位移在正
减小;质点在c位置时,从负向位移处远离平衡位置运动,则速度为负且减小,位移正在增大。
2.简谐运动两种描述方法的比较
(1)简谐运动图像即x-t图像是直观表示质点振动情况的一种手段,表示质点的位移x随时间t变
化的规律。
(2)x=A sin (ωt+φ0)是用函数表达式的形式反映质点的振动情况。
(3)两者对同一个简谐运动的描述是一致的。我们要能够做到两个方面:一是根据振动方程
作振动图像;二是根据振动图像读出振幅、周期、初相,进而写出位移的函数表达式。
1.简谐运动具有周期性,其特殊情况如下:
(1)若t2-t1=nT(n=1、2、3、…),则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,运动情况完全相同。
(2)若t2-t1=nT+ T(n=0、1、2、…),则t1、t2两时刻振动物体运动的位移、速度、加速度均大
小相等,方向相反。
(3)若t2-t1=nT+ T(n=0、1、2、…)或t2-t1=nT+ T(n=0、1、2、…),则当t1时刻振动物体到达最
大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻振动物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大
位移处;当t1时刻振动物体在其他位置时,t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。
定点 4 简谐运动的周期性及对称性
举例 如图所示,质点在A与B之间运动,O点为平衡位置,C和D两点关于O点对称
时间的对称性 tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO,tDB=tBD=tAC=tCA
速度的对称性 (1)质点经过同一点(如D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反;
(2)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反
位移和加速度的对称性 (1)质点经过同一点(如C点)时,位移和加速度均相同;
(2)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移与加速度均大小相等,方向相反
动能、势能、机械能的对称性 (1)质点经过同一点(如D点)时,动能、势能、机械能均相等;
(2)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,动能、势能、机械能均相等
2.简谐运动的对称性
典例 (多选)一质点在平衡位置O点附近沿水平方向做简谐运动,若从质点通过O点时开始计
时,经过0.9 s质点第一次通过M点【1】,再继续运动,又经过0.6 s质点第二次通过M点【2】,该质点
第三次通过M点【3】需再经过的时间以及周期的可能值分别是 ( )
A.1 s 1.6 s B.1.2 s 1.6 s
C.2.4 s 4.8 s D.4.2 s 4.8 s
典例
AD
信息提取 【1】未指明开始计时时质点运动方向,质点可能向右运动,也可能向左运动;
【2】质点的运动方向与第一次通过M点时相反;
【3】质点从第一次通过M点到第三次通过M点经历一次全振动。
思路点拨 开始计时后质点的运动分为两种情况:(1)质点由O点向右运动到M点,如图甲所
示;(2)质点由O点先向左运动再到M点,如图乙所示。结合运动图解,根据简谐运动的周期概
念(一次全振动对应的时间)【4】以及简谐运动的对称性【5】分析即可
甲 乙
解析 若开始计时时质点向右运动,如图甲所示,由O→B所用的时间为0.9 s+0.3 s=1.2 s,从O
点向左运动到A所用的时间也为1.2 s(由【5】得到),则质点第三次通过M点需再经过的时间
为2tMO+2tOA=2×0.9 s+2×1.2 s=4.2 s,质点的运动周期为0.6 s+4.2 s=4.8 s(由【3】、【4】得到),
故D正确;若开始计时时质点向左运动,如图乙所示,从O→A→O→M→B所用的时间为0.9 s+0.
3 s=1.2 s,为 个周期,则周期为1.6 s,可知质点第三次通过M点需再经过的时间为1.6 s-2tMB=1.
6 s-0.6 s=1 s,故A正确。
