北师大版九年级数学上册 2.2 用配方法求解一元二次方程 小节复习题 （含解析）

2.2《用配方法求解一元二次方程》小节复习题
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
1.解方程：
(1)； (2)．
2.解方程：
3.解方程．
4.解方程：．
【题型2 直接开平方法解一元二次方程的条件】
1.已知一元二次方程，若方程有解，则必须（ ）
A． B． 同号 C． 的整数倍 D． 异号
2.若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3.下列方程能用直接开平方法求解的是( )
A． B． C． D．
4.一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有一个实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根
【题型3 直接开平方法解一元二次方程的复合型】
1.解方程：．
2.解方程: ．
3.解方程：．
4.解方程：．
【题型4 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】
1.用配方法解方程 时，原方程应变形为（ ）
A． B． C． D．
2.用配方法解一元二次方程时，下列变形中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.一元二次方程可以通过配方法转化为的形式，则配方结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4.解一元二次方程，配方后得到，则的值是（　　）
A．4 B．21 C．25 D．46
【题型5 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】
1.解方程：．
2.用配方法解方程：．
3.用配方法解方程：．
4.用配方法解方程：
【题型6 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】
1.用配方法解方程时，变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
3.用配方法解方程，下列配方正确的是（ ）
A． B． C． D．
4.用配方法解方程，应把它先变形为（ ）
A． B． C． D．
【题型7 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】
1.解一元二次方程：．
2.解方程：．
3.解方程：．
4.用配方法解一元二次方程方程：．
【题型8 用配方法解一元二次方程错解复原问题】
1.小明在学习一元二次方程解法时，解方程的过程如下：
解：
…第一步
…第二步
…第三步
． …第四步
∴原方程没有实数根．
根据小明的解题过程，解答下列问题：
(1)上述过程中，从第_________步开始出现了错误．
(2)正确解出这个方程（可选择合适的解方程的方法），
2.阅读下列关于解方程：的解题过程，解决下列问题．
解：移项得，① 两边同除以2得，② 配方得，③ 即， 或④ ，⑤
(1)上述解题过程有误，错在步骤_____（填序号），错误的原因是________；
(2)请你写出正确的解答过程．
3.下面是小华利用配方法解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
解：．
移项，得．…………………………………………第一步
配方，得，即………………第二步
由此，可得．…………………………………………第三步
……………………………………第四步
请完成下列任务：
(1)上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是_________，其中，“配方法”所依据的数学公式是_______（填“完全平方公式”或“平方差公式”）
(2)小华同学利用配方法解题过程中，从第______步开始出现错误，请写出正确的解题过程．
4.下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解：二次项系数化为1，得……第一步
配方，得， 第二步
， ……第三步
． ……第四步
由此可得． ……第五步
解得． ……第六步
任务一：填空：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是______，依据的数学公式是______；
②第______步开始出现错误，错误的原因是______．
任务二：请你写出该方程的正确求解过程．
【题型9 配方法的应用】
1.【阅读材料】分解因式：．
解：原式
．
此方法是抓住二次项和一次项的特点，然后加一项使这三项构成完全平方式，我们称这种方法为“配方法”．本题用“配方法”分解因式，请体会“配方法”的特点．
(1)用“配方法”分解因式．
(2)用“配方法”求代数式的最小值．
(3)已知，请求以a、b为边的等腰三角形的底边长；
2.将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用．
例如：求多项式的最大值．
解：．
，
，
当时，多项式有最大值，最大值为4．
根据上述材料，解答下列问题．
(1)求多项式的最大值．
(2)比较多项式与多项式的大小，并说明理由．
(3)求多项式的最小值．
3.我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值．
解：，
，
，即的最小值是1．
试利用“配方法”解决下列问题：
(1)已知代数式，求它的最大值．
(2)比较代数式与的大小，并说明理由．
(3)知识迁移：
如图，在中，，点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动．若点同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为t秒，求S的最小值．
4.阅读材料．
把一个多项式进行配方可以解决代数式的最大（或最小）值问题．例如：．
，，∴代数式有最小值，最小值是2．
根据以上信息，解决下列问题：
(1)求代数式的最小值；
(2)若代数式的最小值为2，求的值；
(3)图1是一组邻边长分别为，的长方形，面积为；图2是边长为的正方形，面积为，且，请比较与的大小，并说明理由．
参考答案
【题型1 直接开平方法解一元二次方程】
1.（1）解：，
解得．
（2）解：，
则，
解得，．
2.解：
或
解得，．
3.解：原方程可变形为．
∵是1的平方根，
∴．
解得，．
4.解：
或
∴，．
【题型2 直接开平方法解一元二次方程的条件】
1.D
【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，由移项得，再两边同时除以，可得，再根据偶次幂的非负性可得异号，解题的关键是把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成的形式，利用数的开方直接求解．
【详解】解：，
则，
∵，
∴，
∵，，
∴为异号，
故选：．
2.D
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法——直接开平方法，根据偶次方的非负性解答即可．熟记偶次方的非负性是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程有实数根，
∴，
解得：，
故选：D．
3.D
【分析】本题考查一元二次方程的解法﹣直接开方法，解题的关键是掌握直接开方法．形如的方程均可采用直接开方法进行解答，据此判断即可．
【详解】解：选项A，B，C方程左边均不能化为完全平方式，故选项A，B，C不能用直接开平方法求解；
由得，故选项D能用直接开平方法求解．
故选：D．
4.D
【分析】将常数项移到等号的右边，利用平方的非负性即可进行判断．
【详解】解：将原方程可变形为：，
∵，
∴原方程没有实数根，
故选：D．
【题型3 直接开平方法解一元二次方程的复合型】
1.解：，
开方得，
∴或，
∴，．
2.解：∵，
∴，
即或，
解得，．
3.解：由题意可得：或.
∴或
解得：或.
∴.原方程的解是：，
4.解：
或
∴，．
【题型4 用配方法配二次项系数为1的一元二次方程】
1.B
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，利用配方法解出方程即可，掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
【详解】解： ，
，
，
故选：B．
2.A
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方的步骤是解题的关键；方程变形为，再配方即可．
【详解】解：由变形得：，
配方得：，即；
所以选：A．
3.A
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题主要考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握解答的方法是解答本题的关键．根据配方法的步骤解答，即可．
【详解】解：移项得，，
配方得，，
即，
故选：A．
4.A
【知识点】解一元二次方程——配方法
【分析】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断．
【详解】解：方程，
配方得：，即，
则的值为4．
故选：A．
【题型5 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程】
1.解：∵
∴，
则，
故，
∴，
即，．
2.解：
或
∴，．
3.解：两边都加，得：
，
即，
两边开平方，得：，
即或
解得：，．
4.解；∵，
∴，
∴，即，
∴，
解得．
【题型6 用配方法配二次项系数不为1的一元二次方程】
1.A
【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解；
，
故选：A．
2.A
【分析】本题考查的是利用配方法解一元二次方程．先把原方程化为：，再“两边同时加上一次项系数一半的平方”，从而可得答案．
【详解】解：，
，
配方得，即，
故选：A．
3.A
【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，先把常数项移到方程右边，再把二次项系数化为1，接着把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方即可得到答案．
【详解】解：
，
故选：A．
4.A
【分析】本题考查解一元二次方程-配方法，涉及完全平方差公式、等式性质等知识，由配方法，利用完全平方差公式恒等变形即可得到答案，熟练掌握配方法是解决问题的关键．
【详解】解：，
二次项系数化为1得，
移常数项得，
配方得，
，即，
故选：A．
【题型7 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程】
1.解：，
方程变形得：，
配方得：，即，
开方得，，
解得：，．
2.解：，
移项，得，
方程两边再时除以2，得，
配方，得，
∴，
开方，得，
∴，．
3.解：
解得：
4.解∶方程整理，得，
配方，得，即，
开方，得，
解得，．
【题型8 用配方法解一元二次方程错解复原问题】
1.（1）解：根据一元二次方程的解法可以判断出第一步开始出现了错误．
故答案为：一．
（2）解：正确解答过程如下：
，
∴，
∴，
∴．
∴，．
2.（1）解：上述解题过程有误，错在步骤③，错误的原因是只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加．
故答案为：③，只在方程的左边加上一次项系数一半的平方，而右边没有加；
（2）解：，
移项得，，
两边同除以2得，，
配方得，，
即，，
∴或，
∴，．
3.（1）解：上述小华同学的解法中，第一步运算的依据是等式的基本性质，其中“配方法”所依据的数学公式是完全平方公式．
故答案为：等式的基本性质，完全平方公式；
（2）解：小华同学利用配方法解题的过程中，从第二步开始出现错误，正确的解法如下：
，
移项，得，
配方，得，
即，
可得，
∴．
故答案为：二．
4.解：任务一：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式；
②第二步开始出现错误，错误的原因是加上，没有减去．
任务二：正确求解过程如下：
二次项系数化为1，得，
配方，得，
∴，
∴．
由此可得．
解得．
【题型9 配方法的应用】
1.（1）解：
．
（2）解：
的最小值是4．
（3）∵，
∴，
∴，，
∴，，
①当三边为2，2，1时，能构成三角形，
∴底边长为1；
②当三边为2，1，1时，不能构成三角形，
综上可知：等腰三角形的底边长为1．
2.（1）解：，
∵，
∴，
∴当时，多项式有最大值，最大值是；
（2）解：，理由如下，
，
∵，
∴，即，
∴；
（3）解：
，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为．
3.（1）解：，
，
，
的最大值为；
（2）
，
，
；
（3），点P在边上以的速度从点A向C移动，点Q在边上以的速度从点C向点B移动
点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为，
，
，
，
，
S的最小值为20．
4.（1）解：，
∵，
∴，
∴代数式的最小值为；
（2）解：，
∵，
∴时，代数式的值最小，为，
∵代数式的最小值为2，
∴，
解得：；
（3）解：，理由如下：
由题意可得：，，
∴，
∴．