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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第2章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分。 2.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。 3.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出分式方程； 4.能解可化为一元一次方程的分式方程。 5.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示一些绝对值较小的数（包括在计算器上表示）。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第2章《分式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”和“方程与不等式”。本章是衔接“整式运算”与“二次根式”“函数”的关键桥梁，系统构建了分式知识体系：从分式定义（分母含字母的代数式）→基本性质（约分/通分）→四则运算（乘除、加减）→整数指数幂（零/负指数幂）→分式方程（解法与应用）。通过本章的学习，学生能够掌握分式的基本概念和运算方法，能够解决简单的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力
学情分析 知识基础 1.已掌握整式运算、因式分解及等式性质。 2.具备分数运算经验，但易混淆分式与整式的差异（如忽略“分母≠0”的条件）。 学习障碍 1.概念层面：分式值为零需“分子=0且分母≠0”，学生常遗漏分母限制。 2.运算层面：异分母加减通分时，最简公分母确定困难（尤其含多项式时）。 3.应用层面：将“至少”“不超过”等实际语言转化为分式方程时逻辑不清。
单元目标 （一）教学目标 1.了解分式的概念，明确分式与整式的区别，求分式有/无意义及值为零的条件。 2.理解分式的基本性质，掌握分式的约分、通分方法。 3.掌握分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则，能够熟练进行分式的运算。 4.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示一些绝对值较小的数。 5.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能理解其解法和检验方法。 6.通过类比分数学习分式，体会数学知识之间的内在联系。 7.经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型。 8.培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流。 （二）教学重点、难点 重点 1.分式概念的理解。 2.分式的基本性质、运算法则以及整数指数幂。 3.分式的加法和减法运算规则。 4.分式方程的解法及应用 难点 1.分式有、无意义的条件，及分式值为零的条件。 2.理解分式的基本性质，并能运用这些性质解决实际问题。 3.理解分式加减运算的原理，能够灵活运用运算规则进行计算。 4.分式方程的解法和检验方法。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1分式的概念及基本性质22.2分式的加法和减法32.3分式的乘法和除法22.4整数指数幂32.5可化为一元一次方程的分式方程2第2章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1 分式的概念及基本性质（1）1.理解分式的定义，能够判断一个式子是否为分式。 2.掌握分式有、无意义的条件，以及分式值为零的条件。1.能够判断一个式子是否为分式。 2.在实际问题中正确识别分式模型，并能够根据条件判断分式的意义。任务一：情境导入，初步接触分式。 任务二：探究新知，理解分式的概念。 任务三：例题精讲，探究分式有意义的条件。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.1 分式的概念及基本性质（2）1.掌握分式基本性质，能运用性质进行分式变形。 2.熟练约分至最简分式（分子分母无公因式），能判断分式是否为最简形式。 3.类比分数的基本性质，自主探究分式的基本性质，提高类比推理能力和自主学习能力。 4.感受数学变形的简洁美，养成步步检验的习惯。1.能运用性质进行分式变形。 2.能约分至最简分式、能判断分式是否为最简形式。任务一：复习回顾，回顾分数的基本性质。 任务二：探究新知，探究分式的基本性质。 任务三：例题精讲，化分式为最简分式。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.2 分式的加法和减法（1）1.理解同分母分式的加减法规则，掌握同分母分式加减运算的方法。 2.能够正确进行同分母分式的加减运算，并能够对结果进行化简。 3.通过类比分数的加减运算，引导学生自主探究同分母分式的加减法规则，培养学生的类比推理能力和自主学习能力。能够正确进行同分母分式的加减运算，并能够对结果进行化简。 任务一：复习导入，回顾同分母分数的运算法则。 任务二：探究新知，探究同分母分式的加减运算法则。 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.2 分式的加法和减法（2）1.理解最简公分母的概念，掌握求最简公分母的方法。 2.掌握通分的方法，能够将异分母分式化为同分母分式。 3.类比分式的通分自主探究分式的通分方法，提高类比推理能力和自主学习能力。能够正确进行通分。 任务一：复习导入，回顾异分母分数的运算法则。 任务二：探究新知，探究异分母分式的加减运算法则。 任务三：例题精讲，进行通分。 任务四：巩固练习，课堂小结2.2 分式的加法和减法（3）1.理解异分母分式加减法的法则，能够正确进行异分母分式的加减运算。 2.会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果。 3.通过类比异分母分数的加减法，推导异分母分式加减法的法则，体会类比迁移的思想方法。会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果，能够正确进行异分母分式的加减运算。 任务一：复习巩固，回顾异分母分式加减法的法则。 任务二：探究新知，探究异分母分式加减法。 任务三：例题精讲，进行异分母分式的加减运算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.3 分式的乘法和除法（1）1.掌握分式乘除法则，能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。 2.理解分式乘除混合运算的顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），能准确计算并化简结果。 3.通过类比分数运算，经历分式运算法则的推导过程，培养逻辑推理能力。1.能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。 2.能准确进行混合运算计算并化简结果。 任务一：复习导入，回顾分数的乘法运算法则。 任务二：新知探究，探究分式乘除法则。 任务三：例题精讲，进行分式的乘除运算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.3 分式的乘法和除法（2）1.掌握分式乘方法则，能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。 2.理解运算顺序，能将混合运算统一为乘法（如除法转化为乘除数的倒数）。 3.类比分数的乘方运算自主探索分式乘方的法则，提高类比推理能力和自主学习能力。能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。任务一：复习导入，回顾分数的乘方。 任务二：新知探究，探究分式的乘方。 任务三：例题精讲，进行分式的乘方及混合运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.1 同底数幂的除法1.能够理解并掌握同底数幂的除法法则，熟练进行同底数幂的除法运算。 2.能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 3.自主探索同底数幂的除法法则，培养学生的观察、猜想、验证等自主学习能力和数学思维能力。1.熟练进行同底数幂的除法运算。 2.能够正确处理底数为多项式或负数的情况。任务一：新知导入，观察计算过程。 任务二：新知探究，同底数幂的除法法则的推导 任务三：例题精讲，进行同底数幂的除法运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.2 零次幂和负整数指数幂1.能够理解并掌握零次幂和负整数指数幂的概念及其性质，熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 2.能用科学记数法表示微观数据，并解决分式化简问题。 3.能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。1.能熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 2.能用科学记数法表示微观数据，并解决分式化简问题。任务一：复习导入，回顾同底数幂的除法。 任务二：新知探究，零次幂和负整数指数幂 任务三：例题精讲，进行零次幂和负整数指数幂的运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.3 整数指数幂的基本性质1.掌握整数指数幂的四条基本性质（同底数幂、幂乘方、积乘方、商乘方），能规范化简复杂表达式。 2.学生能够熟练进行整数指数幂的综合运算，正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 3.感受数学的统一美（整数指数性质贯通），培养符号规范与步骤严谨意识。1.理解因式分解的概念，能够准确判断一个式子是否为因式分解。 2.明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。任务一：复习导入，回顾幂的运算性质。 任务二：新知探究，将指数的范围拓展 任务三：例题精讲，运用性质进行运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.5 可化为一元一次方程的分式方程（1）1.学生能够理解并掌握分式方程的概念及其解法。 2.学生能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 3.学生能够正确处理增根问题，提高运算能力。能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 任务一：情境导入，列分式方程。 任务二：新知探究，探究分式方程的概念。 任务三：例题精讲，解分式方程。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.5 可化为一元一次方程的分式方程（2）1.能够理解并掌握分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。 2.掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。 3.发展数学抽象思维和综合分析问题的能力。掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。任务一：情境导入，列分式方程。 任务二：新知探究，探究分式方程的应用。 任务三：例题精讲，建立模型。 任务四：巩固练习，课堂小结。第2章 小结与评价1.能够系统回顾和总结分式的基本概念、性质、运算规则以及分式方程的解法和应用。 2.能够熟练进行分式的化简、加减乘除运算，解决分式方程及其应用问题，提高运算能力和解题技巧。 3.通过知识结构图和典型例题，梳理分式章节的核心内容，形成知识体系。能够熟练进行分式的化简、加减乘除运算，解决分式方程及其应用问题。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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分课时教学设计
第二课时《分式方程的实际应用》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《分式方程的实际应用》是湘教版八年级上册第2章《分式》的第五节第二课时的内容。本节课是在学生已经掌握了分式方程的概念及其解法的基础上，进一步拓展到分式方程的实际应用。教材通过具体的实例，引导学生将分式方程应用于实际问题的解决，帮助学生理解数学与实际生活的紧密联系，培养学生的应用意识和解决问题的能力。这种应用型学习方式有助于学生更好地理解和掌握分式方程的解法，提高学生的数学思维能力和综合应用能力。
学习者分析 学生在学习本节课之前，已经掌握了分式方程的概念及其解法，这为学习分式方程的实际应用提供了知识基础。然而，学生在从分式方程的解法到实际应用的过渡过程中可能会遇到一些困难。一方面，学生可能会对实际问题的背景和条件理解不够深刻，导致无法正确建立分式方程；另一方面，学生在解分式方程时，可能会出现去分母、化简、检验等环节的错误。此外，部分学生可能对数学学习缺乏兴趣和信心，认为分式方程的实际应用枯燥乏味且难度较大，从而影响学习积极性和课堂参与度。
教学目标 1.能够理解并掌握分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。 2.掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。 3.在分式方程的实际应用过程中，让学生经历从具体问题到抽象运算的转化过程，发展学生的数学抽象思维和综合分析问题的能力。
教学重点 分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。
教学难点 正确理解实际问题的背景和条件，建立正确的分式方程。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 解方程：=. 解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得 ， 解得. 检验：将用代入原分式方程，方程左边的值为，右边的值也是，从而左边的值=右边的值， 因此， 是原分式方程的解. 回顾：1.解分式方程的一般步骤是什么？ 2.列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？ 解分式方程的一般步骤： 1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解 2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程 3.解整式方程 4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根 5.将检验后的解写出来 列一元一次方程解应用题的一般步骤： 1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系； 2.设:设未知数； 3.列:根据等量关系列一元一次方程； 4.解:解这个方程； 5.验:看是否是方程的解和是否符合题意； 6.答:作答，注意单位和答案完整.学生活动1： 认真计算，举手回答问题 认真听讲 回顾解分式方程的一般步骤 回顾列一元一次方程解应用题的一般步骤活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：分式方程的应用 【思考】用 A，B 两种型号的机器人搬运原料 .已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200 kg，且A型机器人搬运10 000 kg所用时间与B型机器人搬运8 000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料. 任务：1.审：题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？ 2.设：你会选择设什么为未知数？ 3.列：你能正确列出分式方程吗？ 4.解：求解你所列的分式方程。 5.验：验根，验证你的答案是否正确，是否符号实际题意。 6.答：作答。 教师讲授： 解：设B型机器人每小时搬运kg，则A型机器人每小时搬运kg. 由题意得 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. 答：B型机器人每小时搬运原料800kg，A 型机器人每小时搬运原料1000kg.学生活动2： 认真思考，经历从具体问题到抽象运算的转化过程 认真听讲，规范作答活动意图说明：在分式方程的实际应用过程中，让学生经历从具体问题到抽象运算的转化过程，发展学生的数学抽象思维和综合分析问题的能力。环节三：例题精讲教师活动3： 例4为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务. 原计划每天种多少棵树？ 教师提问：题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？ 已知量：种9600棵树，每天种树的棵数比原计划多，提前4天完成任务 未知量：原计划每天种多少棵树 等量关系：原计划的天数实际天数=4 解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种树棵树 由题意得=4 解得 经检验，是原分式方程的解，且符合题意. 答：原计划每天种600棵树. 【做一做】用流程图表示利用可化为一元一次方程的分式方程解决有关实际问题的步骤，并与同学比较你的结果.学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 合作交流 认真听讲活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 列分式方程解应用题的一般步骤 1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系； 2.设:设未知数； 3.列:根据等量关系列分式方程； 4.解:解这个分式方程； 5.验:验根（①是否是分式方程的根；②是否符合题意）； 6.答:作答，注意单位和答案完整.学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（ ） A． B． C． D． 2.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ） A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个 B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个 C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个 D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个 3.2024年12月20日济广高速全线通车，小明的爸爸开车从泰安到东平，若走原来的泰东路，行程80千米，而走新扩建成的济广高速，路程不但缩短了20千米，驾车时间也省了40分钟．若小明的爸爸在高速上驾车的速度比在普通道路上驾车的速度快，则小明的爸爸在普通道路上的速度是（ ） A．50千米/时 B．60千米/时 C．65千米/时 D．70千米/时 选做题： 4.《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于的方程为 ． 5.一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．则轮船在静水中的速度为 ． 6.某校学生到离学校处植树，部分学生骑自行车出发后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的倍，他们同时到达，设自行车的速度是，可列方程 ． 【综合拓展类作业】 7.某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.一辆汽车从A地开往距离的B地，出发后第一小时内按照原计划的速度匀速行驶，1小时后因天气原因，以原速度的倍匀速行驶，并比原计划推迟到达目的地，问前一小时的行驶速度是多少？设前一小时的行驶速度是，可列方程为（ ） A． B． C． D． 2.我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到800里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？快马的速度为多少？下列说法错误的是（ ） A．设规定的时间为天，所列方程为 B．规定的时间为7天 C．设慢马的速度为里/天，所列方程为 D．快马速度是200里/天 3.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件（ ） A．200件 B．210件 C．250件 D．260件 【综合拓展类作业】 4.为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知乙种数学课外读物单价是甲种数学课外读物单价的2倍，用720元购买甲种书的数量比用720元购买乙种书的数量多10本． (1)求甲、乙两种数学课外读物的单价； (2)该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共50本，总费用不超过2520元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？
教学反思 在处理实际问题的背景和条件时，部分学生仍然出现了理解困难和错误。这说明我在教学过程中对于实际问题的分析还不够深入，没有充分考虑到学生在理解实际问题时可能遇到的困难。在今后的教学中，我应该更加注重分层教学，针对不同层次学生的学习需求，设计更有针对性的教学活动和练习题。对于基础较弱的学生，要加强对基本概念和解法的巩固和强化训练；对于基础较好的学生，可以适当增加一些拓展性的题目，培养他们的创新思维和综合运用能力。
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第2章 分式
2.5 可化为一元一次方程的分式方程（2）
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
能够理解并掌握分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。
01
掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。
02
在分式方程的实际应用过程中经历从具体问题到抽象运算的转化过程，发展数学抽象思维和综合分析问题的能力。
03
02
新知导入
解方程：=.
解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得
，
解得 .
检验：将用代入原分式方程，方程左边的值为，右边的值也是，从而左边的值=右边的值，
因此， 是原分式方程的解.
02
新知导入
解分式方程的一般步骤：
1.确定最简公分母：当分母是多项式时先因式分解
2.去分母：方程两边同乘最简公分母，把原方程化为整式方程
3.解整式方程
4.检验：将求出的x值代入最简公分母，若最简公分母=0，则分式方程无解，若最简公分母≠0，则x值为分式方程的根
5.将检验后的解写出来
02
新知导入
1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系；
2.设:设未知数；
3.列:根据等量关系列一元一次方程；
4.解:解这个方程；
5.验:看是否是方程的解和是否符合题意；
6.答:作答，注意单位和答案完整.
列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
03
新知探究
思考
用 A，B 两种型号的机器人搬运原料 .已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200 kg，且A型机器人搬运10 000 kg所用时间与B型机器人搬运8 000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.
等量关系：A型机器人搬运10 000 kg所用时间=B型机器人搬运8 000 kg所用时间（1）
A型机器人每小时搬运质量= B型机器人每小时搬运质量+200 kg（2）
题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？
1
审
03
新知探究
你会选择设什么为未知数？
设B型机器人每小时搬运kg，则由等量关系（2）可得，A型机器人每小时搬运kg.
再根据等量关系（1），可列出如下方程：
2
设
你能将方程列出来吗？
3
列
03
新知探究
4
解
你能将该分式方程解出来吗？
解：由于最简公分母为，于是将方程两边同乘，得
10000，
解得 .
经检验， 是原分式方程的解.
因此， 是原分式方程的解.
答：B型机器人每小时搬运原料800kg，A 型机器人每小时搬运原料1000kg.
5
答
03
新知探究
解：设B型机器人每小时搬运kg，则A型机器人每小时搬运kg.
由题意得
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
答：B型机器人每小时搬运原料800kg，A 型机器人每小时搬运原料1000kg.
规范书写
03
新知探究
为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划
例4
组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务. 原计划每天种多少棵树？
已知量：种9600棵树，每天种树的棵数比原计划多，提前4天完成任务
未知量：原计划每天种多少棵树
等量关系：原计划的天数实际天数=4
题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？
03
新知探究
解：设原计划每天种x棵树，则实际每天种树棵树
由题意得=4
解得
经检验，是原分式方程的解，且符合题意.
答：原计划每天种600棵树.
03
新知探究
做一做
用流程图表示利用可化为一元一次方程的分式方程解决有关实际问题的步骤，并与同学比较你的结果.
实际问题
设出未知数
列出方程
分析题目
找出等量关系
解方程
检验解
的合理性
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
A
04
课堂练习
2.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ）
A
A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个
B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个
C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个
D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.2024年12月20日济广高速全线通车，小明的爸爸开车从泰安到东平，若走原来的泰东路，行程80千米，而走新扩建成的济广高速，路程不但缩短了20千米，驾车时间也省了40分钟．若小明的爸爸在高速上驾车的速度比在普通道路上驾车的速度快50%，则小明的爸爸在普通道路上的速度是（ ）
A．50千米/时 B．60千米/时 C．65千米/时 D．70千米/时
B
04
课堂练习
4.《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为50cm，宽为30cm的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金
色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为cm，若要使整个挂图的长与宽之比为3:2，则可列关于的方程为 ．
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
5.一艘轮船顺流航行180km所用的时间与逆流航行120km所用的时间相同，水流的速度为6km/h．则轮船在静水中的速度为_________km/h．
6.某校学生到离学校处植树，部分学生骑自行车出发后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的倍，他们同时到达，设自行车的速度是，可列方程 ．
30
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价．
解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），由题意得：，解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴则甲款书签价格为（元）
答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元．
05
课堂小结
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:审清题意，找出已知量和未知量，找等量关系；
2.设:设未知数；
3.列:根据等量关系列分式方程；
4.解:解这个分式方程；
5.验:验根（①是否是分式方程的根；②是否符合题意）；
6.答:作答，注意单位和答案完整.
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.一辆汽车从A地开往距离km的B地，出发后第一小时内按照原计划的速度匀速行驶，1小时后因天气原因，以原速度的倍匀速行驶，并比原计划推迟到达目的地，问前一小时的行驶速度是多少？设前一小时的行驶速度是km/h，可列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
C
06
作业布置
2.我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到800里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？快马的速度为多少？下列说法错误的是（ ）
A．设规定的时间为天，所列方程为
B．规定的时间为7天
C．设慢马的速度为里/天，所列方程为
D．快马速度是200里/天
C
06
作业布置
3.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件（ ）
A．200件
B．210件
C．250件
D．260件
A
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4.为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知乙种数学课外读物单价是甲种数学课外读物单价的2倍，用720元购买甲种书的数量比用720元购买乙种书的数量多10本．
(1)求甲、乙两种数学课外读物的单价；
(2)该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共50本，总费用不超过2520元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？
06
作业布置
（1）解：设甲种数学课外读物的单价是x元，则乙种数学课外读物的单价是元，
根据题意得：,解得：，
经检验，是该分式方程的解，
∴．
答：甲种数学课外读物的单价是元，乙种数学课外读物的单价是元．
06
作业布置
（2）解：设购买m本甲种数学课外读物，则购买本乙种数学课外读物，
根据题意得：
解得：
∴m的最小值为．
答：至少可购买甲种数学课外读物本．
07
板书设计
列分式方程解决实际问题的一般步骤
1.审
2.找
3.设
4.列
5.解
6.验
7.答
2.5 可化为一元一次方程的分式方程（2）
习题讲解书写部分
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第2章 分式
2.5 可化为一元一次方程的分式方程（2）
学习目标与重难点
学习目标：
1.能够理解并掌握分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。
2.掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。
3.在分式方程的实际应用过程中经历从具体问题到抽象运算的转化过程，发展数学抽象思维和综合分析问题的能力。
学习重点：
分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。
学习难点：
正确理解实际问题的背景和条件，建立正确的分式方程。
教学过程
一、复习回顾
解方程：=.
回顾：1.解分式方程的一般步骤是什么？
2.列一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？
二、新知探究
探究：分式方程的应用
教材第55页
【思考】用 A，B 两种型号的机器人搬运原料 .已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运200 kg，且A型机器人搬运10 000 kg所用时间与B型机器人搬运8 000 kg所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少原料.
任务：
审：题目中的已知量、未知量和等量关系是什么？
设：你会选择设什么为未知数？
列：你能正确列出分式方程吗？
解：求解你所列的分式方程。
验：验根，验证你的答案是否正确，是否符号实际题意。
6.答：作答。
三、例题精讲
例4为了更好地践行“绿水青山就是金山银山”的理念，某村计划组织村民在荒坡上种9600棵树，后来由于青年志愿者的支援，每天种树的棵数比原计划多，结果提前4天完成任务. 原计划每天种多少棵树？
【做一做】用流程图表示利用可化为一元一次方程的分式方程解决有关实际问题的步骤，并与同学比较你的结果.
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.林老师计划购买240颗糖果，要在校园活动日分给全班学生，正好能够平分；活动当日有10人请假，剩余的学生均分糖果每人能多分到2颗．设全班学生有x人，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.某小区计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，预算均为4000元，……．若单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，则“……”表示的条件为（ ）
A．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个
B．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩少1个
C．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩多1个
D．双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价少200元，数量比单枪充电桩多1个
3.2024年12月20日济广高速全线通车，小明的爸爸开车从泰安到东平，若走原来的泰东路，行程80千米，而走新扩建成的济广高速，路程不但缩短了20千米，驾车时间也省了40分钟．若小明的爸爸在高速上驾车的速度比在普通道路上驾车的速度快，则小明的爸爸在普通道路上的速度是（ ）
A．50千米/时 B．60千米/时 C．65千米/时 D．70千米/时
选做题
4.《兰亭集序》是晋朝书法家王羲之的作品，如图．想要在一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，制成一幅矩形挂图．设金色纸边的宽为，若要使整个挂图的长与宽之比为，则可列关于的方程为 ．
5.一艘轮船顺流航行所用的时间与逆流航行所用的时间相同，水流的速度为．
则轮船在静水中的速度为 ．
6.某校学生到离学校处植树，部分学生骑自行车出发后，其余学生乘汽车出发，汽车速度是自行车速度的倍，他们同时到达，设自行车的速度是，可列方程 ．
【综合拓展类作业】
7.某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价．
五、课堂小结
这节课你收获了什么，列分式方程解应用题的一般步骤是什么
六、作业布置
1.一辆汽车从A地开往距离的B地，出发后第一小时内按照原计划的速度匀速行驶，1小时后因天气原因，以原速度的倍匀速行驶，并比原计划推迟到达目的地，问前一小时的行驶速度是多少？设前一小时的行驶速度是，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
2.我国古代数学著作《九章算术》中有一道关于“驿站送信”的题目，其大意为：把一封信送到800里外的地方，若用慢马送，则晚1天送达；若用快马送则早3天送达，已知快马的速度是慢马速度的2倍，问规定的时间为多少天？快马的速度为多少？下列说法错误的是（ ）
A．设规定的时间为天，所列方程为
B．规定的时间为7天
C．设慢马的速度为里/天，所列方程为
D．快马速度是200里/天
3.随着快递业务的增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3000件提高到4200件，平均每人每周比原来多投递快件80件，若快递公司的快递员人数不变，则原来平均每人每周投递快件（ ）
A．200件 B．210件 C．250件 D．260件
4.为培养学生的数学阅读习惯，激发学生学习数学的兴趣，某校计划购买甲、乙两种数学课外读物供学生阅读．已知乙种数学课外读物单价是甲种数学课外读物单价的2倍，用720元购买甲种书的数量比用720元购买乙种书的数量多10本．
(1)求甲、乙两种数学课外读物的单价；
(2)该校计划购买甲、乙两种数学课外读物共50本，总费用不超过2520元，那么至少可购买甲种数学课外读物多少本？
答案解析
课堂练习：
1.【答案】A
【解析】根据题意得：．
故选：A．
2.【答案】A
【解析】∵单枪充电桩的单价表示为x元，这一情境中的等量关系可用方程“”刻画，
∴“……”表示的条件为双枪充电桩的单价比单枪充电桩的单价多200元，数量比单枪充电桩少1个．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】解：设小明的爸爸在普通道路上的速度是，则，40分钟
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴小明的爸爸在普通道路上的速度是60千米/时，
故选：B．
4.【答案】
【解析】解：∵一幅长为，宽为的《兰亭集序》书法作品的四周镶上相同宽度的金色纸边，且设金色纸边的宽为，整个挂图的长与宽之比为，
则，
故答案为：
5.【答案】30
【解析】解：设船在静水中的速度是．
由题意得：．
解得．
经检验：是原方程的解．
即船在静水中的速度是．
故答案为：30．
6.【答案】
【解析】解：设自行车的速度是，则汽车速度为，
∴，或，
故答案为：或 ．
7.【答案】解：设乙款书签价格为（元），则甲款书签价格为（元），
由题意得：，
解得：，
经检验：是原方程的解，且符合题意，
∴则甲款书签价格为（元）
答：乙款书签价格为16元，甲款书签价格为20元．
作业布置：
1.【答案】C
【解析】解：设前一小时的行驶速度是，
由题意得，可列方程为：，
故选：C．
2.【答案】C
【解析】解：设规定时间为x天，慢马用时天，快马用时天，依题意得，
；选项A正确，故不符合题意；
解得：，
经检验，是原方程的解，
则快马用了天送达，慢马用了天送达，
里/天，
选项B，选项D正确，故不符合题意；
设慢马的速度为y里/天，则快马的速度为里/天，
依题意得，选项C错误，故符合题意；
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：设原来平均每人每周投递快件x件，则现在平均每人每周投递快件件，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：原来平均每人每周投递快件200件．
故选：A
4．【答案】（1）解：设甲种数学课外读物的单价是x元，则乙种数学课外读物的单价是元，
根据题意得：
解得：，
经检验，是该分式方程的解，
∴．
答：甲种数学课外读物的单价是元，乙种数学课外读物的单价是元．
（2）解：设购买m本甲种数学课外读物，则购买本乙种数学课外读物，
根据题意得：
解得：
∴m的最小值为．
答：至少可购买甲种数学课外读物本．
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