16.2 线段的垂直平分线（第2课时）教学设计（表格式）冀教版数学八年级上册

16.2 线段的垂直平分线
第2课时 线段垂直平分线性质定理的逆定理
课题 第2课时线段垂直平分线性质定理的逆定理 课型 新授课
教学内容 教材第115-117页的内容
教学目标 1. 理解并掌握线段垂直平分线的逆定理并学会运用. 2. 能够运用线段垂直平分线的性质定理和逆定理解决实际问题. 3. 通过线段的垂直平分线性质定理的逆定理的证明过程,体验逻辑推理的数学方法.
教学重难点 教学重点：线段垂直平分线的性质定理的逆定理. 教学难点：线段垂直平分线性质定理的逆定理的证明与应用.
教 学 过 程 备 注
1.回顾旧知，引入课题 师：给你已知线段AB，以AB为底边做等腰△PAB可以作几个？试着画一画！ 学生尝试画. 生:无数个. 师:在这里，我们利用了线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等进行证明. 那么反过来，到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上呢？ 2.观察探究，学习新知 活动一:一起探究——线段垂直平分线性质定理的逆定理 老师用问题链形式引出问题，学生进行讨论，操作. （1）写出线段垂直平分线的性质定理的逆定理. 学生：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. （2）结合下图，写出这个逆命题的已知和求证. 学生： 已知：P为线段AB外一点，且PA=PB. 求证：点P在线段AB的垂直平分线上. （3）猜想这个逆命题的真假，并试着说明理由. （4）试着证明你的猜想. 证明：设线段AB的中点为O,连接PO并延长. 在ΔPOA和ΔPOB中， ∵ ∴ΔPOA≌ΔPOB(SSS）, ∴∠POA=∠POB. ∵∠POA+∠POB=180°， ∴2∠POA=180°，∠POA=90°. ∴直线PO是线段AB的垂直平分线, ∴点P在线段AB的垂直平分线上. 师:在证明过程中,我们又得到了线段垂直平分线的判定方法:与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合. 生:判定方法只能判定点在线段的垂直平分线上，那怎么才能判定这条直线就是线段的垂直平分线呢 师：这个问题提得很好，大家想一想,几点确定一条直线？ 生:两点. 师:所以只要我们能证明一条直线上有两点满足判定方法的条件,那么这条直线就一定是线段的垂直平分线. 【教材例题】已知:如图所示，在ΔABC中,AB,AC的垂直平分线DP与EP相交于点P. 求证:点P在BC的垂直平分线上. 引导学生分析,要让点P在BC的垂直平分线上，就是要证明BP=CP. 学生证明,写出证明过程，教师巡视指导后全班讲评. 证明:如图所示,连接PA，PB,PC. ∵DP,EP分别是AB，AC的垂直平分线, ∴PA=PB=PC（线段垂直平分线的性质定理）, ∴点P在BC的垂直平分线上（线段垂直平分线性质定理的逆定理）. 活动二 做一做 （教材第116页做一做)已知:如图所示,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=AD,AC⊥BD,垂足为O. 求证:AO=OC，BO=OD. 让学生独立思考后完成. 证明:因为AB=BC,CD=AD，所以点B,D均在线段AC的垂直平分线上，直线BD是线段AC的垂直平分线,所以AO=OC，同理，BO=DO. 【拓展延伸】　三角形三边的垂直平分线交于一点. 如图所示，其思路可表示为： 3.学以致用，应用新知 考点 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 【例1】如图所示,点D在ΔABC的边BC上，且BC=BD+AD，则点D在（　　）的垂直平分线上. A.AB B.AC C.BC D.不能确定 解析:∵BC=BD+AD=BD+CD,∴AD=CD,∴点D在AC的垂直平分线上.故选B. 答案：B 【例2】如图所示，地面上有三个洞口A，B,C，老鼠可以从任意一个洞口跑出,猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A,B，C三个点的距离相等）,尽快抓到老鼠，应该蹲守在 (　　） A.ΔABC三边垂直平分线的交点上 B.线段AB上 C.ΔABC三条高所在直线的交点上 D.ΔABC三条中线的交点 解析:∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在ΔABC三边垂直平分线的交点上.故选A. 答案：A 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，AC＝AD，BC＝BD，则有(　　) A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB C．AB与CD互相垂直平分 D．以上都不正确 答案：A （2）到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的 (　　) A. 三条高的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三条中线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 解析：由线段垂直平分线性质定理的逆定理可得这点是三条 边垂直平分线的交点，故选D. 答案：D (3如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB垂直平分CD. 证明:在ΔADB与ΔACB中, ∴ΔADB≌ΔACB（ASA）， ∴BD=BC,AD=AC, ∴AB垂直平分CD （4）如图,在△ABC中,AC⊥BC,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,求证:直线AD是线段CE的垂直平分线. 证明：∵DE⊥AB,AC⊥BC, ∴∠AED=∠ACB=90°, ∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAC, 在△AED和△ACD中, ∴△AED≌△ACD(AAS), ∴AE=AC,DE=DC, ∴A、D都在线段EC的垂直平分线上, ∴直线AD是线段CE的垂直平分线. 5.课堂小结，自我完善 （1）谈谈这节课你的收获有哪些？ （2）①到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. ②这个定理可以用来判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 6.布置作业 课本P116练习1-2题，P117习题A，B组. 在回顾线段垂直平分线的基础上，引导学生动手操作，并找到这一现象的理论依据. 通过复习上节学过的线段垂直平分线的性质定理,从而引出问题. 通过老师引导，学生能体会到探究一个命题的常规思路，为以后性质、判定等定理的探究打下基础. （1）要证明某条直线是某条线段的垂直平分线,有两种证明方法：一是根据定义去证明；二是根据“两点确定一条直线"，证明直线上的两个点都在这条线段的垂直平分线上. (2）根据线段垂直平分线的判定定理可以作线段的垂直平分线. 让学生尝试应用线段垂直平分线的性质定理的逆定理解题，培养学生的应用能力. 教师讲解：根据线段垂直平分线的性质定理及判定定理,我们很容易证明三角形三边的垂直平分线交于一点. 通过练习，巩固对线段垂直平分线性质定理的逆定理的掌握程度. 先根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD，故可得出BD+AD=BD+CD=BC,进而可求出ΔABD的周长.
板书设计 16.2 线段的垂直平分线 第2课时 线段垂直平分线性质定理的逆定理 提纲掣领，重点突出.
教后反思 1.对于线段垂直平分线的性质定理的逆定理，让学生先猜想、画图(写出已知、求证）,最后通过三角形全等的知识推理论证,从而得到线段垂直平分线性质定理的逆定理.整个过程，学生参与其中，有充分的时间思考，培养了自主探究的能力，这也使学生掌握了用演绎推理证明几何命题的步骤. 2.在例题和做一做的证明过程中，多数同学的推理过程不够完善，因此要巡视指导，对证明过程要集体展示讲评，使学生能够发现自身存在的问题，及时改正. 反思，更进一步提升.