北师大版九年级数学上册 1.3 正方形的性质与判定--正方形的性质 练习（含解析）

1.3《正方形的性质与判定》---正方形的性质
【题型1 正方形性质的理解】
1.正方形具有，而矩形不一定具有的性质是（ ）．
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分且相等
2.下列结论中，正方形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对边平行且相等 B．邻边相等
C．对角线相等 D．面积等于对角线乘积的一半
3.正方形具有而菱形不一定具有的特征是（ ）
A．对边互相平行 B．对角线互相垂直平分
C．是中心对称图形 D．有条对称轴
4.下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．一条对角线平分一组对角
【题型2 根据正方形的性质求角度】
1.如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为 ．
2.如图，四边形为正方形，点是延长线上一点，且，连接，交于点，则的度数为

3.如图，以正方形的对角线为边作菱形，则 ．
4.如图，在正方形中，点为边延长线上一点，点在边上，且，连接、、，交于点，则的度数为 ．
【题型3 根据正方形的性质求线段长】
1.如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线，分别在轴和轴上，点的坐标为．则线段的长是 ．
2.如图，在边长为6的正方形中，点为对角线上一动点，于于，连接，则的最小值为 ．
3.如图，四边形和四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，点G在射线上（不与点C重合），H是的中点，连接．若，则的最小值为 ．
4.以正方形中为斜边，构造等腰，，，连接，，则线段的长度为 ．
【题型4 根据正方形的性质求面积】
1.如图，正方形的边长为2，为边上的一点，以为边作矩形，使经过点，则矩形的面积为 ．
2.如图，一个大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是和，则的值是 ．
3.如图，正方形是小明用木条制作的一个学具，在取放学具时，学具发生了形变，此时，则变形后四边形的面积与原正方形面积之比为 ．
4.如图，正方形的面积为8，正方形的面积为32，则阴影部分的面积为 ．
【题型5 求正方形重叠部分面积】
1.如图，正方形的顶点O与正方形的对角线交点O重合，正方形和正方形的边长都是，则图中重叠部分的面积是 ．
2.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为 ．
3.如图，有一块边长为4的正方形（四条边相等，四个角是直角）塑料模板，将一块足够大的直角三角板的直角顶点落在点，两条直角边分别与交于点，与的延长线交于点，则四边形的面积是 ．
4.如图，将n个边长都为的正方形按如图所示摆放，点、、…、分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为 （用n的代数式表示）．
【题型6 正方形中的折叠问题】
1.如图所示，将边长为的正方形纸片折叠，使点落在边中点处，点落在点处，折痕为，则的长为 ．
2.如图，在正方形中，点为边上一点，将沿折叠得，若点恰好在对角线上，连接，则 ．
3.如图，在正方形中，将 ADE沿对折至，延长交边于点G，连接．若，则正方形的边长是 ．
4.如图，正方形中，点P为射线上一个动点，将沿折叠得到，点A的对应点为点Q，射线交直线于点M，若，当时，的长为 ．
【题型7 根据正方形的性质证明】
1.如图，点是正方形的边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，使得点的对应点落在边的延长线上．
(1)求证：；
(2)连接、交于点，若，则的度数为___________．
2.已知：如图，四边形为正方形，点在的延长线上，连接，
(1)求证：；
(2)若，若，求．
3.已知正方形，点E，F分别为边上两点．
【建立模型】
（1）如图1，连接，如果，求证：；
【模型应用】
（2）如图2，点E为边上一点，连接，作的垂直平分线交于点G，交于点F，若，，求的长度；
【模型迁移】
（3）如图3，将沿折叠，使点B落在上的点G处，与交于点M，若，，请直接写出的长度．
4.在正方形中，是所在直线上一动点，射线与相交于点，与直线相交于点．
(1)如图1，当点在边上时，如果点是的中点，连接．
求证：①；
②．
(2)如图2，当点在BC的延长线上时，连接CM，作，交AE于点．求证：点是EF的中点；
(3)若是等腰三角形，求的度数．
参考答案
【题型1 正方形性质的理解】
1.C
【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解
【分析】本题考查了菱形和矩形的性质，属于基础题型，熟练掌握矩形和菱形的性质是关键．根据菱形和矩形的性质依次判断即可．
【详解】解：A、对角线互相平分是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意；
B、对角线相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意；
C、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，所以本选项符合题意；
D、对角线互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意．
故选：C．
2.C
【知识点】利用菱形的性质求线段长、正方形性质理解
【分析】本题考查了菱形的性质及正方形的性质，熟练掌握正方形的性质与菱形的性质是解题的关键．
根据正方形与菱形的性质结合选项即可得出答案．
【详解】解：A、菱形、正方形的对边都平行且相等，故本选项错误；
B、邻边相等，菱形、正方形都具有，故本选项错误；
C、对角线相等菱形不具有，而正方形具有，故本选项正确；
D、面积等于对角线乘积的一半，菱形、正方形都具有，故本选项错误；
故选：C．
3.D
【知识点】利用菱形的性质证明、正方形性质理解
【分析】本题考查了正方形和菱形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据正方形和菱形的性质逐项判断即可．
【详解】解：A、菱形和正方形的对边都互相平行，故A选项不符合题意；
B、正方形的对角线是相等平分且垂直，菱形的对角线是垂直且互相平分，故B选项不符合题意；
C、正方形和菱形都是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、正方形有条对称轴，菱形有条对称轴，故D选项符合题意；
故选：D．
4.B
【知识点】利用菱形的性质证明、正方形性质理解
【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质解题即可．
【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意；
B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意；
C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意；
D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意；
故选：B．
【题型2 根据正方形的性质求角度】
1.
【知识点】根据正方形的性质求角度、等边三角形的性质、等腰三角形的性质和判定、三角形内角和定理的应用
【分析】本题主要考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理等等，根据正方形的性质和等边三角形的性质可证明，再由等边对等角和三角形内角和定理求出的度数即可得到答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
2.
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、根据正方形的性质求角度
【分析】此题考查了正方形的性质，等边对等角，三角形外角的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
根据正方形的性质，可得，又由，根据等边对等角和三角形外角的性质，可得，进一步即可求得的度数．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
3.
【知识点】利用菱形的性质求角度、根据正方形的性质求角度
【分析】本题考查了正方形的性质和菱形的性质，根据正方形的性质得出，，根据菱形的性质得出，即可求解．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
四边形是菱形，
．
故答案为：．
4.45
【知识点】根据正方形的性质求角度、等边对等角、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，先由正方形的性质得，∠MAD=∠C=∠ADC=90°，再证明得，，进而可得，进而可得答案．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，∠MAD=∠C=∠ADC=90°，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵∠ADN+∠CDN=∠ADC=90°，
∴，即，
∴是等腰直角三角形，
∴；
故答案为：45．
【题型3 根据正方形的性质求线段长】
1.4
【知识点】根据正方形的性质求线段长、坐标与图形综合
【分析】本题主要考查了坐标与图形，正方形的性质，正方形的对角线相等且互相垂直平分，据此可得．
【详解】解：∵点的坐标为，
∴，
∵正方形的对角线，分别在轴和轴上，
∴，
故答案为：．
2.
【知识点】等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、根据正方形的性质求线段长
【分析】连接，证出四边形为矩形，由矩形的性质得出，当时，取得最小值，此时是等腰直角三角形，得出，即可得出结果．本题考查了正方形的性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及垂线段最短问题；熟练掌握矩形的对角线相等是解决问题的关键．
【详解】解：连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵于E，于F，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
当时，MC取得最小值，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：，
3.
【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】此题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．延长交于点M，证明，则，得到，设，则，，在中，由勾股定理得到，进一步得到，即可得到的最小值．
【详解】解：延长交于点M，
∵四边形是正方形，，
∴，，
∵四边形都是正方形，E是延长线上一个动点，
∴，，
∴，
∵H是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
即的最小值为．
故答案为：．
4.或
【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查等腰直角三角形性质和正方形的性质，勾股定理等相关知识，解题的关键是学会用转化的思想和分类讨论思考问题．
当在正方形外时，在中可证．
当在正方形内时，在中可证．
【详解】解：如图1，当在正方形外时，过点作垂直延长线交于点，
∵正方形中为斜边，构造等腰，
∴ ，
∴ 等腰直角三角形，
∵ ，
∴在中，根据勾股定理可得：
∵为等腰直角三角形，
∴ ，
∴，
在中， ，
∴ ；
如图2，当在正方形内时，过点作垂直交于点，
∵正方形中为斜边，构造等腰，
∴ ，
∴ 等腰直角三角形，
∵ ，
∴在中，根据勾股定理可得：
∵为等腰直角三角形，
∴ ，
∴，
在中， ，
∴ ；
综上所述：的值为或．
故答案为：或．
【题型4 根据正方形的性质求面积】
1.4
【知识点】根据矩形的性质求面积、根据正方形的性质求面积
【分析】本题主要考查了矩形和正方形的性质，根据矩形的性质和三角形面积计算公式可得，，则，同理可得，则．
【详解】解：如图所示，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴
同理可得，
∴，
故答案为：．
2.
【知识点】等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求面积
【分析】本题考查正方形性质，等腰直角三角形性质及应用等．根据题意设大正方形边长为，则大正方形对角线为，得到，，均是等腰直角三角形，继而得到，，即可得到本题答案．
【详解】解：设大正方形边长为，则大正方形对角线为，
将图中进行命名如下：
，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，，均是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：．
3.
【知识点】含30度角的直角三角形、利用菱形的性质求面积、根据正方形的性质求面积
【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的判定与性质，含角直角三角形的性质．正确添加辅助线是解题的关键．过点作于点，则可得四边形为菱形，，设，则，即可计算菱形的面积，继而求解．
【详解】解：过点作于点，
四边形是正方形，
，
由题意可得，
四边形为菱形，
，
设，
，
，
，
而，
，
变形后四边形的面积与原正方形面积之比为．
故答案为：．
4.12
【知识点】二次根式的应用、根据正方形的性质求面积
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，正方形的性质，三角形的面积．关键是把阴影部分面积转化为正方形与三角形的面积进行计算．根据正方形的面积公式求得边长；再求出直角三角形、的面积，然后用两个正方形的面积减去两个直角三角形的面积，即可得解．
【详解】解：正方形的边长为，正方形的边长为，
，
，
又，
，
故答案为：．
【题型5 求正方形重叠部分面积】
1.1
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、求正方形重叠部分面积
【分析】本题考查了正方形的性质，解题关键是题中重合的部分的面积是不变的，且总是等于正方形面积的．
根据题意可得：，所以，从而可求得其面积．
【详解】解：如图，
正方形和正方形的边长都是，
，，，
∴，
在和中，
，
，
；
则图中重叠部分的面积是，
故答案为：1．
2.
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、求正方形重叠部分面积
【分析】本题考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，根据正方形的性质得出，，，推出，证出可得答案，证明是解此题的关键．
【详解】∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3.16
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据正方形的性质求面积
【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，正方形的面积，熟练掌握正方形的性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键．证明，得到，计算即可．
【详解】解：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
4.
【知识点】图形类规律探索、根据正方形的性质求面积
【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，过点A1分别作正方形两边的垂线与，根据正方形的性质可得，四边形是正方形，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形的面积相等求出阴影部分的面积等于正方形面积的，同理可求所有阴影部分的面积都是正方形的面积的，然后根据正方形的面积列式计算即可．
【详解】解：如图，过点分别作正方形两边的垂线与，
∵点是正方形的中心，
∴，四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴的面积的面积，
∴阴影部分的面积正方形的面积，
同理可求，每一个阴影部分的面积都是正方形面积的，为，
∴重叠部分的面积和．
故答案为：．
【题型6 正方形中的折叠问题】
1.
【知识点】正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题主要考查了折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键．
过点作于点，连接交于点，由勾股定理可得，由翻折的性质易得，进而可证，可得．
【详解】解：如图，过点作于点，连接交于点，
由题意可知，，，
∴，
由折叠的性质可知，
∴，
又∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
故答案为：．
2.112.5
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、正方形折叠问题
【分析】本题考查了正方形、折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的运用，掌握折叠的性质，等腰三角形的判定和性质是关键．
根据正方形、折叠的性质得到，，则，由此得到，再根据即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，是对角线，
∴，
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为： ．
3.12
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形、正方形折叠问题
【分析】根据折叠及正方形的性质证明，设正方形的边长为，则在中由勾股定理建立方程，再求解即可．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
由折叠的性质可知，，，
，
.
又，
.
∴，
设正方形的边长为，则，
在中，，
，
解得或（舍），
∴正方形的边长为12，
故答案为：12．
4.或6
【知识点】折叠问题、正方形折叠问题、用勾股定理解三角形、全等的性质和HL综合（HL）
【分析】本题考查了正方形与折叠，勾股定理等知识，分M在线段延长线上和线段上讨论，然后根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵正方形中，，
∴，
，
∵，
∴，
当M在线段延长线上时，如图，连接，
∵折叠，
∴，，，
又，
∴，
又，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得，
当M在线段延长线上和线段上，如图，连接，
同理可求出，
在中，，
∴，
解得，
综上，的长为或6．
故答案为：或6．
【题型7 根据正方形的性质证明】
1.（1）证明：正方形，
，，
由旋转的性质得，，
在和中，
，
．
（2）解：如图，
由（1）得，，
，
，即，
正方形，
，，
，，
又，
是等腰直角三角形，，
，
．
故答案为：．
2.（1）证明：四边形为正方形，
.，
，
；
（2）解：由（1）知，
，
，
，
，
．
3.（1）证明：如图，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：连接，过点作于点H，
∵垂直平分，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
同理可证明四边形为矩形，
∴，
∵四边形是正方形，
∴设，
则，
∴，
∴，
在中，
由勾股定理得：
∴
解得：，
∴；
（3）如图：
由折叠可得：，，
同（1），，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4.（1）证明：①四边形是正方形
，
又，
；
②，
，
是EF的中点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：在正方形中，,
,
,
，
，
，
.
，
，
，
，
在中，
，
，
点是EF的中点；
（3）解：如图①，当点在BC边上时，
，要使是等腰三角形，必须，
，
，
，
，
，
；
如图②，当点在BC的延长线上时，同法可知，
．
综上所述，当或时，是等腰三角形．