17.5 反证法 教学设计（表格式）冀教版数学八年级上册

17.5 反证法
课题 17.5 反证法 课型 新授课
教学内容 教材第162-164页的内容
教学目标 1.通过实例体会反证法的含义. 2.知道反证法证明命题的一般步骤. 3.借助实例感受反证法的思想.
教学重难点 教学重点：反证法证明命题的步骤. 教学难点：运用反证法证明命题.
教 学 过 程 备 注
1.回顾反思，导入课题 欣赏故事“道旁苦李”： 《世说新语》记载：王戎七岁，尝与诸小儿游.道边李树多子折枝，诸儿竞去取之，唯戎不动.人问之，答曰：“树在道边而多子，必苦李.”取之，信然. 师生活动：说说这个故事和数学知识间的联系. 2.互动探究，学习新知 上面情境中，王戎并没有尝到李子，他是根据道旁李树上李子多少的情况进行判断的，经过分析便知道了李子是苦的， 这就本节我们学习的“反证法”. 仔细分析王戎的思考过程,不难看出它分3个步骤: （1）假设道边李子是甜的； （2）根据这个假设进行推理,推得一个与现实事实（道边李多子）相矛盾的结果——道边李少子; （3）根据这个矛盾，说明原来假设（道边李子是甜的）是错误的，便可知道道边李子是甜的的反面——“必苦李”是正确的结论. 【过渡语】在证明一些命题为真命题时，一般用直接证明的方法，但有时用间接的证明方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法. 活动一:一起探究——反证法 在第九章中，我们已经知道“一个三角形中最多有一个直角”这个结论.怎么证明它呢？ 已知：如图所示，ΔABC. 求证：在ΔABC中，如果它含直角，那么它只能有一个直角. 让学生讨论，怎样证明这个问题,教师引导学生先假设有两个角是直角（或三个角都是直角)进行证明，用我们以前学过的定理进行判断. 学生各抒己见,教师出示答案，讲评、规范步骤. 证明:假设ΔABC中有两个(或三个)直角,不妨设∠A=∠B=90°， ∵∠A+∠B=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°+∠C>180°， 这与“三角形的内角和等于180°"相矛盾， 因此三角形有两个(或三个）直角的假设是不成立的. 所以如果三角形含直角,那么它只能有一个直角. 上述证明过程，是先假设原命题结论不正确,然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果.因此,假设是错误的,原结论是正确的. 教师小结：这种证明命题的方法叫做反证法,反证法是间接证明的方法. 让学生说一说刚才证明的过程,总结一下用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤. 教师在学生总结的基础上进行完善、归纳. 第一步:假设命题的结论不成立. 第二步：从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步:由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. 活动二:教材例题——反证法的应用举例 例1 用反证法证明平行线的性质定理一:两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. （1）想一想用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是什么； （2）写出已知、求证; （3）和小组成员讨论，交流解决问题的思路和想法，选择恰当的方法进行推理，注意推理的严密性. 指两名学生板演后，全班同学进行点评,找出存在的问题，对于好的思路和想法，教师要给予鼓励和表扬，最后教师规范出解题过程,其他同学进行比较,找出自身存在的问题进行修改. 已知:如图所示,直线AB∥CD,直线EF分别与直线AB，CD交于点G，H，∠1和∠2是同位角. 求证:∠1=∠2 证明：假设∠1≠∠2. 过点G作直线MN，使得∠EGN=∠1. ∵∠EGN=∠1, ∴MN∥CD（基本事实）. 又∵AB∥CD（已知）, ∴过点G,有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.这与“经过已知直线外一点,有且只有一条直线和已知直线平行"相矛盾. ∴∠1≠∠2的假设是不成立的. 因此∠1=∠2. 例2 用反证法证明直角三角形全等的“斜边、直角边"定理. 分析：（1）想一想直角三角形全等的判定定理是什么，它的已知条件和结论分别是什么 （2）画出图形,写出已知、求证,小组讨论过程. （3）出示答案，教师进行细致讲解. 已知:在ΔABC和ΔA'B'C',∠C=∠C’=90°，AB=A'B’，AC=A'C',如图所示. 求证:ΔABC≌ΔA’B’C'. 证明：假设ΔABC与ΔA’B'C’不全等,即BC≠B'C’，不妨设BC＜B’C’，在B'C'上截取C'D=CB，连接A’D. 在ΔABC与ΔA'DC'中， ∵AC=A'C'，∠C=∠C’,CB=C'D， ∴ΔABC≌ΔA'DC’(SAS）. ∴AB=A’D（全等三角形的对应边相等). ∵AB=A’B’（已知）, ∴A’B’=A'D（等量代换）. ∴∠B'=∠A’DB’（等边对等角）. ∴∠A’DB’＜90°（三角形的内角和定理）, 即∠C’<∠A'DB'〈90°（三角形的外角大于和它不相邻的内角）. 这与∠C’=90°相矛盾. 因此，BC≠B'C'的假设不成立，即ΔABC与ΔA’B’C’不全等的假设不成立. 所以ΔABC≌ΔA’B'C'. 【做一做】用反证法证明: （1）如果a·b=0,那么a,b中至少有一个等于0. （2）两条直线相交,有且只有一个交点. 小组讨论解决. 3.学以致用，应用新知 考点 反证法 【例1】已知△ABC中，AB＝AC，求证：∠B＜90°，下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤： ①∴∠A+∠B+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°矛盾 ②因此假设不成立．∴∠B＜90° ③假设在△ABC中，∠B≥90° ④由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°． 这四个步骤正确的顺序应是（ ） A．④③①② B．③④②① C．①②③④ D．③④①② 答案：D 【例2】用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角． 证明：假设等腰三角形的底角不是锐角，则大于或等于90°． 根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于180°． 则该三角形的三个内角的和一定大于180°，这与三角形的内角和定理相矛盾，故假设不成立． 所以等腰三角形的底角是锐角． 4.随堂训练，巩固新知 （1）选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设（ ） A．∠A≤45°，∠B≤45° B．∠A≥45°，∠B≥45° C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A＞45°，∠B＞45° 答案：D （2）已知五个正数的和为1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于. 证明：假设这五个正数a1，a2，a3，a4，a5中没有一个大于或等于，即都小于，那么a1+a2+a3+a4+a5<5×=1，这与已知a1+a2+a3+a4+a5=1矛盾.所以原命题得证. （3）用反证法证明三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 分析：首先假设三角形的一个外角不等于与它不相邻的两个内角的和，根据三角形的内角和等于180°,得到矛盾,所以假设不成立，进而可知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和. 已知:如图所示，∠1是ΔABC的一个外角. 求证：∠1=∠A+∠B. 证明：假设∠1≠∠A+∠B， 在ΔABC中，∠A+∠B+∠2=180°， ∵∠1+∠2=180°, ∴∠2=180°-∠1， ∵∠1≠∠A+∠B, ∴∠2≠180°—（∠A+∠B) ∴∠A+∠B+∠2≠180°. 与“三角形的内角和等于180°”相矛盾， ∴假设不成立，原命题成立, 即∠1=∠A+∠B. 5.课堂小结，自我完善 （1）谈谈这节课你的收获有哪些？ （2）用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤 第一步:假设命题的结论不成立. 第二步:从这个假设和其他已知条件出发,经过推理论证,得出与学过的概念、基本事实、已证明的定理、性质或题设条件相矛盾的结果. 第三步:由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的. （3）用反证法证明时，一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知矛盾，也可以是与某个定义、公理、定理矛盾.. 6.布置作业 课本P145练习1-2题，P146习题A，B组. 通过生活中的“道旁苦李”的小故事引入反证法，激发学生学习数学的兴趣，使学生很自然地进入本节的学习，进而顺利引入新课. 通过对故事中王戎的思考过程进行分析，让学生初步体会反证法的思路和一般步骤. 让学生明确用综合法证明本结论是行不通的,从而产生要探究一种新方法的欲望.让学生通过观察，感受反证法的证明过程,体会用反证法证明的一般步骤,为进一步学习反证法打好基础,做好理论铺垫. 师生共同总结出反证法的一般步骤，再举几个例子实际体会一下. 运用反证法对第七章平行线的性质定理给出了证明. 运用反证法对直角三角形全等的“斜边、直角边”定理给出了证明，让学生通过对两种证明方法的对比，体会反证法的价值. 通过两个例题让学生理解反证法的证明过程,感受逻辑推理的过程和语言的严密性，使学生更好地掌握这种特殊的证明命题的方法. 通过例题讲解，巩固理解反证法，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏. 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏. 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容.
板书设计 17.5 反证法 提纲掣领，重点突出.
教后反思 1.让学生置身于知识的发生、发展过程中，经历直观感知、观察发现、抽象概括、符号表示等思维过程，展示“数学的严谨性”是对事物的感性认识的升华和提高,有助于提高学生分析问题和解决问题的能力. 2.教学通过丰富的实例展开,这一方面可以使学生体会反证法思想与现实世界的联系,另一方面,活生生的例子也会增强学生学习反证法的兴趣，产生学习数学的积极情感，使他们感受到反证法思想离自己很近，反证法很有用. 反思，更进一步提升.