13.3 第3课时 角边角和角角边 教学设计（表格式）冀教版数学八年级上册

13.3 全等三角形的判定
第3课时 角边角和角角边
课题 角边角和角角边 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P44—48
教学目标 1.掌握“角边角”及“角角边”的内容. 2.能初步应用“角边角”及“角角边”判定两个三角形全等. 3.使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.
教学重难点 重点：用三角形全等的判定方法“角边角”和“角角边”证明两个三角形全等． 难点：探索“角边角”和“角角边”判定方法.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 导入： 教师讲解：前面，我们已经知道，当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时,两个三角形一定全等,而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时,两个三角形不一定全等. 这节课,我们将讨论以下情况:如图所示,一种情况是已知两个角及这两角的夹边;另一种情况是已知两个角及其中一角的对边. 借助上节课的内容引入本节新课，体现课程的连贯性，同时帮助同学们复习上节课内容.
实践探究，学习新知 在两角一边中有两种情况,下面我们就来研究这两种情况，即两角一夹边,两角一对边. 活动一：“角边角”基本事实和“角角边”定理的探究 【一起探究】　 三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗 将你画的三角形剪下来. 同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么结论？ 【学生活动】　自己动手操作，然后与同伴交流,得出结论. 【教师活动】　检查指导,帮助有困难的同学. 活动结果展示: 以小组为单位将所得三角形放在一起，发现完全重合,这说明这些三角形全等. 提炼结论: 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简记为“角边角”或“ASA"). 师：我们刚才作的三角形是一个特殊三角形，随意画一个三角形ABC,能不能作一个ΔA'B'C’，使∠A=∠A',∠B=∠B'，AB=A'B’呢？ 生:能. 学生口述画法,教师进行多媒体课件演示，使学生加深对“ASA"的理解. 生：(1）先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB边的长; (2）画线段A’B',使A'B'=AB； (3)分别以A'，B'为顶点,A'B'为一边在同侧作∠DA’B’，∠EB'A’，使∠DA'B’=∠CAB，∠EB'A'=∠CBA； (4)射线A’D与B’E交于一点，记为C',即可得到ΔA’B'C'. 将ΔA'B'C’与ΔABC放到一起，发现两三角形全等. 教师出示图形： 于是我们发现规律: 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）. 这又是一个判定两个三角形全等的方法. 【知识拓展】　“ASA”中的“S"必须是两个“A”所夹的边.书写格式: 在ΔABC和ΔA’B'C’中, 所以ΔABC≌ΔA'B’C’. 【教师活动】　如图所示，在ΔABC和ΔDEF中,∠A= ∠D,∠B=∠E,BC=EF，ΔABC与ΔDEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？ 〔解析〕　如果能证明∠C=∠F,就可以利用“角边角”证明ΔABC和ΔDEF全等,由三角形内角和定理可以证明∠C=∠F. 证明：∵∠A+∠B+∠C=∠D+∠E+∠F=180°,∠A=∠D，∠B=∠E， ∴∠A+∠B=∠D+∠E. ∴∠C=∠F. 在ΔABC和ΔDEF中, ∴ΔABC≌ΔDEF(ASA). 于是得规律： 两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边"或“AAS"）. [知识拓展］　“角角边”(AAS)可以看成是“角边角”（ASA）的推论.由“角边角”及“角角边"可知两角及一边对应相等的两个三角形全等，无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可. 一、体验已知两角及夹边的三角形的唯一性 1.利用刻度尺、量角器、小刀等工具制作符合如下条件的三角形: （1）ΔABC,其中∠A=35°,∠B=65°,AB=5 cm； （2）ΔDEF,其中∠D=70°，∠E=50°,∠E的对边DF=4 cm. 注意：（2）题学生可能感觉难度较大,教师可提示学生先求出∠F=60°,再利用(1)的作法进行作图. 2.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,那么你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗？试试看. 结论:有两角和夹边对应相等的两个三角形全等，简写成“ASA"或“角边角”. 3.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,以你所画的ΔDEF为例,你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗 试试看. 结论:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写成“角角边”或“AAS". 二、证明“ASA”定理 教师出示已知条件：如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C’中，已知AB=A'B’,∠A=∠A’，∠B=∠B'.求证ΔABC≌ΔA'B'C’. 教师给出证明方法：由于AB=A'B’，我们移动其中的ΔABC,使点A与点A’、点B与点B’重合,且使点C与点C’分别位于线段AB,A'B'的同侧，因为∠A=∠A'，因此可以使∠A与∠A’的边AC与A’C’重叠在一起；同样因为∠B=∠B’，可以使∠B与∠B’的边BC与B’C'重叠在一起，由于两条直线相交只有一个交点,因此点C与点C'重合，这就说明这两个三角形全等，由此可得判定三角形全等的又一种简便方法： 如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为“ASA”（或角边角）. 三、证明“AAS”定理 教师出示应用“ASA"证明三角形全等的问题： 如图所示,已知∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,求证ΔABC≌ΔDCB. 教师要求学生应用“ASA"定理证明本题，学生思考后教师提问,并根据学生的回答加以引导后由教师板书. 证明结束后教师提出问题:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等 教师要求学生思考这个问题,并提醒学生利用三角形内角和为180°这一公理来考虑问题，一般学生都会得出正确结论,教师再加以总结：因为三角形的内角和为180°,所以有两个角对应相等,那么第三个角必对应相等，于是问题就由“角角边”转化为“角边角”，这样便可证得这两个三角形全等. 教师要求学生自己证明“AAS”定理:如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“AAS”（或角角边). 学生证明后,教师边讲解边板书. 教师提问：我们已经讨论了两个三角形有两边一角以及两角一边分别对应相等，这两个三角形能否全等的情况.我们很容易发现，如果两个三角形有三个角分别对应相等,那么这两个三角形未必全等，如图所示,这两个三角形三个角分别相等，它们并不全等,只是形状相同. 活动二：例题讲解 【教材例题】　已知:如图所示，AD=BE,∠A=∠FDE,BC∥EF.求证：ΔABC≌ΔDEF. [师生共析］　根据AD=BE，得到AB=DE；由两直线平行,得到同位角相等,然后利用“ASA”即可得到ΔABC≌ΔDEF. 证明：∵AD=BE（已知）, ∴AB=DE(等式的性质). ∵BC∥EF（已知)， ∴∠ABC=∠E（两直线平行，同位角相等）. 在ΔABC和ΔDEF中, ∵ ∴ΔABC≌ΔDEF（ASA). 师：到目前为止,在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全部结束，请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结.
3.学以致用，应用新知 【例1】如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，∠B=∠C. 求证：AD=AE. 证明：在△ACD和△ABE中， ∠A=∠A ， AC=AB， ∠C=∠B， ∴△ACD≌△ABE（ASA）. ∴AD=AE. 【例2】如图，BE=CD，∠1=∠2，则AB=AC吗？为什么？ 证明：∵∠1=∠2，∴ ∠AEB=∠ADC. 在△AEB和△ADC中， ∠A=∠A, ∠AEB=∠ADC， BE=CD， ∴△AEB≌△ADC（AAS）. ∴AB=AC. 通过例题帮助学生巩固、应用新知，熟悉本课重点，包括用“ASA”判定三角形全等和用“AAS”判定三角形全等.
4.随堂训练，巩固新知 1.下列各条件中,不能判定两个三角形必定全等的是 （　　) A.两边及其夹角对应相等 B.三边对应相等 C.两角及一角的对边对应相等 D.两边及一边的对角对应相等 答案：D 解析:A.符合“SAS”；B.符合“SSS”；C.符合“AAS”；D.符合“SSA”,所以不能够判定两三角形一定相等. 2.如图所示，ΔABC和ΔDEF中，AB=DE,∠B=∠DEF，添加下列一个条件无法证明ΔABC≌ΔDEF的是 (　　） A.AC∥DF B.∠A=∠D C.AC=DF D.∠ACB=∠F 答案：C 解析:∵AB=DE，∠B=∠DEF,∴添加AC∥DF，得出∠ACB=∠F，即可证明ΔABC≌ΔDEF，故A,D都正确；当添加∠A=∠D时，根据“ASA”，也可证明ΔABC≌ΔDEF,故B正确;但添加AC=DF时,没有“SSA”定理，所以不能证明ΔABC≌ΔDEF,故C不正确. 3.如图所示，在ΔABC中，AB=AC，∠ABC，∠ACB的平分线BD,CE相交于O点,且BD交AC于点D,CE交AB于点E.某同学分析图形后得出以下结论：①ΔBCD≌ΔCBE;②ΔBAD≌ΔBCD；③ΔBDA≌ΔCEA；④ΔBOE≌ΔCOD；⑤ΔACE≌ΔBCE.上述结论一定正确的是(提示：等腰三角形的两底角相等；在三角形中,两个相等的角所对的边相等) （　　) A.①②③ B.②③④ ①③⑤ D.①③④ 答案：D 解析:∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB, ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE. ∴①ΔBCD≌ΔCBE（ASA); ③ΔBDA≌ΔCEA（ASA）； ④ΔBOE≌ΔCOD（AAS或ASA). 4.如图所示，下列各组条件，不能判定ΔABC≌ΔA'B'C’的一组的是 （　　) A.AC=A’C’,∠B=∠B'，BC=B’C' B.A=∠A’,∠B=∠B',AC=A’C’ C.AB=A'B’，∠A=∠A',AC=A’C' D.AB=A'B’，AC=A’C'，BC=B’C' 答案：A 解析:A.根据“SSA"不能证得ΔABC≌ΔA'B’C’,故本选项符合题意；B.根据“AAS”可以证得ΔABC≌ΔA'B'C';C.根据“SAS”可以证得ΔABC≌ΔA’B’C';D.根据“SSS”可以证得ΔABC≌ΔA'B’C’.故B,C,D不符合题意. 5.如图所示，AB∥CD,∠ACD的平分线CP交AB于点E，在线段CE上取一点F，连接AF.要使ΔACF≌ΔAEF,还需要添加一个什么条件 请你写出这个条件，并证明ΔACF≌ΔAEF.（只要给出一种情况即可，图中不再增加字母和线段） 解:答案不唯一，添加的条件可以是AF⊥CE. 证明如下: ∵CP平分∠ACD,∴∠ACP=∠PCD. ∵AB∥CD，∴∠AEC=∠PCD.∴∠ACE=∠AEC. ∵AF⊥CE，∴∠AFC=∠AFE=90°. 在ΔACF和ΔAEF中, ∴ΔACF≌ΔAEF（AAS）. 通过随堂练习，进一步巩固课堂所学内容，检测学习效果.
5.课堂小结，自我完善 知识点一：“角边角”判定三角形全等 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，简写成“角边角”或“ASA”. 这是我们学习的第三个判定三角形全等的方法,这里的两角和夹边，是指同一个三角形的边和角，边是两个角的夹边. 知识点二:“角角边”判定三角形全等 两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）. 该判定是通过“ASA”推导得出的,今后可以直接用“AAS”来判定两个三角形全等，它是“ASA”的一个推论. 通过小结，帮助学生梳理本节课所学内容，强化记忆，课后练习巩固，让所学知识得以运用.
6.布置作业 1.课本P46练习T1; 2.课本P47习题A组T1,T2.T3. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高解题能力和做题效率.
板书设计 13.3 全等三角形的判定 第3课时 角边角和角角边 活动一:“边角边”基本事实的探究 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边"或“SAS”) 活动二：例题讲解 例1 例2 提纲掣领，重点突出.
教后反思 本节课的教学教师分别对两角一边的两种情况（两角一夹边和两角一对边)的两个三角形是否全等进行讨论,通过学生的作图与操作,让学生自主探索、合作交流,让学生总结出“角边角”基本事实的内容,以加深学生对“角边角”的理解，然后通过对比“角边角”，证明归纳出“角角边”定理,通过对例题的讲解进一步巩固了学生对知识的理解和掌握,提高了学生对“角边角”和“角角边”的理解和应用能力.教师在课堂教学中尽量为学生提供“做中学”的空间,让学生进行小组合作学习,在“做"的过程中潜移默化地渗透分类讨论的数学思想方法,遵循“教是为了不教”的原则,让学生自得知识、自寻方法、自觅规律、自悟原理.在整个教学过程中,注重体现教师的导向作用和学生的主体地位，尽力引导学生成为知识的发现者.把教师的点拨和学生的操作探究、解决问题结合起来,为学生创设情境,不断激发学生的求知欲和学习兴趣，使学生克服学习中的被动情况，轻松愉快地掌握知识,受到教育. 反思，更进一步提升.