第二章 机械振动
2 简谐运动的描述
基础过关练
题组一 描述简谐运动的物理量
1.如图所示,弹簧振子在A、B间做简谐运动,O为平衡位置,A、B间的距离是30 cm,小球由A第一次运动到B的时间是4 s,则下列说法正确的是 ( )
A.小球由A→O→B完成一次全振动
B.小球振动的周期为4 s,振幅为15 cm
C.从A开始经过12 s,小球通过的路程是90 cm
D.从O开始经过6 s,小球处在平衡位置
2.如图甲所示,弹簧振子以O点为平衡位置,在A、B两点之间做简谐运动。取向右为正方向,振子的位移x随时间t变化的图像如图乙所示,下列说法正确的是 ( )
A.该振子的振幅为24 cm
B.该振子的频率为1.6 Hz
C.t=0.8 s时,振子运动到O点,且加速度最大
D.t=0.45 s到t=1.25 s时间内,振子通过的路程为24 cm
3.某物体以O点为平衡位置做简谐运动,从最大位移处开始计时,通过A点时的速度为v,经过4 s后物体第一次以相同的速度通过B点,再经过2 s后物体紧接着又通过B点,已知物体在6 s内经过的路程为6 cm,则物体运动的周期和振幅分别为 ( )
A.12 s,2 cm B.12 s,3 cm
C.8 s,2 cm D.8 s,3 cm
题组二 对简谐运动表达式的理解
4.(经典题)有一个弹簧振子的振动图像如图所示,则它的振动方程是 ( )
A.x=8×10-3 sin m
B.x=8×10-3 sin m
C.x=8×10-1 sin m
D.x=8×10-1 sin m
5.如图所示为甲、乙两个质点做简谐运动的振动图像,实线为甲的振动图像,虚线为乙的振动图像,其中甲的振动方程为x=3a sin (5πt)。下列说法中正确的是 ( )
A.甲质点的振幅是a
B.甲质点振动的频率是5π Hz
C.t=0时,甲、乙的相位差是
D.t=0时,甲、乙的相位差是
6.甲、乙两物体各自做简谐运动,某时刻开始计时,它们的振动方程分别为x甲=3a sin ,x乙=2a sin ,下列说法正确的是 ( )
A.甲、乙的振幅之比为2∶3
B.甲、乙的振动频率之比为2∶1
C.各自的一个周期内,甲、乙运动的路程之差为4a
D.t=0时,甲、乙的相位差为π
能力提升练
题组一 简谐运动的表达式的应用
1.如图所示,弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点之间做简谐运动,B、C相距20 cm。小球运动到B点时开始计时,t=0.5 s时小球第一次到达C点。若小球偏离平衡位置的位移随时间的变化规律满足x=A sin ,则下列说法正确的是 ( )
A.周期T=0.5 s
B.振幅A=20 cm
C.φ0=
D.t=0.125 s时,小球的位移为5 cm
2.一水平弹簧振子做简谐运动,从某时刻开始计时,其振动图像如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.振子计时起点位置是平衡位置
B.图中振子振动方程为x=2 cos cm
C.t=0时振子振动方向沿x轴向上,速度增大
D.振子在t=1 s时的位移为2 cm,速度最大,加速度最大且指向平衡位置
3.(经典题)一水平弹簧振子做简谐运动的位移与时间的关系如图。求:
(1)该简谐运动的周期和振幅;
(2)该简谐运动的表达式;
(3)t=0.25×10-2 s时弹簧振子的小球的位移(计算结果保留3位有效数字)。
题组二 简谐运动的周期性和对称性
4.(教材深研拓展)弹簧振子做简谐运动,若从平衡位置O开始计时,经过0.5 s,小球第一次经过P点,又经过0.2 s,小球第二次经过P点,则可能再过多长时间该小球第三次经过P点 ( )
A.0.6 s B.2.4 s C.0.8 s D.2.1 s
5.一振子沿x轴做简谐运动,平衡位置位于坐标原点O,简谐运动的振幅为A=0.2 m。t=0时刻振子的位移为x1=-0.2 m,t=1 s时刻振子的位移为x2=0,则振子做简谐运动的周期可能为 ( )
A. s B. s C.1 s D. s
6.弹簧振子以O点为平衡位置,在B、C两点间做简谐运动,在t=0时刻,振子从O、B间的P点以速度v向B点运动;在t=0.2 s时,振子速度第一次变为-v;在t=0.5 s时,振子速度第二次变为-v。
(1)求弹簧振子振动的周期T;
(2)若B、C之间的距离为25 cm,求振子在4.0 s内通过的路程;
(3)若B、C之间的距离为25 cm,从平衡位置向右运动时开始计时,写出弹簧振子的位移表达式。
答案与分层梯度式解析
第二章 机械振动
2 简谐运动的描述
基础过关练
1.C 小球由A→O→B完成半次全振动,从A→O→B→O→A完成一次全振动,A错误。小球由A经过半个周期第一次运动到B,即=4 s,可知小球做简谐运动的周期T=8 s;振幅为从平衡位置到最大位移处的距离,可得振幅A=15 cm;B错误。由于周期T=8 s,12 s为个周期,则小球通过的路程为s=6A=6×15 cm=90 cm,C正确。小球从O开始运动6 s,即经过个周期,将到达最大位移处,D错误。
2.D 根据题图乙可知,该弹簧振子的振幅为A=12 cm,周期T=1.6 s,则该振子的频率为f==0.625 Hz,A、B错误;t=0.8 s时,振子的位移为零,回到了平衡位置O点,弹簧的弹力为零,故加速度为零,C错误;从0.45 s到1.25 s经历的时间为0.8 s,即半个周期,则可知在该时间内振子通过的路程为2A=24 cm,故D正确。
3.B 假设弹簧振子在M、N间振动,由简谐运动的规律可知,由于物体经过A、B两点的速度相等,则A、B两点一定关于平衡位置O对称(破题关键),画出示意图如图所示,则从O到B的时间为2 s,从B到N的时间为1 s,故物体运动的周期为T=4×(2+1) s=12 s;物体从A点开始到第二次通过B点,经历了半个周期,通过的路程为6 cm,则2A=6 cm,可得振幅为A=3 cm,B正确。
4.A
图形剖析
根据由图读出的信息,对照x=A sin (ωt+φ),得弹簧振子的振动方程为x=8×10-3 sin m,故选A。
5.C 根据甲的振动方程可知其振幅是3a,A错误;根据甲的振动图像可看出其周期为T=0.4 s,故振动频率是2.5 Hz,B错误;已知甲的振动方程为x=3a sin (5πt),结合图像可知乙的振动方程为x=3a sin ,则t=0时,甲、乙的相位差是,C正确,D错误。
方法技巧 相位差的计算
将简谐运动的位移表达式换算成同一函数形式,然后比较初相位的差值。图1中零时刻质点甲位于平衡位置处,正在向x轴正方向运动,质点甲的振动方程为x=A sin t。
图2中零时刻质点乙位于正向的最大位移处,质点乙的振动方程为x=A cos t=A sin 。
可知甲、乙的相位差为-,即甲比乙的相位滞后。
6.C 对照x=A sin (ωt+φ),结合ω==2πf,可得甲、乙的振幅之比为A甲∶A乙=3a∶2a=3∶2,振动频率之比为f甲∶f乙=∶=1∶2,故A、B错误;一个周期内,做简谐运动的物体通过的路程等于4倍的振幅,(破题关键)故甲运动的路程s1=4×3a=12a,乙运动的路程为s2=4×2a=8a,路程差为s1-s2=4a,C正确;t=0时,甲的相位为,乙的相位为,则相位差为-,D错误。
能力提升练
1.C 从小球运动到B点时开始计时,t=0.5 s时小球第一次到达C点,历时半个周期,故周期为T=2t=1 s,A错误;振幅为偏离平衡位置的最大距离,故振幅A=10 cm,B错误;t=0时刻,x=A,代入题中位移表达式可得φ0=,C正确;由以上分析可得位移表达式为x=10 sin cm,当t=0.125 s时,代入可得小球的位移为5 cm,D错误。
2.B 由图知,振子计时起点位置不是平衡位置,故A错误;设振子振动方程为x=2 cos (ωt+φ) cm,当t=0时x=-1 cm,当t=1 s时x=2 cm,代入解得ω= rad/s,φ=,所以振子振动方程为x=2·cos cm,故B正确;由图知,t=0时振子振动方向沿x轴向下,速度减小,故C错误;振子在t=1 s时的位移为2 cm,速度最小,加速度最大且指向平衡位置,故D错误。
3.答案 (1)2×10-2 s 2 cm (2)x=2 sin 100πt+ cm 或x=2 sin cm (3)-1.41 cm
解析 (1)由题图知,该简谐运动的周期T=2×10-2 s,振幅A=2 cm
(2)ω==100π rad/s,又因为φ=,或者φ=-,所以简谐运动的表达式为x=2 sin cm,或x=2 sin cm
(3)当t=0.25×10-2 s时,弹簧振子的小球的位移为x=2 sin cm≈-1.41 cm
方法技巧 程序法书写简谐运动的表达式
4.A
关键点拨 小球开始运动的方向有两种可能,直接运动到P,或先往P的反方向运动再运动到P。
假设P在平衡位置的右侧。若小球从O点开始向右振动,作出示意图如图1,则振子的振动周期为T=(0.5+0.1)×4 s=2.4 s,则该质点再经过时间Δt=T-0.2 s=2.2 s,第三次经过P点;若振子从O点开始向左振动,作出示意图如图2,则有(0.5+0.1) s=T,振子的振动周期为T=0.8 s,则该质点再经过时间Δt'=T-0.2 s=0.6 s,第三次经过P点,故选A。
5.B 由题意可知t=0时刻振子位于负向最大位移处,t=1 s时刻振子位于平衡位置处,设振子做简谐运动的周期为T,则有(2n+1)=1 s(n=0,1,2,…),解得T= s(n=0,1,2,…)。
当n=0时,可得T1=4 s
当n=1时,可得T2= s
当n=2时,可得T3= s
当n=3时,可得T4= s
当n=4时,可得T5= s
当n=5时,可得T6= s
当n=6时,可得T7= s
分析可知只有选项B正确。
6.答案 (1)1.0 s (2)200 cm
(3)x=12.5 sin 2πt (cm)
解析 (1)弹簧振子做简谐运动的示意图如图所示
由简谐运动的对称性可得T=0.5×2 s=1.0 s
(2)若B、C之间的距离为25 cm,则振幅A=×25 cm=12.5 cm
振子4.0 s内通过的路程为s=×4A=200 cm
(3)设弹簧振子的位移表达式为x=A sin ωt
其中A=12.5 cm,ω==2π rad/s
代入数据可得x=12.5 sin 2πt(cm)
7(共19张PPT)
知识点 1 描述简谐运动的物理量
必备知识 清单破
2 简谐运动的描述
1.振幅(A)
(1)定义:振动物体离开平衡位置的最大距离。
(2)物理意义:振幅是表示振动幅度大小的物理量,是标量,振动物体运动的范围是振幅的两
倍。
2.周期(T)和频率(f)
(1)全振动:一个完整的振动过程称为一次全振动。不管以哪里作为开始研究的起点,做简谐
运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
(2)周期:做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间。
(3)频率:物体完成全振动的次数与所用时间之比叫作振动的频率,在数值上等于单位时间内
完成全振动的次数。
(4)物理意义:周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量,周期越小,频率越大,表示物体振动
得越快。周期与频率的关系是T= 。
3.相位:在物理学中,用相位来描述做简谐运动的物体某时刻正处于一个运动周期中的哪个状
态。
4.一次全振动的特征
一次全振动举例:弹簧振子在水平方向振动,O为平衡位置,A、A'为最大位移处,P是A、A'间任
意一点,如图所示,从物体运动到P点开始计时,则P→A→P→O→A'→O→P或P→O→A'→O→
P→A→P为一次全振动。
(1)时间特征:历时一个周期。
(2)路程特征:为振幅的4倍。
(3)相位特征:增加2π。
(4)速度特征:连续两次以相同速度通过同一点。
1.做简谐运动的物体的位移x随时间t变化的表达式
(1)ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量,叫作简谐运动的圆频率,它表示简谐运动的
快慢,ω= =2πf。
(2)ωt+φ代表简谐运动的相位。φ是t=0时的相位,叫作初相位。当初相位φ=0时,从平衡位置
知识点 2 简谐运动的表达式
开始计时,则x=A sin ωt,振动图像如图所示;当初相位φ= 时,从最大位移处开始计时,则x=A
sin =A cos ωt。
2.相位差
若两个简谐运动的表达式分别为x1=A sin (ωt+φ1),x2=A sin (ωt+φ2),它们的圆频率相同,相位差
为Δφ=(ωt+φ2)-(ωt+φ1)=φ2-φ1。
(1)若Δφ=0,表明运动步调相同,即同相;
(2)若Δφ=π,表明运动步调相反,即反相;
(3)若Δφ=φ2-φ1>0,则称2的相位比1的相位超前Δφ,或者说1的相位比2的相位落后Δφ;
(4)若Δφ=φ2-φ1<0,则称2的相位比1的相位落后|Δφ|,或者说1的相位比2的相位超前|Δφ|。
知识辨析
1.振子从离开平衡位置到第一次回到平衡位置的过程是一次全振动吗
2.在简谐运动中,振动物体在半个周期内通过的路程一定等于2倍振幅吗 在 个周期内通过
的路程一定等于振幅吗
3.一弹簧振子中的小球做简谐运动,若Δt= ,则在t和t+Δt时刻弹簧的长度相等吗
一语破的
1.不是。振子从离开平衡位置到第二次回到平衡位置的过程是一次全振动。
2.振动物体在半个周期内通过的路程一定等于2倍振幅。若从平衡位置或最大位移处开始计
时, 个周期内通过的路程等于振幅;若从在其他位置开始计时, 个周期内通过的路程不等
于振幅。
3.不一定。如果t时刻小球在平衡位置,则在t和t+Δt时刻弹簧的长度相等,否则不相等。
关键能力 定点破
定点 1
简谐运动的振幅、位移、路程的对比
振幅 位移 路程
定义 振动物体离开平衡位置的最大距离 从平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段 振动物体运动轨迹的长度
标矢性 标量 矢量 标量
变化 在稳定的振动系统中不发生变化 大小和方向随时间周期性变化 随时间增加
联系 (1)振幅等于最大位移的大小;位移x=A sin (ωt+φ) (2)振动物体在一个周期内的路程等于振幅的4倍;振动物体在一个周期内的位移等于零 注意 振动物体在四分之一周期内经过的路程可能等于振幅,可能大于振幅,也可能小于振
幅。①计时起点对应质点在三个特殊位置(两个最大位移处和一个平衡位置)时,s=A;
②计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间且向平衡位置运动时,s>A;
③计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间且向最大位移处运动时,s
典例 如图,轻弹簧上端固定,下端连接一小物块,物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向,物块做简谐运动的表达式为x=0.1 sin 2.5πt m【1】。t=0时刻,一小球从距物块h高处自由落下,t=0.6 s时,小球恰好与物块处于同一高度【2】。取重力加速度大小为g=10 m/s2,
以下判断正确的是 ( )
A.h=1.7 m
B.简谐运动的周期是1.25 s
C.0~0.6 s内物块运动的路程是0.2 m
D.t=0.4 s时,物块与小球的运动方向相反
信息提取 根据题意可提取的信息为:
思路点拨 对比简谐运动的表达式x=A sin t,得出物块的振幅A和周期T,并画出其振动图
像,对照图像和运动草图分析各选项。
解析 物块做简谐运动的振幅A=0.1 m,周期T= = s=0.8 s(由【1】得到),B错误;0~0.6 s
内物块由平衡位置向上运动至最大位移处,然后向下运动至负方向的最大位移处,则物块运
动的路程是s=3A=0.3 m,C错误;t=0.4 s= ,此时物块在平衡位置向下运动,物块与小球运动方
向相同,D错误；t=0.6 s时,物块的位移为x=-0.1 m,即物块向下运动了0.1 m,小球在0.6 s内下落
的距离H= gt2=1.8 m,由H=h+|x|(由【2】得到),得h=1.7 m,A正确。故选A。
答案 A
1.简谐运动的周期性
做简谐运动的物体,每隔一段时间总重复前面的运动,也就是说其运动具有周期性。
(1)若t2-t1=nT(n=1、2、…),则t1、t2两时刻振动物体在同一位置,各个状态参量(位移、速度、
加速度等)完全相同。
(2)若t2-t1=nT+ (n=0、1、2、…),则t1、t2两时刻振动物体的位置关于平衡位置对称,各个状
态参量(位移、速度、加速度等)均大小相等,方向相反。
定点 2
简谐运动的周期性及对称性
(3)若t2-t1=nT+ (n=0、1、2、…)或t2-t1=nT+ (n=0、1、2、…),则当t1时刻振动物体到达最
大位移处时,t2时刻物体到达平衡位置;当t1时刻振动物体在平衡位置时,t2时刻物体到达最大
位移处;当t1时刻振动物体在其他位置时,t2时刻物体到达何处要视具体情况而定。
2.简谐运动的对称性
(1)空间对称性
做简谐运动的物体经过关于平衡位置对称的两位置时,加速度的大小相等,方向相反;速度的
大小相等,方向有时相同,有时相反,但动能一定相同。
(2)时间对称性
做简谐运动的物体,无论是从对称点回到平衡位置,还是从平衡位置运动到对称点,所用时间
均相等;振动物体往复通过同一段路程所用的时间相等。
典例 一质点在平衡位置O点附近沿水平方向做简谐运动,若从质点通过O点时开始计时,经过0.9 s质点第一次通过M点【1】,再继续运动,又经过0.6 s质点第二次通过M点【2】,该质点第三次通过M点【3】需再经过的时间以及周期的可能值分别是 ( )
A.1 s 1.6 s B.1.2 s 1.6 s
C.2.4 s 4.8 s D.3.6 s 4.8 s
信息提取 【1】未指明开始计时时质点运动方向,开始时质点可能靠近M点,也可能远离M
点。
【2】质点的运动方向与第一次通过M点时相反。
【3】质点从第一次通过M点到第三次通过M点经历一次全振动。
思路点拨 假设M点在O点右侧,开始计时后质点的运动分为两种情况:(1)质点由O点向右运
动到M点,如图甲所示;(2)质点由O点先向左运动再到M点,如图乙所示。结合运动图解,根据
简谐运动的周期(一次全振动对应的时间)概念【4】以及简谐运动的对称性【5】分析即可。
解析 若开始计时时质点向右运动,如图甲所示,由O→B所用的时间为0.9 s+0.3 s=1.2 s,从O
点向左运动到A所用的时间也为1.2 s(由【5】得到),则质点第三次通过M点需再经过的时间
为2tMO+2tOA=2×0.9 s+2×1.2 s=4.2 s,质点的运动周期为0.6 s+4.2 s=4.8 s(由【3】、【4】得到);
若开始计时时质点向左运动,如图乙所示,从O→A→O→M→B所用的时间为0.9 s+0.3 s=1.2 s,
为 个周期,则周期为1.6 s,可知质点第三次通过M点需再经过的时间为1.6 s-2tMB=1.6 s-0.6 s=1 s,故A正确。
答案 A