贵州省毕节市大方县2025年义务教育质量提升检测试卷数学试题
1．（2025·大方模拟）-4的相反数是（ ）
A． B． C．4 D．-4
2．（2025·大方模拟）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“谷雨”“芒种”“白露”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·大方模拟）据统计，2024年中国芯片进口额近28000亿元人民币，分析进口芯片的结构，处理器及控制器占据了半壁江山，存储芯片占据了四分之一的份额，揭示了国内芯片市场的现状与挑战．数据28000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·大方模拟）如图，两直线，被直线所截，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·大方模拟）化简结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·大方模拟）漫步城垣步道，寻迹贵阳“九门四阁”．如图是小李绘制的“九门四阁”平面示意图，若“大西门”所在位置的坐标是，“老东门”所在位置的坐标是，则“次南门”所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·大方模拟）下列4个箱子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最小的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·大方模拟）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
9．（2025·大方模拟）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线，分别交，于点，，连接，若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
10．（2025·大方模拟）屏风是中国传统建筑物内部挡风用的一种家具，历史由来已久，一般陈设于室内的显著位置，起到分隔、美化、挡风、协调等作用．图①中的屏风，其中间部分是扇形的一部分，图②是整个屏风的几何示意图，则阴影部分面积与整个屏风面积的比是（ ）
A． B． C． D．
11．（2025·大方模拟）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变
C． D．
12．（2025·大方模拟）已知二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 1 5 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线
B．
C．关于的方程的根为和5
D．当时，的取值范围是
13．（2025·大方模拟）的结果是 ．
14．（2025·大方模拟）在一个不透明的袋中装有3个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则估计袋中白球有 个．
15．（2025·大方模拟）把1－9这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为 ．
x 1
2 9 4
16．（2025·大方模拟）如图，在四边形中，，为的中点，连接，过点作交于点，若，，，则的长为 ．
17．（2025·大方模拟）（1）计算：；
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：，…………第一步
，…………第二步
，…………第三步
．…………第四步
任务：以上解题过程中，从第________步开始出错，请写出正确的解题过程．
18．（2025·大方模拟）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8．
（1）求的值；
（2）若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围．
19．（2025·大方模拟）某校近期对七、八年级学生进行了“新型冠状病毒防治知识”线上测试，为了解他们的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了50名学生的成绩（百分制）（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a、七年级的频数分布直方图如图（数据分为5组：，，，，）
b、七年级学生成绩在的这一组是：80；80.5；81；82；82；83；83.5；84；84；85；86；86.5；87；88；89；89
c、七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85.3 m 90
八年级 87.2 85 91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，七年级小张同学与八年级小李同学的成绩都为84分，请问谁在自己的年级排名更靠前？请说明理由；
（3）七年级学生中，有2位女同学和1位男同学获得满分，这3位同学被授予“疫情防控标兵”称号，并安排在领奖台上随意排成一排拍照留念，求两名女生不相邻的概率．
20．（2025·大方模拟）请根据下面对话，解答问题：
（1）设小明原来的速度为，则小明今天的速度为________；
（2）求小明今天的速度．
21．（2025·大方模拟）如图，在四边形中，连接，，，有下列条件：①；②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
22．（2025·大方模拟）小明家与学校之间有一大型户外广告牌，小明想知道这座广告牌的高度，于是某天放学回家时登上了广告牌对面大楼的观光电梯，测量并形成了如下不完整的实践报告．
测量对象 广告牌
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决实际问题
测量工具 含角的直角三角板、铅笔
测量方案 如图②，他乘坐观光电梯上升到8层，在点处拿出三角板，如图①，保持三角板的较短直角边水平，此时从处俯看广告牌顶端点的视线与三角板的较长直角边交于点，用铅笔标记点的位置，继续乘坐观光电梯上升到10层，在点处重复前面的操作，此时从点处俯看广告牌顶端点的视线与三角板的较长直角边交于点，用铅笔标记出点，小明发现，，询问大楼工作人员得知，大楼每层的高度均为，小明的眼睛到脚的距离为，且点，，，，在同一竖直平面内，，．
测量示意图
请根据以上数据，解决下列问题：
（1）从点处看点的俯角为________，从点处看点的俯角为________；
（2）请计算该广告牌的高度．（结果精确到，参考数据：，）
23．（2025·大方模拟）如图，为的弦，为劣弧的中点，为上一点，连接，过点作的切线，连接，，为上一点，，连接，，．
（1）写出图中一个与相等的角：________；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，求的长．
24．（2025·大方模拟）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点，是抛物线上两点，且，求的取值范围；
（3）一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，若，求的最大值．
25．（2025·大方模拟）综合与探究：在正方形中，为射线上一动点，为射线上一动点，连接，过点作交直线于点．
（1）【操作判断】如图①，连接交于点，当点与点重合，点在线段上时，根据题意在图①中画出，并探究，，三条线段之间的数量关系；
（2）【问题探究】如图②，当点在的延长线上，且，点，分别在的延长线和的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】当点在线段上时，为的中点，若正方形的边长为6，连接，，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-4的相反数是4，
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义即可求解.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的作品不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、此选项中的作品是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、此选项中的作品既不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、此选项中的作品不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答可得答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】先根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠3=∠2+∠4，从而代值可算出∠4的度数，进而根据二直线平行，同位角相等，得∠1=∠4，从而得出答案.
5．【答案】C
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据同分母分式的加法运算法则“同分母分式相加，分母不变，分子相加”进行计算，分子合并后再约分化简即可.
6．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
∴“次南门”所在位置的坐标为：．
故答案为：C．
【分析】根据“大西门”的坐标可得将表示“大西门”的点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点作为坐标原点，以过这点的水平直线作为x轴，竖直直线作为y轴，向右及向上的方向作为正方向，建立平面直角坐标系，最后根据“次南门”在坐标系中的位置读出其坐标即可.
7．【答案】D
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：第一个袋子摸到红球的可能性；
第二个袋子摸到红球的可能性；
第三个袋子摸到红球的可能性；
第四个袋子摸到红球的可能性；
∵，
摸到红球可能性最小的是2个红球、8个白球．
故答案为：D．
【分析】用各个箱子中红球的个数比上箱子中小球的总个数可得摸到红球可能性，再比较大小可得答案.
8．【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，
则，即．
所以．
所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡．
故答案为：B．
【分析】设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图①天平平衡列出等式，然后整理可得y+2x=3z，进而观察图②，在所得等式的两边乘以2即可得出结果.
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得出DB=DC，再根据等边对等角，得出∠DBC=∠C=45°，根据三角形内角和性质求出∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用∠C的正弦函数可求出BD的长，根据角的和差及直角三角形两个锐角互余求出∠A，从而可利用含有30度角的直角三角形的性质求出AB，最后再利用勾股定理求得AD．
10．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意得，
，
；
整个屏风的面积为：，
则阴影部分面积与整个屏风面积的比是，
故答案为：A．
【分析】利用S阴影=S扇形EOF-S扇形GOH，结合扇形面积计算公式求出阴影部分的面积，再根据矩形面积计算公式求出整个图形的面积，最后再计算出阴影部分面积与整个屏风面积的比即可.
11．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由矩形的性质可得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故D符合题意，
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意，
故答案为：D．
【分析】先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质逐项分析判断即可.
12．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵当与时，函数值，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故A错误；
设二次函数的解析式为，
∵当时，；
∴a(4-2)2+1=5，解得a=1
∴二次函数的解析式为，
∴，故B错误；
∵二次函数的解析式为，
∴当时，，解得：，，故C正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，
∴当时，随的增大而增大，顶点为，
∵当时，，解得：，，
∴当时，或，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的对称性，由当x=1与x=3时，函数值相等，可求出对称轴为直线x=2，以此判断A；从而易得该函数顶点坐标为（2，1），设出二次函数的解析式为顶点式，再代入（4，5）求出a的值，从而可得抛物线的解析式，再将解析式化为一般式，求出，可判断B；令所求抛物线解析式中的y=10，算出对应的自变量x的值，可判断C；由于抛物线的对称轴为直线x=2，且开口向上，故当x＞2时，y随x的增大而增大，利用二次函数的增减，求出当时自变量的范围，可判断D．
13．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：.
【分析】利用二次根式的性质，将第一个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
14．【答案】7
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，
∴摸到红球的概率为，
个，
个，
∴估计袋中白球有7个，
故答案为：7．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得摸到红球的概率为30％，进而用红球的个数除以摸出红球的概率即可估计袋中红球的总个数.
15．【答案】6
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：6．
【分析】根据三阶幻方得到第二列和x与4所在的对角线的数字之和相等，据此列出方程，求解即可.
16．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长DE、AB交于点G，连接DF、BD，
∵由为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】延长DE、AB交于点G，连接DF、BD，由二直线平行，内错角相等，得∠C=∠GBE，结合对顶角相等，由ASA判断出△CDE≌△BGE，由全等三角形的对应边相等得BG=CD=5，GE=DE=，结合已知可得出△DAG是等腰三角形；由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△EFG∽△DAG，由相似三角形对应边成比例得出，由等腰三角形的三线合一得DF⊥AG，利用勾股定理求出DF，再求出BF，则可得△BCD是等腰三角形，再由等腰三角形的三线合一得出DE⊥BC，最后再利用勾股定理求出CE即可得解．
17．【答案】解：（1）原式
；
（2）任务：解题过程中，从第一步开始出错，
故答案为：一；
正确的解题过程如下：
解：，
，
，
．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据绝对值代数意义，0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂的性质“”分别计算，再进行有理数的加减运算即可；
（2）小明同学的错误在于去分母时，不等式左边的“-x”这一项没有乘以分母6，正确的做法是先去分母（两边同时乘以6，左边的“-x”也要乘以6，不能漏乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
18．【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8，
∴，
，
反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
；
（2）解：，
∴反比例函数的表达式是，
∵点在该反比例函数的图象上，
，
，
点在第一象限．
分情况讨论：
①当点在第一象限时，
随的增大而减小，
当时，；
②当点在第三象限时，，
，符合题意，此时．
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，可得S矩形ABOC=|k|，据此建立方程求出k，再由反比例函数的图象位置确定k的值；
（2）先写出反比例函数的表达式，根据反比例函数图象上点的坐标特点，将P（1，m）代入反比例函数解析式，算出m的值，求出P点的坐标，当“点Q在第一象限”时，由y随x的增大而减小可确定t的取值范围；当“点Q在第三象限”时，根据第三象限点的坐标特点及已知可求出的取值范围，综上即可得出答案.
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8，
∴，
，
反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
；
（2），
∴反比例函数的表达式是，
∵点在该反比例函数的图象上，
，
，
点在第一象限．
分情况讨论：
①当点在第一象限时，
随的增大而减小，
当时，；
②当点在第三象限时，，
，符合题意，此时．
综上所述，的取值范围是或．
19．【答案】（1）82
（2）解：小张同学在七年级的排名靠前，理由如下：
84分在七年级中位数82分以上，而在八年级中位数85分以下，
所以小张同学在七年级的排名靠前；
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两名女生不相邻的结果有2种，
∴两名女生不相邻的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】（1）解：由七年级的频数分布直方图可知，将七年级50名学生的成绩从小到大排列，第，名学生的成绩分别为，，
∴中位数（分），即，
故答案为：82；
【分析】（1）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合直方图提供信息，求解即可；
（2）根据七、八年级的中位数，与84分的关系可得答案；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图，由图可知共有6种等可能的结果，其中两名女生不相邻的结果有2种，再由概率公式求解即可．
（1）解：由七年级的频数分布直方图可知，将七年级50名学生的成绩从小到大排列，第，名学生的成绩分别为，，
∴中位数（分），即，
故答案为：82；
（2）解：小张同学在七年级的排名靠前，理由如下：
84分在七年级中位数82分以上，而在八年级中位数85分以下，
所以小张同学在七年级的排名靠前；
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两名女生不相邻的结果有2种，
∴两名女生不相邻的概率．
20．【答案】（1）
（2）解：由题意得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
小明今天的速度为．
答：小明今天的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）依题得，小明今天的速度是原来速度的倍，
用含的代数式可表示为．
故答案为：．
【分析】（1）根据题中小明今天的速度是昨天速度的倍即可得解；
（2）根据题意列出分式方程求解．
（1）解：依题得，小明今天的速度是原来速度的倍，
用含的代数式可表示为．
故答案为：．
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
小明今天的速度为．
答：小明今天的速度为．
21．【答案】（1）解：选择条件①：
证明：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
选择条件②：
证明：在和中，
，
，
．
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如解图，连接与交于点，
由（1）知，四边形是菱形，
．
，
，
在中，，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）选择①，首先利用SSS判断出△ABC≌△ADC，由全等三角形的对应角相等得∠BCA=∠DCA，结合已知推出∠DCA=∠DAC，由等角对等边得AD=CD，从而可根据四边相等的四边形是菱形得出结论；选择②，首先利用SSS判断出△ABC≌△ADC，由全等三角形的对应角相等得∠BAC=∠DAC，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠ACD，则∠DCA=∠DAC，由等角对等边得AD=CD，从而可根据四边相等的四边形是菱形得出结论；
（2）根据菱形对角线互相垂直且平分结合勾股定理求出OB的长，进而求出BD的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案．
（1）解：选择条件①：
证明：在和中，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
选择条件②：
证明：在和中，，
，
．
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如解图，连接与交于点，
由（1）知，四边形是菱形，
．
，
，
在中，，，
，
，
．
22．【答案】（1）45，30
（2）解：如图，过点作于点，由（1）可得，，
在中，
，
．
在中，，
每层楼的高度均为，
．
，
．
，
，解得，
，
．
答：该广告牌的高度约为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，
为等腰直角三角形，
，即从点处俯看点的俯角为．
，
，
．
三角板的较短直角边保持水平，
，
，
，即从点处俯看点的俯角为；
故答案为：45，30；
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求出点B处看点D的俯角，根据等边对等角得∠MOQ=∠Q=30°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出∠PMO=60°，即为从点A处看点D的俯角；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，在Rt△AFD中，由∠ADF的正切函数及特殊锐角三角函数值可表示出AF，由等腰直角三角形的性质得BF=DF，进而根据AB=BF-AF建立方程可求出DF，从而得到AF的长，最后根据DE=CF=AC-AF列式计算即可.
（1）解：，
为等腰直角三角形，
，即从点处俯看点的俯角为．
，
，
．
三角板的较短直角边保持水平，
，
，
，即从点处俯看点的俯角为．
（2）如解图，过点作于点，由（1）可得，，
在中，
，
．
在中，，
每层楼的高度均为，
．
，
．
，
，解得，
，
．
答：该广告牌的高度约为．
23．【答案】（1）
（2）证明：如图，连接，
为劣弧的中点，是的切线，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：，，
，
，
为劣弧的中点，
，
∴，，
，
，
，
，
由（2）可知，
，
，
，
，
由（2）知四边形为平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
，
解得，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：∵为劣弧的中点，
∴，
∴；
故答案为：∠ABC；
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等解题即可；
（2）连接OA，根据平分弧得直径垂直这条弧所对的弦得OA⊥BC，由圆的切线垂直经过切点的半径得OA⊥AE，由同一平面垂直同一直线的两条直线互相平行得AE∥BC，进而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得结论；
（3）易得BD=AE，由等弧所对的弦相等得AB=AC，则可推出BD=AC，则AE=AC=6，由二直线平行，内错角相等得∠ACB=∠CAF，则∠ABD=∠CAF，从而可用SAS判断出△ABD≌△CAF，由全等三角形的对应边相等得AD=CF，由平行四边形的对边相等得AD=CE，则CF=CE，由等边对等角得∠E=∠EFC=∠ACE，从而可由有两组角对应相等的两个三角形相似得△EFC∽△ECA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CE，从而得到AD的长.
（1）解：∵为劣弧的中点，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
为劣弧的中点，是的切线，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：，，
，
，
为劣弧的中点，
，，，
，
，
，
，
由（2）可知，
，
，
，
，
由（2）知四边形为平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
，
解得，
．
24．【答案】（1）解：该抛物线与轴交于，两点，，且点在点的左侧，
，
将点，分别代入中，
得，
解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）可知抛物线的函数表达式为，
，
抛物线开口向上；
将点代入，得，
令，解得，，
点，是抛物线上的点，且，
，
的取值范围是．
（3）解：抛物线的函数表达式为，
其对称轴为直线，
点，均在抛物线上，且都在与轴平行的直线上，
点，关于对称轴直线对称，，
又，
，
，
，
的值是关于的一次函数，
，
随的增大而增大，
抛物线与轴交于点，令，则，
，
一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，且，如图所示，
，
当时，有最大值，最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）先根据点A坐标和AB长度确定点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）由（1）中求得的抛物线的函数表达式可知该抛物线开口向上，将点N(5，n)代入所求抛物线的解析式算出n等于8，令所求抛物线解析式中的y=8算出对应的x的值，再结合m＜n，即可得到p的取值范围；
（3）利用对称轴直线公式求出抛物线的对称轴直线为x=2，根据点的坐标与图形的性质及抛物线的对称性可求出x1+x2=4，进而得到随的增大而增大；令抛物线解析式中的x=0算出对应函数值可得点C的坐标为(0，3)，结合B、C两点坐标及，可推出，即可的得到答案．
（1）解：该抛物线与轴交于，两点，，且点在点的左侧，
，
将点，分别代入中，
得，
解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）可知抛物线的函数表达式为，
，
抛物线开口向上；
将点代入，得，
令，解得，，
点，是抛物线上的点，且，
，
的取值范围是．
（3）解：抛物线的函数表达式为，
其对称轴为直线，
点，均在抛物线上，且都在与轴平行的直线上，
点，关于对称轴直线对称，，
又，
，
，
，
的值是关于的一次函数，
，
随的增大而增大，
抛物线与轴交于点，令，则，
，
一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，且，如图所示，
，
当时，有最大值，最大值为．
25．【答案】（1）解：补图如解图，
在正方形中，
和分别为正方形的两条对角线，
，，，
，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，即，
又，
；
（2）解：．理由如下：
如图，过点作交的延长线于点，则，
，
在正方形中，
为对角线，
则，
为等腰直角三角形，，，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，即，
又，
，，
；
（3）解：分两种情况讨论：
①如解图③，连接，则过点，当点在线段上，时，
过点作交于点，
正方形的边长为6，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，，，
由（2）可得，，
；
②如解图④，连接，则过点，当点在的延长线上，时，
过点作交于点，
正方形的边长为6，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
由（2）可得，，
．
综上所述，的长为2或6．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据题意补图，由正方形的性质得∠OAF=∠ODE=45°，OA=OD，∠AOD=90°，由同角的余角相等得∠1=∠2，从而由ASA判断出△ODE≌△OAF，由全等三角形的对应边相等得DE=AF，由勾股定理、线段的和差及等量代换得AD=DE+DF=BD；
（2）先过点P作PG⊥PD，交DA的延长线于点G，由正方形的性质得∠PDF=∠PDE=45°，则△GPD为等腰直角三角形，得PD=PG，∠PGD=∠PDF=∠PDE=45°，由同角的余角相等得∠1=∠2，从而由ASA判断出△PDE≌△PGF，由全等三角形的对应边相等得DE=GF，再由勾股定理、线段的和差及等量代换即可得出结论；
（3）根据题意可分两种情况来求解，连接AC，则AC过点O，①当点F在线段AD上，BP＞BO时，过点P作PG⊥PD交DA于点G，由正方形对角线互相平分及∠BDC的正弦函数求出OD=OC=，再利用勾股定理算出PO；易得△GDP是等腰直角三角形，由等腰直角的性质求出DG，进而由线段和差算出GF，最后根据全等三角形的对应边相等可得DE=DF；②当点F在AD的延长线上时，同理可得DE的值，综上即可得出答案．
（1）解：补图如解图，
在正方形中，
和分别为正方形的两条对角线，
，，，
，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，即，
又，
；
（2）解：．
理由：如解图，过点作交的延长线于点，则，
，
在正方形中，
为对角线，
则，
为等腰直角三角形，，，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，即，
又，
，，
；
（3）解：分两种情况讨论：
①如解图③，连接，则过点，当点在线段上，时，
过点作交于点，
正方形的边长为6，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，，，
由（2）可得，，
；
②如解图④，连接，则过点，当点在的延长线上，时，
过点作交于点，
正方形的边长为6，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，，，
由（2）可得，，
．
综上所述，的长为2或6．
1 / 1贵州省毕节市大方县2025年义务教育质量提升检测试卷数学试题
1．（2025·大方模拟）-4的相反数是（ ）
A． B． C．4 D．-4
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】-4的相反数是4，
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义即可求解.
2．（2025·大方模拟）中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产名录，下面四幅作品分别代表二十四节气中的“立春”“谷雨”“芒种”“白露”，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中的作品不是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、此选项中的作品是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、此选项中的作品既不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、此选项中的作品不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故答案为：B．
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，据此逐一判断得出答案.
3．（2025·大方模拟）据统计，2024年中国芯片进口额近28000亿元人民币，分析进口芯片的结构，处理器及控制器占据了半壁江山，存储芯片占据了四分之一的份额，揭示了国内芯片市场的现状与挑战．数据28000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答可得答案.
4．（2025·大方模拟）如图，两直线，被直线所截，已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
，
，
．
故答案为：A．
【分析】先根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和得∠3=∠2+∠4，从而代值可算出∠4的度数，进而根据二直线平行，同位角相等，得∠1=∠4，从而得出答案.
5．（2025·大方模拟）化简结果正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】根据同分母分式的加法运算法则“同分母分式相加，分母不变，分子相加”进行计算，分子合并后再约分化简即可.
6．（2025·大方模拟）漫步城垣步道，寻迹贵阳“九门四阁”．如图是小李绘制的“九门四阁”平面示意图，若“大西门”所在位置的坐标是，“老东门”所在位置的坐标是，则“次南门”所在位置的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：建立平面直角坐标系如图，
∴“次南门”所在位置的坐标为：．
故答案为：C．
【分析】根据“大西门”的坐标可得将表示“大西门”的点向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后的对应点作为坐标原点，以过这点的水平直线作为x轴，竖直直线作为y轴，向右及向上的方向作为正方向，建立平面直角坐标系，最后根据“次南门”在坐标系中的位置读出其坐标即可.
7．（2025·大方模拟）下列4个箱子中，装有除颜色外完全相同的10个小球，任意摸出一个球，摸到红球可能性最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】可能性的大小
【解析】【解答】解：第一个袋子摸到红球的可能性；
第二个袋子摸到红球的可能性；
第三个袋子摸到红球的可能性；
第四个袋子摸到红球的可能性；
∵，
摸到红球可能性最小的是2个红球、8个白球．
故答案为：D．
【分析】用各个箱子中红球的个数比上箱子中小球的总个数可得摸到红球可能性，再比较大小可得答案.
8．（2025·大方模拟）观察图①，若天平保持平衡，则在图②天平的右盘中需放入○的个数为（ ）
A．5个 B．6个 C．7个 D．8个
【答案】B
【知识点】利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，
则，即．
所以．
所以 在图2天平的右盘中需放入6个○才能使其平衡．
故答案为：B．
【分析】设△的质量为x，□的质量为y，○的质量为z，根据图①天平平衡列出等式，然后整理可得y+2x=3z，进而观察图②，在所得等式的两边乘以2即可得出结果.
9．（2025·大方模拟）如图，在中，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于，两点，作直线，分别交，于点，，连接，若，，，则的长为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；尺规作图-垂直平分线；解直角三角形—边角关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵垂直平分线段，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】先根据垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，得出DB=DC，再根据等边对等角，得出∠DBC=∠C=45°，根据三角形内角和性质求出∠ADB=90°，在Rt△ABD中，利用∠C的正弦函数可求出BD的长，根据角的和差及直角三角形两个锐角互余求出∠A，从而可利用含有30度角的直角三角形的性质求出AB，最后再利用勾股定理求得AD．
10．（2025·大方模拟）屏风是中国传统建筑物内部挡风用的一种家具，历史由来已久，一般陈设于室内的显著位置，起到分隔、美化、挡风、协调等作用．图①中的屏风，其中间部分是扇形的一部分，图②是整个屏风的几何示意图，则阴影部分面积与整个屏风面积的比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意得，
，
；
整个屏风的面积为：，
则阴影部分面积与整个屏风面积的比是，
故答案为：A．
【分析】利用S阴影=S扇形EOF-S扇形GOH，结合扇形面积计算公式求出阴影部分的面积，再根据矩形面积计算公式求出整个图形的面积，最后再计算出阴影部分面积与整个屏风面积的比即可.
11．（2025·大方模拟）如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（ ）
A．四边形的周长不变 B．四边形的面积不变
C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的性质；平行四边形的面积
【解析】【解答】解：由矩形的性质可得，，
∴四边形是平行四边形，
∴，故D符合题意，
随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意，
故答案为：D．
【分析】先证出四边形是平行四边形，再利用平行四边形的性质逐项分析判断即可.
12．（2025·大方模拟）已知二次函数的自变量与函数值的几组对应值如下表：
… 0 1 2 3 4 …
… 1 5 …
则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ）
A．图象的对称轴是直线
B．
C．关于的方程的根为和5
D．当时，的取值范围是
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；利用顶点式求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵当与时，函数值，
∴二次函数图象的对称轴是直线，故A错误；
设二次函数的解析式为，
∵当时，；
∴a(4-2)2+1=5，解得a=1
∴二次函数的解析式为，
∴，故B错误；
∵二次函数的解析式为，
∴当时，，解得：，，故C正确；
∵二次函数图象的对称轴是直线，开口向上，
∴当时，随的增大而增大，顶点为，
∵当时，，解得：，，
∴当时，或，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的对称性，由当x=1与x=3时，函数值相等，可求出对称轴为直线x=2，以此判断A；从而易得该函数顶点坐标为（2，1），设出二次函数的解析式为顶点式，再代入（4，5）求出a的值，从而可得抛物线的解析式，再将解析式化为一般式，求出，可判断B；令所求抛物线解析式中的y=10，算出对应的自变量x的值，可判断C；由于抛物线的对称轴为直线x=2，且开口向上，故当x＞2时，y随x的增大而增大，利用二次函数的增减，求出当时自变量的范围，可判断D．
13．（2025·大方模拟）的结果是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：.
【分析】利用二次根式的性质，将第一个二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
14．（2025·大方模拟）在一个不透明的袋中装有3个红球和若干个白球（除颜色外其余均相同），摇匀后从中随机摸出一个球，经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，则估计袋中白球有 个．
【答案】7
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵经过大量重复的试验后发现摸出红球的频率稳定在，
∴摸到红球的概率为，
个，
个，
∴估计袋中白球有7个，
故答案为：7．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得摸到红球的概率为30％，进而用红球的个数除以摸出红球的概率即可估计袋中红球的总个数.
15．（2025·大方模拟）把1－9这9个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等，这样便构成了一个三阶幻方，它源于我国古代的洛书．如图是仅可以看到部分数值的三阶幻方，则其中的值为 ．
x 1
2 9 4
【答案】6
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题；幻方、幻圆数学问题
【解析】【解答】解：由题意，得：，
解得：；
故答案为：6．
【分析】根据三阶幻方得到第二列和x与4所在的对角线的数字之和相等，据此列出方程，求解即可.
16．（2025·大方模拟）如图，在四边形中，，为的中点，连接，过点作交于点，若，，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；三角形全等的判定-ASA；8字型相似模型
【解析】【解答】解：延长DE、AB交于点G，连接DF、BD，
∵由为的中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵为的中点，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】延长DE、AB交于点G，连接DF、BD，由二直线平行，内错角相等，得∠C=∠GBE，结合对顶角相等，由ASA判断出△CDE≌△BGE，由全等三角形的对应边相等得BG=CD=5，GE=DE=，结合已知可得出△DAG是等腰三角形；由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得△EFG∽△DAG，由相似三角形对应边成比例得出，由等腰三角形的三线合一得DF⊥AG，利用勾股定理求出DF，再求出BF，则可得△BCD是等腰三角形，再由等腰三角形的三线合一得出DE⊥BC，最后再利用勾股定理求出CE即可得解．
17．（2025·大方模拟）（1）计算：；
（2）下面是小明同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
解：，…………第一步
，…………第二步
，…………第三步
．…………第四步
任务：以上解题过程中，从第________步开始出错，请写出正确的解题过程．
【答案】解：（1）原式
；
（2）任务：解题过程中，从第一步开始出错，
故答案为：一；
正确的解题过程如下：
解：，
，
，
．
【知识点】负整数指数幂；解一元一次不等式；无理数的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据绝对值代数意义，0指数幂的性质“a0=1(a≠0)”及负整数指数幂的性质“”分别计算，再进行有理数的加减运算即可；
（2）小明同学的错误在于去分母时，不等式左边的“-x”这一项没有乘以分母6，正确的做法是先去分母（两边同时乘以6，左边的“-x”也要乘以6，不能漏乘），然后移项合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可.
18．（2025·大方模拟）如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8．
（1）求的值；
（2）若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8，
∴，
，
反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
；
（2）解：，
∴反比例函数的表达式是，
∵点在该反比例函数的图象上，
，
，
点在第一象限．
分情况讨论：
①当点在第一象限时，
随的增大而减小，
当时，；
②当点在第三象限时，，
，符合题意，此时．
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，可得S矩形ABOC=|k|，据此建立方程求出k，再由反比例函数的图象位置确定k的值；
（2）先写出反比例函数的表达式，根据反比例函数图象上点的坐标特点，将P（1，m）代入反比例函数解析式，算出m的值，求出P点的坐标，当“点Q在第一象限”时，由y随x的增大而减小可确定t的取值范围；当“点Q在第三象限”时，根据第三象限点的坐标特点及已知可求出的取值范围，综上即可得出答案.
（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8，
∴，
，
反比例函数的图象位于第一、三象限，
，
；
（2），
∴反比例函数的表达式是，
∵点在该反比例函数的图象上，
，
，
点在第一象限．
分情况讨论：
①当点在第一象限时，
随的增大而减小，
当时，；
②当点在第三象限时，，
，符合题意，此时．
综上所述，的取值范围是或．
19．（2025·大方模拟）某校近期对七、八年级学生进行了“新型冠状病毒防治知识”线上测试，为了解他们的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了50名学生的成绩（百分制）（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a、七年级的频数分布直方图如图（数据分为5组：，，，，）
b、七年级学生成绩在的这一组是：80；80.5；81；82；82；83；83.5；84；84；85；86；86.5；87；88；89；89
c、七、八年级学生成绩的平均数、中位数、众数如表：
年级 平均数 中位数 众数
七年级 85.3 m 90
八年级 87.2 85 91
根据以上信息，回答下列问题：
（1）表中m的值为 ；
（2）在随机抽样的学生中，七年级小张同学与八年级小李同学的成绩都为84分，请问谁在自己的年级排名更靠前？请说明理由；
（3）七年级学生中，有2位女同学和1位男同学获得满分，这3位同学被授予“疫情防控标兵”称号，并安排在领奖台上随意排成一排拍照留念，求两名女生不相邻的概率．
【答案】（1）82
（2）解：小张同学在七年级的排名靠前，理由如下：
84分在七年级中位数82分以上，而在八年级中位数85分以下，
所以小张同学在七年级的排名靠前；
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两名女生不相邻的结果有2种，
∴两名女生不相邻的概率．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；中位数
【解析】【解答】（1）解：由七年级的频数分布直方图可知，将七年级50名学生的成绩从小到大排列，第，名学生的成绩分别为，，
∴中位数（分），即，
故答案为：82；
【分析】（1）中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合直方图提供信息，求解即可；
（2）根据七、八年级的中位数，与84分的关系可得答案；
（3）此题是抽取不放回类型，根据题意画树状图，由图可知共有6种等可能的结果，其中两名女生不相邻的结果有2种，再由概率公式求解即可．
（1）解：由七年级的频数分布直方图可知，将七年级50名学生的成绩从小到大排列，第，名学生的成绩分别为，，
∴中位数（分），即，
故答案为：82；
（2）解：小张同学在七年级的排名靠前，理由如下：
84分在七年级中位数82分以上，而在八年级中位数85分以下，
所以小张同学在七年级的排名靠前；
（3）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中两名女生不相邻的结果有2种，
∴两名女生不相邻的概率．
20．（2025·大方模拟）请根据下面对话，解答问题：
（1）设小明原来的速度为，则小明今天的速度为________；
（2）求小明今天的速度．
【答案】（1）
（2）解：由题意得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
小明今天的速度为．
答：小明今天的速度为．
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：（1）依题得，小明今天的速度是原来速度的倍，
用含的代数式可表示为．
故答案为：．
【分析】（1）根据题中小明今天的速度是昨天速度的倍即可得解；
（2）根据题意列出分式方程求解．
（1）解：依题得，小明今天的速度是原来速度的倍，
用含的代数式可表示为．
故答案为：．
（2）解：由题意得，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
小明今天的速度为．
答：小明今天的速度为．
21．（2025·大方模拟）如图，在四边形中，连接，，，有下列条件：①；②．
（1）请从以上①②中任选1个作为条件，求证：四边形是菱形；
（2）在（1）的条件下，若，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：选择条件①：
证明：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
选择条件②：
证明：在和中，
，
，
．
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如解图，连接与交于点，
由（1）知，四边形是菱形，
．
，
，
在中，，，
，
，
．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】（1）选择①，首先利用SSS判断出△ABC≌△ADC，由全等三角形的对应角相等得∠BCA=∠DCA，结合已知推出∠DCA=∠DAC，由等角对等边得AD=CD，从而可根据四边相等的四边形是菱形得出结论；选择②，首先利用SSS判断出△ABC≌△ADC，由全等三角形的对应角相等得∠BAC=∠DAC，由二直线平行，内错角相等得∠BAC=∠ACD，则∠DCA=∠DAC，由等角对等边得AD=CD，从而可根据四边相等的四边形是菱形得出结论；
（2）根据菱形对角线互相垂直且平分结合勾股定理求出OB的长，进而求出BD的长，再根据菱形面积等于其对角线乘积的一半即可得到答案．
（1）解：选择条件①：
证明：在和中，，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
选择条件②：
证明：在和中，，
，
．
，
，
，
，
，
四边形是菱形；
（2）解：如解图，连接与交于点，
由（1）知，四边形是菱形，
．
，
，
在中，，，
，
，
．
22．（2025·大方模拟）小明家与学校之间有一大型户外广告牌，小明想知道这座广告牌的高度，于是某天放学回家时登上了广告牌对面大楼的观光电梯，测量并形成了如下不完整的实践报告．
测量对象 广告牌
测量目的 学会运用三角函数有关知识解决实际问题
测量工具 含角的直角三角板、铅笔
测量方案 如图②，他乘坐观光电梯上升到8层，在点处拿出三角板，如图①，保持三角板的较短直角边水平，此时从处俯看广告牌顶端点的视线与三角板的较长直角边交于点，用铅笔标记点的位置，继续乘坐观光电梯上升到10层，在点处重复前面的操作，此时从点处俯看广告牌顶端点的视线与三角板的较长直角边交于点，用铅笔标记出点，小明发现，，询问大楼工作人员得知，大楼每层的高度均为，小明的眼睛到脚的距离为，且点，，，，在同一竖直平面内，，．
测量示意图
请根据以上数据，解决下列问题：
（1）从点处看点的俯角为________，从点处看点的俯角为________；
（2）请计算该广告牌的高度．（结果精确到，参考数据：，）
【答案】（1）45，30
（2）解：如图，过点作于点，由（1）可得，，
在中，
，
．
在中，，
每层楼的高度均为，
．
，
．
，
，解得，
，
．
答：该广告牌的高度约为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；等腰直角三角形
【解析】【解答】（1）解：，
为等腰直角三角形，
，即从点处俯看点的俯角为．
，
，
．
三角板的较短直角边保持水平，
，
，
，即从点处俯看点的俯角为；
故答案为：45，30；
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可求出点B处看点D的俯角，根据等边对等角得∠MOQ=∠Q=30°，由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和求出∠PMO=60°，即为从点A处看点D的俯角；
（2）过点D作DF⊥BC于点F，在Rt△AFD中，由∠ADF的正切函数及特殊锐角三角函数值可表示出AF，由等腰直角三角形的性质得BF=DF，进而根据AB=BF-AF建立方程可求出DF，从而得到AF的长，最后根据DE=CF=AC-AF列式计算即可.
（1）解：，
为等腰直角三角形，
，即从点处俯看点的俯角为．
，
，
．
三角板的较短直角边保持水平，
，
，
，即从点处俯看点的俯角为．
（2）如解图，过点作于点，由（1）可得，，
在中，
，
．
在中，，
每层楼的高度均为，
．
，
．
，
，解得，
，
．
答：该广告牌的高度约为．
23．（2025·大方模拟）如图，为的弦，为劣弧的中点，为上一点，连接，过点作的切线，连接，，为上一点，，连接，，．
（1）写出图中一个与相等的角：________；
（2）求证：四边形是平行四边形；
（3）若，，求的长．
【答案】（1）
（2）证明：如图，连接，
为劣弧的中点，是的切线，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：，，
，
，
为劣弧的中点，
，
∴，，
，
，
，
，
由（2）可知，
，
，
，
，
由（2）知四边形为平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
，
解得，
．
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；三角形全等的判定-SAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（1）解：∵为劣弧的中点，
∴，
∴；
故答案为：∠ABC；
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等解题即可；
（2）连接OA，根据平分弧得直径垂直这条弧所对的弦得OA⊥BC，由圆的切线垂直经过切点的半径得OA⊥AE，由同一平面垂直同一直线的两条直线互相平行得AE∥BC，进而根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可得结论；
（3）易得BD=AE，由等弧所对的弦相等得AB=AC，则可推出BD=AC，则AE=AC=6，由二直线平行，内错角相等得∠ACB=∠CAF，则∠ABD=∠CAF，从而可用SAS判断出△ABD≌△CAF，由全等三角形的对应边相等得AD=CF，由平行四边形的对边相等得AD=CE，则CF=CE，由等边对等角得∠E=∠EFC=∠ACE，从而可由有两组角对应相等的两个三角形相似得△EFC∽△ECA，由相似三角形对应边成比例建立方程可求出CE，从而得到AD的长.
（1）解：∵为劣弧的中点，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
为劣弧的中点，是的切线，
，，
，
，
四边形是平行四边形；
（3）解：，，
，
，
为劣弧的中点，
，，，
，
，
，
，
由（2）可知，
，
，
，
，
由（2）知四边形为平行四边形，
，
，
又，
，
，
，
，
解得，
．
24．（2025·大方模拟）已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若点，是抛物线上两点，且，求的取值范围；
（3）一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，若，求的最大值．
【答案】（1）解：该抛物线与轴交于，两点，，且点在点的左侧，
，
将点，分别代入中，
得，
解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）可知抛物线的函数表达式为，
，
抛物线开口向上；
将点代入，得，
令，解得，，
点，是抛物线上的点，且，
，
的取值范围是．
（3）解：抛物线的函数表达式为，
其对称轴为直线，
点，均在抛物线上，且都在与轴平行的直线上，
点，关于对称轴直线对称，，
又，
，
，
，
的值是关于的一次函数，
，
随的增大而增大，
抛物线与轴交于点，令，则，
，
一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，且，如图所示，
，
当时，有最大值，最大值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的对称性及应用
【解析】【分析】（1）先根据点A坐标和AB长度确定点B坐标，再利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）由（1）中求得的抛物线的函数表达式可知该抛物线开口向上，将点N(5，n)代入所求抛物线的解析式算出n等于8，令所求抛物线解析式中的y=8算出对应的x的值，再结合m＜n，即可得到p的取值范围；
（3）利用对称轴直线公式求出抛物线的对称轴直线为x=2，根据点的坐标与图形的性质及抛物线的对称性可求出x1+x2=4，进而得到随的增大而增大；令抛物线解析式中的x=0算出对应函数值可得点C的坐标为(0，3)，结合B、C两点坐标及，可推出，即可的得到答案．
（1）解：该抛物线与轴交于，两点，，且点在点的左侧，
，
将点，分别代入中，
得，
解得
该抛物线的函数表达式为．
（2）解：由（1）可知抛物线的函数表达式为，
，
抛物线开口向上；
将点代入，得，
令，解得，，
点，是抛物线上的点，且，
，
的取值范围是．
（3）解：抛物线的函数表达式为，
其对称轴为直线，
点，均在抛物线上，且都在与轴平行的直线上，
点，关于对称轴直线对称，，
又，
，
，
，
的值是关于的一次函数，
，
随的增大而增大，
抛物线与轴交于点，令，则，
，
一条和轴平行的直线与该抛物线交于点，，与直线交于点，且，如图所示，
，
当时，有最大值，最大值为．
25．（2025·大方模拟）综合与探究：在正方形中，为射线上一动点，为射线上一动点，连接，过点作交直线于点．
（1）【操作判断】如图①，连接交于点，当点与点重合，点在线段上时，根据题意在图①中画出，并探究，，三条线段之间的数量关系；
（2）【问题探究】如图②，当点在的延长线上，且，点，分别在的延长线和的延长线上，请写出，，三条线段之间的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】当点在线段上时，为的中点，若正方形的边长为6，连接，，，，求的长．
【答案】（1）解：补图如解图，
在正方形中，
和分别为正方形的两条对角线，
，，，
，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，即，
又，
；
（2）解：．理由如下：
如图，过点作交的延长线于点，则，
，
在正方形中，
为对角线，
则，
为等腰直角三角形，，，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，即，
又，
，，
；
（3）解：分两种情况讨论：
①如解图③，连接，则过点，当点在线段上，时，
过点作交于点，
正方形的边长为6，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，，，
由（2）可得，，
；
②如解图④，连接，则过点，当点在的延长线上，时，
过点作交于点，
正方形的边长为6，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
由（2）可得，，
．
综上所述，的长为2或6．
【知识点】勾股定理；正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据题意补图，由正方形的性质得∠OAF=∠ODE=45°，OA=OD，∠AOD=90°，由同角的余角相等得∠1=∠2，从而由ASA判断出△ODE≌△OAF，由全等三角形的对应边相等得DE=AF，由勾股定理、线段的和差及等量代换得AD=DE+DF=BD；
（2）先过点P作PG⊥PD，交DA的延长线于点G，由正方形的性质得∠PDF=∠PDE=45°，则△GPD为等腰直角三角形，得PD=PG，∠PGD=∠PDF=∠PDE=45°，由同角的余角相等得∠1=∠2，从而由ASA判断出△PDE≌△PGF，由全等三角形的对应边相等得DE=GF，再由勾股定理、线段的和差及等量代换即可得出结论；
（3）根据题意可分两种情况来求解，连接AC，则AC过点O，①当点F在线段AD上，BP＞BO时，过点P作PG⊥PD交DA于点G，由正方形对角线互相平分及∠BDC的正弦函数求出OD=OC=，再利用勾股定理算出PO；易得△GDP是等腰直角三角形，由等腰直角的性质求出DG，进而由线段和差算出GF，最后根据全等三角形的对应边相等可得DE=DF；②当点F在AD的延长线上时，同理可得DE的值，综上即可得出答案．
（1）解：补图如解图，
在正方形中，
和分别为正方形的两条对角线，
，，，
，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，即，
又，
；
（2）解：．
理由：如解图，过点作交的延长线于点，则，
，
在正方形中，
为对角线，
则，
为等腰直角三角形，，，
，
，
，
，
，
在等腰中，
，即，
又，
，，
；
（3）解：分两种情况讨论：
①如解图③，连接，则过点，当点在线段上，时，
过点作交于点，
正方形的边长为6，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，，，
由（2）可得，，
；
②如解图④，连接，则过点，当点在的延长线上，时，
过点作交于点，
正方形的边长为6，，，
，
，
为等腰直角三角形，
，，，
由（2）可得，，
．
综上所述，的长为2或6．
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