15.1 第2课时 二次根式的性质 教学设计（表格式）冀教版数学八年级上册

15.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
课题 二次根式的性质 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P92—94
教学目标 1.理解和掌握积(商)的算术平方根的性质. 2.会利用积（商)的算术平方根的性质对根式进行化简. 3.理解最简二次根式的概念，并能把一个不是最简二次根式的二次根式化为最简二次根式. 4.采用从具体到抽象的方法增强学生对两公式的理解.
教学重难点 重点： 1.积（商)的算术平方根的性质. 2.最简二次根式的概念. 难点：能利用积（商）的算术平方根的性质化简二次根式.
教学准备 多媒体课件
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 教师提问： 1.(1）什么是二次根式？二次根式的被开方数需满足什么条件？ （2）我们学过二次根式的哪些简单性质 学生回答. 2.一块正方形木板面积为200 cm2，你能在不用计算器的情况下，以最快的速度求出正方形木板的边长吗？ 简单回顾上节所学内容,既起到了巩固的作用，又为本节课性质的学习做好铺垫，进而让学生体会到知识之间的联系.
2.实践探究，学习新知 活动一:一起探究-—二次根式的性质 【一起探究】　 探究1：计算下列各式,并观察结果,你能发现什么规律 (1）与;　(2）与. 学生计算,得出(1）(2)中两式均相等. 问题1：猜想:与有什么关系 组织学生计算，验证猜想:（分组尝试,讨论交流） 方法一:事实上，根据积的乘方法则，有（)2=(）2×（）2=2×5,并且>0,所以是2×5的算术平方根,即. 方法二:因为()2=（）2×()2=2×5,（)2=2×5,且>0，〉0,所以. 问题2:当a≥0，b≥0时,对和·的关系提出你的猜想,并说明理由. 指导学生仿照问题2的证明过程加以证明. 解：因为当a≥0,b≥0时，（）2=a·b,（·)2=（）2·(）2=a·b，所以·. 引导学生进行归纳得出：积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积，即·(a≥0，b≥0）. 探究点2:商的算术平方根 问题1：:　与是否相等？与呢？ 学生经过计算得出两个式子均相等. 问题2：对照刚才得到的结论,当a≥0，b〉0时,与有什么关系？并说明理由. 学生不难猜想得到（a≥0，b>0). 引导学生根据刚才的证明过程加以证明. 解:因为当a≥0，b>0时,,,所以　. 问题3：对照积的算术平方根的性质，你能总结出商的算术平方根的性质吗 引导学生归纳:商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商，即 （或）（a≥0，b>0) 思路二 问题1：计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律 (1）=　　　　；=　　　　. (2)=　　　　;=　　　　. （3)=　　　　;=　　　　. (4)=　　　　;=　　　　. 师：出示问题,引导学生观察计算结果,总结式子的规律. 生:学生计算、观察、分组讨论，发现上述每组中的两个式子相等. 问题2:　根据上面的探究,下列式子是否也存在类似关系，猜想你的结论并用计算器验证. (1)=　　　　；=　　　　. (2)=　　　　;=　　　　. （3）=　　　　；=　　　　. （4）=　　　　;=　　　　. 学生经过计算得出上述每组中的两个式子也相等. 问题3:猜想:(1）当a≥0,b≥0时,和·有什么关系 （2)当a≥0,b〉0时,和有什么关系 请你说明理由. 引导学生小组讨论，利用算术平方根的简单性质进行证明. 活动二:观察与思考——探究最简二次根式的概念 刚才我们得到了积(商）的算术平方根的性质，下面请同学们根据刚才学到的性质完成下面的例题. 【教材例题】　化简. (1)；　(2)；　（3)；　(4）. 〔解析〕　(1）（2）直接利用·(a≥0,b≥0)进行化简;(3）(4)利用（a≥0,b>0)进行化简. 解:(1)=3. （2）=4. （3）. （4). 【思考与归纳】　 观察例题中每个小题化简前后被开方数的变化，请思考： （1）化简前，被开方数是怎样的数 （2）化简后,被开方数是怎样的数？它们还含有能开得尽方的因数吗 归纳:①被开方数的因数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式,我们把这样的二次根式叫做最简二次根式. 说明：二次根式的化简过程就是将它化为最简二次根式的过程. 提出问题：在,3，，,,3，中,哪些是最简二次根式？为什么 把“提出问题"中不是最简二次根式的化成最简二次根式. 指一名同学到黑板上板书，其他学生在练习本上完成. 出示“做一做”. 【做一做】　（教材第94页）化简. (1）;　（2）;　（3）；　（4). 解:（1)=3. （2)=4. （3). （4）. 尽管学生能够猜想出结果，但还是缺乏必要的说理，再次引出问题,让学生交流讨论,碰撞出火花，体会数学的严谨性与科学性. 培养学生用类比的思想和方法探究新知及从特殊到一般的归纳概括的能力. 引导学生体会知识的形成过程，通过观察、猜想、证明、归纳,让学生得到积(商)的算术平方根的性质. 巩固积(商)的算术平方根的性质，通过对最简二次根式的探究,培养学生探索数学规律的能力，强化训练，提高能力.
3.学以致用，应用新知 【例1】下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 解析：A、是最简二次根式，则此项符合题意； B、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； C、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； D、，则此项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【例2】把下列各式化为最简二次根式： (1)； (2)； (3)； 解：（1）原式． （2）原式． （3）原式．
4.随堂训练，巩固新知 1.二次根式，,，，,中，最简二次根式有 （　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 解析:利用最简二次根式的概念:（1)被开方数的因数是整数，因式是整式;(2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，分析得出,，是最简二次根式. 2.能使等式 成立的条件是 （　　） A.x≥0 B.-33或x<0 【答案】C 解析:∵ 成立，∴x≥0,x—3>0，解得x〉3. 3.已知a=，b=，用含a,b的代数式表示,这个代数式是 (　　） A.2a B.ab2 C.ab D.a2b 【答案】D 解析：=a·a·b=a2b. 4.下列各式中计算正确的是 （　　) A.· B.=4a（a>0) C.=3+4=7 D.=9×1=9 【答案】D 解析：A.等式右边没意义,故本选项错误;B.=2a（a>0）,原式计算错误,故本选项错误；C.=5，原式计算错误，故本选项错误；D.=9×1=9，故本选项正确.故选D. 5.把下列二次根式化成最简二次根式. (1);　(2)；　(3);　（4）. 解：（1)=2.　(2）=3.　(3）.　(4）.
5.课堂小结，自我完善 1.积的算术平方根：积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积. ·(a≥0,b≥0） 商的算术平方根：商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根的商. （或)（a≥0，b〉0） 3.最简二次根式：一般地，如果一个二次根式满足①被开方数的因数是整数,因式是整式，②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，我们把这样的二次根式叫做最简二次根式. 通过学生自我反思、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结.
6.布置作业 1.课本P94练习T1,T2; 2.课本P94习题T1,T2. 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力.
板书设计 15.1　二次根式 第2课时 二次根式的性质 活动一：一起探究——二次根式的性质 探究点1:积的算术平方根 探究点2:商的算术平方根 活动二：观察与思考——探究最简二次根式的概念 例题 提纲掣领，重点突出.
教后反思 本节的教学通过观察、比较、类比、猜想等多种方法，探究了积（商)的算术平方根的性质以及最简二次根式的定义，充分调动了学生的学习积极性，激发了学生的学习热情.在教学中教师始终坚持“模型——类比——总结——强化”这一过程,使学生充分认识到知识的形成过程，巩固和提高了学生的知识运用能力,达到了课堂教学的有效性. 学生对于积(商）的算术平方根的性质运用得不够好,书写格式不够规范，教师没有正确地进行指导和训练.有的同学也没有正确地加以运用. 反思，更进一步提升.