第一章 动量守恒定律
3 动量守恒定律
基础过关练
题组一 动量守恒的判断
1.(经典题)如图所示,A、B两物体的质量比mA∶mB=4∶3,它们原来静止在足够长的平板车C上,A、B间有一根被压缩了的弹簧,地面光滑。当弹簧被突然释放后,A、B组成的系统动量守恒。则有 ( )
A.A、B与C间的动摩擦因数相等
B.A、B与C间的动摩擦因数是否相等不确定
C.最终稳定时小车向右运动
D.A、B、C组成的系统动量守恒
2.如图所示,小车放在光滑的水平面上,将系着绳的小球拉开到一定的角度,然后同时放开小球和小车,那么在以后的过程中 ( )
A.小球向左摆动时,小车也向左运动,且系统动量守恒
B.小球向左摆动时,小车向右运动,且系统动量守恒
C.小球向左摆到最高点时,小球的速度为零而小车的速度不为零
D.在任意时刻,小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反(或都为零)
3.如图所示,A、B两木块紧靠在一起且静止于光滑水平面上,一颗子弹C以一定的速度v0向右从A的左端射入,穿过木块A后进入木块B,最后从B的右端射出,在此过程中,下列叙述正确的是 ( )
A.当子弹C在木块A中运动时,A、C组成的系统动量守恒
B.当子弹C在木块B中运动时,B、C组成的系统动量守恒
C.当子弹C在木块A中运动时,A、B、C组成的系统动量不守恒
D.当子弹C在木块B中运动时,A、B、C组成的系统动量不守恒
4.建筑工地上常用打桩机把桩打入地下。电动机先把重锤吊起一定的高度,然后由静止释放,重锤打在桩上,接着随桩一起向下运动直到停止。不计空气阻力,则下列说法中正确的是 ( )
A.重锤与桩的撞击过程中,重锤和桩组成的系统机械能守恒
B.重锤随桩一起向下运动过程中,重锤和桩组成的系统机械能守恒
C.整个运动过程中,重锤和桩组成的系统动量守恒
D.整个运动过程中,重锤所受合外力冲量为零
题组二 两物体组成的系统动量守恒
5.“天宫课堂”第四课中,航天员演示小球碰撞实验。分析实验视频,每隔相等的时间截取一张照片,如图所示。小球和大球的质量分别为m1、m2,可估算出 ( )
A.m1∶m2=1∶1 B.m1∶m2=1∶2
C.m1∶m2=2∶3 D.m1∶m2=1∶5
6.如图所示,光滑的水平面上有大小相同、质量不等的小球A、B,小球A以速度v0向右运动时与静止的小球B发生碰撞,碰后A球速度反向,大小为,B球的速率为,A、B两球的质量之比为 ( )
A.3∶8 B.8∶3 C.2∶5 D.5∶2
7.甲、乙两人静止在水平冰面上,突然两人掌心相碰互推对方,互推过程中两人相互作用力远大于冰面对人的摩擦力,若两人与冰面间的动摩擦因数相等,则以下正确的是 ( )
A.若m甲>m乙,则在互推的过程中,甲对乙的冲量大于乙对甲的冲量
B.无论甲、乙质量关系如何,在互推过程中,甲、乙两人动量变化量大小相等
C.若m甲>m乙,则分开瞬间甲的速率比乙的大
D.若m甲>m乙,则分开后乙先停下来
8.如图所示,在水平面上有一质量为M的长木板,其右端固定有一立柱。质量为m的人立于木板左端,木板与人均静止。在人加速向右奔跑的过程中,可将人视为质点,木板向左运动。人到达右端时立刻抱住立柱。关于抱住立柱后,人与木板一起运动的方向,下列说法中正确的是 ( )
A.若水平面光滑,人与木板一起向右运动
B.若水平面光滑,人与木板一起向左运动
C.若水平面粗糙,当M>m时,人与木板一起向左运动
D.若水平面粗糙,当M题组三 某一方向的动量守恒
9.(经典题)如图所示,质量为M的滑块静止在光滑的水平面上,滑块的光滑弧面底部与水平面相切,一个质量为m的小球以速度v0向滑块滚来,小球最后未越过滑块,则小球到达最高点时,小球和滑块的速度大小是 ( )
A. B. C. D.
10.如图所示,质量为m的光滑圆弧形槽静止在光滑水平面上,质量也为m的小钢球从槽的顶端A处由静止释放,则 ( )
A.小球和槽组成的系统动量守恒
B.小球可以到达与A等高的C点
C.小球下滑到底端B的过程中,小球和槽组成的系统机械能不守恒
D.小球下滑到底端B的过程中,小球所受合力的瞬时功率一直增大
11.如图所示,一个小孩将质量为m1的小球以大小为v0、仰角为θ的初速度抛入一个装有砂子的总质量为M的静止的砂车中,砂车与水平地面间的摩擦可以忽略。球和砂车获得共同速度后,砂车底部出现一小孔,砂子从小孔中漏出,不计空气阻力,则 ( )
A.球和砂车的共同速度v=
B.球和砂车获得共同速度后漏砂过程中系统动量守恒
C.砂子漏出后做直线运动,水平方向速度变小
D.当漏出质量为m2的砂子时,砂车的速度v'=
能力提升练
题组一 各类动量守恒模型
1.(经典题)如图甲所示,光滑水平面上有A、B两物块,已知A物块的质量mA=2 kg,以一定的初速度向右运动,与静止的物块B发生碰撞并一起运动,碰撞前后的位移-时间图像如图乙所示(规定向右为正方向),则碰撞后物块B的速度及物块B的质量分别为 ( )
A.2 m/s,5 kg B.2 m/s,3 kg
C.3.5 m/s,2.86 kg D.3.5 m/s,0.86 kg
2.如图所示,两颗质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上质量相同、材料不同的矩形滑块A、B中,射入A中的深度是射入B中深度的两倍。两种射入过程相比较 ( )
A.射入滑块A的子弹速度变化量大
B.整个射入过程中两滑块受到的冲量一样大
C.射入滑块A中时阻力对子弹做的功是射入滑块B中时阻力对子弹做功的两倍
D.两个过程中系统产生的热量不相同
3.如图所示,水平地面上紧挨着的两个滑块P、Q之间有少量炸药(质量不计),爆炸后P、Q沿水平地面向左、右滑行的最大距离分别为0.1 m、0.4 m。已知P、Q与水平地面间的动摩擦因数相同,则P、Q的质量之比m1∶m2为 ( )
A.4∶1 B.1∶4 C.2∶1 D.1∶2
4.如图所示,光滑水平面上甲、乙两球间粘少许炸药,一起以速度0.5 m/s向右做匀速直线运动。已知甲、乙两球质量分别为0.1 kg和0.2 kg。某时刻炸药突然爆炸,分开后两球仍沿原直线运动,从爆炸开始计时经过3.0 s,两球之间的距离为x=2.7 m,则下列说法正确的是 ( )
A.刚分离时,甲、乙两球的速度方向相同
B.刚分离时,甲球的速度大小为0.6 m/s
C.刚分离时,乙球的速度大小为0.3 m/s
D.爆炸过程中释放的能量为0.027 J
5.如图所示,光滑水平面上有一矩形长木板,木板左端放有一小物块,已知木板质量大于物块质量,t=0时刻两者从图中位置以相同的水平速度v0向右运动,碰到右边的竖直挡板后木板以与原来等大反向的速度被反弹回来,运动过程中物块一直未离开木板,则关于物块运动的速度v随时间t变化的图像可能是 ( )
6.如图,光滑绝缘水平面上方存在着水平向右的匀强电场,水平面上放有两个带电小球a、b,小球a质量为m、电荷量为+q(q>0),小球b质量为2m、电荷量为-q,初始两小球锁定并处于静止,两小球间距离为4x0,把两小球看作点电荷。现解除锁定,两小球在电场力的作用下由静止开始运动,一段时间后两小球间距离变为x0,此过程中 ( )
A.两小球组成的系统机械能守恒,动量守恒
B.两小球组成的系统机械能不守恒,动量不守恒
C.小球a的位移大小为2x0
D.小球a的位移大小为x0
7.如图所示,一水平光滑操作台上静置有两个小滑块A、B,用细线将滑块A、B连接,使A、B间的轻质弹簧处于压缩状态(A、B两滑块与弹簧不拴接)。剪断细线,滑块A、B被弹簧弹开并最终落到地面,落地点分别为M、N。已知A、B的质量分别为mA=1 kg、mB=2 kg,操作台距离地面高h=1.25 m,M距操作台边缘的水平距离x1=1.5 m,重力加速度g取10 m/s2,不计空气阻力。求:
(1)A刚离开操作台时的速度大小;
(2)B落地点N到操作台边缘的水平距离x2。
8.一枚在空中飞行的火箭,质量为m,在某点的速度大小为v,方向水平,燃料即将耗尽。火箭在该点炸裂成两块,如图所示,其中质量为m1的一块沿着与v相反的方向飞出,速度大小为v1。求:
(1)火箭炸裂前的动量p;
(2)炸裂后另一块的速度大小v2;
(3)炸裂过程中燃气对炸裂后另一块的冲量I。
题组二 多物体、多过程类动量守恒问题
9.(经典题)甲、乙两人站在光滑的水平冰面上,他们的质量都是M,甲手持一个质量为m的球,现甲把球以相对地面为v的速度传给乙,乙接球后又以相对地面为2v的速度把球传回甲,求甲接到球后,甲、乙两人的速度大小之比。
10.(教材习题改编)如图所示,光滑水平轨道上放置长木板A和滑块C,滑块B置于A的左端(B、C可视为质点),三者质量分别为mA=2 kg、mB=1 kg、mC=2 kg,A与B间的动摩擦因数为μ=0.5。开始时C静止,A、B一起以v0=5 m/s的速度匀速向右运动,A与C发生碰撞(时间极短)并粘在一起,经过一段时间,B刚好滑至A的右端而没掉下来。求:
(1)A、C碰撞后A的速度大小;
(2)长木板A的长度。(重力加速度g=10 m/s2)
11.如图所示,质量M=4 kg的滑板B静止在光滑水平面上,其右端固定一根轻质弹簧,弹簧的自由端C到滑板左端的水平距离L=0.5 m,这段滑板与木块A(可视为质点)之间的动摩擦因数μ=0.2,而弹簧自由端C到弹簧固定端D所对应的滑板上表面光滑。木块A以速度v0=10 m/s由滑板B左端开始沿滑板B上表面向右运动。已知木块A的质量m=1 kg。重力加速度g取10 m/s2。(=9.75)求:
(1)弹簧被压缩到最短时木块A的速度大小;
(2)木块A压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能;
(3)木块A再次回到滑板B的最左端时的速度大小。
答案与分层梯度式解析
第一章 动量守恒定律
3 动量守恒定律
基础过关练
1.D A、B两物体质量不同,对C的压力不相等,若A、B与C间的动摩擦因数相等,则摩擦力不相等,A、B组成的系统动量不守恒,而根据题意A、B组成的系统动量守恒,说明A、B与C间的动摩擦因数不相等,选项A、B错误;A、B、C组成的系统所受合外力为零,满足动量守恒,由于系统初动量为零,则最终小车静止,选项C错误,D正确。
2.D 依题意,小车和小球组成的系统水平方向不受外力作用,所以水平方向动量守恒(易错点),则有小球向左摆动时,小车向右运动,选项A、B错误;由于系统在水平方向动量守恒,且系统水平方向初动量为零,所以在任意时刻,小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反(或都为零),小球向左摆到最高点时,小球的速度为零,小车的速度也为零,选项C错误,D正确。
3.B 当子弹C在木块A中运动时,B对A、C组成的系统有力的作用,则A、C组成的系统动量不守恒,选项A错误;当子弹C在木块B中运动时,A已经和B脱离,(破题关键)则B、C组成的系统所受合外力为零,则B、C组成的系统动量守恒,选项B正确;子弹C在木块A、木块B中运动时,A、B、C组成的系统所受合外力均为零,则系统动量守恒,选项C、D错误。
4.D 重锤与桩的撞击过程中,重锤和桩组成的系统会产生内能,机械能不守恒,选项A错误;重锤随桩一起向下运动过程中,需要克服阻力做功,重锤和桩组成的系统机械能不守恒,选项B错误;整个运动过程中,重锤和桩组成的系统初始动量为零,末动量为零,但运动过程动量不为零,可知重锤和桩组成的系统动量不守恒,(易错点)选项C错误;整个运动过程中,重锤初始动量为零,末动量为零,根据动量定理可知,重锤所受合外力的冲量为零,选项D正确。
5.D 由第一张与第二张照片可知小球的初速度大小为v0=,由第二张与第三张照片可知碰撞后小球的速度大小为v1=,碰撞后大球的速度大小为v2=。设水平向左为正方向,根据动量守恒定律可得m1=-m1+m2,由图可知x0∶x1∶x2=1.5∶1∶0.5,则有m1×1.5=-m1×1+m2×0.5,解得m1∶m2=1∶5,选项D正确。
方法技巧 应用动量守恒定律解题的步骤
6.C 以A、B两球组成的系统为研究对象,两球碰撞过程动量守恒,以A球的初速度方向为正方向,由动量守恒定律得mAv0=mA+mB,可得两球的质量之比=,选项C正确,A、B、D错误。
7.B 互推过程,甲对乙的力与乙对甲的力是一对作用力与反作用力,大小相等,方向相反,作用时间相等,则甲对乙的冲量与乙对甲的冲量大小相等,方向相反,选项A错误。以两人组成的系统为研究对象,互推过程中,两人相互作用力远大于冰面对人的摩擦力,系统动量守恒,由动量守恒定律知甲、乙两人的动量变化量大小一定相等,方向相反,选项B正确。设推开瞬间,甲的速度大小为v甲,乙的速度大小为v乙,由动量守恒定律可得m甲v甲=m乙v乙,若m甲>m乙,则v甲8.D 规定水平向右为正方向,设人抱住立柱之前瞬间,人的速度大小为v1,木板速度大小为v2,人向右奔跑的时间为t,人抱住立柱后瞬间速度为v。
若水平面光滑,对人和木板组成的系统,如图所示:
沿水平方向动量守恒,人向右奔跑过程中,有mv1-Mv2=0,人抱住立柱过程中,有mv1-Mv2=(m+M)v,解得v=0,所以若水平面光滑,人抱住立柱后人与木板均静止不动,A、B错误。
若水平面粗糙,设人与木板之间的摩擦力大小为f1,木板与水平面之间的摩擦力大小为f2,如图所示:
人向右奔跑过程中,由动量定理,以人为研究对象,有f1t=mv1,以木板为研究对象,有-f1t+f2t=-Mv2,人抱住立柱过程中,可以认为内力远大于外力,系统动量守恒,有mv1-Mv2=(m+M)v,解得v=>0,人抱住立柱后瞬时速度为正值,说明若水平面粗糙,人与木板一起向右运动,C错误,D正确。
导师点睛 若水平面光滑,系统所受合外力为零,动量守恒,末速度为零;若水平面粗糙,系统所受合外力向右(水平面摩擦力),由动量定理知,末速度向右。
9.A 小球沿滑块的光滑弧面上滑的过程中,小球和滑块组成的系统在水平方向上不受外力,因而系统在水平方向动量守恒,小球到达最高点时和滑块具有相同的速度v(破题关键),由系统在水平方向上动量守恒得mv0=(M+m)v,所以v=,选项A正确。
方法技巧 小球到达最高点时,一定和滑块具有相同的速度v。若小球与滑块速度不相同,必然相对运动,此时小球一定不在最高点。
10.B 小球有竖直方向的分加速度,小球和槽组成的系统在竖直方向所受合力不为零,(破题关键)则小球和槽组成的系统动量不守恒,A错误;小球和槽组成的系统在水平方向不受外力,所以系统在水平方向动量守恒,系统在水平方向初动量为零,所以小球上滑到最高点时系统的动量也为零,又因为整个过程系统机械能守恒,初动能和末动能都为零,所以初、末状态系统重力势能相同,(破题关键)小球可以到达与A等高的C点,B正确,C错误;小球开始下滑时,速度为零,根据公式P=Fv cos θ,合力的瞬时功率为零,小球滑到底端B时,速度与合力垂直,合力的瞬时功率也为零,则小球所受合力的瞬时功率先增大后减小,D错误。故选B。
11.A 小球与砂车组成的系统在水平方向所受合力为零,系统在水平方向动量守恒,以水平向右为正方向,由动量守恒定律得m1v0 cos θ=(m1+M)v,解得小球与砂车的共同速度v=,选项A正确;小球和砂车获得共同速度后漏砂过程中系统所受合外力不为零,系统动量不守恒,选项B错误;砂子刚漏出时初速度沿水平方向,砂子漏出后只受重力作用,砂子做平抛运动,在水平方向的速度不变,选项C错误;漏砂时,系统在水平方向所受合外力为零,系统在水平方向动量守恒,总质量不变,由动量守恒定律可知,系统在水平方向速度不变,即砂车的速度v'=v=,选项D错误。
方法技巧 某一方向动量守恒问题的解题要点
(1)若系统所受合力不为零,总动量不守恒,但某一方向上所受合力为零,则这个方向上的动量还是守恒的。此时应分析该方向上对应过程的初、末状态,确定该方向上初、末状态的动量。
(2)此类问题经常需要结合机械能守恒定律、动能定理或能量守恒定律等进行求解。
能力提升练
1.B
图形剖析
由图像可知,碰前A的速度为v1= m/s=5 m/s,碰后A、B的共同速度为v2= m/s=2 m/s,A、B碰撞过程中动量守恒,以向右为正方向,由动量守恒定律得mAv1=(mA+mB)v2,解得mB=3 kg,选项B正确。
2.B 子弹射入滑块过程,子弹与滑块组成的系统动量守恒,有mv0=(m+M)v,可知,两颗子弹的末速度相等,所以子弹速度的变化量相等,滑块动量变化量相等,滑块受到的冲量相等,A错误,B正确;对于子弹,根据动能定理,有Wf=mv2-m,由于末速度v相等,所以阻力对子弹做功相等,C错误;对子弹与滑块组成的系统,由能量守恒得系统产生的热量Q=m-(m+M)v2,所以系统产生的热量相同,D错误。故选B。
3.C 爆炸过程中物体间的相互作用是突然发生的,相互作用力为变力,作用时间很短,平均作用力很大,且远大于系统所受的外力,所以爆炸过程中系统的总动量守恒。(破题关键)取水平向右为正方向,则0=-m1v1+m2v2,爆炸之后分别对两滑块应用动能定理:对滑块P,-μm1gx1=0-m1,对滑块Q,-μm2gx2=0-m2,联立解得m1∶m2=2∶1,选项A、B、D错误,C正确。
4.D 设甲、乙两球的质量分别为m1、m2,刚分离时两球速度分别为v1、v2,以向右为正方向,则由动量守恒定律有(m1+m2)v0=m1v1+m2v2,根据题意有v2-v1=,代入数据可解得v2=0.8 m/s,v1=-0.1 m/s,说明刚分离时两球速度方向相反,选项A、B、C错误;爆炸过程中释放的能量ΔE=m1+m2-(m1+m2),将v2=0.8 m/s,v1=-0.1 m/s代入可得ΔE=0.027 J,选项D正确。
方法技巧 处理爆炸模型的方法
5.A 木板碰到挡板前,物块与木板一起做匀速运动,速度为v0;木板碰到挡板后,木板向左做匀减速运动,木板质量大于物块的质量,根据动量守恒定律,它们的总动量一直向左,物块先向右做匀减速运动,速度减至零后向左做匀加速运动,最终两者速度相同,设为v,设木板的质量为M,物块的质量为m,取向右为正方向,对物块和木板组成的系统,从木板被挡板反弹到物块和木板速度相同的过程,由动量守恒定律得-Mv0+mv0=(M+m)v,解得v=-v0,即物块的速度v方向向左,且大小小于v0,选项A正确,B、C、D错误。
6.C
关键点拨 解答本题,有两个关键点:
(1)两小球带等量异种电荷,所受电场力等大反向,系统所受合外力为零,动量守恒。
(2)两小球做变速运动,但时刻有mva=2mvb,易得出xa=2xb。
两小球组成的系统,受到匀强电场的合电场力为零,故系统动量守恒,由于电场力对两小球均做正功,系统电势能减小,系统机械能增加,选项A、B错误;根据动量守恒定律有mva=2mvb,两小球运动时间相等,可得mxa=2mxb,(解题技法)解得xa=2xb,根据题意有xa+xb=4x0-x0,联立解得xa=2x0,选项C正确,D错误。
7.答案 (1)3 m/s (2)0.75 m
解析 (1)滑块A离开操作台后做平抛运动,竖直方向有h=gt2
解得t== s=0.5 s
水平方向有x1=vAt
解得A离开操作台时的速度大小为
vA== m/s=3 m/s
(2)滑块A、B被弹簧弹开过程满足动量守恒,以向右为正方向,则有mBvB-mAvA=0
解得滑块B做平抛运动的初速度大小为
vB== m/s=1.5 m/s
B落地点N到操作台边缘的水平距离为x2=vBt=1.5×0.5 m=0.75 m
8.答案 (1)mv,方向与v的方向相同 (2) (3)m1(v+v1),方向与v的方向相同
关键点拨 (1)炸裂前,可以认为火箭是由质量为m1和m-m1的两部分组成的。考虑到燃料几乎用完,火箭的炸裂过程可以看作炸裂的两部分相互作用的过程。这两部分组成的系统是我们的研究对象。
(2)炸裂过程,火箭受到重力的作用,所受外力的矢量和不为0,但是所受的重力远小于爆炸时的作用力,所以可认为系统满足动量守恒的条件。
解析 (1)火箭炸裂前的动量为p=mv,方向与v的方向相同
(2)根据动量守恒定律得mv=-m1v1+(m-m1)v2
解得v2=,方向与v的方向相同(点拨:解题时涉及的速度,都是相对于地面的速度)
(3)根据动量定理得I=(m-m1)v2-(m-m1)v
解得I=m1(v+v1),方向与v的方向相同
9.答案
解析 以甲抛球时球的速度方向为正方向,以甲与球组成的系统为研究对象,
由动量守恒定律得mv-Mv1=0
以乙与球组成的系统为研究对象,乙接球的过程中,
由动量守恒定律得mv=(m+M)v2
同理,乙抛球的过程中有(m+M)v2=-m·2v+Mv2'
甲接球的过程中有-Mv1-m·2v=-(m+M)v1'
解得v1'=,v2'=
故所求的速度大小之比为=
一题多解 将甲、乙两人与球看作一个系统,系统水平方向动量是守恒的。初态时全部静止,末态时球在甲手中,两人往相反方向运动。设末态甲速度大小为v1',乙的速度大小为v2',设甲的末速度方向为正方向,由动量守恒定律得(M+m)v1'-Mv2'=0,解得甲、乙两人的速度大小之比为=。
10.答案 (1)2.5 m/s (2)0.5 m
模型构建 碰撞是在瞬间完成的,研究A、C碰撞时不要受滑块B的影响,A、C碰撞后,滑块B再与A、C整体发生相互作用。
解析 (1)A与C碰撞过程动量守恒,有mAv0=(mA+mC)v1
解得v1=2.5 m/s
(2)B在A上滑行,A、B、C组成的系统动量守恒,有mBv0+(mA+mC)v1=(mA+mB+mC)v2
解得v2=3 m/s
由能量守恒定律得mB+(mA+mC)=(mA+mB+mC)+μmBgl
解得l=0.5 m
11.答案 (1)2 m/s (2)39 J (3)5.8 m/s
解析 (1)弹簧被压缩到最短时,木块A与滑板B具有相同的速度,设为v,从木块A开始沿滑板B上表面向右运动至弹簧被压缩到最短的过程中,系统动量守恒,规定向右为正方向,有mv0=(M+m)v,得v=v0
代入数据得v=2 m/s
(2)在木块A压缩弹簧的过程中,弹簧被压缩到最短时,弹簧的弹性势能最大,由能量守恒定律得弹簧最大弹性势能Epm=m-(M+m)v2-μmgL
代入数据解得Epm=39 J
(3)规定向右为正方向,木块A再次回到滑板B的最左端时,设木块A的速度为v1',滑板B的速度为v2',
由系统动量守恒得mv0=mv1'+Mv2'
由能量守恒定律得m=mv1'2+Mv2'2+2μmgL
两式联立并代入数据,解得v1'=-5.8 m/s或v1'=9.8 m/s
由运动过程可以判断木块A回到滑板B最左端时速度方向和初速度方向相反,故9.8 m/s应舍去,所以速度大小为5.8 m/s。
7(共27张PPT)
3 动量守恒定律
知识点 1 系统、内力和外力
必备知识 清单破
1.系统:由两个(或多个)相互作用的物体构成的整体。
2.内力:系统中物体间的作用力。
3.外力:系统以外的物体施加给系统内物体的力。
1.内容:如果一个系统不受外力,或者所受外力的矢量和为0,这个系统的总动量保持不变。
2.表达式:对两个物体组成的系统,常写成p1+p2=p1'+p2'或
知识点 2 动量守恒定律
3.适用条件
(1)系统不受外力或者所受外力的矢量和为零。
(2)系统外力远小于内力时,外力的作用可以忽略,系统的动量守恒。
(3)系统在某一方向上的合外力为零时,系统在该方向上动量守恒。
4.动量守恒定律的五个特性
矢量性 动量守恒定律的表达式为矢量方程,解题时应选取统一的正方向
相对性 各物体的速度必须是相对于同一参考系的速度(一般是相对于地面)
同时性 动量是一个瞬时量,表达式中的p1、p2、……必须是系统中各物体在相互作用前同一时刻的动量,p1'、p2'、……必须是系统中各物体在相互作用后同一时刻的动量
系统性 研究的对象是相互作用的两个或多个物体组成的系统
普适性 动量守恒定律不仅适用于低速、宏观物体组成的系统,还适用于接近光速运动的微观粒子组成的系统
注意 系统动量守恒时,其机械能不一定守恒,系统的机械能守恒时,其动量也不一定守恒,这
是两个守恒定律成立的条件不同而导致的。
知识辨析
1.木块放在光滑水平面上,子弹沿水平方向射入木块的过程中,子弹和木块组成的系统动量守
恒吗
2.某一系统的机械能守恒,该系统的动量也一定守恒吗
3.中微子在运动过程中会转化为一个μ子和一个τ子,有没有可能μ子和τ子均和中微子的运动
方向相反
一语破的
1.守恒。因为子弹和木块组成的系统所受合外力为0,满足动量守恒的条件。
2.不一定。系统机械能守恒的条件为只有重力或系统内弹力做功,其他力不做功或做功的代
数和为零,而动量守恒的条件为系统不受外力或所受合外力为零,它们的守恒条件不同,当某
系统的机械能守恒时,系统所受的合外力不一定为零,动量未必守恒。
3.不可能。中微子转化为一个μ子和一个τ子的过程中动量守恒,若μ子和中微子的运动方向
相反,则τ子和中微子的运动方向一定相同。
1.理想守恒
系统内的任何物体都不受外力作用,这是一种理想化的情形。若系统受到外力作用,但所受
合外力为零,可视为理想守恒。例如:两个物体在光滑的水平面上碰撞,物体所受重力和支持
力为一对平衡力,合力为零,两物体组成的系统动量守恒。
2.近似守恒
系统受到的合外力不为零,但当内力远大于外力时,可以认为系统的动量守恒。
例如:手榴弹在空中爆炸的瞬间,火药产生的内力远大于手榴弹的重力,重力便可忽略不计,动
量近似守恒;高速公路上,两辆轿车相撞,在碰撞瞬间,两车间相互作用的内力远大于车所受的
摩擦力,摩擦力可忽略,动量近似守恒。
关键能力 定点破
定点 1
对动量守恒定律成立条件的理解
3.某一方向上动量守恒
系统所受合外力不为零,但在某一方向上合外力为零,则系统在该方向上动量守恒。常见模
型如下(地面均光滑):
例如:水平抛出的小球落在了沿光滑水平面匀速运动的敞篷车中,由于小球在竖直方向受重
力作用,故小球和车组成的系统动量不守恒,但系统在水平方向不受外力,故系统在水平方向
动量守恒。
特别提醒 系统动量守恒,是系统在整个过程中任意两个时刻的总动量都相等,不能误认为
只是初、末两个状态的总动量相等。系统的总动量保持不变,但系统内每个物体的动量可能
都在不断变化,系统内各物体的动量的矢量和是不变的。实际列方程时,可在这守恒的无数
个状态中任选两个状态来列方程。
典例 光滑水平面【1】上放着一异形物块b,其曲面是四分之一光滑圆弧面,在曲面的最
低点放着一个静止的小球c,如图所示。滑块a以初速度v0水平向左运动,与b碰撞后迅速粘在
一起【2】。已知a、b、c的质量均为m,小球c没有从物块b的上端离开,重力加速度为g。在它
们相互作用与运动的全过程中 ( )
A.a、b、c组成的系统动量守恒
B.a、b、c组成的系统机械能守恒
C.小球c在曲面上上升的最大高度【3】为
D.小球c在曲面上上升的最大高度为
信息提取 【1】a、b、c组成的系统在水平方向不受外力。
【2】a、b碰撞后共速。
【3】小球c上升到最高点时相对a、b静止,三者共速。
思路点拨 整个运动过程如下:a、b在碰撞瞬间相互作用(不受c的影响),迅速粘在一起而成
为一体,再与c相互作用,如图所示。
解析 在碰撞之后一起运动的过程中,a、b、c组成的系统在水平方向上动量守恒(由【1】
得到),小球c在竖直方向上受力不平衡,竖直方向上系统动量不守恒,A错误。a与b碰撞过
程,a、b组成的系统动量守恒,有mv0=2mv1,解得v1= ,a与b碰撞过程中有能量损失,故整个相
互作用过程中系统机械能不守恒,B错误。a、b、c组成的系统水平方向动量守恒,小球上升
到最高点时,有2mv1=3mv(由【3】得到),解得共同速度v= ,从a、b粘在一起到小球c上升到
最高点的过程中,a、b、c组成的系统机械能守恒,有 ×2m - ×3mv2=mgh,解得h= ,C错
误,D正确。故选D。
答案 D
爆炸现象的三个规律
定点 2
动量守恒定律的应用——爆炸问题
动量 守恒 由于爆炸是在极短的时间内完成的,爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力,所以在爆炸过程中,系统的总动量守恒
动能 增加 在爆炸过程中,由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能,所以爆炸后系统的总动能增加
位置 不变 爆炸的时间极短,因而作用过程中,物体产生的位移很小,一般可忽略不计,可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动
典例 如图所示,木块A、B的质量均为m,放在一段粗糙程度相同的水平地面上,木块A、B间
夹有一小块炸药(炸药的质量可以忽略不计)。让A、B以初速度v0一起从O点滑出,滑行一段
距离后到达P点,速度变为 ,此时炸药爆炸【1】使木块A、B分离,发现木块B立即停在原位置,
木块A继续沿水平方向前进【2】。已知O、P两点间的距离为s,设炸药爆炸时释放的化学能全
部转化为木块的动能,爆炸时间很短可以忽略不计,
重力加速度为g,求:
(1)木块与水平地面间的动摩擦因数μ;
(2)炸药爆炸时释放的化学能。
信息提取 【1】爆炸前瞬间系统动能不为0。
【2】爆炸后,木块B的动量、动能为0。
思路点拨 木块A、B从O到P,根据动能定理【3】,得出木块与水平地面间的动摩擦因数μ;在P
点炸药爆炸使A、B分离,根据动量守恒定律【4】,得出木块A的速度;根据能量守恒【5】,得出炸
药爆炸时释放的化学能。
解析 (1)从O滑到P,对A、B有-μ·2mgs= ×2m× - ×2m (由【1】、【3】得到),解得μ=
。
(2)在P点爆炸时,对A、B组成的系统有2m· =mv(由【2】、【4】得到),炸药爆炸时释放的
化学能E0= mv2- ×2m× (由【1】、【5】得到),解得E0= m 。
答案 (1) (2) m
1.两个关键点
如:平板车B静止在光滑水平面上,平板车一端静置着一物体A,一颗子弹以初速度v0水平射入
A并射穿A。大系统包括三个物体:子弹、物体A和小车B,同时有两个运动过程,第一个过程是
定点 3
动量守恒定律的应用——多物体多过程问题
子弹与物体A发生作用;第二个过程是子弹射穿A后,物体A与平板车B发生作用。
对于两个过程,可分别选取子弹与A组成的系统、A与B组成的系统为研究对象分析。
2.解题的五个步骤
典例 如图所示,在光滑的水平面上静止放置着一个质量为4m的木板B,它的左端静止放置着
一个质量为2m的物块A,木板B右侧不远处有一个与B相同的木板C静止在水平面上。现
让A、B一起以水平速度v0向右运动,木板B与静止的木板C相碰后粘在一起【1】,在两木板相碰
后的运动过程中,物块A恰好没有滑下木板C【2】,且物块A可视为质点,则两木板的最终速度为
( )
A. B. C. D.
信息提取 【1】两木板B、C碰后速度相同。
【2】最终A、B、C三者速度相同。
思路点拨 本题可以分段或全程应用动量守恒定律求解木板的最终速度。
方法一(分段):B、C碰撞瞬间,由于作用时间极短,A的速度不突变,碰撞过程内力远大于外力,
B、C组成的系统动量守恒【3】;从B、C碰后到A、B、C共速运动,A、B、C组成的系统所受合
外力为零,A、B、C组成的系统动量守恒【4】。
方法二(全程):整个运动过程中,A、B、C组成的系统所受合外力为零,A、B、C组成的系统动
量守恒【5】。
解析 方法一:设B、C两木板碰撞后的速度为v1(由【1】得到),以v0的方向为正方向,对B、C
组成的系统,有4mv0=(4m+4m)v1(由【3】得到),解得v1= ;设物块A与木板B、C共同的速度为
v2(由【2】得到),对B、C碰后至A、B、C共速过程,对A、B、C组成的系统,有2mv0+8mv1=(2m
+8m)v2(由【4】得到),解得v2= ,故选C。
方法二:设物块A与木板B、C共同的速度为v,整个运动过程中,对A、B、C组成的系统,有(2m
+4m)v0=(2m+4m+4m)v(由【5】得到),解得v= v0。
答案 C
1.临界问题的临界状态与临界条件
定点 4
动量守恒定律的应用——临界问题
临界 状态 从题设情景中看是否有相互作用的两物体“相距最近”“恰好滑离”“恰好不相碰”和“物体开始反向运动”等临界状态
临界 条件 临界条件常常表现在两物体的相对速度与相对位移上,“速度相等”是常见的临界条件。如果题干中出现“恰好”“最大”“最近”“不脱离”“最高点”等词语,通常是对临界状态给出了暗示。审题时,一定要抓住这些特定的词语挖掘其内涵,找出临界条件
相距 最近 如图所示,光滑水平面上的A物体以速度v冲向静止的
B物体,A、B两物体相距最近时,两物体速度必定相等,
此时弹簧最短,其压缩量最大
如图所示,光滑水平面上有两个带同种电荷的物体A、B,在A
以速度v向静止的B靠近的过程中(设A、B不会接触),两者相
距最近时,速度必定相等
距离 最远 如图所示,物体A以速度v滑上静止在光滑水平面上的小车B,
当A在B上滑行的距离最远时,A、B相对静止,二者速度必定
相等
2.两种常见的临界问题
典例 如图所示,光滑水平地面上停放着甲、乙两辆相同的平板车,一根轻绳跨过乙车的定
滑轮(不计定滑轮的质量和摩擦),绳的一端与甲车相连,另一端被甲车上的人拉在手中,已知
每辆车和人的质量均为30 kg,两车间的距离足够远。现在人用力拉绳,两车开始相向运动,人
与甲车保持相对静止【1】,当乙车的速度为1 m/s时,停止拉绳【2】。求:
(1)拉绳过程中人做了多少功
(2)停止拉绳后,为避免两车相撞,人至少【3】以多大水平速度从甲车跳上乙车
信息提取 【1】两者速度相同。
【2】之后均做匀速运动。
【3】考虑临界情况。
思路点拨 解答本题应注意以下两点:
(1)人拉车的过程是动量守恒的过程,也是人对甲车、乙车和人组成的系统做功的过程,可以
通过动量守恒计算出甲车和人的速度,再由Ek= mv2计算出甲车和人、乙车的动能,由能量守
恒知,甲车和人、乙车的动能之和等于人对系统做的功【4】。
(2)停止拉绳后,甲车和人、乙车相向匀速运动;且甲车和人的动量与乙车的动量大小相等,方
向相反。要两车恰不相撞,应有人跳到乙车后,甲车、乙车和人的速度同向且大小相等,因总
动量为零,故应保证作用后三者均保持静止。
解析 (1)设甲、乙两车和人的质量均为m,停止拉绳时甲车的速度大小为v甲,乙车的速度大
小为v乙,以甲车的运动方向为正方向,由动量守恒定律得
2mv甲=mv乙
代入数据解得v甲=0.5 m/s
由功与能的关系可知,人拉绳过程做的功W= (2m) + m (由【4】得到)
代入数据解得W=22.5 J
(2)为使人跳到乙车上后两车不相撞,临界情况为两车速度相同,因为系统总动量守恒且为零,
故临界情况应为两车和人都静止。
设人跳出时水平速度为v,有mv-mv乙=0
代入数据解得v=1 m/s
答案 (1)22.5 J (2)1 m/s
