17.2 直角三角形 教学设计（表格式）冀教版数学八年级上册

17.2 直角三角形
课题 17.2 直角三角形 课型 新授课
教学内容 教材第147-149页的内容
教学目标 1.探索并掌握直角三角形两个锐角互余. 2.掌握有两个角互余的三角形是直角三角形. 3.探索并掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
教学重难点 教学重点：直角三角形的性质定理和判定定理. 教学难点：直角三角形的性质定理和判定定理的应用.
教 学 过 程 备 注
1.回顾反思，导入课题 前面我们学习了等腰三角形，在三角形中还有一种特殊的三角形,那就是直角三角形. 思考:什么样的三角形是直角三角形 学生回答：有一个角是直角的三角形是直角三角形. 那么这个特殊的三角形有哪些性质呢 我们又怎样来判定一个三角形是直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容：直角三角形的性质定理和判定定理，让我们先从直角三角形的角的关系开始着手研究. 2.观察探究，学习新知 【过渡语】直角三角形是又一类特殊的三角形，它也应该有特殊的性质.直角三角形都有哪些性质呢？ 活动一:回顾——直角三角形的性质定理1和判定定理 我们知道，有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形.直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如图，直角三角形ABC可以表示为“Rt△ABC”. （1）观察上图中的三角形,∠C=90°，从∠A+∠B的度数,能说明什么？为什么 学生思考后回答:直角三角形的两个锐角互余.（性质定理1） （2）想一想:如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形吗 学生得出：如果一个三角形的两个角互余,那么这个三角形是直角三角形.（判定定理) （3）讨论：直角三角形的性质定理1和判定定理是什么关系 小组讨论、交流,派一名代表发言. 活动二:观察与思考——直角三角形的性质定理2 【观察与思考】在一张半透明的纸上画出Rt△ABC，∠C=90°， 如图(1)；将∠B折叠，使点B与点C重合，折痕为EF， 沿BE画出虚线CE， 如图(2)；将纸展开，如图(3) . （1）∠ECF与∠B有什么关系 线段EC与线段EB有什么关系？ （2）由发现的上述关系以及∠A+∠B=∠ACB，∠ACE+∠ECF=∠ACB.你能判断∠ACE与∠A的大小关系吗？线段AE与线段CE呢？从而你发现了什么结论？将你的结论与大家交流. 我们发现，CE=AE=EB，即CE是AB的中线,且CE=AB. 证一证： 已知:如图所示,在RtΔABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线. 求证:CD=AB. 教师指导学生分析、研究，有其他办法的小组可以互相交流. 证明:如图所示,过点D作DE∥BC,交AC于点E，作DF∥AC，交BC于点F. 在ΔAED和ΔDFB中, ∵ ∴ΔAED≌ΔDFB(ASA）, ∴AE=DF，ED=FB(全等三角形的对应边相等）, 同理可证ΔCDE≌ΔDCF. 从而ED=FC，EC=FD（全等三角形的对应边相等). ∴AE=CE，FC=FB(等量代换）. 又∵DE⊥AC，DF⊥BC（两直线平行，同位角相等), ∴DE为AC的垂直平分线,DF为BC的垂直平分线. ∴AD=CD=BD（线段垂直平分线的性质定理), ∴CD=AB. 【归纳】直角三角形的性质定理2: 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 活动三:做一做——直角三角形中30°角所对的直角边的关系 【做一做】求证：直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半. 分析:作出图形,如图所示，延长BC到D，使CD=BC,然后利用“边角边"证明ΔABC和ΔADC全等,根据全等三角形对应边相等可得AB=AD,再根据直角三角形两锐角互余求出∠B=60°，从而判断出ΔABD是等边三角形，根据等边三角形三边相等可得AB=BD，然后得出BC=AB. 证明:延长BC到D,使CD=BC, 在ΔABC和ΔADC中， ∴ΔABC≌ΔADC（SAS)， ∴AB=AD, ∵∠BAC=30°， ∴∠B=90°—30°=60°， ∴ΔABD是等边三角形, ∴AB=BD，∴BC=AB. 归纳:关于直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的证明，根据性质的来源作辅助线构造成等边三角形和全等三角形是解题的关键，作出图形更形象直观. 3.学以致用，应用新知 考点1 直角三角形的性质定理1和判定定理 【例1】具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是（ ） A．∠A+∠B＝∠C B．∠A﹣∠B＝∠C C．∠A ：∠B ：∠C＝1 ：2 ：3 D．∠A＝∠B＝3∠C 解析：A.∠A+∠B=∠C时，∠A+∠B+∠C=2∠C=180°, ∴∠C=90°,是直角三角形； B.∠A﹣∠B＝∠C时，∠A+∠B+∠C=2∠B=180°, ∴∠C=90°,是直角三角形； C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3时，∠C=180°=90°， 是直角三角形; D.∠A＝∠B＝3∠C时，∠A+∠B+∠C=7∠C=180°, ∴∠C=≠90°,∠A＝∠B＝≠90°，不是直角三角形. 综上所述,不是直角三角形的是D. 答案：D 考点2 直角三角形的性质定理2 【例2】如图所示，ΔABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE，则ΔCDE的周长为 (　　) A.20 B.12 C.14 D.13 解析:∵AB=AC，AD平分∠BAC,BC=8， ∴AD⊥BC,CD=BD=BC=4, ∵点E为AC的中点,∴DE=CE=AC=5， ∴ΔCDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.故选C. 答案：C 考点3 直角三角形中30°角所对的直角边的关系 【例3】ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,最小边BC=5 cm，最长边AB的长是 (　　) A.7 cm B.8 cm C.9 cm D.10 cm 解析：∵∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,且∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠C=90°，∠A=30°.∴BC=AB，∴AB=2BC=10 cm. 答案：D 4.随堂训练，巩固新知 （1）如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解析：图中，与∠B互余的角为∠BAD和∠C，共有2个. 答案：B （2）如图所示，ΔABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°,BD=5，则AB的长为 （ ） A.20 B.15 C.10 D.18 解析：∵∠ACB=90°,CD是高， ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠BCD=∠A=30°， 在RtΔBCD中,BC=2BD=2×5=10， 在RtΔABC中，AB=2BC=2×10=20.故选A. 答案：A （3）如图所示，已知∠AOB=60°，点P在边OA上，OP=8，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则ON等于 （　 ） A.6 B.5 C.4 D.3 解析:过P作PD⊥OB，垂足为点D，如图所示. 在RtΔOPD中，∵∠ODP=90°，∠POD=60°，∴∠OPD=30°，∴OD=OP=8=4，∵PM=PN，PD⊥MN，MN=2，∴MD=ND=MN=1，∴ON=OD+DN=4+1=5. 答案：B （4）如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=15°,线段AB的垂直平分线分别交BC、AB于D、E. 求证:DB=2AC. 证明：如图,连接AD, ∵DE垂直平分AB,∴AD=BD, ∴∠DAB=∠B=15°,∴∠ADC=30°, ∵∠C=90°,∴AC=AD. ∵BD=AD,∴DB=2AC. 5.课堂小结，自我完善 （1）谈谈这节课你的收获有哪些？ （2）直角三角形的两个锐角互余，反之亦成立. （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；在直接三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半. 6.布置作业 课本P149练习1-2题，P149习题A，B组. 由直角三角形的特殊性引起学生对性质和判定方法的思考. 整个过程以学生的观察、发现、小组讨论为主,充分体现了学生的主体地位及教师的主导作用. 让学生通过折纸、画图、观察、思考等活动，获得猜想，并交流理由，实现提升合情推理的能力. 引导学生画出图形以寻求思路的突破，要留给学生一定的思考时间完成证明. 通过例题讲解，巩固理解直角三角形的性质定理、判定定理，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏. 通过例题讲解，巩固理解“等腰三角形的两底角相等（等边对等角）”的性质和等边三角形的性质. 通过变式训练巩固所学知识，体会分类讨论思想在利用等腰三角形的性质解决有关计算问题时的作用. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容.
板书设计 17.2 直角三角形 提纲掣领，重点突出.
教后反思 1.本节课教师由直角三角形的特殊性引起学生的思考，推理出直角三角形的两锐角之间的关系.对于性质定理2的探讨着重让学生动手操作,小组研讨，猜想、证明得出判定，让学生认识到知识的形成过程. 2.学生对于直角三角形的性质定理2以及含30°角的直角三角形的性质的引导不够到位，这是难点也是重点，需要让学生充分思考. 反思，更进一步提升.