第2章 机械振动
第3节 单摆
基础过关练
题组一 单摆回复力及运动特征
1.关于单摆,下列说法中正确的是 ( )
A.摆球运动的回复力是它受到的重力沿轨迹切线方向上的分力
B.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置
C.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点,加速度是不同的
D.摆球经过平衡位置时,加速度为零
2.图中O点为单摆的固定悬点,现将摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于张紧状态,释放摆球,摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,B点为运动中的最低位置。则在摆动过程中( )
A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B.摆球在A点和C点,速度为零,合力和回复力也为零
C.摆球在B点处,速度最大,细线拉力也最大
D.摆球在B点处,速度最大,回复力也最大
3.(多选题)一单摆的振动图像如图所示,下列说法中正确的是 ( )
A.t=1.0 s时,摆球处于平衡状态
B.t=2.0 s时,摆球处于平衡位置
C.摆球摆动过程中,在任何位置都不是平衡状态
D.t=1.0 s时,摆线的拉力最大
题组二 单摆的周期
4.摆钟是一种较有年代的计时钟表,其基本原理利用了单摆的周期性,结合巧妙的擒纵器设计,实现计时功能,图示为摆钟内部的结构简图。设原先摆钟走时准确,则 ( )
A.摆动过程中,金属圆盘所受合力为其回复力
B.该摆钟在太空实验室可正常使用
C.将该摆钟从北京带到广州,为使其走时准确,需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向下移动
D.该摆钟在冬季走时准确,到夏季(考虑热胀冷缩)为使其走时准确,需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动
5.如图甲所示是利用沙摆演示简谐运动图像的装置。当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时,做简谐运动的漏斗漏出的沙会在木板上显示出沙摆的振动位移随时间变化的关系曲线。已知木板被水平拉动的速度为0.20 m/s,图乙所示的一段木板的长度为0.60 m,则这次实验沙摆的摆长大约为(取重力加速度g=π2 m/s2) ( )
A.0.56 m B.0.65 m
C.1.00 m D.2.25 m
能力提升练
题组一 单摆周期公式的综合应用
1.某地的甲、乙两单摆振动图像如图所示,则 ( )
A.甲的振幅小
B.乙的摆长短
C.ta时刻甲的摆角大
D.tb时刻两摆球速度相同
2.如图甲,O点为单摆的固定悬点,在其正下方的P点有一个钉子,现将小球拉开一定的角度后开始在竖直面内运动,小球在摆动过程中的偏角不超过5°。从某时刻开始计时,绳中的拉力大小F随时间t变化的关系如图乙,重力加速度g取10 m/s2,忽略一切阻力。下列说法正确的是( )
A.t=0.1π s时小球位于B点
B.t=0.4π s时小球位于C点
C.O、A之间的距离为1.5 m
D.P、B之间的距离为0.4 m
题组二 单摆的动力学特征分析
3.如图甲所示,一单摆悬挂在拉力传感器上。让单摆在竖直面内做小角度摆动,拉力传感器显示绳子拉力F的大小随时间t的变化图像如图乙所示,已知当地的重力加速度为g,则根据图乙中的数据可知 ( )
A.此单摆的周期T=
B.此摆球的质量为m=
C.此单摆的摆长l=
D.在t=时刻摆球的回复力最小
4.将一力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点为单摆的固定悬点,现将质量m=0.05 kg的小摆球(可视为质点)拉至A点,此时细线处于伸直状态,释放摆球,则摆球将在竖直平面内的A、C之间来回摆动,其中B点为运动中的最低位置,∠AOB=∠COB=θ(θ小于5°且是未知量)。由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图乙所示,且图乙中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻,摆球运动到最低点时的速度大小为 m/s。取重力加速度g=10 m/s2,求:
(1)单摆的振动周期和摆长;
(2)图乙中细线拉力的最大值Fmax和最小值Fmin(结果保留3位小数)。
答案全解全析
基础过关练
1.A 2.C 3.BCD 4.D 5.A
1.A 摆球运动的回复力为重力沿轨迹切线方向的分力,A正确;摆球经过最低点即平衡位置时,回复力为0,但合力不为零,合力提供向心力,加速度方向指向悬点,B、D错误;摆球经过轨迹上同一点时,受力情况相同,加速度相同,C错误。
易错警示 应对单摆的运动进行正确的分析,摆球绕平衡位置做往复运动的同时绕悬点做圆周运动,回复力为重力沿轨迹切线方向的分力。
2.C 摆球在摆动过程中,只受到重力和拉力的作用,A错误;在最高点A、C处,摆球的位移最大,速度为零,回复力最大,合力不为零,B错误;在最低点B处,摆球在平衡位置,速度最大,回复力为零,摆球做圆周运动,细线的拉力最大,C正确,D错误。
3.BCD t=1.0 s时,摆球处于平衡位置,但此时摆球具有向心加速度,不是处于平衡状态,故A错误;t=2.0 s 时,摆球处于平衡位置,故B正确;摆球摆动过程中,在任何位置所受合外力都不为零,都不是平衡状态,故C正确;t=1.0 s时,摆球速度最大,所需向心力最大,摆线对摆球的拉力和摆球重力的合力提供向心力,方向竖直向上,而此时拉力与重力方向相反,所以摆线的拉力最大,故D正确。
4.D 回复力是指向平衡位置的力,摆动过程中,金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力为其回复力,金属圆盘同时绕轴转动,合力沿轻摆杆方向的分力提供向心力,A错误;由于金属圆盘所受重力沿轨迹切线方向的分力提供回复力,该摆钟在太空实验室内处于完全失重状态,因此不可正常使用,B错误;单摆的周期T=2π,将该摆钟从北京带到广州,重力加速度减小,可知周期变大,摆钟变慢,为使其走时准确,需要使摆钟的摆长变短,即需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动,C错误;该摆钟在冬季走时准确,到夏季温度升高,由于热胀冷缩,摆长变长,为使其走时准确,需要使摆长变短,因此需旋转微调螺母使金属圆盘沿摆杆向上移动,D正确。
5.A 由于木板被匀速拉动,则图乙所示的木板运动的时间t=≈0.56 m,A正确。
能力提升练
1.C 由题图可知,甲的振幅大,故A错误;由题图可知,甲单摆的周期为T甲=,故B错误;ta时刻甲、乙两单摆的摆球位移相等,由于甲的摆长短,则甲的摆角大,故C正确;tb时刻甲、乙两单摆的摆球均通过平衡位置,速度方向相反,则速度不同,故D错误。
2.D 小球在B点受到的拉力与重力的合力提供向心力,设小球经过B点的速度为v,可得F-mg=
,可得LPB=0.4 m,即P、B之间的距离为0.4 m,D正确。
3.C 摆球运动到最低点时,由重力和绳子拉力的合力提供向心力,则摆球运动到最低点时,绳子拉力最大,结合F-t图像,可知此单摆的周期为T=t0(在一个周期内,摆球两次经过最低点),故A错误;摆球运动到最低点时,由重力和绳子拉力的合力提供向心力,则有F0-mg=,故C正确;单摆的回复力由重力沿摆球运动轨迹切向的分力提供,摆球运动到最低点时,摆球的回复力最小,所以在t=时刻摆球的回复力最大,故D错误。
4.答案 (1)0.4π s 0.4 m (2)0.510 N 0.495 N
解析 (1)摆球从A运动到B,速度逐渐增大,所需的向心力增大,细线的拉力增大,到B点时拉力最大;从B运动到C,速度逐渐减小,所需的向心力减小,细线的拉力减小,到C点时拉力最小。摆球从A到C,完成半次全振动,由题图乙可得=0.2π s,可得单摆的振动周期T=0.4π s
由单摆周期公式T=2π=0.4 m
(2)摆球运动到最低点时,由牛顿第二定律可得Fmax-mg=m
解得Fmax=0.510 N
摆球从A点运动到B点过程机械能守恒,可得
mgL(1-cos θ)=mv2
在A点沿细线方向有Fmin=mg cos θ
联立解得Fmin=0.495 N(共12张PPT)
1.单摆模型
把一根不能伸长的细线上端固定,下端拴一个小球,线的质量和球的大小可以忽略不计,
这种装置称为单摆。
2.单摆的回复力
(1)回复力的来源:摆球的重力沿圆弧切向的分力提供了使球沿圆弧振动的回复力。
(2)回复力的特点:在摆角很小的情况下(通常θ<5°),单摆所受的回复力的大小与摆球位移大
小成正比,方向与摆球位移方向相反。
(3)运动规律:在摆角很小的情况下,单摆的振动可近似视为简谐运动。
第3节 单摆
知识 清单破
知识点 1 单摆的振动
1.实验探究
(1)探究方法:控制变量法。
(2)实验目的
a.探究单摆的周期与摆球质量的关系。
b.探究单摆的周期与摆长的关系。
2.单摆周期公式:T=2π 。
即单摆的振动周期T与摆长l的算术平方根成正比,与重力加速度g的算术平方根成反比。
3.单摆的周期与振幅及摆球的质量皆无关。
知识点 2 单摆的周期
1.单摆模型中对细线的要求是细线的伸缩可忽略,质量可忽略。 ( )
2.单摆振动的回复力是重力和摆线拉力的合力。 ( )
3.单摆经过平衡位置时受到的合力为零。 ( )
4.一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期。 ( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
单摆振动的回复力是重力沿圆弧切向的分力。
√
√
提示
单摆经过平衡位置时受到的合力不为零,合外力提供向心力。
提示
1.单摆的受力
如图所示,摆球受细线拉力和重力作用。
(1)向心力来源:细线拉力和摆球重力沿径向分力的合力,F向=T-mg cos θ。
(2)回复力来源:摆球重力沿圆弧切线方向的分力,回复力F=mg sin θ。
疑难 情境破
疑难1 单摆的回复力及运动规律
讲解分析
2.单摆做简谐运动的推证
摆角很小时,sin θ≈ ,回复力F=mg sin θ,回复力方向与位移方向相反,所以单摆的回复力
为F=- x(式中x表示摆球偏离平衡位置的位移,l表示单摆的摆长,负号表示回复力F与位移x
的方向相反),由此知回复力符合F=-kx,单摆做简谐运动。
3.单摆做简谐运动的规律
(1)单摆做简谐运动的位移随时间变化的图像是一条正弦(或余弦)曲线。
(2)位移、回复力、加速度、速度、动能等都随时间周期性变化,其变化规律与弹簧振子相同。
位移、回复力、加速度 速度、动能
最高点 最大 零
最低点 零 最大
远离平衡位置运动 越来越大 越来越小
衡位置运动 越来越小 越来越大
1.对周期公式的理解
(1)单摆的周期公式在单摆的摆角很小时成立(θ<5°)。
(2)公式中l是摆长,即悬点到摆球球心的距离l=l线+r球。
(3)公式中g是单摆所在地的重力加速度,由单摆所在的空间位置决定。
(4)周期T只与l和g有关,与摆球质量m及振幅无关,所以单摆的周期也叫固有周期。
2.“等效思维”在单摆模型中的应用
(1)“异形摆”摆长的确定
①图(a)中,甲、乙在垂直于纸面的平面内摆动起来效果是相同的,所以甲摆的摆长为l sin α(l r球),这就是等效摆长,其周期T=2π 。
疑难2 对单摆周期公式的理解及应用
讲解分析
②图(b)中,乙在垂直于纸面的平面内摆动时,与甲摆等效;乙在纸面所在平面内小角度摆动时,
与丙摆等效。
③如图(c)所示,小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时,可等效为单
摆,小球在A、B间做简谐运动,周期T=2π 。
(2)周期公式中重力加速度g的变化与等效
①单摆所处的空间位置(纬度、高度)不同,g值不同。
②等效重力加速度
等效摆及条件 等效重力加速度 确定方法
g等效=g-a 当单摆在平衡位置“停摆”时,摆线的拉力与小球质量之比
g等效=g+a g等效=g sin θ g等效=g (l等效=R) 当光滑圆弧轨道的半径R x
时,小球在圆弧轨道上的运动
相当于单摆的运动
g等效= 当摆球受到除重力、拉力以
外的其他力(恒力)时,采用等
效法,将重力和恒力的合力看
作等效重力
g等效= g等效=g 当摆球受到的除重力、拉力
以外的其他力的方向总是与
速度方向垂直时,等效重力加
速度仍为g,即周期T不变
g等效=g 典例 如图所示,ACB为光滑弧形槽,弧形槽半径为R,C为弧形槽最低点,R 【1】。甲球从弧
形槽的圆心处自由下落【2】,乙球从A点由静止释放,问:
(1)两球第1次到达C点所用的时间之比;
(2)若在弧形槽最低点C的正上方h处由静止释放小球甲,让其自由下落,同时将乙球从圆弧左
侧A点由静止释放,欲使甲、乙两球在弧形槽最低点C相遇【3】,则甲球下落的高度h是多少
信息提取 根据题意可提取到的信息如图:
思路点拨
解析 (1)甲球做自由落体运动,由R= g ,解得t1=
乙球沿弧形槽做简谐运动(由于 R,可认为摆角θ<5°),此模型与一个摆长为R的单摆模型
相同,故等效摆长为R
乙球第1次到达C处所用的时间为t2= T= ×2π =
所以t1∶t2=2 ∶π
(2)甲球从弧形槽最低点C的正上方h处自由下落,到达C点所用的时间为t甲=
由于乙球运动具有周期性,所以乙球到达C点所用的时间为t乙= +n× = (2n+1)(n=0,1,2,…)
(由【3】得到)
由于甲、乙两球在C点相遇,故t甲=t乙
解得h= (n=0,1,2…)
答案 (1)2 ∶π (2) (n=0,1,2…)
