浙江省杭州市长兴富阳名校协助体2025年中考三模数学试题
1．（2025·杭州模拟）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B．0.4 C．0 D．-1
【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.是无理数，故A符合题意；
B.0.4是分数，是有理数，故B不符合题意；
C.0是整数，是有理数，故C不符合题意；
D.-1是整数，是有理数，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数，判断即可得出答案.
2．（2025·杭州模拟）由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：图中几何体的俯视图是由2层，上层有两个小立方体，下层有1个小立方体，且左下方没有小立方体；
故答案为：D.
【分析】根据俯视图的概念：从上方看所得的图形即可判断得出答案.
3．（2025·杭州模拟）据统计，DeepSeek一R1发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，DeepSeek在1月份累计获得1.25亿用户.数据1.25亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.25亿=1.25×108，
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．（2025·杭州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不能合并，故A错误，不符合题意；
B.，故B错误，不符合题意；
C.，故C正确，符合题意；
D.，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项的概念、同底数幂相乘、同底数幂相除及幂的乘方计算即可判断得出答案.
5．（2025·杭州模拟）将数据83，85，87，89，84，85，86，88，87，90分组，则86.5~88.5这一组的频数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：在86.5~88.5范围内的有87，88，87，
所以这组的频数为3；
故答案为：B.
【分析】根据频数的概念：一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，即可判断得出答案.
6．（2025·杭州模拟）如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为（1000，1500)，则学校的位置坐标为（ ）
A．(1500，1000) B．(1500，1500)
C．(2000，1000) D．(2000，1500)
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：建立坐标系，如图所示，
因为1000÷500=2，1500÷500=3，
所以4×500=2000，2×500=1000，
则学校的坐标为(2000，1000)
故答案为：C.
【分析】根据题意，建立出合适的平面直角坐标系，即可得出答案.
7．（2025·杭州模拟）如图，在数轴上点A表示数-1，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t.点P，Q
所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（ ）
A．若t＜-1，则BQ>AQ B．若t<0，则AQ>OQ
C．若t>0，则BQ1，则AQ【答案】A
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：距离公式AB =|xb-xa|
A．若t<-1，则|BQ|>|AQ|，
当t<-1时，(如t=-2)：Q=为负数(如t =-2时，Q=-0.5)，
|BQ|=|1-|=|1-(-0.5)|= 1.5(因1>，结果为1-)，
|AQ|=|-1-|=|-1-(-0.5)|=0.5(因-1-<0，绝对值为-(-1-)=1+，但负，故|AQ|=1-||= 0.5)。
比较：|BQ|=1.5>|AQ| =0.5，成立，故A正确，符合题意；
B.若t<0，则||AQ| >|OQ|，
反例：当t=-0.5时，
Q==-2，
|AQ|=|-1-(-2)|=|1|=1，|OQ|=|0-(-2)|=2，
比较：|AQ|=1<|OQ|=2，不满足|AQ|>|OQ|，
故B错误(非所有t < 0均成立)，不符合题意；
C.若t>0，则|BQ| <|OQ|，
反例：当t=2时：
Q==0.5，|BQ|=|1-0.5|=0.5，|OQ|=|0-0.5|= 0.5，
比较：|BQ =|OQ|，不满足严格小于，
故C错误(仅当0 0包含其他情况)，不符合题意；
选项D：若t>1，则|AQ| <|OQ|，当t>1时(如t=2)，
Q==0.5，|AQ|=|-0.5|=1.5，
|OQ| =|0-0.5|=0.5，比较：|AQ| =1.5 >|OQ|=0.5，不满足小于，
故D错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据距离公式及数轴上的点的坐标，比较点间距离，分情况讨论t的取值区间，结合绝对值计算距离，并判断不等式是否恒成立，即可判断得出答案.
8．（2025·杭州模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B=42°，P是EF上一点，则∠DPE的度数是（ ）
A．42° B．48° C．58° D．69°
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD、OE，
∵⊙O与AB、BC分别相切于点D，E
AB⊥OD，BC⊥OE，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=42°，
∴∠DOE=360°-∠ODB-∠OEB-∠B=138°，
∴∠DPE=∠DOE=69°，
故答案为：D.
【分析】连接OD、OE，由切线的性质得及已知可得∠DOE的度数，再根据圆周角定理可得∠DPE的度数.
9．（2025·杭州模拟）如图，把一根长为100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点0处并将它悬挂，在中点O的左侧与中点O的距离为25cm处挂一个重9.8N的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点35cm时，弹簧秤的读数应为（ ）
A．9.8N B．7N C．6.2N D．2N
【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设弹簧秤的读数为xN，
由杠杆原理得到：，
∴x=7，
∴弹簧秤的读数为7N；
故答案为：B.
【分析】设弹簧秤的读数为xN，根据杠杆原理列出关于x的方程，解出即可得到答案.
10．（2025·杭州模拟）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，连结DE，将DE绕顶点D按顺时针方向旋转120°得到DE'，连结AE'，CE'.当CE=4时，△CDE的面积为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．9
【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，过点E'作GH⊥CD于G，交直线AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴∠ADC=120°，AD=CD，∠DCB=∠DAB=60°，
∵DF⊥AB，
∴∠ADF=30°，
∴AF=3，DF=AF=
∵将DE绕顶点D按顺时针方向旋转120°得到DE'，
∴DE=DE'，∠EDE'=120°=∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE'，
∴△CDE≌△ADE'(SAS)，
∴CE=AE'=4，∠DCE=∠DAE'=60°，
∠HAE'=60°，
∵GH⊥DG，AB∥CD，
∴GH⊥AB，
∴∠AE'H=30°，
∴AH=AE'=2，EH=AH=，
∵DF⊥AB，GH⊥AB，GH⊥DG，
∴四边形DFHG是矩形，
∴DF=GH=，
∴E'G=，
∴△CDE'的面积=
故答案为：A.
【分析】由旋转的性质可得DE=DE'，∠EDE'=∠ADC，由SAS可证△CDE≌△ADE'，可得CE=AE'=4，∠DCE=∠DAE'=60°，由直角三角形的性质可求E'H的长，由三角形的面积公式即可求解.
11．（2025·杭州模拟）分解因式：
【答案】（x+2）（x-2）
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：-4=（x+2）（x-2）；
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可。
12．（2025·杭州模拟）下表是小叶同学根据某地一周的气温测量数据制作成的统计表，则这一周的气温测量数据的平均数是 .
天数 3 1 1 1 1
气温（℃) 25 23 20 27 30
【答案】25℃
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：=25℃，
故答案为：25℃.
【分析】根据加权平均数的定义：将每个气温乘以其对应的天数求和后除以总天数，计算即可得出答案.
13．（2025·杭州模拟）如图，在中，点D，E分别在AB，BC边上，，且，则的值为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BDE~△BAC，
∴，
∵CE=3BE，
∴BC =4BE，
∴，
故答案为：.
【分析】先证明△BDE~△BAC，则根据相似三角形的性质得到，然后证明BC=4BE，即可得出结果.
14．（2025·杭州模拟）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（m/s）与载重后总质量M（kg）成反比例.已知该款机器狗载重后总质量M为50kg时，它的最快移动速度v为7m/s；若其最快移动速度v大于14m/s，则其载重后总质量M的取值范围是 kg·
【答案】0【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
∵机器狗载重后总质量M=50kg时，它的最快移动速度v=7m/s，
∴k=50×7=350，
∴反比例函数解析式为，
当v>14时，M＜=25，
∴M的取值范围是0故答案为：0【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将当v>14代入计算即可.
15．（2025·杭州模拟）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图.想要在一幅长为50cm，宽为30cm的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为xcm，若要使整个挂图的长与宽之比为3：2，则可列关于x的方程为 .
【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为(50+2x)cm，宽为(30+2x)cm，
依题意得：或；
故答案为：或.
【分析】设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为(50+2x)cm，宽为(30+2x)cm，再根据整个挂图的长与宽之比为3：2列出方程即可.
16．（2025·杭州模拟）如图，在正方形ABCG与正方形CDEF中，点G是CF的三等分点，点H与点A关于点C成中心对称.连结EG，BE，BH，DH.若S=4，则BH的长为 .
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；中心对称的性质
【解析】【解答】解：设正方形ABCG的边长为a，
∵点G是CF的三等分点，
∴ CF=3CG，
则正方形CDEF的边长为3a，
∴BD=BC+CD=4a，FG=FC-CG=2a，
∵S阴影=S正方形ABCG+S正方形FCDE-S△FGE-S△BDF=4，
则可得方程a2+9a2-3a2-6a2=4，
解得 a=2(负值舍去)，
如图，连接AC，CH，过点H作HM⊥BD交于点M，
∵点H与点A关于点C成中心对称，
∴A，C，H三点共线，且AC=CH，
∵∠ABC=∠HMC，∠ACB=∠HCM，
∵△ACB≌△HCM(AAS)，
∴MH=CM=AC=BC=2，
∴BM=4，
∴=；
故答案为：.
【分析】设正方形ABCG的边长为a，则正方形CDEF的边长为3a，用a表示出S阴影，即可求得a，再利用勾股定理求得BH即可.
17．（2025·杭州模拟）计算：
【答案】解：原式=2+1-2=1
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值的定义，零指数幂，平方根的定义计算，再进行加减即可.
18．（2025·杭州模拟）解方程组：
【答案】解：
①得：，
.
把代入①得，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解一元二次方程组即可.
19．（2025·杭州模拟）火箭发射升空的示意图如图所示，火箭从地面D处发射，当火箭到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°，根据以上信息，解答下列问题：
(参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan45.54°≈1.02)
（1）求∠DAC的度数；
（2）求AB的长（结果保留一位小数).
【答案】（1）解：∠DAC=90°-43°=47°
（2）解：
即
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【分析】(1)根据题意可得：AD⊥DC，从而可得∠ADC =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
(2)先在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，最后进行计算即可得出答案.
20．（2025·杭州模拟）数学兴趣小组为了解某街道20~50岁居民最喜欢的支付方式，对该街道内这个年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求参与问卷调查的总人数；
（2）补全条形统计图；
（3）该社区中20~50岁的居民约5000人，估算这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数.
【答案】（1）解：(30+20)÷10%=500(人)
（2）解：35~50岁选择C支付方式人数：15%×500-15=60(人)，
（3）解：5000×(1-35%-15%-10%)=5000×40%=2000(人)
【知识点】频数与频率；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据喜欢其他支付的人数÷其所占支付方式的比例=参与问卷调查的总人数，即可求出结论；
(2)根据喜欢现金支付的人数(35~50岁)=参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例-15，即可求出喜欢现金支付的人数(35~50岁)，再将条形统计图补充完整即可得出结论；
(3)根据喜欢支付宝支付方式的人数=社区居民人数×支付宝支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论.
21．（2025·杭州模拟）在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中Rt△ABC，其中∠C=90°，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形，
小明的剪法是：找到边AB，BC的中点D，E，连结DE，沿DE剪一刀，再把△BDE绕点D顺时针旋转180°得到△B'DE'，此时点B'与点A重合，则四边形AE'EC就是矩形.
请利用所学的数学知识，完成下列问题：
（1）老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法；
（2）把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图，
【答案】（1）解：是AB，BC的中点，
，
四边形AE'EC为平行四边形，
，
四边形AE'EC为矩形.
（2）解：如图所示.
【知识点】矩形的判定；旋转的性质；作图﹣旋转；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理，旋转的性质可得四边形AE'EC为平行四边形，再根据∠C=90°即可得出AE'EC为矩形；
(2)取边AB，BC的中点F、G，连接FG，作AH⊥FG，沿FG剪一刀，再沿AH剪一刀，把△AFH绕点F逆时针旋转180°得到△BFE，此时点A与点B重合，把△AGH绕点G顺时针旋转180°得到△CGD，此时点A与点C重合，可证明∠E=∠D=∠EBC =90°，则四边形BEDC就是矩形.
22．（2025·杭州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线：y=-x2+2tx+3经过点（3，0).
（1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
（2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（n>0）个单位，图象
恰好经过点（5，-2)，求n的值.
【答案】（1）解：把 (3， 0) 代入 得：，
，，
对称轴为直线 ，当 时，，
顶点坐标为 (1， 4).
（2）解：将点（5，-2)向左平移2个单位，向上平移n(n>0)个单位
得到的坐标为(3，-2+n)，
将点(3，-2+n)代入y=-x2+2x+3得：n=2.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)先利用已知点(3，0)代入抛物线方程个求出参数t，再通过顶点坐标公式或配方法求出对称轴和顶点坐标；
(2)将原抛物线的顶点式通过平移变换得到新抛物线的表达式，再代入已知点(5，-2)解方程求n的值.
23．（2025·杭州模拟）在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发.下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系图象.
请根据图象信息解答下列问题：
（1）求出乙车的速度.
（2）两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间，
（3）若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量，
【答案】（1）解： .
（2）解：（h），，故乙先到目的地
∴.
∵相遇后距离为30km，
∴甲，乙共同行驶了100km，
∴甲，乙共同行驶的时间为：
∴甲行驶时间为：.
（3）解：由题可得：要使两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为：1.75h.
此时乙车速度应为：\therefore乙车的速度应减小，减小的值为km/h.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据 速度=路程÷时间 ，计算即可；
(2)先判断哪辆车先到达目的地，再根据 速度=路程÷时间 求出甲车的速度，从而由(甲车出发时两车之间的距离+30)÷两车速度之和列式计算即可；
(3)判断乙车到达目的地所用时间，再求出其速度从而得出结论即可.
24．（2025·杭州模拟）如图1，已知内接于，AB=AC，点是上的一点，连接AD，CD.
（1）【证明体验】
求证：.
（2）【思考探究】
如图2，连接BD，交AC于点，作交BD于点.
①试猜想BD，DE，CD之间存在怎样的数量关系？写出你的结论并说明理由.
②如图3，若BD经过圆心，且，求的值.
【答案】（1）证明：
又
（2）解：①，理由如下：
如图，在BD上取一点，使，连结AG，
∵∴，∴
在与中
∵，
，
，
∴
又∵，，
∴∴，
∴.
②如图，连结 CO，AO，并延长 AO 交 BC 于点 H.
∵OB=OC，OA=OA，AB=AC，
∴△ABO≌△ACO(SSS)
∴∠BAO= ∠CAO
∴AH垂直平分 BC.
设 DE = a，则 AE = 2a，由 得 ，BE = 4a.
，根据勾股定理得 ，
，根据勾股定理得 .
又 是直径，
，，
，
，
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用圆的内接四边形的性质和三角形的内角和定理解答即可；
(2)①在BD上取一点G，使EG=ED，连结AG，利用线段的垂直平分线的性质得到AG=AD，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到BG =CD，再利用等式的性质解答即可；
②连结CO，AO，并延长AO交BC于点H，利用全等三角形的判定与性质得到∠BAO =∠CAO，则AH垂直平分BC；设DE=a，则AE=2a，利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质直角三角形的性质和勾股定理得到BE，BD，AF，AD，AB，AC，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得BH，BC，CD，利用平行线的判定与性质求得，相似三角形的判定与性质求得，再利用同高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可得出结论.
1 / 1浙江省杭州市长兴富阳名校协助体2025年中考三模数学试题
1．（2025·杭州模拟）下列实数中，属于无理数的是（ ）
A． B．0.4 C．0 D．-1
2．（2025·杭州模拟）由4个相同小立方体搭成的几何体如图所示，则它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·杭州模拟）据统计，DeepSeek一R1发布几天后，用户数量在1月的最后一周迎来了爆发，DeepSeek在1月份累计获得1.25亿用户.数据1.25亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·杭州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·杭州模拟）将数据83，85，87，89，84，85，86，88，87，90分组，则86.5~88.5这一组的频数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2025·杭州模拟）如图，已知每个方格都是边长为500的正方形，小刚家的位置坐标为（1000，1500)，则学校的位置坐标为（ ）
A．(1500，1000) B．(1500，1500)
C．(2000，1000) D．(2000，1500)
7．（2025·杭州模拟）如图，在数轴上点A表示数-1，点B表示数1，O是原点，点P表示的数是t.点P，Q
所表示的数互为倒数，则下列说法中，正确的是（ ）
A．若t＜-1，则BQ>AQ B．若t<0，则AQ>OQ
C．若t>0，则BQ1，则AQ8．（2025·杭州模拟）如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B=42°，P是EF上一点，则∠DPE的度数是（ ）
A．42° B．48° C．58° D．69°
9．（2025·杭州模拟）如图，把一根长为100cm的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点0处并将它悬挂，在中点O的左侧与中点O的距离为25cm处挂一个重9.8N的物体，同时在中点的右侧某处挂一个弹簧秤并向下拉，使木杆处于水平状态，根据杠杆原理，当挂弹簧秤处距离中点35cm时，弹簧秤的读数应为（ ）
A．9.8N B．7N C．6.2N D．2N
10．（2025·杭州模拟）如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠A=60°，点E在BC边上，连结DE，将DE绕顶点D按顺时针方向旋转120°得到DE'，连结AE'，CE'.当CE=4时，△CDE的面积为（ ）
A．3 B．6 C．4 D．9
11．（2025·杭州模拟）分解因式：
12．（2025·杭州模拟）下表是小叶同学根据某地一周的气温测量数据制作成的统计表，则这一周的气温测量数据的平均数是 .
天数 3 1 1 1 1
气温（℃) 25 23 20 27 30
13．（2025·杭州模拟）如图，在中，点D，E分别在AB，BC边上，，且，则的值为 .
14．（2025·杭州模拟）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（m/s）与载重后总质量M（kg）成反比例.已知该款机器狗载重后总质量M为50kg时，它的最快移动速度v为7m/s；若其最快移动速度v大于14m/s，则其载重后总质量M的取值范围是 kg·
15．（2025·杭州模拟）《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图.想要在一幅长为50cm，宽为30cm的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图，设金色纸边的宽为xcm，若要使整个挂图的长与宽之比为3：2，则可列关于x的方程为 .
16．（2025·杭州模拟）如图，在正方形ABCG与正方形CDEF中，点G是CF的三等分点，点H与点A关于点C成中心对称.连结EG，BE，BH，DH.若S=4，则BH的长为 .
17．（2025·杭州模拟）计算：
18．（2025·杭州模拟）解方程组：
19．（2025·杭州模拟）火箭发射升空的示意图如图所示，火箭从地面D处发射，当火箭到达A点时，从位于地面C处的雷达站测得AC的距离是6km，仰角为43°；1s后火箭到达B点，此时测得仰角为45.54°，根据以上信息，解答下列问题：
(参考数据：sin43°≈0.68，cos43°≈0.73，tan45.54°≈1.02)
（1）求∠DAC的度数；
（2）求AB的长（结果保留一位小数).
20．（2025·杭州模拟）数学兴趣小组为了解某街道20~50岁居民最喜欢的支付方式，对该街道内这个年龄段的部分居民展开了随机问卷调查（每人只能选择其中一项），并将调查数据整理后绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题：
（1）求参与问卷调查的总人数；
（2）补全条形统计图；
（3）该社区中20~50岁的居民约5000人，估算这些人中最喜欢支付宝支付方式的人数.
21．（2025·杭州模拟）在数学实践课中，老师给每位同学发了一张直角三角形纸板，如图1中Rt△ABC，其中∠C=90°，要求同学用剪刀剪一次，把它剪拼成一个矩形，
小明的剪法是：找到边AB，BC的中点D，E，连结DE，沿DE剪一刀，再把△BDE绕点D顺时针旋转180°得到△B'DE'，此时点B'与点A重合，则四边形AE'EC就是矩形.
请利用所学的数学知识，完成下列问题：
（1）老师说小明的剪拼是正确的，请你证明老师的说法；
（2）把图2的三角形剪两刀，剪拼成一个矩形，并在答题纸相应位置画出剪拼示意图，
22．（2025·杭州模拟）在平面直角坐标系中，抛物线：y=-x2+2tx+3经过点（3，0).
（1）求此二次函数图象的对称轴与顶点坐标；
（2）若把此二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移n（n>0）个单位，图象
恰好经过点（5，-2)，求n的值.
23．（2025·杭州模拟）在一条笔直的公路上，甲车从A地到B地，乙车从B地到A地，乙先出发.下图表示甲、乙两车之间的距离s（km）与行驶时间t（h）的函数关系图象.
请根据图象信息解答下列问题：
（1）求出乙车的速度.
（2）两车相遇后，继续行驶，当两车之间距离为30km时，求甲车行驶的时间，
（3）若保持乙车先行的时间不变、甲车的速度不变，要使两车同时到达各自的目的地，请你判断乙车的速度是应该增加还是减小？并求出速度增加或减小的数量，
24．（2025·杭州模拟）如图1，已知内接于，AB=AC，点是上的一点，连接AD，CD.
（1）【证明体验】
求证：.
（2）【思考探究】
如图2，连接BD，交AC于点，作交BD于点.
①试猜想BD，DE，CD之间存在怎样的数量关系？写出你的结论并说明理由.
②如图3，若BD经过圆心，且，求的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A.是无理数，故A符合题意；
B.0.4是分数，是有理数，故B不符合题意；
C.0是整数，是有理数，故C不符合题意；
D.-1是整数，是有理数，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据无理数的概念：无限不循环小数，判断即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：图中几何体的俯视图是由2层，上层有两个小立方体，下层有1个小立方体，且左下方没有小立方体；
故答案为：D.
【分析】根据俯视图的概念：从上方看所得的图形即可判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1.25亿=1.25×108，
故答案为：B.
【分析】根据科学记数法的表示形式即可得出答案.
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.
当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A.与不能合并，故A错误，不符合题意；
B.，故B错误，不符合题意；
C.，故C正确，符合题意；
D.，故D错误，不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项的概念、同底数幂相乘、同底数幂相除及幂的乘方计算即可判断得出答案.
5．【答案】B
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：在86.5~88.5范围内的有87，88，87，
所以这组的频数为3；
故答案为：B.
【分析】根据频数的概念：一般称落在不同小组中的数据个数为该组的频数，即可判断得出答案.
6．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：建立坐标系，如图所示，
因为1000÷500=2，1500÷500=3，
所以4×500=2000，2×500=1000，
则学校的坐标为(2000，1000)
故答案为：C.
【分析】根据题意，建立出合适的平面直角坐标系，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】数轴上两点之间的距离；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：距离公式AB =|xb-xa|
A．若t<-1，则|BQ|>|AQ|，
当t<-1时，(如t=-2)：Q=为负数(如t =-2时，Q=-0.5)，
|BQ|=|1-|=|1-(-0.5)|= 1.5(因1>，结果为1-)，
|AQ|=|-1-|=|-1-(-0.5)|=0.5(因-1-<0，绝对值为-(-1-)=1+，但负，故|AQ|=1-||= 0.5)。
比较：|BQ|=1.5>|AQ| =0.5，成立，故A正确，符合题意；
B.若t<0，则||AQ| >|OQ|，
反例：当t=-0.5时，
Q==-2，
|AQ|=|-1-(-2)|=|1|=1，|OQ|=|0-(-2)|=2，
比较：|AQ|=1<|OQ|=2，不满足|AQ|>|OQ|，
故B错误(非所有t < 0均成立)，不符合题意；
C.若t>0，则|BQ| <|OQ|，
反例：当t=2时：
Q==0.5，|BQ|=|1-0.5|=0.5，|OQ|=|0-0.5|= 0.5，
比较：|BQ =|OQ|，不满足严格小于，
故C错误(仅当0 0包含其他情况)，不符合题意；
选项D：若t>1，则|AQ| <|OQ|，当t>1时(如t=2)，
Q==0.5，|AQ|=|-0.5|=1.5，
|OQ| =|0-0.5|=0.5，比较：|AQ| =1.5 >|OQ|=0.5，不满足小于，
故D错误，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据距离公式及数轴上的点的坐标，比较点间距离，分情况讨论t的取值区间，结合绝对值计算距离，并判断不等式是否恒成立，即可判断得出答案.
8．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OD、OE，
∵⊙O与AB、BC分别相切于点D，E
AB⊥OD，BC⊥OE，
∴∠ODB=∠OEB=90°，
∵∠B=42°，
∴∠DOE=360°-∠ODB-∠OEB-∠B=138°，
∴∠DPE=∠DOE=69°，
故答案为：D.
【分析】连接OD、OE，由切线的性质得及已知可得∠DOE的度数，再根据圆周角定理可得∠DPE的度数.
9．【答案】B
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设弹簧秤的读数为xN，
由杠杆原理得到：，
∴x=7，
∴弹簧秤的读数为7N；
故答案为：B.
【分析】设弹簧秤的读数为xN，根据杠杆原理列出关于x的方程，解出即可得到答案.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；旋转的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，过点D作DF⊥AB于F，过点E'作GH⊥CD于G，交直线AB于H，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴∠ADC=120°，AD=CD，∠DCB=∠DAB=60°，
∵DF⊥AB，
∴∠ADF=30°，
∴AF=3，DF=AF=
∵将DE绕顶点D按顺时针方向旋转120°得到DE'，
∴DE=DE'，∠EDE'=120°=∠ADC，
∴∠CDE=∠ADE'，
∴△CDE≌△ADE'(SAS)，
∴CE=AE'=4，∠DCE=∠DAE'=60°，
∠HAE'=60°，
∵GH⊥DG，AB∥CD，
∴GH⊥AB，
∴∠AE'H=30°，
∴AH=AE'=2，EH=AH=，
∵DF⊥AB，GH⊥AB，GH⊥DG，
∴四边形DFHG是矩形，
∴DF=GH=，
∴E'G=，
∴△CDE'的面积=
故答案为：A.
【分析】由旋转的性质可得DE=DE'，∠EDE'=∠ADC，由SAS可证△CDE≌△ADE'，可得CE=AE'=4，∠DCE=∠DAE'=60°，由直角三角形的性质可求E'H的长，由三角形的面积公式即可求解.
11．【答案】（x+2）（x-2）
【知识点】平方差公式及应用；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：-4=（x+2）（x-2）；
【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可。
12．【答案】25℃
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：=25℃，
故答案为：25℃.
【分析】根据加权平均数的定义：将每个气温乘以其对应的天数求和后除以总天数，计算即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴△BDE~△BAC，
∴，
∵CE=3BE，
∴BC =4BE，
∴，
故答案为：.
【分析】先证明△BDE~△BAC，则根据相似三角形的性质得到，然后证明BC=4BE，即可得出结果.
14．【答案】0【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
∵机器狗载重后总质量M=50kg时，它的最快移动速度v=7m/s，
∴k=50×7=350，
∴反比例函数解析式为，
当v>14时，M＜=25，
∴M的取值范围是0故答案为：0【分析】利用待定系数法求出反比例函数解析式，再将当v>14代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为(50+2x)cm，宽为(30+2x)cm，
依题意得：或；
故答案为：或.
【分析】设金色纸边的宽为xcm，则整个挂图的长为(50+2x)cm，宽为(30+2x)cm，再根据整个挂图的长与宽之比为3：2列出方程即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；中心对称的性质
【解析】【解答】解：设正方形ABCG的边长为a，
∵点G是CF的三等分点，
∴ CF=3CG，
则正方形CDEF的边长为3a，
∴BD=BC+CD=4a，FG=FC-CG=2a，
∵S阴影=S正方形ABCG+S正方形FCDE-S△FGE-S△BDF=4，
则可得方程a2+9a2-3a2-6a2=4，
解得 a=2(负值舍去)，
如图，连接AC，CH，过点H作HM⊥BD交于点M，
∵点H与点A关于点C成中心对称，
∴A，C，H三点共线，且AC=CH，
∵∠ABC=∠HMC，∠ACB=∠HCM，
∵△ACB≌△HCM(AAS)，
∴MH=CM=AC=BC=2，
∴BM=4，
∴=；
故答案为：.
【分析】设正方形ABCG的边长为a，则正方形CDEF的边长为3a，用a表示出S阴影，即可求得a，再利用勾股定理求得BH即可.
17．【答案】解：原式=2+1-2=1
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先根据绝对值的定义，零指数幂，平方根的定义计算，再进行加减即可.
18．【答案】解：
①得：，
.
把代入①得，
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解一元二次方程组即可.
19．【答案】（1）解：∠DAC=90°-43°=47°
（2）解：
即
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—两锐角关系
【解析】【分析】(1)根据题意可得：AD⊥DC，从而可得∠ADC =90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答；
(2)先在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AD和CD的长，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，最后进行计算即可得出答案.
20．【答案】（1）解：(30+20)÷10%=500(人)
（2）解：35~50岁选择C支付方式人数：15%×500-15=60(人)，
（3）解：5000×(1-35%-15%-10%)=5000×40%=2000(人)
【知识点】频数与频率；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据喜欢其他支付的人数÷其所占支付方式的比例=参与问卷调查的总人数，即可求出结论；
(2)根据喜欢现金支付的人数(35~50岁)=参与问卷调查的总人数×现金支付所占各种支付方式的比例-15，即可求出喜欢现金支付的人数(35~50岁)，再将条形统计图补充完整即可得出结论；
(3)根据喜欢支付宝支付方式的人数=社区居民人数×支付宝支付所占各种支付方式的比例，即可求出结论.
21．【答案】（1）解：是AB，BC的中点，
，
四边形AE'EC为平行四边形，
，
四边形AE'EC为矩形.
（2）解：如图所示.
【知识点】矩形的判定；旋转的性质；作图﹣旋转；三角形的中位线定理
【解析】【分析】(1)由三角形中位线定理，旋转的性质可得四边形AE'EC为平行四边形，再根据∠C=90°即可得出AE'EC为矩形；
(2)取边AB，BC的中点F、G，连接FG，作AH⊥FG，沿FG剪一刀，再沿AH剪一刀，把△AFH绕点F逆时针旋转180°得到△BFE，此时点A与点B重合，把△AGH绕点G顺时针旋转180°得到△CGD，此时点A与点C重合，可证明∠E=∠D=∠EBC =90°，则四边形BEDC就是矩形.
22．【答案】（1）解：把 (3， 0) 代入 得：，
，，
对称轴为直线 ，当 时，，
顶点坐标为 (1， 4).
（2）解：将点（5，-2)向左平移2个单位，向上平移n(n>0)个单位
得到的坐标为(3，-2+n)，
将点(3，-2+n)代入y=-x2+2x+3得：n=2.
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数图象的平移变换
【解析】【分析】(1)先利用已知点(3，0)代入抛物线方程个求出参数t，再通过顶点坐标公式或配方法求出对称轴和顶点坐标；
(2)将原抛物线的顶点式通过平移变换得到新抛物线的表达式，再代入已知点(5，-2)解方程求n的值.
23．【答案】（1）解： .
（2）解：（h），，故乙先到目的地
∴.
∵相遇后距离为30km，
∴甲，乙共同行驶了100km，
∴甲，乙共同行驶的时间为：
∴甲行驶时间为：.
（3）解：由题可得：要使两车同时到达目的地，乙行驶的总时间为：1.75h.
此时乙车速度应为：\therefore乙车的速度应减小，减小的值为km/h.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据 速度=路程÷时间 ，计算即可；
(2)先判断哪辆车先到达目的地，再根据 速度=路程÷时间 求出甲车的速度，从而由(甲车出发时两车之间的距离+30)÷两车速度之和列式计算即可；
(3)判断乙车到达目的地所用时间，再求出其速度从而得出结论即可.
24．【答案】（1）证明：
又
（2）解：①，理由如下：
如图，在BD上取一点，使，连结AG，
∵∴，∴
在与中
∵，
，
，
∴
又∵，，
∴∴，
∴.
②如图，连结 CO，AO，并延长 AO 交 BC 于点 H.
∵OB=OC，OA=OA，AB=AC，
∴△ABO≌△ACO(SSS)
∴∠BAO= ∠CAO
∴AH垂直平分 BC.
设 DE = a，则 AE = 2a，由 得 ，BE = 4a.
，根据勾股定理得 ，
，根据勾股定理得 .
又 是直径，
，，
，
，
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用圆的内接四边形的性质和三角形的内角和定理解答即可；
(2)①在BD上取一点G，使EG=ED，连结AG，利用线段的垂直平分线的性质得到AG=AD，利用等腰三角形的性质，圆周角定理和全等三角形的判定与性质得到BG =CD，再利用等式的性质解答即可；
②连结CO，AO，并延长AO交BC于点H，利用全等三角形的判定与性质得到∠BAO =∠CAO，则AH垂直平分BC；设DE=a，则AE=2a，利用圆周角定理，相似三角形的判定与性质直角三角形的性质和勾股定理得到BE，BD，AF，AD，AB，AC，利用相似三角形的判定与性质和勾股定理求得BH，BC，CD，利用平行线的判定与性质求得，相似三角形的判定与性质求得，再利用同高的三角形的面积比等于底的比的性质解答即可得出结论.
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