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1.定义:当振子偏离平衡位置时,都会受到一个指向平衡位置的力,这个力叫作回复力。
2.特点:做简谐运动的物体受到总是指向平衡位置,且大小与位移成正比的回复力的作用。
3.表达式:F=-kx。
知识点 1 回复力
必备知识 清单破
2 简谐运动的回复力及能量
1.振动系统的状态与能量的对应关系
如图所示水平弹簧振子,当振子在平衡位置时,振子速度最大,此时弹性势能最小,动能有最大值;振子相对平衡位置位移最大时,振子速度为零,此时弹性势能达到最大值,动能为零。振动
系统的总机械能守恒。
知识点 2 简谐运动的能量转化
2.简谐运动的能量图像
设Ek、Ep分别为水平弹簧振子在任一时刻(或任一位置)的动能和势能,E为振动系统的总机械能,则能量随位置的变化图像为:
知识辨析
1.水平弹簧振子运动到平衡位置时,能量为零吗
2.在简谐运动中,振动物体振动一个周期,动能和势能就完成一次周期性变化吗
3.振动物体速度增大时,回复力可能增大吗
一语破的
1.不为零。水平弹簧振子运动到平衡位置时,速度最大,动能最大,总的能量不变且不为零。
2.不是。振动物体振动一个周期,动能和势能完成两次周期性变化。
3.不可能。做简谐运动的物体,速度增大时,物体向平衡位置运动,位移减小,回复力减小。
1.回复力的性质
回复力是根据力的效果命名的,它可以是一个力,也可以是多个力的合力,还可以由某个力的
分力提供。如图甲所示,水平方向的弹簧振子,弹力充当回复力;如图乙所示,竖直方向的弹簧
振子,弹力和重力的合力充当回复力;如图丙所示,m随M一起振动,m的回复力由静摩擦力提
供。
甲 乙 丙
关键能力 定点破
定点 1 对简谐运动的回复力的理解
2.简谐运动的回复力的特点
(1)由F=-kx知,简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比,回复力的方向与位移的方向
相反,即回复力的方向总是指向平衡位置。
(2)公式F=-kx中的k是比例系数,而不一定是弹簧的劲度系数,系数k由振动系统自身决定。
(3)根据牛顿第二定律得a= =- x,表明弹簧振子做简谐运动时振子的加速度大小也与位移
大小成正比,加速度方向与位移方向相反。
1.简谐运动的两个判定方法
(1)运动学方法:找出振动物体的位移与时间的关系,若遵循正弦函数的变化规律,即它的振动
图像(x-t图像)是一条正弦曲线,就可判定此振动为简谐运动。
(2)动力学方法:若回复力F与位移x间的关系满足F=-kx,则振动物体做简谐运动。
2.用动力学方法判断物体是否做简谐运动的一般步骤
(1)以平衡位置为原点,沿振动方向建立坐标轴。
(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外),对振动物体进行受力分析。
(3)将力沿振动方向和垂直于振动方向分解,求出振动方向上的合力。
(4)判断振动方向上的合力与位移间的关系是否符合F=-kx。
定点 2 简谐运动的判定方法
典例 如图所示,弹性绳一端系于P点,绕过Q处的小滑轮,另一端与质量为m、套在光滑竖直固
定杆A处的圆环相连,P、Q、A三点等高,弹性绳的原长恰好等于P、Q间距离【1】。圆环从A
点由静止释放,到达最低点C。重力加速度为g,弹性绳的弹力与形变量的关系始终遵循胡克
定律。证明:圆环做简谐运动。
典例
信息提取 【1】圆环与Q连线长度等于弹性绳伸长量。
思路点拨 先假定一个平衡位置O,根据平衡条件列式,利用好几何关系,找出O相对于A的位
置,再分析圆环在任一位置B的受力情况,找出圆环所受合力与B相对O的位移的关系,对比F回
=-kx【2】,从而证明圆环做简谐运动。
解析 设圆环向下运动到O点时受力平衡,如图所示:
竖直方向有k|OQ|cos ∠AOQ=mg,
即k|AO|=mg,|AO|= ,
当圆环运动到O点上方某点B时,相对于O点位移向上,合力向下,
合力大小 F合=mg-k|BQ|cos ∠ABQ,
即 F合=mg-k|AB|=mg-k(|AO|-|OB|)=k|OB|,
同理可证,当圆环运动到O点下方某点时,合力向上,上述关系仍成立。
故圆环做简谐运动(由【2】得到)。
答案 见解析第二章 机械振动
2 简谐运动的回复力及能量
基础过关练
题组一 对回复力的理解
1.下列关于简谐运动回复力的说法正确的是 ( )
A.回复力是使物体回到平衡位置的力
B.回复力可以是恒力
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2.如图所示,光滑斜面的倾角为θ,劲度系数为k的轻弹簧上端固定在斜面的挡板上,下端固定有质量为m的小球,重力加速度为g。将小球沿斜面上移并保持弹簧处于原长状态,然后松开小球,则 ( )
A.小球运动过程中机械能守恒
B.小球在最低点的加速度大小为0
C.弹簧弹力充当小球运动的回复力
D.小球做简谐运动的振幅为
题组二 回复力的计算
3.水平放置的弹簧振子,振子质量是2 kg,当运动到平衡位置左侧2 cm处时,受到的回复力是8 N。当运动到平衡位置右侧4 cm处时,它的加速度是 ( )
A.8 m/s2,向右 B.8 m/s2,向左
C.4 m/s2,向右 D.6 m/s2,向左
4.如图所示,物体m系在两水平弹簧之间,两弹簧的劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于自然伸长状态,今向右拉动m,然后释放,物体在B、C间振动(不计阻力),O为平衡位置,物体偏离平衡位置的位移为x,则下列判断正确的是 ( )
A.m做简谐运动,OC>OB
B.m做简谐运动,OCC.回复力F=-kx
D.回复力F=-3kx
题组三 水平弹簧振子的回复力和能量问题
5.(多选题)如图所示,水平弹簧振子在A、B两点之间做简谐运动,平衡位置为O点,C、D两点分别为OA、OB的中点。下列说法正确的是 ( )
A.振子从A点运动到C点的时间等于周期的
B.从O点运动到B点的过程中,振子的动能转化为弹簧的弹性势能
C.在C点和D点,振子的动能相同
D.从振子运动到C点时开始计时,振子再次回到C点完成一次全振动
6.水平方向的弹簧振子在B、C之间做简谐运动,O为平衡位置,如图甲所示,其中BC长为0.1 m,振子质量m=0.1 kg,运动过程中弹簧的弹性势能随时间的变化如图乙所示,下列说法不正确的是 ( )
A.振子的振幅为0.05 m
B.振子的周期为2 s
C.振子运动到平衡位置O时的动量大小p=0.2 kg·m/s
D.0.5 s时弹簧的弹性势能为0.1 J
能力提升练
题组一 竖直弹簧振子的回复力和能量问题
1.如图甲所示,将一轻弹簧与小球组成的弹簧振子竖直悬挂,上端装有一记录弹力的力传感器,当振子上下振动时,弹力随时间的变化规律如图乙所示。已知弹簧的劲度系数k=100 N/m,重力加速度大小g=10 m/s2,下列说法错误的是 ( )
A.t=0时,小球在最低点
B.弹簧振子的周期为4 s
C.小球的质量为2 kg
D.1~2 s时间段内,小球的机械能在增加
2.如图所示,将弹簧振子从平衡位置拉下一段距离Δx,释放后振子在A、B间振动,且AB=20 cm,振子由A到B的时间为0.1 s,则下列说法中正确的是 ( )
A.振子在A、B两点时,弹簧弹力大小相等
B.振子在A、B间振动,由B到A时间仍为0.1 s
C.振子完成一次全振动通过的路程为20 cm
D.振子由A运动到B回复力先增大后减小
3.(多选题)如图所示,质量为m的物体放在弹簧上,在竖直方向上做简谐运动,当振幅为A时,物体对弹簧的最大压力是物重的1.9倍,重力加速度为g,则下列说法正确的是 ( )
A.物体对弹簧的最小压力为0.1mg
B.若在物体运动到最低点时加上一质量为0.1m 的物体,随弹簧一起振动(不分离),则振幅将增大
C.物体在振动过程中机械能守恒
D.要使物体在振动过程中不离开弹簧,则振幅不能超过A
4.如图所示,竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体,mA=0.1 kg,mB=0.5 kg,弹簧的劲度系数为k=40 N/m,剪断A、B间的细绳后,A做简谐运动,不计空气等阻力,弹簧始终没有超过弹性限度,重力加速度g取10 m/s2。求:
(1)剪断细绳瞬间的回复力大小。
(2)A做简谐运动的振幅。
题组二 其他简谐运动的回复力和能量问题
5.如图所示,木块在水中沿竖直方向做简谐运动。运动过程中相对平衡位置的位移x、运动的速度v随时间t变化的关系和木块受到的合力F、动能Ek随相对平衡位置的位移x变化的关系图像可能正确的是 ( )
6.钓鱼可以修身养性,颇受人们喜爱。如图为某鱼漂的示意图,鱼漂上部可视为圆柱体。当鱼漂受到微小扰动而上下振动,某钓友发现鱼漂向下运动时圆柱体上的M点恰好可以到达水面,向上运动时圆柱体上的N点恰好可以露出水面。忽略水的阻力和水面波动影响,则 ( )
A.鱼漂的振动不是简谐运动
B.鱼漂振动过程中受到重力、浮力、回复力的作用
C.M点到达水面时,鱼漂的动能为零
D.N点到达水面时,鱼漂的加速度最小
7.(经典题)如图甲所示,金属小球用轻弹簧连接在固定的光滑斜面顶端,小球在斜面上做简谐运动,到达最高点时弹簧处于原长。取沿斜面向上为正方向,小球的振动图像如图乙所示。则 ( )
A.弹簧的最大伸长量为2 cm
B.t=0.2 s时,弹簧的弹性势能最大
C.在t=0.2 s到t=0.6 s时间内,小球的重力势能逐渐减小
D.在t=0到t=0.4 s时间内,回复力的冲量为零
题组三 简谐运动的判断
8.如图所示,劲度系数为k的弹簧上端固定在天花板上,下端挂一质量为m的小球,小球静止后,再向下将弹簧拉长,然后放手,请证明小球的运动为简谐运动。
9.如图所示,一轻质弹簧的下端固定在倾角为α的光滑斜面底部,弹簧上端拴接一质量为m的物块A。现将另一质量为3m的物块B轻轻放在A的右侧,直至系统达到平衡状态。某时刻突然将物块B取走,则物块A立即沿斜面向上运动,且在以后的运动中斜面体始终处于静止状态。已知弹簧的劲度系数为k且弹簧始终在弹性限度内,当地的重力加速度为g,空气阻力忽略不计。
(1)求物块A在运动过程中的最大加速度大小;
(2)选物块A的平衡位置为坐标原点,沿斜面向上为正方向建立坐标轴,用x表示物块A相对于平衡位置的位移,证明物块A做简谐运动;
(3)求弹簧的最大伸长量。
答案与分层梯度式解析
第二章 机械振动
2 简谐运动的回复力及能量
基础过关练
1.A 回复力是做简谐运动的物体受到的指向平衡位置的力,由F=-kx可知,回复力是变力,A正确,B错误;回复力的方向总是指向平衡位置,跟物体离开平衡位置的位移方向相反,跟物体的速度方向可能相同,也可能相反,C、D错误。
2.D 小球运动过程中,除重力做功外,还有弹簧弹力做功,则小球的机械能不守恒,A错误;根据对称性可知,小球在最低点的加速度大小等于弹簧处于原长时的加速度大小,为a=g sin θ,B错误;弹簧弹力与重力沿斜面方向的分量的合力充当小球运动的回复力,C错误;小球在最高点时满足mg sin θ=kA,可知小球做简谐运动的振幅为A=,D正确。
3.B 当振子在平衡位置左侧2 cm处时,受到的回复力是8 N,有F1=kx1;当振子运动到平衡位置右侧4 cm 处时,受到的回复力大小为F2=kx2;联立解得F2=16 N,回复力方向向左,故加速度大小为a==8 m/s2,方向向左,故选B。
4.D 以O点为原点,水平向右为x轴正方向,物体在O点右方x处时所受合力F=-(k1x+k2x)=-3kx,因此物体做简谐运动,由对称性可知,OC=OB。故选D。
5.BC 振子从A点运动到O点的时间等于周期的,因振子从A到C的时间大于从C到O的时间,可知振子从A点运动到C点的时间大于周期的,选项A错误;从O点运动到B点的过程中,振子速度减小,动能减小,弹簧弹性势能增加,即振子的动能转化为弹簧的弹性势能,选项B正确;在C点和D点,振子的速度大小相同,动能相同,选项C正确;从振子运动到C点时开始计时,振子第二次回到C点才是完成一次全振动,选项D错误。
6.B 根据题意可知,弹簧振子在B、C之间做简谐运动,BC长为0.1 m,则振子的振幅为0.05 m,A正确;振子运动到平衡位置O时,弹簧的弹性势能全部转化为振子的动能,由题图乙可知,t=0时,振子在最大位移处,t=1 s时,振子在平衡位置,则振子的周期为T=4×1 s=4 s,振子在平衡位置时的动能为Ek=0.2 J,根据动量和动能的关系可得p==0.2 kg·m/s,B错误,C正确;由题图乙可知,Ep与t的关系式为Ep=0.1 sin J+0.1 J,当t=0.5 s时,Ep=0.1·sin J+0.1 J=0.1 J,D正确。本题选不正确的,故选B。
能力提升练
1.C t=2 s时,弹力为0,小球处于最高点,t=0时,弹力最大,小球在最低点,A说法正确,不符合题意;由题图乙可知,弹簧振子周期为4 s,B说法正确,不符合题意;小球在最高点时仅受重力,加速度大小为g,则小球在最低点,弹力为20 N时的加速度大小也为g,根据牛顿第二定律可得F-mg=mg,解得m=1 kg,C说法错误,符合题意;1~2 s时间内,弹簧弹力减小,弹性势能减小,而弹簧和小球组成的系统机械能守恒,则小球在这一过程中的机械能增大,D说法正确,不符合题意。
2.B 由对称性可知,振子在A、B两点时的加速度等大反向,则在A、B两点分别满足FA-mg=ma,FB+mg=ma,所以振子在A、B两点时,弹簧弹力FA>FB,故A错误;由时间对称性可知,振子由A到B的时间与由B到A时间相等,均为0.1 s,故B正确;由题意知,振子的振幅为A=10 cm,所以振子完成一次全振动通过的路程为s=4A=40 cm,故C错误;因为衡位置时,振子的回复力减小,远离平衡位置时,振子的回复力增大,所以振子由A运动到B的过程回复力先减小后增大,故D错误。
3.AD 当物体运动到最低点时,对弹簧压力最大,此时由牛顿第二定律得Fmax-mg=ma,由题意知Fmax=1.9mg,所以a=0.9g;当物体运动到最高点时,对弹簧压力最小,此时由牛顿第二定律得mg-Fmin=ma';由简谐运动的对称性知,物体在最高点与最低点的加速度大小相等,即a'=0.9g,求得Fmin=0.1mg,选项A正确。若在物体运动到最低点时加上一质量为0.1m的物体,随弹簧一起振动(不分离),其平衡位置降低,最低点不变,则振幅将减小,选项B错误。在振动过程中,只有重力和弹簧的弹力做功,物体与弹簧组成的系统机械能守恒,但物体机械能不守恒,选项C错误。在最低点有kA=ma=0.9mg,解得k=,物体在平衡位置下方处于超重状态,不可能离开弹簧,只有在平衡位置上方可能离开弹簧,要使物体在振动过程中恰好不离开弹簧,物体在最高点的加速度a″=g,此时弹簧的弹力为零,若振幅再增大,物体便会脱离弹簧,物体在最高点刚好不离开弹簧时,回复力为重力,所以mg=kA',则振幅A'==A,因此,要使物体在振动过程中不离开弹簧,则振幅不能超过A,选项D正确。
4.答案 (1)5 N (2)0.125 m
解析 画出弹簧各处位置如图所示:
(1)剪断绳子前,弹簧的弹力
F弹=GA+GB
剪断绳子的瞬间,A做简谐运动的回复力大小为
F回=F弹-GA=GA+GB-GA=GB=0.5×10 N=5 N。
(2)剪断绳子瞬间弹簧的形变量为
L1====0.15 m
A处于平衡位置时,弹簧的形变量为
L2====0.025 m
根据简谐运动的特点,A做简谐运动的振幅为
L1-L2=0.125 m。
5.B 木块在水中沿竖直方向做简谐运动,故运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像都应该是正弦(余弦)函数图像,A不符合题意,B符合题意;木块做简谐运动的回复力由它受到的合力提供,根据回复力表达式F回=-kx,可知木块受到的合力F随位移x变化的图线应在第二、四象限,C不符合题意;x增大,木块速度减小,动能减小,D不符合题意。
6.C 设鱼漂静止时水下部分的长度为x0,根据平衡条件得mg=ρgSx0,取向下为正方向,鱼漂从平衡位置向下运动位移为x时,鱼漂所受的合力为F=mg-ρgS(x0+x)=-ρgSx,设k=ρgS,则F=-kx,鱼漂的振动为简谐运动,A错误;鱼漂受到重力和浮力的作用,重力和浮力的合力充当回复力,B错误;M点到达水面时,鱼漂位于最低点,鱼漂的动能最小,等于零,C正确;N点到达水面时,鱼漂位于最高点,相对于平衡位置的位移最大,合力最大,根据牛顿第二定律可知鱼漂的加速度最大,D错误。
7.C 由题图乙读出,振幅为A=2 cm,由于小球到达最高点时弹簧处于原长,所以弹簧的最大伸长量为2A=4 cm,A错误;由题图乙可知t=0.2 s时,弹簧处于原长,弹簧的弹性势能最小,为零,B错误;在t=0.2 s到t=0.6 s时间内,小球沿斜面向下运动,小球的重力势能逐渐减小,C正确;t=0时小球经过平衡位置沿斜面向上运动,t=0.4 s时小球经过平衡位置沿斜面向下运动,根据动量定理可知回复力的冲量不为零,D错误。
易混易错 由题图乙可知t=0.2 s时小球的位移最大,易误认为此时弹簧的弹性势能最大,从而错选B。真实的情况是小球运动至最高点时弹簧处于原长(题目中已交代),t=0.2 s时小球的位移为正值且最大,说明小球位于最高点,此时弹簧的弹性势能为零。
8.答案 见解析
解析 设小球在平衡位置时,弹簧伸长了x0,则有mg=kx0。
以向下为正方向,当小球向下偏离平衡位置x时有F合=mg-k(x+x0),
解得F合=-kx,方向竖直向上,故小球的运动为简谐运动。
9.答案 (1)3g sin α (2)见解析 (3)
解析 (1)在系统达到平衡状态时对A、B整体做受力分析有(mA+mB)g sin α=kx1
则突然将物块B取走的瞬间,弹簧还来不及改变,则此时物块A的加速度最大,有
kx1-mAg sin α=mAaAmax
联立解得aAmax=3g sin α。
(2)设物块A在平衡位置时弹簧的压缩量为x2,则有mAg sin α=kx2
当物块A经过平衡位置下方的某一位置时,相对平衡位置位移为x,则
F=k(x2-x)-mAg sin α
由以上两式得F=-kx
且位移的方向与F的方向相反,即物块A做简谐运动。
(3)将物块B移开后,物块A做简谐运动过程,平衡位置弹簧的压缩量
x2==
所以物块A的振幅为x1-x2=
弹簧的最大伸长量x3=(x1-x2)-x2=。
7
