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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第2章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分。 2.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。 3.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出分式方程； 4.能解可化为一元一次方程的分式方程。 5.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示一些绝对值较小的数（包括在计算器上表示）。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第2章《分式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”和“方程与不等式”。本章是衔接“整式运算”与“二次根式”“函数”的关键桥梁，系统构建了分式知识体系：从分式定义（分母含字母的代数式）→基本性质（约分/通分）→四则运算（乘除、加减）→整数指数幂（零/负指数幂）→分式方程（解法与应用）。通过本章的学习，学生能够掌握分式的基本概念和运算方法，能够解决简单的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力
学情分析 知识基础 1.已掌握整式运算、因式分解及等式性质。 2.具备分数运算经验，但易混淆分式与整式的差异（如忽略“分母≠0”的条件）。 学习障碍 1.概念层面：分式值为零需“分子=0且分母≠0”，学生常遗漏分母限制。 2.运算层面：异分母加减通分时，最简公分母确定困难（尤其含多项式时）。 3.应用层面：将“至少”“不超过”等实际语言转化为分式方程时逻辑不清。
单元目标 （一）教学目标 1.了解分式的概念，明确分式与整式的区别，求分式有/无意义及值为零的条件。 2.理解分式的基本性质，掌握分式的约分、通分方法。 3.掌握分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则，能够熟练进行分式的运算。 4.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示一些绝对值较小的数。 5.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能理解其解法和检验方法。 6.通过类比分数学习分式，体会数学知识之间的内在联系。 7.经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型。 8.培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流。 （二）教学重点、难点 重点 1.分式概念的理解。 2.分式的基本性质、运算法则以及整数指数幂。 3.分式的加法和减法运算规则。 4.分式方程的解法及应用 难点 1.分式有、无意义的条件，及分式值为零的条件。 2.理解分式的基本性质，并能运用这些性质解决实际问题。 3.理解分式加减运算的原理，能够灵活运用运算规则进行计算。 4.分式方程的解法和检验方法。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1分式的概念及基本性质22.2分式的加法和减法32.3分式的乘法和除法22.4整数指数幂32.5可化为一元一次方程的分式方程2第2章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1 分式的概念及基本性质（1）1.理解分式的定义，能够判断一个式子是否为分式。 2.掌握分式有、无意义的条件，以及分式值为零的条件。1.能够判断一个式子是否为分式。 2.在实际问题中正确识别分式模型，并能够根据条件判断分式的意义。任务一：情境导入，初步接触分式。 任务二：探究新知，理解分式的概念。 任务三：例题精讲，探究分式有意义的条件。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.1 分式的概念及基本性质（2）1.掌握分式基本性质，能运用性质进行分式变形。 2.熟练约分至最简分式（分子分母无公因式），能判断分式是否为最简形式。 3.类比分数的基本性质，自主探究分式的基本性质，提高类比推理能力和自主学习能力。 4.感受数学变形的简洁美，养成步步检验的习惯。1.能运用性质进行分式变形。 2.能约分至最简分式、能判断分式是否为最简形式。任务一：复习回顾，回顾分数的基本性质。 任务二：探究新知，探究分式的基本性质。 任务三：例题精讲，化分式为最简分式。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.2 分式的加法和减法（1）1.理解同分母分式的加减法规则，掌握同分母分式加减运算的方法。 2.能够正确进行同分母分式的加减运算，并能够对结果进行化简。 3.通过类比分数的加减运算，引导学生自主探究同分母分式的加减法规则，培养学生的类比推理能力和自主学习能力。能够正确进行同分母分式的加减运算，并能够对结果进行化简。 任务一：复习导入，回顾同分母分数的运算法则。 任务二：探究新知，探究同分母分式的加减运算法则。 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.2 分式的加法和减法（2）1.理解最简公分母的概念，掌握求最简公分母的方法。 2.掌握通分的方法，能够将异分母分式化为同分母分式。 3.类比分式的通分自主探究分式的通分方法，提高类比推理能力和自主学习能力。能够正确进行通分。 任务一：复习导入，回顾异分母分数的运算法则。 任务二：探究新知，探究异分母分式的加减运算法则。 任务三：例题精讲，进行通分。 任务四：巩固练习，课堂小结2.2 分式的加法和减法（3）1.理解异分母分式加减法的法则，能够正确进行异分母分式的加减运算。 2.会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果。 3.通过类比异分母分数的加减法，推导异分母分式加减法的法则，体会类比迁移的思想方法。会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果，能够正确进行异分母分式的加减运算。 任务一：复习巩固，回顾异分母分式加减法的法则。 任务二：探究新知，探究异分母分式加减法。 任务三：例题精讲，进行异分母分式的加减运算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.3 分式的乘法和除法（1）1.掌握分式乘除法则，能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。 2.理解分式乘除混合运算的顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），能准确计算并化简结果。 3.通过类比分数运算，经历分式运算法则的推导过程，培养逻辑推理能力。1.能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。 2.能准确进行混合运算计算并化简结果。 任务一：复习导入，回顾分数的乘法运算法则。 任务二：新知探究，探究分式乘除法则。 任务三：例题精讲，进行分式的乘除运算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.3 分式的乘法和除法（2）1.掌握分式乘方法则，能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。 2.理解运算顺序，能将混合运算统一为乘法（如除法转化为乘除数的倒数）。 3.类比分数的乘方运算自主探索分式乘方的法则，提高类比推理能力和自主学习能力。能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。任务一：复习导入，回顾分数的乘方。 任务二：新知探究，探究分式的乘方。 任务三：例题精讲，进行分式的乘方及混合运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.1 同底数幂的除法1.能够理解并掌握同底数幂的除法法则，熟练进行同底数幂的除法运算。 2.能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 3.自主探索同底数幂的除法法则，培养学生的观察、猜想、验证等自主学习能力和数学思维能力。1.熟练进行同底数幂的除法运算。 2.能够正确处理底数为多项式或负数的情况。任务一：新知导入，观察计算过程。 任务二：新知探究，同底数幂的除法法则的推导 任务三：例题精讲，进行同底数幂的除法运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.2 零次幂和负整数指数幂1.能够理解并掌握零次幂和负整数指数幂的概念及其性质，熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 2.能用科学记数法表示微观数据，并解决分式化简问题。 3.能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。1.能熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 2.能用科学记数法表示微观数据，并解决分式化简问题。任务一：复习导入，回顾同底数幂的除法。 任务二：新知探究，零次幂和负整数指数幂 任务三：例题精讲，进行零次幂和负整数指数幂的运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.3 整数指数幂的基本性质1.掌握整数指数幂的四条基本性质（同底数幂、幂乘方、积乘方、商乘方），能规范化简复杂表达式。 2.学生能够熟练进行整数指数幂的综合运算，正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 3.感受数学的统一美（整数指数性质贯通），培养符号规范与步骤严谨意识。1.理解因式分解的概念，能够准确判断一个式子是否为因式分解。 2.明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。任务一：复习导入，回顾幂的运算性质。 任务二：新知探究，将指数的范围拓展 任务三：例题精讲，运用性质进行运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.5 可化为一元一次方程的分式方程（1）1.学生能够理解并掌握分式方程的概念及其解法。 2.学生能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 3.学生能够正确处理增根问题，提高运算能力。能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 任务一：情境导入，列分式方程。 任务二：新知探究，探究分式方程的概念。 任务三：例题精讲，解分式方程。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.5 可化为一元一次方程的分式方程（2）1.能够理解并掌握分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。 2.掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。 3.发展数学抽象思维和综合分析问题的能力。掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。任务一：情境导入，列分式方程。 任务二：新知探究，探究分式方程的应用。 任务三：例题精讲，建立模型。 任务四：巩固练习，课堂小结。第2章 小结与评价1.能够系统回顾和总结分式的基本概念、性质、运算规则以及分式方程的解法和应用。 2.能够熟练进行分式的化简、加减乘除运算，解决分式方程及其应用问题，提高运算能力和解题技巧。 3.通过知识结构图和典型例题，梳理分式章节的核心内容，形成知识体系。能够熟练进行分式的化简、加减乘除运算，解决分式方程及其应用问题。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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第2章 分式
2.5 可化为一元一次方程的分式方程（1）
学习目标与重难点
学习目标：
1.能够理解并掌握分式方程的概念及其解法。
2.能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。
3.能够正确处理增根问题，提高运算能力。
学习重点：
分式方程的概念及其解法。
学习难点：
正确理解增根的概念及其处理方法。
教学过程
一、复习回顾
解方程：=.
解一元一次方程的基本步骤：
二、新知探究
探究一：分式方程的定义
教材第52页
【做一做】
某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动 . 现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 设走线路一的平均车速为xkm/h，请用含x的等式表示问题中的等量关系.
【归纳】
分式方程：____________________________的方程叫作分式方程.
探究二：分式方程的解法
教材第52页
【思考】如何求解分式方程
问题1：我们前面所学的解方程都有什么特征？
问题2：有没有方法将分式方程转化为整式方程？
例1解方程：=.
例2解方程：.
增根：如果使最简公分母的值等于0，那么它不是原分式方程的根，称它为原方程的增根.
三、合作交流
【议一议】为什么将求出的未知数的值代入最简公分母，若其值为0，就可判断它不是分式方程的解呢？
例3解方程：=5.
【议一议】解分式方程的一般步骤是什么？
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.若代数式和的值相等，则的值是（ ）
A． B． C． D．
3.已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
选做题
4.有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）
5.当 时，分式的值等于．
6.若，则 ．
【综合拓展类作业】
7.已知关于的分式方程．
(1)当分式方程有增根时，求的值．
(2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围．
(3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④
2.若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．且
C． D．且
3.若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
4.下面是某同学解分式方程的部分过程：
解：方程两边同乘________，约去分母，
得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，解得．
(1)这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是_______，解题过程缺少的步骤是_______．
(2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程.
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】A、是整式方程，不符合题意；
B、是整式方程，不符合题意；
C、是关于的整式方程，不符合题意；
D、是分式方程，符合题意；
故选：D．
2.【答案】D
【解析】解：代数式和的值相等，
则，
去分母得，
解得，
经检验，是分式方程的解，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：
去分母得到，，
移项合并同类项得到，
∵关于的方程的解是正整数，
∴或，且
解得或，
即方程的解为正整数的个数是2，
故选：B
4.【答案】①②⑥⑦，③④⑤⑨．
【解析】解：∵①为整式方程；②为整式方程；③为分式方程；④为分式方程；⑤为分式方程；⑥为整式方程；⑦为整式方程；⑧为不是方程；⑨为分式方程．
∴整式方程的是①②⑥⑦，分式方程的是③④⑤⑨．
故答案为：①②⑥⑦，③④⑤⑨．
5.【答案】．
【解析】解：根据题意得：，
，
解得：，
经检验是分式方程的解；
故答案为：．
6.【答案】6．
【解析】，
，
，
，
．
故答案为：6．
7.【答案】（1）解：分式方程去分母得：，
整理可得：，
当分式方程有增根时，即，
则，
解得：；
（2）解：根据题意可得：且，
即，且，
解得：且；
（3）解：当时，
∵，
∴，
当分式方程有整数解时，，
由于当分式方程有增根时，即，故需要舍去，
当时，，
当时，，
经检验，都符合题意，
∴它们的和是．
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：②④⑤是分式方程，①⑥是一元一次方程，③是二元一次方程；
故选：C．
2.【答案】D
【解析】解：，
方程两边同乘得，
，
，
由题意得，该分式方程有解，且解为正数，
即且，
且．
故选：．
3.【答案】6
【解析】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵关于的不等式组的解集为，
，
解得，
方程可化为，
解得，
关于y的分式方程有非负整数解，
且，为负整数解
解得且，
且，
当；
当（舍去）；
当（舍去）；
当；
当（舍去）；
当；
当（舍去）；
当；
则所有满足条件的整数的值之和为，
故答案为：6．
4．【答案】（1）解：由题意可得：这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是，解题过程缺少的步骤是检验；
（2）解：方程两边同乘以得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得
检验：把代入，
所以是原方程的根．
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分课时教学设计
第一课时《分式方程及其解法》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《分式方程及其解法》是湘教版八年级上册第2章《分式》的第五节第一课时的内容。本节课是在学生已经掌握了分式的基本概念、性质和运算的基础上进行的，进一步拓展到分式方程的解法。教材通过具体的实例引入分式方程的概念，引导学生通过观察、猜想、验证等方法，自主探索并总结出分式方程的解法。这种探究式学习方式有助于培养学生的自主学习能力和数学思维能力。同时，教材还注重培养学生的运算能力，通过大量不同类型的例题和练习题，让学生在实践中熟练掌握分式方程的解法，提高运算的准确性和效率。
学习者分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本概念、性质和运算，这为学习分式方程及其解法提供了知识基础。然而，学生在从分式的运算到分式方程的解法的过渡过程中可能会遇到一些困难。一方面，学生可能会对分式方程的概念和解法感到困惑，尤其是对增根的理解不够深刻；另一方面，学生在解分式方程时，可能会出现去分母、化简、检验等环节的错误。此外，部分学生可能对数学学习缺乏兴趣和信心，认为分式方程的解法枯燥乏味且难度较大，从而影响学习积极性和课堂参与度。
教学目标 1.学生能够理解并掌握分式方程的概念及其解法。 2.学生能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 3.学生能够正确处理增根问题，提高运算能力。 4.通过具体的实例引入，引导学生自主探索分式方程的解法，培养学生的观察、猜想、验证等自主学习能力和数学思维能力。
教学重点 分式方程的概念及其解法。
教学难点 正确理解增根的概念及其处理方法。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 解方程：=. 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得x=11， 两边都除以1，得x. 解一元一次方程的基本步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1.学生活动1： 认真计算，举手回答问题 回顾解一元一次方程的基本步骤 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究一：分式方程的定义 【做一做】 某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动 . 现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 设走线路一的平均车速为xkm/h，请用含x的等式表示问题中的等量关系. 教师讲授： 等量关系：走线路一的时间走线路二的时间=10min . 教师提问：这个等式正确吗？为什么？ 教师讲授：单位不统一，正确的等式是 【归纳】 分式方程：像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程. 探究二：分式方程的解法 【思考】如何求解分式方程 问题1：我们前面所学的解方程都有什么特征？ 问题2：有没有方法将分式方程转化为整式方程？ 教师讲授：前面求解的方程左右两边都是整式.可以利用分式的基本性质，将两边同时乘最简公分母，将分式方程转化为整式方程。 解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得， 解得. 检验：将用30代入原分式方程，方程左边的值为=，右边的值也是，从而左边的值=右边的值， 因此，是原分式方程的解. 例1解方程：=. 解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得 ， 解得. 检验：将用代入原分式方程，方程左边的值为=，右边的值也是，从而左边的值=右边的值， 因此， 是原分式方程的解. 例2解方程：. 解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得， 解得. 检验：将用2代入原分式方程，方程左边的值为，不存在这种数，因 此不是原分式方程的解，从而原分式方程无解. 教师讲授：从例 2 可发现，将x用2代入最简公分母，则它的值为 0，所以不是原分式方程的解. 增根：如果使最简公分母的值等于0，那么它不是原分式方程的根，称它为原方程的增根. 注意：只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的解.学生活动2： 认真思考，寻找等量关系 认真听讲 认真思考，寻找错误 认真听讲，了解分式方程的概念活动意图说明：通过具体的实例引入，引导学生自主探索分式方程的解法，培养学生的观察、猜想、验证等自主学习能力和数学思维能力。环节三：合作交流教师活动3： 【议一议】为什么将求出的未知数的值代入最简公分母，若其值为0，就可判断它不是分式方程的解呢？ 教师讲授：当最简公分母的值为0时，原分式方程无意义，所以该未知数的值不是分式方程的解. 例3解方程：=5. 解：由于最简公分母为3，于是将方程两边同乘，得， 解得. 经检验， 是原分式方程的解. 【议一议】解分式方程的一般步骤是什么？ 解分式方程的一般步骤： 1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解 2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程 3.解整式方程 4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根 5.将检验后的解写出来学生活动3： 合作交流，探究原因 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 认真听讲，了解解分式方程的一般步骤活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节四：课堂总结教师活动4： 解分式方程的一般步骤： 1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解 2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程 3.解整式方程 4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根 5.将检验后的解写出来学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列关于的方程中，是分式方程的是（ ） A． B． C． D． 2.若代数式和的值相等，则的值是（ ） A． B． C． D． 3.已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 选做题： 4.有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 5.当 时，分式的值等于． 6.若，则 ． 【综合拓展类作业】 7.已知关于的分式方程． (1)当分式方程有增根时，求的值． (2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围． (3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（ ） A．①②③④⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．②④ 2.若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（ ） A． B．且 C． D．且 3.若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ． 【综合拓展类作业】 4.下面是某同学解分式方程的部分过程： 解：方程两边同乘________，约去分母， 得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 系数化为1，解得． (1)这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是_______，解题过程缺少的步骤是_______． (2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程.
教学反思 在处理增根问题时，部分学生仍然出现了理解困难和错误。这说明我在教学过程中对于增根的处理还不够深入，没有充分考虑到学生在理解增根概念时可能遇到的困难。在今后的教学中，我应该更加注重分层教学，针对不同层次学生的学习需求，设计更有针对性的教学活动和练习题。对于基础较弱的学生，要加强对基本概念和解法的巩固和强化训练；对于基础较好的学生，可以适当增加一些拓展性的题目，培养他们的创新思维和综合运用能力。
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第2章 分式
2.5 可化为一元一次方程的分式方程（1）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能够理解并掌握分式方程的概念及其解法。
01
能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。
02
能够正确处理增根问题，提高运算能力。
03
02
新知导入
解方程：=.
解：去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得x=11，
两边都除以1，得x.
解一元一次方程的基本步骤：
①去分母；
②去括号；
③移项；
④合并同类项；
⑤化系数为1.
03
新知探究
做一做
某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动 . 现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 设走线路一的平均车速为xkm/h，请用含x的等式表示问题中的等量关系.
等量关系：走线路一的时间走线路二的时间=10min .
03
新知探究
做一做
某校八年级学生乘车前往某乡村进行研学实践活动 . 现有两条线路可供选择：线路一全程25km，线路二全程30km. 若走线路二的平均车速是走线路一的1.5倍，所花时间比走线路一少用10min， 设走线路一的平均车速为xkm/h，请用含x的等式表示问题中的等量关系.
这个等式正确吗？
单位不统一
像这样，分母中含有未知数的方程叫作分式方程.
03
新知探究
我们前面所学的解方程都有什么特征？
思考：如何求解分式方程
前面求解的方程左右两边都是整式.
有没有方法将分式方程转化为整式方程？
分式方程
整式方程
分式的基本性质
两边同乘最简公分母
03
新知探究
思考：如何求解分式方程
解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得
，
解得 .
检验：将用 30代入原分式方程，方程左边的值为=，右边的值也是，从而左边的值=右边的值，
因此， 是原分式方程的解.
03
新知探究
解方程：=.
例1
解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得
，
解得 .
检验：将用代入原分式方程，方程左边的值为=，右边的值也是，从而左边的值=右边的值，
因此， 是原分式方程的解.
03
新知探究
解方程：.
例2
解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得 ，
解得 .
检验：将用2代入原分式方程，方程左边的值为，不存在这种数，因
此不是原分式方程的解，从而原分式方程无解.
03
新知探究
从例 2 可发现，将x用2代入最简公分母，则它的值为 0，所以不是原分式方程的解.
注意：只要把所求出的未知数的值代入最简公分母中，如果它使最简公分母的值为0，那么它不是原分式方程的解.
增根：如果使最简公分母的值等于0，那么它不是原分式方程的根，称它为原方程的增根.
03
新知探究
议一议
为什么将求出的未知数的值代入最简公分母，若其值为0，就可判断它不是分式方程的解呢？
当最简公分母的值为0时，原分式方程无意义，所以该未知数的值不是分式方程的解.
03
新知探究
解方程：=5.
例3
解：由于最简公分母为3，于是将方程两边同乘，得
，
解得 .
经检验， 是原分式方程的解.
03
新知探究
议一议
解分式方程的一般步骤是什么？
解分式方程的一般步骤：
1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解
2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程
3.解整式方程
4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根
5.将检验后的解写出来
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列关于的方程中，是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.若代数式和的值相等，则的值是（ ）
A． B． C． D．
D
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.已知为整数，关于的方程的解是整数，则方程的解为正整数的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.有下列方程：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号）
①②⑥⑦
③④⑤⑨
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.当 时，分式的值等于．
6.若，则 ．
6
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.已知关于的分式方程．
(1)当分式方程有增根时，求的值．
(2)当分式方程的解为正数时，求的取值范围．
(3)当分式方程有整数解，且时，直接写出所有满足条件的整数的和．
（1）解：分式方程去分母得：，
整理可得：，
当分式方程有增根时，即，
则，
解得：；
04
课堂练习
（2）解：根据题意可得：且，
即，且，
解得：且；
04
课堂练习
（3）解：当时，
∵，
∴，
当分式方程有整数解时，，
由于当分式方程有增根时，即，故需要舍去，
当时，，
当时，，
经检验，都符合题意，
∴它们的和是．
05
课堂小结
解分式方程的一般步骤：
1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解
2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程
3.解整式方程
4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根
5.将检验后的解写出来
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.已知方程：①；②；③；④；⑤；⑥，是分式方程的是（ ）
A．①②③④⑤
B．②③④
C．②④⑤
D．②④
C
06
作业布置
【知识技能类作业】
2.若关于的分式方程的解为正数，则实数的取值范围为（ ）
A．
B．且
C．
D．且
D
06
作业布置
3.若关于x的不等式组的解集为，且关于y的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数a的和为 ．
6
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.下面是某同学解分式方程的部分过程：
解：方程两边同乘________，约去分母，
得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，解得．
(1)这位同学解题过程中横线处应填的最简公分母是_______，解题过程缺少的步骤是____________________________ ．
(2)该同学反思上述解答过程时，发现不仅缺少了一步，还存在错误，请写出正确的解答过程.
检验
06
作业布置
解：方程两边同乘以得
去括号，得
移项、合并同类项，得
系数化为1，得
检验：把代入，
所以是原方程的根．
07
板书设计
分式方程的概念：
解分式方程的一般步骤：
2.5 可化为一元一次方程的分式方程（1）
习题讲解书写部分
Thanks!
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