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1.定义
物理学中,将物体(或物体的某一部分)在某一位置附近的往复运动称为机械振动,简称振动。
2.平衡位置
振动物体在某一位置附近做往复运动,这个位置称为平衡位置,也是物体所受回复力为
零的位置。
3.回复力
(1)方向:总是指向平衡位置。
第1节 简谐运动
知识 清单破
知识点 1 机械振动
(2)作用效果:使物体总是在平衡位置附近振动。
(3)来源:回复力可由某一个力来提供,也可由振动物体受到的几个力的合力来提供。
1.弹簧振子
(1)弹簧振子是一种理想模型。
(2)弹簧振子的组成:如图所示,弹簧一端固定,另一端连接一个可视为质点的物体,不计弹簧质
量,物体置于光滑水平面上。
(3)弹簧振子的回复力:回复力由物体所受弹簧弹力提供,为F=-kx。其中k等于弹簧劲度系数,x
是物体相对平衡位置的位移,负号表示力与位移的方向相反。
知识点 2 简谐运动及其特征
2.简谐运动
(1)定义:物体所受回复力的大小与位移大小成正比,方向总是与位移方向相反的运动称为简
谐运动。
(2)简谐运动的运动学特征:a=- x。
(3)弹簧振子能量特征:只有弹簧弹力做功,系统的动能和弹性势能相互转换,机械能守恒。
易错警示 (1)振动物体在平衡位置所受合力不一定为零,而是沿简谐运动方向的合力为零,
且物体在平衡位置时速度最大。
(2)简谐运动的位移和一般运动的位移有很大区别,一般运动的位移都是由初位置指向末位
置,而简谐运动的位移都是由平衡位置指向振动物体所在位置。
1.机械振动是匀变速直线运动。 ( )
2.在F=-kx中,负号表示回复力总是小于零。( )
3.弹簧振子的加速度方向一定与位移方向相同。 ( )
知识辨析 判断正误，正确的画“ √” ，错误的画“ ” 。
弹簧振子的加速度方向与回复力方向相同,与振动物体位移方向相反。
机械振动的回复力大小随位移变化,是非匀变速运动。
负号表示回复力方向与振动物体位移方向相反。
提示
提示
提示
1.简谐运动三个物理量的特点
(1)位移:以平衡位置为坐标原点,以振动所在的直线为坐标轴,规定正方向,则某一时刻物体的
位移用该时刻物体所在位置的坐标来表示。
(2)速度:速度是描述物体在平衡位置附近运动快慢的物理量。在所建立的坐标轴(也称为
“一维坐标系”)上,速度的正负表示物体运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。平衡位
置是振动过程中速度最大的位置。
(3)加速度:做简谐运动的物体的加速度a= ,由于物体相对平衡位置的位移x不断变化,所以
简谐运动是变加速运动。物体在通过平衡位置处时,加速度的大小为零,方向改变。
疑难 情境破
疑难1 对简谐运动的位移、速度、回复力和加速度的理解
讲解分析
2.简谐运动的回复力的表达式F=-kx
(1)k是比例系数,但不一定是弹簧的劲度系数(水平弹簧振子中的k为弹簧的劲度系数),其值由
振动系统决定,与振幅无关。
(2)“-”表示回复力的方向与振动物体偏离平衡位置的位移方向相反。
(3)x是指振动物体偏离平衡位置的位移,其大小不一定等于弹簧的伸长量或压缩量。
(4)表达式反映出了回复力F与位移x之间的关系:位移越大,回复力越大,位移增大为原来的几
倍,回复力也增大为原来的几倍。
典例 (多选)如图所示,物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动【1】,A、B之间无相对滑
动【2】,已知轻质弹簧的劲度系数为k,A、B的质量分别为m和M,最大静摩擦力等于滑动摩擦
力,重力加速度为g。下列说法正确的是 ( )
A.物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C.将物体A与滑块B看成一个整体,其回复力大小跟位移大小之比为k
D.若A、B之间的动摩擦因数为μ,则A、B间无相对滑动的最大振幅【3】为
未学提示 振幅为振动物体离开平衡位置的最大距离。
信息提取 【1】回复力满足F=-kx。
【2】物体A与滑块B具有相同的加速度。
【3】在最大位移处,二者有最大加速度,A所受摩擦力达到最大静摩擦力。
思路点拨 对物体受力分析,其中指向平衡位置方向的合力提供回复力【4】;借助公式F=-kx分
析回复力跟位移的关系;当A、B间恰好无相对滑动时,它们之间的静摩擦力达到最大,根据牛
顿第二定律【5】分析最大振幅。
解析 物体A做简谐运动时,在水平方向只受滑块B对它的摩擦力,故物体A的回复力是由滑
块B对其的摩擦力提供的(由【4】得到),A正确;滑块B做简谐运动的回复力是弹簧的弹力和A
对B的摩擦力的合力提供的(由【4】得到),B错误;将物体A与滑块B看成一个整体,则其回复
力大小跟位移大小之比为 =k(由【1】得到),故C正确;A、B间无相对滑动的情况下,设系统
的最大振幅为L,以A和B整体为研究对象有kL=(M+m)a,以A为研究对象有μmg=ma(由【3】、
【5】得到),联立解得L= ,D正确。
答案 ACD
1.简谐运动中各量变化规律总结
当物体做简谐运动时,它偏离平衡位置的位移x、回复力F、回复力产生的加速度a、速
度v、动能Ek、系统的势能Ep及振动总能量E遵循一定的变化规律,如表:
讲解分析
疑难2 简谐运动中各量的变化情况分析
x F a v Ek Ep E
远离平衡位置运动 增大 增大 增大 减小 减小 增大 不变
在最大位移处 最大 最大 最大 零 零 最大 不变
衡位置运动 减小 减小 减小 增大 增大 减小 不变
在平衡位置 零 零 零 最大 最大 最小 不变
由上表可知:
(1)简谐运动的回复力与位移、加速度、势能的大小变化同步,与速度、动能的大小变化相
反,回复力增大时,位移、加速度、势能都增大,速度、动能减小。衡位置的过程中振
动物体的速度、动能变大,回复力、位移、加速度、势能减小;远离平衡位置的过程中振动
物体的速度、动能变小,回复力、位移、加速度、势能变大。
(2)平衡位置是回复力、位移、加速度三者方向变化的转折点;最大位移处是速度方向变化
的转折点。
说明 简谐运动过程中系统的动能和势能相互转化,总的能量守恒。
举例 如图所示,质点在A与B之间运动,O点为平衡
位置,C和D两点关于O点对称
时间的对称性 tOB=tBO=tOA=tAO,tOD=tDO=tOC=tCO,tDB=tBD=tAC=tCA
速度的对称性 (1)质点经过同一点(如D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反;
(2)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,速度大小相等,方向可能相同,也可能相反
位移和加速度 的对称性 (1)质点经过同一点(如C点)时,位移和加速度均相同;
(2)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,位移与加速度均大小相等,方向相反
动能、势能、机械能的对称性 (1)质点经过同一点(如D点)时,动能、势能、机械能均相等;
(2)质点经过关于O点对称的两点(如C点与D点)时,动能、势能、机械能均相等
2.理解简谐运动的对称性第2章 机械振动
第1节 简谐运动
基础过关练
题组一 对简谐运动的理解
1.使物体产生振动的必要条件是 ( )
A.物体受到的各个力的合力必须指向平衡位置
B.物体受到的阻力等于零
C.物体离开平衡位置后受到回复力的作用,且物体所受的阻力足够小
D.物体离开平衡位置后受到回复力F的作用,且F=-kx(x为物体相对平衡位置的位移)
2.(多选题)物体做简谐运动时,下列叙述正确的是 ( )
A.平衡位置就是回复力为零的位置
B.处于平衡位置的物体,不一定处于平衡状态
C.物体到达平衡位置,合力一定为零
D.物体到达平衡位置,回复力不一定为零
题组二 简谐运动中运动量的变化情况分析
3.(多选题)弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动,在振动物体向平衡位置运动的过程中 ( )
A.物体所受的回复力逐渐减小
B.物体的位移逐渐增大
C.物体的速度逐渐减小
D.物体的动能逐渐增大
4.如图所示,一弹簧振子做简谐运动,下列说法正确的是( )
A.若位移为负值,则加速度一定为负值
B.小球通过平衡位置时,速度为零,位移最大
C.小球每次经过平衡位置时,位移相同,速度也一定相同
D.小球每次通过同一位置时,其速度不一定相同,但位移一定相同
5.(多选题)如图所示,一轻质弹簧上端固定在天花板上,下端连接一物块,物块沿竖直方向以O点为平衡位置,在C、D两点之间做周期为T的简谐运动。已知在t1时刻物块的速度大小为v、方向向下,动能为Ek。下列说法正确的是 ( )
A.如果在t2时刻物块的速度大小也为v,方向向下,则t2-t1的最小值小于
B.如果在t2时刻物块的动能也为Ek,则t2-t1的最小值为
C.当物块通过O点时,其加速度最小
D.物块在C、D两点的加速度相同
题组三 简谐运动中的功能情况分析
6.如图甲所示,光滑水平杆上套着一个小球和一个弹簧,弹簧一端固定,另一端连接在小球上,忽略弹簧质量。小球以O点为平衡位置,在A、B两点之间做往复运动,它所受的回复力F随时间t变化的图像如图乙所示,则在2~3 s内,小球的动能Ek和势能Ep的变化情况是 ( )
A.Ek变小,Ep变大 B.Ek变大,Ep变小
C.Ek、Ep均变小 D.Ek、Ep均变大
7.(多选题)把一个小球套在光滑细杆上,球与轻弹簧相连组成弹簧振子,小球沿杆在水平方向做简谐运动,它以O为平衡位置在A、B间振动,如图所示,下列结论正确的是 ( )
A.小球在O位置时,动能最大,加速度最小
B.小球在A、B位置时,动能最小,加速度最大
C.小球从A经O到B的过程中,回复力一直做正功
D.小球从B到O的过程中,动能增大,势能减小,总能量不变
8.如图所示,物体A置于物体B上,一轻质弹簧一端固定,另一端与B相连,在弹性限度内,A和B一起在光滑水平面上做往复运动(不计空气阻力),两者保持相对静止。则下列说法正确的是 ( )
A.A和B均做简谐运动
B.作用在A上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成反比
C.B对A的静摩擦力对A做功,而A对B的静摩擦力对B不做功
D.B对A的静摩擦力始终对A做正功,而A对B的静摩擦力始终对B做负功
9.如图所示,在斜面上有一个弹簧振子,从A点由静止释放,O点为振动的平衡位置,振动物体在A、B两点之间做简谐运动,不计一切摩擦,下列说法正确的是 ( )
A.振动物体在O点时,弹簧处于原长,弹簧振子的弹性势能为0
B.在振动物体运动的过程中,由弹簧弹力充当回复力
C.振动物体在B点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在A点时的大
D.振动物体从A向B运动的过程中,其速度和加速度方向始终相同
题组四 简谐运动的证明
10.对于甲、乙、丙、丁四种情况,可认为是简谐运动的是 ( )
①甲:倾角为θ的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离,然后松开,空气阻力可忽略不计
②乙:粗细均匀的木筷,下端绕几圈铁丝,竖直浮在较大的装有水的杯中。把木筷往上提起一段距离后放手,木筷就在水中上下振动
③丙:小球在半径为R的光滑球面上的A、B(AB R)之间来回运动
④丁:小球在光滑固定斜面上来回运动
A.只有①③ B.只有②③
C.只有①②③ D.只有①②④
11.如图所示,物体m系在两弹簧之间,弹簧劲度系数分别为k1和k2,且k1=k,k2=2k,两弹簧均处于原长。今向右拉动物体m,然后释放,物体m在B、C间振动,O为平衡位置(不计阻力),试分析物体m的运动是不是简谐运动。
答案全解全析
基础过关练
1.C 2.AB 3.AD 4.D 5.AC 6.B
7.ABD 8.A 9.C 10.C
1.C 振动物体所受的合力不一定只提供回复力,A错;物体在离开平衡位置后受到回复力作用,且所受阻力足够小时,才能发生振动,B错,C对;F=-kx只是做简谐运动的物体所受回复力的条件,而不是所有振动物体所受回复力的条件,D错。
2.AB 平衡位置是回复力等于零的位置,但处于平衡位置的物体不一定处于平衡状态,即物体所受合力不一定为零。故选A、B。
3.AD 振动物体向平衡位置运动时,位移逐渐减小,由F=-kx可知,回复力与位移成正比,故回复力逐渐减小,A正确,B错误;物体向着平衡位置运动时,回复力与速度方向一致,物体的速度逐渐增大,动能逐渐增大,故C错误,D正确。
4.D 小球受的回复力指向平衡位置,小球的位移为负值时受到的回复力为正值,小球的加速度为正值,A错误;当小球通过平衡位置时,位移为零,速度最大,B错误;小球每次通过平衡位置时,速度大小相等,方向不一定相同,位移为零,C错误;小球每次通过同一位置时,位移相同,速度大小相等,但速度方向可能相同,也可能不同,D正确。
方法技巧 分析简谐运动时应注意的问题
(1)位移、速度、加速度和回复力都是矢量,它们要相同,必须大小相等、方向相同。
(2)回复力是变力,其大小、方向发生变化时,加速度也随之发生变化。
(3)要注意简谐运动的周期性和对称性,由此判定物体可能的路径,从而确定各物理量及其变化情况。
5.AC 如果在t1时刻物块位于O点上方且向下运动,t2时刻物块位于O点下方且与t1时刻物块速度相同,则t2-t1的最小值小于,A正确;如果在t2时刻物块的动能也为Ek,则t2时刻物块的速度与t1时刻的大小相等,方向可能相同,也可能相反,t2-t1的最小值小于知,其加速度最小,C正确;C、D两点关于平衡位置对称,物块在C、D两点时,加速度等大反向,D错误。故选A、C。
6.B 由题图乙可知,在2~3 s内,小球所受回复力减小,则小球向平衡位置运动,速度变大,可知动能Ek变大,势能Ep减小。故选B。
7.ABD 小球在平衡位置O时,弹簧处于原长,弹性势能最小,动能最大,位移为零,加速度为零,A项正确;小球在A、B位置时,动能为零,加速度最大,B项正确;小球由A到O,回复力做正功,小球由O到B,回复力做负功,C项错误;小球由B到O,动能增大,弹性势能减小,总能量不变,D项正确。
8.A 物体A和B一起在光滑的水平面上做往复运动,回复力F=-kx,A、B都做简谐运动,故A正确;设弹簧形变量为x,弹簧的劲度系数为k,物体A、B的质量分别为M、m,对A、B整体,根据牛顿第二定律有F=kx=(M+m)a,对A物体,根据牛顿第二定律有f=Ma=kx,可知作用在A物体上的静摩擦力大小与弹簧的形变量成正比,故B错误;在简谐运动中,B对A的静摩擦力方向与位移方向相同或相反,B对A的静摩擦力对A做功,同理,A对B的静摩擦力也对B做功,故C错误;当物体A、B离开平衡位置时,B对A的静摩擦力对A做负功,A对B的静摩擦力对B做正功,故D错误。
9.C O点为简谐运动的平衡位置,则振动物体在O点时受到的合外力为零,则重力沿斜面向下的分力与弹簧弹力平衡,可知此时弹簧处于伸长状态,弹性势能大于零,A错误。在振动物体运动的过程中,由弹簧弹力与重力沿斜面向下的分力的合力充当回复力,B错误。在简谐运动过程中,机械能的总量不变,在A、B两点时,振动物体的动能均为零,且振动物体在B点时的重力势能比在A点时的小,则振动物体在B点时弹簧振子的弹性势能一定比振动物体在A点时的大,C正确。振动物体从A到O做加速运动,速度和加速度方向相同;从O向B运动的过程中,振动物体的速度减小,则速度和加速度方向相反,D错误。
10.C 甲图小球沿斜面方向受到的合力由弹力与重力沿斜面向下的分力提供,当小球在平衡位置上方时,合力方向沿斜面向下,当在平衡位置下方时合力沿斜面向上,合力与位移成正比,其特点符合简谐运动物体的动力学特征,小球做简谐运动;乙图木筷在水中受浮力和重力作用,当木筷在平衡位置上方时,合力向下,当木筷在平衡位置下方时,合力向上,重力和浮力的合力与位移成正比,其特点符合简谐运动物体的动力学特征,木筷做简谐运动;丙图小球离开最低点受到重力沿切线方向的分力与位移成正比,方向与小球位移方向相反,为小球提供回复力,小球在最低点附近左右振动属于简谐运动;丁图斜面光滑,重力沿斜面的分力提供小球做机械振动的回复力,但该力大小不变,不与位移成正比,故小球的运动为机械振动,不是简谐运动,则可知①②③为简谐运动。故选C。
11.答案 见解析
解析 设向右为正方向,当物体位移是x时,物体受到的合力F=F1+F2=-k1x-k2x=-3kx,符合简谐运动的回复力表达式,物体m的运动是简谐运动。
