北师大版九年级数学上册 2.3 用公式法求解一元二次方程 小节复习题（含解析）

2.3《用公式法求解一元二次方程》小节复习题
【题型1 求一元二次方程中判别式的值】
1.一元二次方程的根的判别式的值为 ．
2.方程的根的判别式的值为 ．
3.已知一元二次方程，则其判别式的值 ．
4.关于的方程的根的判别式的值为5，则 ．
【题型2 利用用公式法还原一元二次方程】
1.在用求根公式解方程的过程中，，，的值分别是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
2.若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（ ）
A． B． C． D．
3.是下列哪个一元二次方程的根（　　）
A． B．
C． D．
4.若是一元二次方程的根，则（ ）
A． B．4 C．2 D．0
【题型3 用公式法求解一元二次方程】
1.用公式法解方程．
2.用公式法解一元二次方程：
3.用公式法解方程：．
4.解一元二次方程：．
【题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】
1.小海在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：
解方程 解： （第一步） （第二步） ∴原方程无实数根 （第三步）
小海的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；
2.嘉嘉解一元二次方程的过程如下．
解：……①
，，，…………………②
…………③
方程无实数根．……………④
(1)嘉嘉解方程的方法是___________，他的求解过程从第_______步开始出现错误；
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤．
3.嘉嘉解一元二次方程的过程如下．
解：整理得，①
，②
，③
方程有两个不相等的实数根，
，④
．⑤
(1)嘉嘉解方程的方法是_________，他的求解过程从第________步开始出现错误；
(2)请你写出这个方程正确的解题步骤．
4.（1）解方程：
（2）茗茗同学在解关于x 的方程时，过程如下：
第一步：，，，
第二步：
第三步：当（即）时，；当时方程无解
你认为茗茗同学的解方程过程忽视的问题是________________．
你认为在上述解题过程中应该增加的一个步骤是______________．
【题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
1.一元二次方程根的情况为（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．只有一个实数根
2.下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ）
A． B． C． D．
3.一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
4.已知三角形的三边长分别为，则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．没有实数根 B．有且只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【题型6 根据一元二方程根的情况求参数】
1.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若为正整数，且方程的根均为整数，求此时的值．
2.关于的方程．
(1)若方程有实数根，求的取值范围；
(2)若方程的两个根都是整数，求正整数的值．
3.已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值，原方程总有两个实数根；
(2)若方程有一根不小于2，求m的取值范围．
4.已知关于x的一元二次方程．
(1)若方程的一个根为，求a的值；
(2)若，求方程的两个根；
(3)若方程有实数根，求满足条件的正整数a的值．
参考答案
【题型1 求一元二次方程中判别式的值】
1.1
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了根的判别式，熟记一元二次方程的根的判别式的公式为．根据根的判别式等于，代入求值即可．
【详解】解：，
故答案为：1．
2.37
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了根的判别式，牢记根的判别式是解题的关键．
首先转化成一般式，然后根据根的判别式求解即可．
【详解】解：∵
∴
∴．
故答案为：37．
3.8
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式，直接根据求解，即可解题．
【详解】解：一元二次方程判别式的值为，
故答案为：8．
4.
【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、根据一元二次方程根的情况求参数
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程等知识点，牢记一元二次方程根的判别式的定义是解题的关键．
根据题意建立关于的一元二次方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：
，
整理，得：，
解得：，
故答案为：．
【题型2 利用用公式法还原一元二次方程】
1.C
【解析】略
2.D
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为，
∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，
∴这个方程为．
故选：D
3.D
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式．
【详解】解：、中，，不合题意；
、中，，不合题意；
、中，，不合题意；
、中，x，符合题意；
故选：．
4.D
【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可
【详解】解：∵是一元二次方程方程的根，
∴，，，
∴，
故选：D
【题型3 用公式法求解一元二次方程】
1.解：
∵，，，
∴，
∴，
解得，．
2.解：，
∵，
∴，
∴，
∴．
3.解：，
∵，，，
∴，
∴，
∴，．
4.解：．
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
【题型4 用公式法解一元二次方程的错题复原问题】
1.解：由
故
（第一步）
（第二步）
∴原方程有两个不相等的实数根，
故答案为：一；原方程没有化成一般形式．
2.（1）解：依题意，嘉嘉解方程的方法是公式法，
则求解过程中，，，他的表示系数时错误，
∴从第②步开始出现错误，
故答案为：公式法，②；
（2）解：依题意，，
，，，
，
，
，．
3.（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误
（2）解：整理得，
，
，
方程有两个不相等的实数根，
，
．
4.解：（1）这里，
，
，；
（2）茗茗同学的解方程过程忽视的问题是没有考虑的情况；
在上述解题过程中应该增加的一个步骤是当时，方程，
解得：；
故答案为：没有考虑的情况；当时，．
【题型5 根据判别式判断一元二次方程根的情况】
1.A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根是解决问题的关键，先计算判别式，再利用判别式的意义进行判断即可．
【详解】解：在中，
，
，
一元二次方程有两个不相等的实数根，
故选：．
2.C
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键．
【详解】解：A、，故此方程没有实数根，不符合题意；
B、，故此方程有两个相等的实数根，不符合题意；
C、，故此方程有两个不相等的实数根，符合题意；
D、，故此方程没有实数根，不符合题意；
故选：C．
3.A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况
【分析】本题考查根据判别式判断方程的根的情况，将方程转化为一般形式，利用根的判别式进行判断即可．
【详解】解：，整理，得：，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根；
故选A．
4.A
【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、三角形三边关系的应用
【分析】本题考查了三角形三边关系，一元二次方程根的判别式，解题关键是熟悉根的判别式．
先求出判别式，再利用三角形三边关系说明它的符号，然后得出根的情况．
【详解】解：由题意，得，
关于x的方程，
则．
∵三角形的三边长分别为，
∴，，
∴，
∴原方程没有实数根．
故选A．
【题型6 根据一元二方程根的情况求参数】
1.（1）解：由题意，得，
解得；
∴实数的取值范围是；
（2）解：∵k为正整数，且方程的根均为整数，
∴是平方数
∴是平方数
∴或5
当时，方程
解得，都是整数，符合题意；
当时，方程
解得，都是整数，符合题意；
综上所述，或5．
2.（1）解：∵方程有实数根，
∴．
∴．
解得．
即的取值范围是．
（2）解：解方程，得．
∵，
∴正整数的值为1，2，3．
当时，，不合题意，所以舍去；
当时，，不合题意，所以舍去；
当时，，得到方程的根为，，都是整数．
∴正整数的值是3．
3.（1）解：∵关于x的一元二次方程，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴无论m取何值，原方程总有两个实数根；
（2）解：∵，
∴，
∴，，
∵方程有一根不小于2，
∴，
解得：，
∴m的取值范围：．
4.（1）解：把代入得：
，
解得；
（2）代入方程得
，
解得， ．
（3）解：∵方程有实数根，
∴，
即，
，
，
．
∵又因为是正整数且，
∴所以满足条件的正整数的值为，．