北师大版九年级数学上册 第1章 特殊平行四边形复习题--中点模型之斜边中线、中点四边形（含答案）

第1章《特殊平行四边形》复习题--中点模型之斜边中线、中点四边形
题型1 利用斜边的中线等于斜边的一半求角度】
1.如图，在 ABC中，，，点是的中点，则 ．
2.如图，在中，，于点，，是斜边的中点，则 ．
3. ABC中，是高，E是的中点，且线段平分 ABC的周长，若，则 ．
4.如图，四边形中，，取的中点，的中点，连接、，，则的度数为 ．
【题型2 利用斜边的中线等于斜边的一半求线段长】
1.如图，在 ABC中，，是边上的中线，且，则的长为 ．
2.如图，在四边形中，，点O是对角线的中点，若，则的长为 ．
3.如图所示，为 ABC的中位线，点F在上，，若，，则的长为 ．
4.如图，在 ABC中，，，，为边上一动点，于，于，为的中点，则的最小值为 ．
【题型3 利用斜边的中线等于斜边的一半证明】
1.如图，在中，，D为的中点，过A作，过D作分别交于点O、E，连接．
(1)证明：四边形为菱形；
(2)若，求菱形面积．
2.如图，在中，，是中点，，是的角平分线，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
3.如图，在中，，点D是的中点，连接．过点C作，过点A作相交于点E．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)已知 ABC的周长为，求平行线与之间的距离．
4.我们学过直角三角形的性质定理2：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【定理证明】
（1）如图1，中，，D是的中点，连接．请证明直角三角形的性质定理2；
【定理应用】
（2）如图2，在，，点D是上一点，过点D作，连接并取其中点F，连接．求证：；
【综合探究】
（3）如图3，在（2）的基础上将图2中 ADE绕顶点A旋转至，连接，取其中点F，连接，．请判断与是否相等？并说明理由．
【题型4 中点四边形中的规律探究问题】
1.如图，在菱形中，边长为1，顺次连接菱形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形各边中点，可得四边形；顺次连接四边形边中点，可得四边形；按此规律继续下去，则四边形的面积是 ．
2.如图，依次连接第一个矩形各边上的中点，得到一个菱形，在依次连接菱形各边上的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积是1，则第n个矩形的面积是 ．
3.如图，四边形的两条对角线、互相垂直，将四边形各边中点依次相连，得到四边形，若四边形的面积为15，则四边形的面积为 ．
4.如图，顺次连接矩形四边的中点得到四边形，再顺次连接四边形四边的中点得四边形，…，按此规律得到四边形，若矩形的面积为15，那么四边形的面积为 ．

【题型5 与中点四边形有关的证明问题】
1.定义：顺次连结四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形．
如图，在四边形中，顺次连结各边中点E、F、G、H得到的四边形叫做四边形的中点四边形．
利用三角形中位线的相关知识解决下列问题：
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)当对角线满足下列条件时，请你探究中点四边形的形状：(写出结果并证明)当时， 四边形是 ．
2.如图①，将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形．

(1)试判断四边形的形状，并证明．
(2)若要镶嵌后的平行四边形为矩形，则四边形需要满足什么条件，并证明．
3.综合与实践
顺次连接任意一个四边形的中点得到一个新四边形，我们称这个新四边形为原四边形的中点四边形．数学兴趣小组通过作图、测量，猜想：原四边形的对角线对中点四边形的形状有着决定性作用．
以下从对角线的数量关系和位置关系两个方面展开探究．
原四边形对角线关系 中点四边形形状
数量关系、位置关系 特殊四边形 不相等、不垂直 平行四边形
【探究一】
（1）如图1，在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，求证：中点四边形是平行四边形．（请写出完整的证明过程）
【探究二】
（2）由图2，从作图、测量结果得出猜想Ⅰ：原四边形对角线________时，中点四边形是________．
【探究三】
（3）由图3，从作图、测量结果得出猜想Ⅱ：原四边形对角线________时，中点四边形是________．
【探究四】
（4）结合图2、图3，得出猜想Ⅲ：原四边形对角线________时，中点四边形是正方形．
4.阅读理解：我们把依次连接任意一个四边形各边中点得到的四边形叫中点四边形，如图1，在四边形中，，，，分别是边，，，的中点，依次连接各边中点得到中点四边形．
(1)（填空）判断图1中的中点四边形的形状为______，菱形的中点四边形的形状是______；
(2)如图2，在四边形中，点在上且和为等边三角形，，，，分别为，，，的中点，试判断四边形的形状并证明．
(3)若四边形的中点四边形为正方形，的最小值为4，求的长．
参考答案
【题型1 利用斜边的中线等于斜边的一半求角度】
1.50
【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，等边对等角，直角三角形的性质，先求出的度数，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，再由等边对等角即可得到答案．
【详解】解：∵在 ABC中，，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
故答案为：．
2.45
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，三角形外角的性质等知识，先求出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，根据等边对等角得出，最后根据三角形外角的性质求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，是斜边的中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：45．
3.
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质；在边上截取，由直角三角形的性质得到，再由线段平分 ABC的周长得到，进而可证明，则，再由三角形外角的性质可得答案．
【详解】解：如图所示，在边上截取，
是高，
，
，
是AC的中点，
，
线段平分的周长，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
4.
【知识点】三角形的外角的定义及性质、等边对等角、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，三角形中位线定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
根据点是中点，，则，所以，由三角形外角性质可得，又为的中点，点是中点，则为中位线，最后根据角度和差即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵点是中点，，
∴，
∴，
∴，
∵为的中点，点是中点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【题型2 利用斜边的中线等于斜边的一半求线段长】
1.12
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，掌握直角三角形的性质是解题的关键，根据直角三角形的性质可知，再根据已知条件即可解答．
【详解】解：∵在 ABC中，，
∴ ABC是直角三角形，
∵是边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的长为，
故答案为：．
2.3
【知识点】斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
在和，由斜边上中线等于斜边的一半得到，即可求解．
【详解】解：∵，点O是对角线的中点，
∴，
故答案为：3．
3.2
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了三角形的中位线、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后根据线段的和差求解即可得．
【详解】解：∵为 ABC的中位线，，
∴，点是的中点，
∵∠AFB=90°,AB=4，
∴，
，
故答案为：2．
4.1.2
【知识点】垂线段最短、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线性质；由直角三角形的面积求出是解决问题的关键．
先求证四边形是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用等面积法即可求得最短时的长，然后即可求出最短时的长．
【详解】解：连接，如图所示：
，，，
，
，，
∴，
四边形是矩形，
．，
是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即时，最短，同样也最短，
当时，，此时最短，
，
当最短时，
故答案为：．
【题型3 利用斜边的中线等于斜边的一半证明】
1.（1）证明：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，D为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）∵四边形为菱形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴菱形面积为：．
2.（1）证明：∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，是中点，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵，
又∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴．
3.（1）证明∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵在中，，点是的中点，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∵在菱形中，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
，
设平行线与之间的距离为，
，
，
，
∴平行线与之间的距离为4．
4.证明：（1）延长至点E，使得，连接．
∵点D是的中点，
∴，
在 ADE和中
，
∴，
∴，，，
又∵，
∴，
∴，
∴在 ABC和中
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）∵，
∴，
即是直角三角形，
又∵点F是的中点，
∴，
同理，在中有，
∴．
（3）成立
理由如下：
取的中点G，和的中点H，连接，，，，
∵点F是中点，点G是的中点，点H是的中点，
∴是的中位线，是的中位线，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵在（2）的基础上将图2中 ADE绕顶点A旋转至，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴．
【题型4 中点四边形中的规律探究问题】
1.
【知识点】中点四边形、利用菱形的性质求线段长、证明四边形是矩形、与三角形中位线有关的求解问题
【分析】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键．连接、交于点，根据菱形的性质得到，，根据等边三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，求出四边形的面积，总结规律，关键规律解答即可．
【详解】解：解：如图，连接、交于点，
四边形为菱形，
，，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
，
顺次连接菱形各边中点，可得四边形，
，，，，，
四边形为矩形，
四边形的面积为，
则四边形的面积是，
故答案为：．
2.
【知识点】图形类规律探索、根据矩形的性质求面积、证明四边形是菱形、中点四边形
【分析】由中点四边形的含义可得矩形的中点四边形是菱形，菱形的中点四边形是矩形，而中点四边形的面积是原四边形的面积的一半，可得原矩形的面积为1，矩形的中点四边形（菱形）的面积为 再得到菱形的中点四边形（矩形）的面积为： 从而总结归纳出规律，可得答案．本题考查了中点四边形的性质，是一道找规律的题目．
【详解】已知第一个矩形的面积是1，
第二个矩形的面积为
第三个矩形的面积是
则第n个矩形的面积是
故答案为：．
3.30
【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、中点四边形
【分析】根据三角形的中位线定理证明四边形是矩形，从而根据矩形的面积和三角形的每件公式进行计算．此题主要考查中点四边形和三角形的面积，注意三角形中位线定理这一知识点的灵活运用，此题难易程度适中，是一道典型的题目．
【详解】解：，，，是四边形的中点四边形，
四边形的对角线、互相垂直，
四边形为矩形，
设，，
是的中位线，
，
同理可得，
四边形的面积为．
，
四边形的面积，
故答案为：30．
4.
【知识点】图形类规律探索、中点四边形
【分析】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，，
，，确定规律为，代入计算即可，本题考查了矩形的性质，菱形的性质，规律探索，熟练掌握规律探索，菱形的性质是解题的关键．
【详解】设四边形的面积为，矩形的长为x，宽为y，根据题意，得，，
，
故，
故答案为：．
【题型5 与中点四边形有关的证明问题】
1.（1）证明：连接，
∵点E、F、G、H是四边形各边中点，
∴
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵点E、F、G、H是四边形各边中点，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形．
故答案为：矩形．
2.（1）解：平行四边形， 理由：
∵将四边形纸片沿两组对边中点连线剪切为四部分，将这四部分镶嵌可得到如图②所示的四边形，
∴，，
∴四边形是平行四边形；
（2）对角线时，密铺后的平行四边形为矩形．
理由：根据密铺后的平行四边形成为矩形，必须四个内角均为直角．
如图所示，

连接、、、，设与交于点O，
连接、，
由中位线定理得：，且，
，且，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴，
∴中点四边形为菱形，
∴，
故要镶嵌后的平行四边形为矩形，
则四边形需要满足的条件为．
3.解：（1）∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，
∴分别为的中位线，
∴，
∴，
∴中点四边形是平行四边形．
（2）当原四边形对角线相等时，中点四边形是菱形；
由（1）知：中点四边形是平行四边形，，
∵在四边形中，E、F、G、H分别是各边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴中点四边形是菱形；
（3）当原四边形对角线垂直时，中点四边形是矩形；
由（1）（2）可知：，中点四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴，
∴中点四边形是矩形；
（4）当原四边形对角线相等且垂直时，中点四边形是正方形；
由（2）可知：中点四边形是菱形；
由（3）可知：，
∴中点四边形是正方形．
4.（1）解：如图所示，连接，
∵，，，分别是边，，，的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形；
如图，四边形是菱形时，连接各边中点，得到四边形，
根据中位线性质得到，，
∴，
同理可得，
∴四边形为平行四边形，
又∵四边形是菱形，
∴，则，
∴平行四边形为矩形；
（2）解：四边形为菱形．证明如下：
连接，，如图2所示：
∵和为等边三角形，
，，，
∴，
，
在和中，
，
，
，
，，，分别是边，，，的中点，
是 ABC的中位线，是的中位线，是的中位线，
，，，，，
，，
四边形是平行四边形；
，
，
四边形为菱形；
（3）解：如图3，连接交于O，连接、，
当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，
∴的最小值，
∵四边形是正方形，
∴，
∵M，E分别是的中点，
∴，
同理可得，
∴；
又∵M，N分别是的中点，
∴，，
∴，
∴的最小值，
同理可得的最小值，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵N，F分别是的中点，
∴，
∴；
∴，
∴．