第二章 机械振动
3 简谐运动的回复力和能量
基础过关练
题组一 简谐运动的回复力
1.关于简谐运动回复力,说法正确的是 ( )
A.回复力是使物体回到平衡位置的力,它只能由物体受到的合外力来提供
B.物体到达平衡位置,回复力一定为零
C.回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相同
D.回复力的方向总是跟物体的速度方向相反
2.在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子的质量是2 kg,当它运动到平衡位置左侧2 cm处时,受到的回复力是4 N。当它运动到平衡位置右侧4 cm处时,它的加速度是 ( )
A.2 m/s2,方向向右 B.2 m/s2,方向向左
C.4 m/s2,方向向右 D.4 m/s2,方向向左
3.(经典题)如图所示,质量为m的物体A放置在质量为M的物体B上,B与弹簧相连,它们一起在光滑水平面上做简谐运动,振动过程中A、B之间无相对运动。已知弹簧的劲度系数为k,当物体离开平衡位置的位移为x时,A、B间摩擦力的大小为 ( )
A.0 B.kx C. D.
题组二 简谐运动的能量
4.如图所示,在光滑的水平台面上,一轻弹簧左端固定,右端连接一金属小球,O点是弹簧保持原长时小球的位置。压缩弹簧使小球至A位置,然后释放小球,小球就在A、B间做往复运动(已知AO=OB)。小球从A位置运动到B位置的过程中,下列判断正确的是 ( )
A.小球的动能不断增加
B.弹簧的弹性势能不断减少
C.在任一位置弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变
D.小球运动到O点时的动能与此时弹簧的弹性势能相等
5.如图甲所示,直立的轻弹簧一端固定在水平地面上,另一端拴住一个铁块,现让铁块在竖直方向做往复运动,从铁块所受合力为零开始计时,取竖直向上为正方向,其运动的位移-时间图像如图乙所示,下列说法正确的是 ( )
A.t=0.50 s时铁块对弹簧的压力为零
B.t=0.25 s和t=0.75 s两时刻弹簧的弹力相等
C.t=0.25 s至t=0.50 s这段时间内铁块做加速度逐渐增大的加速运动
D.t=0.25 s至t=0.50 s这段时间内铁块的动能和弹簧的弹性势能之和在增大
6.如图所示,固定的与地面夹角为θ的光滑斜面顶端固定一垂直斜面的挡板,劲度系数为k的轻弹簧一端固定一个质量为m的小物体,另一端固定在挡板上。物体在平行斜面方向上的A、B两点间做简谐运动,当物体振动到最高点A时,弹簧正好为原长。已知重力加速度为g,则物体在向下振动的过程中 ( )
A.物体的动能不断增大
B.物体在B点时受到的弹力大小为2mg sin θ
C.物体在A、B两点的加速度相同
D.在平衡位置处,弹簧的弹性势能和物体的重力势能之和最大
能力提升练
题组一 简谐运动中物理量的变化分析
1.如图甲所示,弹簧振子的平衡位置为O点,在A、B两点之间做简谐运动,取向右为正方向,以振子从A点开始运动的时刻作为计时起点,振子的位移x随时间t的变化如图乙所示,下列说法正确的是 ( )
A.振子的振动方程为x=10 sin cm
B.t=0.8 s时,振子的加速度方向向右
C.t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,振子的回复力逐渐增大
D.t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振子的动能逐渐减小
2.如图所示,一个倾斜的弹簧振子从A点由静止释放,O点为振动的平衡位置,振动物体在A、B两点之间做简谐运动,不计一切摩擦,下列说法正确的是 ( )
A.振动物体在O点时,弹簧处于原长,弹簧振子的弹性势能为零
B.在振动物体运动的过程中,由弹簧弹力充当回复力
C.振动物体在B点时弹簧振子的弹性势能一定比在A点时的大
D.振动物体从A向B运动的过程中,其速度和加速度方向始终相同
题组二 简谐运动与力学的综合
3.(经典题)如图所示,一根用绝缘材料制成的劲度系数为k的轻弹簧左端固定,右端与质量为m、电荷量为+q的小球相连,开始时小球静止在光滑绝缘的水平面上,在施加一个场强大小为E、方向水平向右的匀强电场后,小球开始做简谐运动,那么 ( )
A.小球完成一次全振动的过程,电场力的冲量等于零
B.小球到达最右端时,弹簧的形变量为
C.小球做简谐运动的振幅为
D.运动过程中小球的电势能和弹簧的弹性势能的总量不变
4.如图所示,劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂一质量为M的圆盘,圆盘处于静止状态。现将质量为m的粘性小球自离圆盘h高处静止释放,与圆盘发生完全非弹性碰撞,不计空气阻力,重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.从小球静止释放到与圆盘一起运动的整个过程,小球、圆盘和弹簧组成的系统机械能守恒
B.圆盘做简谐运动的振幅为
C.振动过程中圆盘的最大速度为
D.碰后向下运动过程中,小球、圆盘和弹簧组成的系统势能总和先减小后增大
5.(经典题)如图所示,竖直悬挂的轻弹簧下端系着A、B两物体,mA=0.1 kg,mB=0.5 kg,弹簧的劲度系数为k=40 N/m,剪断A、B间的细绳后,A做简谐运动,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)剪断细绳瞬间的回复力大小;
(2)A做简谐运动的振幅。
6.(经典题)如图所示,倾角为α的斜面体(斜面光滑且足够长)放在粗糙的水平地面上,斜面顶端与劲度系数为k、自然长度为L的轻质弹簧相连,弹簧的另一端连接着质量为m的物块。压缩弹簧使其长度为L时将物块由静止开始释放,物块开始做简谐运动,斜面体始终处于静止状态。重力加速度为g。求:
(1)物块处于平衡位置时弹簧的形变量Δx;
(2)物块的振幅和加速度的最大值;
(3)物块做简谐运动过程中弹簧的最大长度。
题组三 简谐运动的判断
7.如图所示,一轻质弹簧的上端固定在倾角为30°的光滑固定斜面顶部,下端拴接小物块A,A通过一段轻质细线与小物块B相连,系统静止时B恰位于斜面的中点。将细线烧断,发现当B运动到斜面底端时,A刚好第三次到达最高点。已知B的质量m=2 kg,弹簧的劲度系数k=100 N/m,斜面长为L=5 m,且始终保持静止状态,重力加速度g=10 m/s2。
(1)试证明细线烧断后小物块A做简谐运动;
(2)求小物块A振动的振幅和周期。
8.(经典题)如图所示,电荷量分别为4q和-q的小球A、B固定在水平放置的光滑绝缘细杆上,相距为d。若杆上套一带电小环C,带电体A、B和C均可视为点电荷。
(1)求小环C受力平衡的位置;
(2)若小环C所带电荷量为-q,将小环C拉离平衡位置一段小位移x(|x| d)后由静止释放,试证明小环C将做简谐运动。[提示:当α 1时,=1-nα]
答案与分层梯度式解析
第二章 机械振动
3 简谐运动的回复力和能量
基础过关练
1.B 回复力是做简谐运动的物体受到的指向平衡位置的力,在平衡位置物体所受的回复力等于零,但物体所受的合外力不一定为零,即回复力不一定由物体受到的合外力提供,A错误,B正确;回复力的方向总是指向平衡位置,回复力的方向总是跟物体离开平衡位置的位移方向相反,可能跟物体的速度方向相同,也可能跟物体的速度方向相反,C、D错误。
2.D 以水平向右为正方向,当弹簧振子运动到平衡位置左侧2 cm处时,回复力F1=-kx1,x1=-2 cm;当它运动到平衡位置右侧4 cm处时,回复力F2=-kx2,x2=4 cm,又F1=4 N,解得F2=-8 N,故加速度a2== m/s2=-4 m/s2,即加速度大小为4 m/s2,方向水平向左,D正确。
3.D 物体A和B整体做简谐运动,当它们离开平衡位置的位移为x时,回复力的大小等于弹簧的弹力大小F=kx,对A和B整体分析,有kx=(m+M)a,对物体A分析,物体B对物体A的静摩擦力大小f=ma,联立解得A受到的摩擦力大小为f=,故选D。
4.C 小球做简谐运动,从A到O小球的动能不断增加,从O到B小球的动能不断减小,A错误。从A到O弹簧弹力对小球做正功,弹性势能减小;从O到B弹力对小球做负功,弹性势能增加,B错误。小球与弹簧组成的系统机械能守恒,所以在任一位置弹簧的弹性势能和小球的动能之和保持不变,C正确。小球运动到O点时的动能最大,此时弹簧的弹性势能为零,D错误。
5.D t=0.50 s时铁块在平衡位置处,此时铁块所受重力与弹簧弹力等大反向,则此时铁块对弹簧的压力不为零,A错误;t=0.25 s和t=0.75 s两时刻铁块相对平衡位置的位移大小相等,但在平衡位置弹簧的形变量并不为零,故两时刻弹簧的形变量不同,即弹簧的弹力不相等,B错误;t=0.25 s至t=0.50 s这段时间铁块从最高点向平衡位置运动,相对平衡位置的位移逐渐减小,则所受合外力逐渐减小,则加速度减小,即铁块做加速度逐渐减小的加速运动,C错误;由于铁块的动能和弹簧的弹性势能以及铁块的重力势能之和保持不变(破题关键),t=0.25 s至t=0.50 s这段时间内铁块的重力势能减小,则铁块的动能和弹簧的弹性势能之和在增大,D正确。
6.B 物体运动到平衡位置时,所受合外力为零,速度最大,则动能最大;运动到位置B时,速度为0,动能为0,所以物体在向下振动的过程中,物体的动能先增大后减小,A错误;物体在最高点A时,回复力大小F回=mg sin θ,在最低点B时,根据对称性结合受力分析可得F-mg sin θ=F回,联立可得F=2mg sin θ,B正确;由对称性可知,物体在A、B两点的加速度等大反向,C错误;在物体振动过程中,只有重力和弹簧弹力做功,弹簧和物体组成的系统机械能守恒,在平衡位置处,物体的动能最大,则弹簧的弹性势能和物体的重力势能的总和最小,D错误。
能力提升练
1.D 由题图乙可知,振子的振幅为A=10 cm,周期T=1.6 s,所以圆频率ω== rad/s,可得振子的振动方程为x=10 sin cm,A错误;由题图可知,t=0.8 s时,振子在正向最大位移处,由a==-,知加速度的方向与位移方向相反,故加速度方向向左,B错误;t=0.8 s到t=1.2 s的时间内,振子从正向最大位移处向平衡位置振动,弹簧的形变量变小,振子的回复力逐渐减小,C错误;t=1.2 s到t=1.6 s的时间内,振子从平衡位置向负向最大位移处振动,振子的速度逐渐减小,振子的动能逐渐减小,故D正确。
方法技巧 判断简谐运动中各物理量变化情况的思路
2.C O点为振动的平衡位置,则振动物体在O点时受到的合外力为零,则重力沿斜面向下的分力与弹簧弹力平衡,知弹簧处于伸长状态,弹性势能大于零,A错误。在振动物体运动的过程中,由弹簧弹力与重力沿斜面向下的分力mg sin θ的合力充当回复力,B错误。弹簧振子在振动过程中,机械能的总量不变,在A、B两点振动物体的动能均为零,且在B点时的重力势能比在A点时的小,则振动物体在B点时弹簧振子的弹性势能一定比在A点时的大,C正确。振动物体从A到O做加速运动,速度和加速度方向相同;从O向B运动的过程中,振动物体的速度减小,则速度和加速度方向相反,D错误。
3.B
模型构建 未施加电场时,小球静止,弹簧处于原长;施加电场后小球开始做简谐运动,最初小球速度为0,位于左侧最大位移处。
电场力的冲量I=Ft=qEt,小球完成一次全振动的过程,电场力的冲量不等于零,A错误;施加电场后,小球做简谐运动,在平衡位置有k·Δx=qE,所以振幅A=Δx=(破题关键),小球到达最右端时,弹簧的形变量为振幅的2倍,为,B正确,C错误;小球运动过程中,只有电场力和弹簧弹力做功,对于弹簧和小球组成的系统,小球的电势能、动能以及弹簧的弹性势能的总量守恒,D错误。
4.D 小球从静止释放到与圆盘一起运动的整个过程,由于小球与圆盘发生完全非弹性碰撞,系统有机械能损失,所以小球、圆盘和弹簧组成的系统机械能不守恒,选项A错误;以小球和圆盘组成的系统为研究对象,系统做简谐运动,平衡位置处合外力应为零,而碰后瞬间,系统合外力不为零,所以开始的位置不是平衡位置处,开始时有Mg=kx0,球粘在圆盘上能一起静止的位置满足(m+M)g=kx,所以从开始碰撞的位置到平衡位置距离为Δx=x-x0=,故振幅应大于,选项B错误;小球自离圆盘h高处静止释放,与圆盘发生完全非弹性碰撞,由动量守恒有mv=(m+M)v',由匀变速直线运动速度与位移关系有v2=2gh,联立解得两者碰撞后瞬间速度v'=,此时由牛顿第二定律可得(m+M)g-kx0=ma,碰后两者做加速度减小的加速运动,当a=0时,速度最大(破题关键),之后做减速运动到最低点,故振动过程中,圆盘的最大速度应大于,选项C错误;设小球、圆盘和弹簧组成的系统所具有的总能量为E,则E=Ep重+Ep弹+Ek,由能量守恒可知,碰后向下运动过程中,系统的动能先增大后减小,所以小球和圆盘的重力势能与弹簧的弹性势能总和先减小后增大,选项D正确。
5.答案 (1)5 N (2)0.125 m
解析 (1)剪断细绳前,弹簧的弹力大小为F弹=GA+GB
剪断细绳的瞬间,A做简谐运动的回复力为F回=F弹-GA=GA+GB-GA=GB=mBg=0.5×10 N=5 N
(2)剪断细绳瞬间弹簧的伸长量为
L1=====0.15 m
A处于平衡位置时,弹簧的伸长量为
L2=====0.025 m
根据简谐运动的特点,A做简谐运动的振幅为
L1-L2=0.125 m
方法技巧 画出弹簧各处位置如图所示:
6.答案 (1) (2)L+ g sin α+
(3)+
解析 弹簧各位置如图所示:
(1)物块做简谐运动时回复力为F=-kx,物块处于平衡位置时所受合力为零。
设物块在斜面上平衡时,弹簧伸长量为Δx,有
mg sin α-kΔx=0
解得弹簧的形变量Δx=
(2)物块处于平衡位置时,弹簧的长度为L'=L+Δx=L+
物块的振幅为A=L'-L=L+
在初始位置时,加速度最大,有mg sin α+k=ma
解得a=g sin α+
(3)由对称性可知,弹簧的最大长度为Lm=L'+A=+
7.答案 (1)见解析 (2)0.1 m 0.4 s
解析 (1)烧断细线后A沿斜面向上运动,受力平衡时,设弹簧的伸长量为x0,则kx0-mAg sin 30°=0 ①
选A受力平衡处为坐标原点,沿斜面向下为正方向建立坐标轴,用x表示A离开平衡位置的位移。当A运动到平衡位置下方位移为x的位置时,物块A受到的合力为F0=mAg sin 30°-k(x+x0) ②
由①②联立得F0=-kx,所以A做简谐运动。
(2)开始时A、B组成的系统静止,设弹簧的伸长量为x1,根据牛顿第二定律有kx1-(mA+m)g sin 30°=0
解得x1=
烧断细线后A从此位置开始向上运动,到达平衡位置时运动的距离为物块A的振幅,则A=x1-x0=
代入数据得A=0.1 m
烧断细线后B沿斜面向下做匀加速直线运动,则
mg sin 30°=ma
设B到达斜面底端所用的时间为t,则=at2
A向上运动经过半个周期第一次到达最高点,则第三次到达最高点所用的时间为t=2.5T
代入数据联立得T=0.4 s
方法技巧 判断物体做简谐运动的方法
8.答案 (1)在B的右侧,距离B为d处 (2)见解析
解析 (1)设C所带电荷量为Q,在A、B连线的延长线上距离B为l处受力平衡,根据库仑定律及平衡条件有FC=+=0
解得l=d(另一解-d不合题意,舍去)
(2)小环C所带电荷量为-q时,将其拉离平衡位置一段小位移x后,以水平向右为正方向,则C所受合力为FC=+
整理有FC=-·+·
利用近似关系=1-nα(α 1)
化简得FC=-x
满足F=-kx的形式,故小环C做简谐运动。
7(共21张PPT)
知识点 1 简谐运动的回复力
必备知识 清单破
3 简谐运动的回复力和能量
1.回复力
(1)定义:做简谐运动的物体偏离平衡位置后受到的迫使它回到平衡位置的力称为回复力。
(2)命名:回复力是根据力的作用效果命名的。它可以是一个力,也可以是多个力的合力,还可
以是某个力的分力。
如图甲所示,水平方向的弹簧振子,弹簧弹力提供回复力;
如图乙所示,竖直方向的弹簧振子,弹簧弹力和重力的合力提供回复力;
如图丙所示,A随B一起在光滑水平面上做简谐运动,A的回复力由B对其的静摩擦力提供。
(3)方向:总是与位移x的方向相反,即总是指向平衡位置。
(4)表达式:F=-kx,即回复力的大小与位移大小成正比,“-”表明回复力的方向与位移方向相
反,k是一个常数,由振动系统决定。
2.从力的角度认识简谐运动
如果质点在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向平衡位
置,质点的运动就是简谐运动。
1.简谐运动的能量:指振动系统的机械能,振动的过程就是动能和势能互相转化的过程。
(1)在最大位移处,势能最大,动能为零。
(2)在平衡位置处,动能最大,势能最小。
2.决定能量大小的因素
知识点 2 简谐运动的能量
同一振动系统的机械能跟振幅有关,振幅越大,机械能就越大,振动越强。在简谐运动中,振动
系统的机械能守恒,所以简谐运动是等幅振动。
3.能量获得
开始时振动系统的机械能是通过外力做功,由其他形式的能转化成的。
注意 做简谐运动的物体经过平衡位置两侧的对称点时,具有相等的动能和相等的势能。
知识辨析
1.水平弹簧振子运动到平衡位置时,能量为零吗
2.在简谐运动中,振动物体振动一个周期,动能和势能就完成一次周期性变化吗
3.做简谐运动的物体速度增大时,回复力可能增大吗
一语破的
1.不是。水平弹簧振子运动到平衡位置时,速度最大,动能最大,总的能量不变且不为零。
2.不是。振动物体振动一个周期,动能和势能完成两次周期性变化。
3.不可能。做简谐运动的物体,速度增大时,物体向平衡位置运动,位移减小,回复力减小。
如图所示,振动物体以O为平衡位置在A、B之间做简谐运动,各物理量的变化为:
关键能力 定点破
定点 1
简谐运动中各物理量的变化规律
A→O O→B B→O O→A
位移 大小 减小 增大 减小 增大
方向 O→A O→B O→B O→A
回复力、 加速度 大小 减小 增大 减小 增大
方向 A→O B→O B→O A→O
速度 大小 增大 减小 增大 减小
方向 A→O O→B B→O O→A
动能 增大 减小 增大 减小
势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变
由以上分析可得以下规律:
(1)简谐运动的回复力、加速度、位移和势能的大小变化同步,与速度、动能的大小变化相
反。位移增大时,回复力、加速度、势能都增大,速度、动能减小。衡位置的过程中,
振动物体的速度、动能变大,位移、回复力、加速度、势能四者变小;远离平衡位置的过程
中,振动物体的速度、动能变小,位移、回复力、加速度、势能四者变大。
(2)平衡位置是位移、回复力、加速度三者方向变化的转折点;最大位移处是速度方向变化
的转折点。
典例 如图所示是弹簧振子做简谐运动的振动图像,可以判定 ( )
A.t1到t2时间内,系统的动能不断增大,势能不断减小
B.0到t2时间内,振动物体的位移增大,速度增大
C.t2到t3时间内,振动物体的回复力先减小再增大,加速度的方向一直沿x轴正方向
D.t1、t4时刻振动物体的动能、速度都相同
信息提取 根据题意可提取的信息如图:
思路点拨 判断各参量变化的思路
解析 0到t2时间内,振动物体向平衡位置运动,位移x减小,速度增大,系统的动能不断增大,势
能不断减小,A正确,B错误;t2到t3时间内,振动物体的位移先增大再减小,所以回复力先增大再
减小,加速度的方向一直沿x轴正方向,C错误;t1和t4时刻振动物体的位移相同,即位于同一位
置,其速度等大反向,但动能相同,D错误。
答案 A
1.简谐运动的两个判定方法
(1)运动学方法:找出振动物体的位移与时间的关系,若遵循正弦函数的变化规律,即它的振动
图像(x-t图像)是一条正弦曲线,就可判定此振动为简谐运动。
(2)动力学方法:若回复力F与位移x间的关系满足F=-kx,则振动物体做简谐运动。
2.用动力学方法判断物体是否做简谐运动的一般步骤
(1)以平衡位置为原点,沿振动方向建立坐标轴。
(2)在振动过程中任选一位置(平衡位置除外),对振动物体进行受力分析。
(3)将力沿振动方向和垂直振动方向分解,求出振动方向上的合力。
(4)判断振动方向上的合力与位移间的关系是否满足F=-kx。
定点 2
简谐运动的判定方法
典例 如图所示,弹性绳一端系于P点,绕过Q处的小滑轮,另一端与质量为m、套在光滑竖直
固定杆A处的圆环相连,P、Q、A三点等高,弹性绳的原长恰好等于P、Q间距离。圆环从A点
由静止释放,到达最低点C。重力加速度为g,弹性绳始终遵循胡克定律。证明:圆环做简谐运
动。
信息提取 圆环与Q连线长度等于弹性绳伸长量。
思路点拨
解析 设圆环向下运动到O点时受力平衡,
竖直方向有k|OQ| cos ∠AOQ=mg
即k|AO|=mg,|AO|=
当圆环运动到O点上方某点B时,相对于O点位移向上,合力向下,
合力大小F合=mg-k|BQ| cos ∠ABQ
即F合=mg-k|AB|=mg-k(|AO|-|OB|)=k|OB|
同理可证,当圆环运动到O点下方某点时,合力向上,上述关系仍成立。
故圆环做简谐运动。
答案 见解析
物体做简谐运动时,其加速度时刻都在变化,在求解物体受力时,首先判断加速度方向,再
根据牛顿第二定律求解。对连接体问题,应遵循“先整体后隔离,隔离受力少的物体”的原
则,同时注意简谐运动的对称性。
定点 3
简谐运动中的动力学问题和能量问题
典例 如图所示,物体A与滑块B一起在光滑水平面上做简谐运动【1】,A、B之间无相对滑动【2】,已知轻质弹簧的劲度系数为k,A、B的质量分别为m和M,最大静摩擦力等于滑动摩擦力,重力加速度为g。下列说法错误的是 ( )
A.物体A的回复力是由滑块B对物体A的摩擦力提供的
B.滑块B的回复力是由弹簧的弹力提供的
C.将物体A与滑块B看成一个整体,其回复力大小跟位移大小之比为k
D.若A、B之间的动摩擦因数为μ,则A、B间无相对滑动的最大振幅【3】为
信息提取 【1】回复力满足F=-kx。
【2】物体A与滑块B具有相同的加速度。
【3】在最大位移处,二者有最大加速度,A所受摩擦力达到最大静摩擦力。
思路点拨 对物体受力分析,其中指向平衡位置方向的合力提供回复力【4】;借助公式F=-kx分
析回复力跟位移的关系;当A、B间恰好无相对滑动时,它们之间的静摩擦力达到最大,根据牛
顿第二定律【5】分析最大振幅。
解析 物体A做简谐运动时,在水平方向只受滑块B对它的摩擦力,故物体A的回复力是由滑
块B对物体A的摩擦力提供的(由【4】得到),故A正确;滑块B做简谐运动的回复力是弹簧的弹
力和A对B的摩擦力的合力提供的(由【4】得到),故B错误;将物体A与滑块B看成一个整体,则
其回复力大小跟位移大小之比为 =k(由【1】得到),故C正确;A、B间无相对滑动的情况下,
设系统的最大振幅为L,以A和B整体为研究对象有kL=(M+m)a(由【5】得到),以A为研究对象
有μmg=ma(由【3】、【5】得到),联立解得L= ,故D正确。
答案 B
