广东省广州市天河区第七十五中学九年级2025年中考二模数学试卷
1．（2025·天河模拟）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025·天河模拟）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱
3．（2025·天河模拟）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·天河模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·天河模拟）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·天河模拟）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·天河模拟）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 3 6 …
A． B． C． D．
8．（2025·天河模拟）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（ ）
A．19 B．17 C．15 D．13
9．（2025·天河模拟）如图，是线段上一动点，，，，，，点，分别是，的中点，随着点的运动，下列说法正确的是（ ）
A．的长随着点的位置变化而变化
B．的长保持不变，长为
C．的长保持不变，长为
D．的长保持不变，长为
10．（2025·天河模拟）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③抛物线的顶点坐标为；
④若，则．
A．①② B．②③④ C．①④ D．①③
11．（2025·天河模拟）计算： ．
12．（2025·天河模拟）某电商平台以店铺近六个月收到顾客关于商品描述、服务态度的两项评分综合计算店铺的信誉分，两项比重为．若某店铺的商品描述得分，服务态度得分，则该店铺的信誉分为 ．
13．（2025·天河模拟）分式方程的解是 ．
14．（2025·天河模拟）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ．
15．（2025·天河模拟）如图，在中，，于点，若，，则 ．
16．（2025·天河模拟）已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿直线翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为 ．
17．（2025·天河模拟）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
18．（2025·天河模拟）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：．
19．（2025·天河模拟）已知：．
（1）化简；
（2）若点为正比例函数上一点，求的值．
20．（2025·天河模拟）某中学做了如下表所示的调查报告（不完整）：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查
调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1～3.5h范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是（ ） ①；②；③；④；⑤． （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）（ ） A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）填空：参与本次问卷调查的学生人数是______，在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为______；
（2）补全周家务劳动时间的频数直方图；
（3）若该校七年级学生共有700人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数．
21．（2025·天河模拟）如图，已知．
（1）尺规作图：作点关于的对称点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的图形下，过点作，交于点．若，，求的长度．
22．（2025·天河模拟）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了两种食品作为午餐．餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克．餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克．
（1）若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午 选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？
23．（2025·天河模拟）甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务：
【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，．
【任务一】确定弦的长度．
（1）如图2，求出弦的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
（2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积．
【任务三】确定卡纸大小．
（3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）．
24．（2025·天河模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为，与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点正好落在该抛物线上．已知点，，当时：
（1）无论取何正值，试说明总是等于；
（2）若直线与抛物线交于点，求的值；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
25．（2025·天河模拟）如图1，线段，为中点，是平面上异于的任一动点，且满足，若点和点在直线的同侧，且，并始终有，连接．
（1）如图2，若，求线段的长；
（2）若将线段三等分，求线段的长；
（3）直接写出线段长度的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵圆柱的展开图是两个圆和一个矩形，
∴该几何体是圆柱；
故答案为：D．
【分析】根据几何体的展开图为两个圆和一个矩形，即可得出几何体是圆柱．
3．【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 分式有意义，
，
，
故答案为：C
【分析】利用分式有意义的条件：分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案．
4．【答案】B
【知识点】负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故原运算错误，不符合题意；
B、，运算正确，符合题意；
C、，故原运算错误，不符合题意；
D、，故原运算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用负整数指数幂的运算，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用有理数的减法法则，可对D作出判断.
5．【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴可知，，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用数轴可知，即可确定出b-a的符号，然后化简绝对值即可.
6．【答案】A
【知识点】正方形的判定；概率公式
【解析】【解答】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．
∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为．
故答案为：A．
【分析】利用对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，一组两边相等且对角线相等的平行四边形是正方形；同时可得到所有等可能的结果数及可得到得到平行四边形ABCD是正方形的情况数，然后利用概率公式进行计算.
7．【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，且函数关系式是；
故答案为：A.
【分析】利用表中数据可知：对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，进而求解.
8．【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由题知，第①个图案中有1个正方形，
第②个图案中有3个正方形，
第③个图案中有5个正方形，
第④个图案中有7个正方形，
…，
第n个图案中有个正方形，
∴第⑧个图案中正方形的个数为，
故答案为：C．
【分析】观察图形的变化规律得出第n个图形中有个正方形即可．
9．【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，点分别是的中点，则是中位线，
∴，
∴随着点的运动，的长保持不变，长为，
故答案为：B ．
【分析】过点作于点，连接，易证四边形是矩形，利用矩形的性质可求出AE、CE的长，在中，利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形的中位线定理可求出MN的长.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意，有两实根，
，
∴两个方程相减得，，
∴，故①正确，
，
令，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线的顶点为．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴顶点坐标为，故③正确．
∵，
∴．
又，
，
∴，故②错误．
∵，
，
∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
∵，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有①③共2个．
故答案为：D．
【分析】由有两实根，，可得到关于a、b、c的方程组，采用消元法可求出2a+b的值，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可得到抛物线的对称轴，由此可得到抛物线的顶点为c)，再结合，可对③作出判断；依据题意可得，又，进而可得abc的值，可确定出a的符号，可对②作出判断；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④；综上所述可得到正确结论的序号.
11．【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据乘方运算法则求解即可．
12．【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵某店铺的商品描述得分，服务态度得分，两项比重为，
∴该店铺的信誉分为，
故答案为：．
【分析】利用加权平均数公式进行计算.
13．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
等号两边同时乘以，可得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得
系数化为1，得，
经检验，是该分式方程的解，
∴该分式方程的解为．
故答案为：．
【分析】首先等号两边同时乘以，将分式方程转化为一元一次方程并求解，然后检验即可获得答案．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵分别与圆相切于两点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，利用圆周角定理可求出∠AOB的度数，利用切线的性质得到，据此根据四边形内角和定理即可求出答案．
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质和已知条件可证明，设，可表示出AC的长，然后利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
16．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，
∵与的图象交于点，
∴把代入，得出，
∴，
把代入，
解得，
∴反比例函数解析式为，
设，
在，
∴，
∵点B为y轴上一点，将沿翻折得到，
∴，，
∴，
∴，
解得或（负值已舍去），
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先得出以及，利用解直角三角形可求出∠1的度数，再利用折叠性质，可求出∠3的度数，然后利用勾股定理求出OB的长，可得到点B的坐标.
17．【答案】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
将不等式的解集在数轴上表示出来，如下图所示，
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先去括号，再移项、合并同类项，然后将系数化为1可得到不等式的解集，最后将解集在数轴上表示出来即可.
18．【答案】证明：在菱形中，
，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴。
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据菱形的性质，可得，，根据，易证，从而可得结论。
19．【答案】（1）解：
（2）解：∵点为正比例函数上一点，∴，
∴
【知识点】分式的化简求值；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）先将括号里的分式通分计算，再将除法化为乘法，化为最简分式；
（2）将代入函数解析式，可得到，再代入（1）中化简的结果求值即可．
（1）解：
；
（2）解：∵点为正比例函数上一点，
∴，
∴．
20．【答案】（1），
（2）解：∵参与本次问卷调查的学生人数为人，
∴周家务劳动时间在的学生人数为，
∴补全周家务劳动时间的频数直方图如下：
（3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为，，
答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴参与本次问卷调查的学生人数为人，
∴扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：100；126°.
【分析】（）用周家务劳动时间在的人数除以其百分比可求出参与本次问卷调查的学生人数，进而可求出扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数；
（）求出周家务劳动时间在的学生人数，再补全频数直方图即可；
（）求出被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数占比即可求解．
（1）解：∵，
∴参与本次问卷调查的学生人数为人，
∴扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为；
（2）解：∵参与本次问卷调查的学生人数为人，
∴周家务劳动时间在的学生人数为，
∴补全周家务劳动时间的频数直方图如下：
（3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为，
，
答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人．
21．【答案】（1）解：如图，点D即为所求；
（2）解：如图：过点作，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）作于O，在射线上截取即可；
（2）过点作，交于点，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可知，同时可求出DC的长，再根据两直线平行内错角相等得到，根据等角对等边即可得出结果．
（1）解：如图，点D即为所求；
（2）如图：过点作，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得，
解方程组，得，
答：选用A种食品3包，B种食品2包
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据题意，得，
∴，
设总热量为，则，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w最小，
∴，
答：选用A种食品3包，B种食品4包
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用A种食品包，可表示出选用B种食品的数量，再根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求出，再设总热量为，得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得，
解方程组，得，
答：选用A种食品3包，B种食品2包．
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得，
∴，
设总热量为，则，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w最小，
∴，
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
23．【答案】【解答】任务一：解：过点O作，交于点，
，，
，
，
，，
；
任务二：解：需要剪掉的卡纸面积为
；
任务三：解：如图
由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接，连接交于点N，交于点，
由题意知，，
由上得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
同理：，
∴，
同理：四边形为平行四边形，
∴
【知识点】矩形的性质；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可求出∠OAB的度数，利用垂径定理求出AH的长，然后利用勾股定理求出AB的长；
任务二：根据需要剪掉的卡纸面积为，利用扇形面积公式即可求解；
任务三：由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接交于点N，连接，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠ODC的度数，可推出∠ODC=∠OAB，利用同位角相等，两直线平行，可证得AB∥GH，利用矩形的性质可推出EF∥AB，可推出四边形AEFB是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得EF=AB，据此可求出OP的长，同时最快的AB=2AP，利用勾股定理可求出AP的长，可得到AB、EF的长，即可得到ON、MN的长，然后利用平行四边形的性质可求出EH的长.
24．【答案】（1）解：∵抛物线，与轴交于点，
∴点的坐标为，
将点向右平移个单位长度得到点，
∴点的坐标为，
∵点正好落在该抛物线上，
∴，
整理得，
∵，
∴
（2）解：由（1）知，又，∴，
∴顶点的坐标为，
∵点，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
当时，，
即点的坐标为，
∵点的坐标为，点，
∴，，
∴
（3）解：∵点，，且，∴，
∴点在点和顶点之间，
要使抛物线与线段恰有一个公共点，则点在抛物线下方或在抛物线上，
∴当时，，
整理得，
当，即，
∴，
令，
画出图象如图，
∵，
∴或，
又，
∴；
当，即，
∴，
同理得，
又，
∴；
综上，或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用函数解析式求出点A的坐标，再利用点的坐标平移规律可求出点B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式，可求出b与2t的数量关系.
（2）将，代入函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到顶点的坐标；再利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点的坐标，利用两点之间的距离公式分别求得和的长，据此求解即可；
（3）先判断点在点和顶点之间，要抛物线与线段恰有一个公共点，则点在抛物线下方或在抛物线上，则当时，，整理得，分和，两种情况讨论，利用数形结合即可求解．
（1）解：∵抛物线，与轴交于点，
∴点的坐标为，
将点向右平移个单位长度得到点，
∴点的坐标为，
∵点正好落在该抛物线上，
∴，
整理得，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，又，
∴，
∴顶点的坐标为，
∵点，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
当时，，
即点的坐标为，
∵点的坐标为，点，
∴，，
∴；
（3）解：∵点，，且，
∴，
∴点在点和顶点之间，
要使抛物线与线段恰有一个公共点，则点在抛物线下方或在抛物线上，
∴当时，，
整理得，
当，即，
∴，
令，
画出图象如图，
∵，
∴或，
又，
∴；
当，即，
∴，
同理得，
又，
∴；
综上，或．
25．【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图所示，取中点T，连接，设交于R，∵O是的中点，T是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵将线段三等分，
∴当点R是靠近点D的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）
当点R是靠近点O的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的长为或6
（3）
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：如图，过点A作，使，连接．
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
∵，O为的中点，
∴，
∵点和点在直线的同侧，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）利用已知可求出∠B的度数，利用解直角三角形求出AC的长；在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出AD的长.
（2）取中点T，连接，设交于R，∵O是的中点，T是的中点，利用三角形的中位线定理可证得；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DRA∽△ORT，利用相似三角形的性质及已知条件，分情况讨论：当点R是靠近点D的三等分点时，可推出BC=4AD；在中，利用解直角三角形表示出AC的长，在中，利用勾股定理可求出符合题意的AD的长；当点R是靠近点O的三等分点时，可得到OT与AD的数量关系，同时可证得BC=AD，在中，利用解直角三角形表示出AC的长，在中，利用勾股定理可求出符合题意的AD的长；综上所述，可得到符合题意的AD的长.
（3）过点A作，使，连接．利用解直角三角形求出AF的长，同时可表示出AC的长；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△CAF∽△DAO，利用相似三角形的性质可得到OD与CF的数量关系，即可得到OC的长；根据点和点在直线的同侧，可知AF＜CF，即可求出CF的取值范围，由此可得到OD的取值范围，
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，取中点T，连接，设交于R，
∵O是的中点，T是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵将线段三等分，
∴当点R是靠近点D的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）
当点R是靠近点O的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的长为或；
（3）解：如图，过点A作，使，连接．
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
∵，O为的中点，
∴，
∵点和点在直线的同侧，
∴，
∵，
∴，
∴．
1 / 1广东省广州市天河区第七十五中学九年级2025年中考二模数学试卷
1．（2025·天河模拟）垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】中心对称图形是图形绕某一点旋转180°后与原来的图形完全重合，再对各选项逐一判断即可.
2．（2025·天河模拟）如图是某几何体的展开图，该几何体是（ ）
A．长方体 B．三棱柱 C．圆锥 D．圆柱
【答案】D
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：∵圆柱的展开图是两个圆和一个矩形，
∴该几何体是圆柱；
故答案为：D．
【分析】根据几何体的展开图为两个圆和一个矩形，即可得出几何体是圆柱．
3．（2025·天河模拟）要使分式有意义，的取值应满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解： 分式有意义，
，
，
故答案为：C
【分析】利用分式有意义的条件：分母不为零，再列不等式，解不等式即可得到答案．
4．（2025·天河模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】负整数指数幂；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故原运算错误，不符合题意；
B、，运算正确，符合题意；
C、，故原运算错误，不符合题意；
D、，故原运算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】只有同类项才能合并，可对A作出判断；利用负整数指数幂的运算，可对B作出判断；利用积的乘方法则，可对C作出判断；利用有理数的减法法则，可对D作出判断.
5．（2025·天河模拟）已知实数在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】化简含绝对值有理数；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据数轴可知，，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】利用数轴可知，即可确定出b-a的符号，然后化简绝对值即可.
6．（2025·天河模拟）如图，四边形是平行四边形，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的判定；概率公式
【解析】【解答】解：从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，共有①②、①③、②③，3种方法，由正方形的判定方法，可得①②、①③共有2种可判定平行四边形是正方形．
∴，从①，②，③，这三个条件中任意选取两个，能使是正方形的概率为．
故答案为：A．
【分析】利用对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，一组两边相等且对角线相等的平行四边形是正方形；同时可得到所有等可能的结果数及可得到得到平行四边形ABCD是正方形的情况数，然后利用概率公式进行计算.
7．（2025·天河模拟）已知一个函数的函数值与自变量的几组对应值如表，这个函数的表达式可以是（ ）
… 0 1 2 …
… 0 3 6 …
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正比例函数的性质
【解析】【解答】解：观察表格可以发现，对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，且函数关系式是；
故答案为：A.
【分析】利用表中数据可知：对于自变量x的每一个值，对于的函数y的值恰好是x的3倍，这是一个正比例函数，进而求解.
8．（2025·天河模拟）把正方形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个正方形，第②个图案中有3个正方形，第③个图案中有5个正方形，…，按此规律排列下去，则第⑧个图案中正方形的个数为（ ）
A．19 B．17 C．15 D．13
【答案】C
【知识点】用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由题知，第①个图案中有1个正方形，
第②个图案中有3个正方形，
第③个图案中有5个正方形，
第④个图案中有7个正方形，
…，
第n个图案中有个正方形，
∴第⑧个图案中正方形的个数为，
故答案为：C．
【分析】观察图形的变化规律得出第n个图形中有个正方形即可．
9．（2025·天河模拟）如图，是线段上一动点，，，，，，点，分别是，的中点，随着点的运动，下列说法正确的是（ ）
A．的长随着点的位置变化而变化
B．的长保持不变，长为
C．的长保持不变，长为
D．的长保持不变，长为
【答案】B
【知识点】矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图所示，过点作于点，连接，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，，
在中，点分别是的中点，则是中位线，
∴，
∴随着点的运动，的长保持不变，长为，
故答案为：B ．
【分析】过点作于点，连接，易证四边形是矩形，利用矩形的性质可求出AE、CE的长，在中，利用勾股定理求出CD的长，然后利用三角形的中位线定理可求出MN的长.
10．（2025·天河模拟）已知一元二次方程有两实根，，且，则下列结论中正确的有（ ）
①；②；③抛物线的顶点坐标为；
④若，则．
A．①② B．②③④ C．①④ D．①③
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由题意，有两实根，
，
∴两个方程相减得，，
∴，故①正确，
，
令，
∴抛物线的对称轴是直线．
∴抛物线的顶点为．
又，
∴，即．
∴．
∴．
∴顶点坐标为，故③正确．
∵，
∴．
又，
，
∴，故②错误．
∵，
，
∴对于函数，当时的函数值小于当时的函数值．
∵，抛物线的对称轴是直线，
又此时抛物线上的点离对称轴越近函数值越小，
，
，
∴，故④错误．
综上，正确的有①③共2个．
故答案为：D．
【分析】由有两实根，，可得到关于a、b、c的方程组，采用消元法可求出2a+b的值，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可得到抛物线的对称轴，由此可得到抛物线的顶点为c)，再结合，可对③作出判断；依据题意可得，又，进而可得abc的值，可确定出a的符号，可对②作出判断；由，故，即对于函数，当时的函数值小于当时的函数值，再结合，抛物线的对称轴是直线，从而根据二次函数的性质即可判断④；综上所述可得到正确结论的序号.
11．（2025·天河模拟）计算： ．
【答案】
【知识点】有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】根据乘方运算法则求解即可．
12．（2025·天河模拟）某电商平台以店铺近六个月收到顾客关于商品描述、服务态度的两项评分综合计算店铺的信誉分，两项比重为．若某店铺的商品描述得分，服务态度得分，则该店铺的信誉分为 ．
【答案】
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵某店铺的商品描述得分，服务态度得分，两项比重为，
∴该店铺的信誉分为，
故答案为：．
【分析】利用加权平均数公式进行计算.
13．（2025·天河模拟）分式方程的解是 ．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
等号两边同时乘以，可得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得
系数化为1，得，
经检验，是该分式方程的解，
∴该分式方程的解为．
故答案为：．
【分析】首先等号两边同时乘以，将分式方程转化为一元一次方程并求解，然后检验即可获得答案．
14．（2025·天河模拟）如图，分别与圆相切于两点，点为圆上一点，连接，若，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵，
∴，
∵分别与圆相切于两点，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】连接，利用圆周角定理可求出∠AOB的度数，利用切线的性质得到，据此根据四边形内角和定理即可求出答案．
15．（2025·天河模拟）如图，在中，，于点，若，，则 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质和已知条件可证明，设，可表示出AC的长，然后利用勾股定理可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
16．（2025·天河模拟）已知与的图象交于点，点为轴上一点，将沿直线翻折，使点恰好落在上点处，则点坐标为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作轴，过点C作轴，
∵与的图象交于点，
∴把代入，得出，
∴，
把代入，
解得，
∴反比例函数解析式为，
设，
在，
∴，
∵点B为y轴上一点，将沿翻折得到，
∴，，
∴，
∴，
解得或（负值已舍去），
∴，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】先得出以及，利用解直角三角形可求出∠1的度数，再利用折叠性质，可求出∠3的度数，然后利用勾股定理求出OB的长，可得到点B的坐标.
17．（2025·天河模拟）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为1，得，
将不等式的解集在数轴上表示出来，如下图所示，
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】先去括号，再移项、合并同类项，然后将系数化为1可得到不等式的解集，最后将解集在数轴上表示出来即可.
18．（2025·天河模拟）如图，在菱形中，点E、F分别在、边上，，求证：．
【答案】证明：在菱形中，
，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴。
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】根据菱形的性质，可得，，根据，易证，从而可得结论。
19．（2025·天河模拟）已知：．
（1）化简；
（2）若点为正比例函数上一点，求的值．
【答案】（1）解：
（2）解：∵点为正比例函数上一点，∴，
∴
【知识点】分式的化简求值；正比例函数的图象
【解析】【分析】（1）先将括号里的分式通分计算，再将除法化为乘法，化为最简分式；
（2）将代入函数解析式，可得到，再代入（1）中化简的结果求值即可．
（1）解：
；
（2）解：∵点为正比例函数上一点，
∴，
∴．
20．（2025·天河模拟）某中学做了如下表所示的调查报告（不完整）：
调查目的 了解本校学生：（1）周家务劳动的时间；（2）最喜欢的劳动课程
调查方式 随机问卷调查
调查对象 部分七年级学生（该校所有学生周家务劳动时间都在1～3.5h范围内）
调查内容 （1）你的周家务劳动时间（单位：）是（ ） ①；②；③；④；⑤． （2）你最喜欢的劳动课程是（必选且只选一门）（ ） A．家政 B．烹饪 C．剪纸 D．园艺 E．陶艺
调查结果
结合调查信息，回答下列问题：
（1）填空：参与本次问卷调查的学生人数是______，在扇形统计图中，第④组所对应扇形的圆心角的度数为______；
（2）补全周家务劳动时间的频数直方图；
（3）若该校七年级学生共有700人，请估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数．
【答案】（1），
（2）解：∵参与本次问卷调查的学生人数为人，
∴周家务劳动时间在的学生人数为，
∴补全周家务劳动时间的频数直方图如下：
（3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为，，
答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴参与本次问卷调查的学生人数为人，
∴扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：100；126°.
【分析】（）用周家务劳动时间在的人数除以其百分比可求出参与本次问卷调查的学生人数，进而可求出扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数；
（）求出周家务劳动时间在的学生人数，再补全频数直方图即可；
（）求出被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数，再用乘以喜欢“烹饪”课程的学生人数占比即可求解．
（1）解：∵，
∴参与本次问卷调查的学生人数为人，
∴扇形统计图中④所对应扇形的圆心角的度数为；
（2）解：∵参与本次问卷调查的学生人数为人，
∴周家务劳动时间在的学生人数为，
∴补全周家务劳动时间的频数直方图如下：
（3）解：被调查人数中喜欢“烹饪”课程的学生人数为，
，
答：估计最喜欢“烹饪”课程的学生人数为人．
21．（2025·天河模拟）如图，已知．
（1）尺规作图：作点关于的对称点，连接；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的图形下，过点作，交于点．若，，求的长度．
【答案】（1）解：如图，点D即为所求；
（2）解：如图：过点作，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）作于O，在射线上截取即可；
（2）过点作，交于点，利用SAS可证得，利用全等三角形的性质可知，同时可求出DC的长，再根据两直线平行内错角相等得到，根据等角对等边即可得出结果．
（1）解：如图，点D即为所求；
（2）如图：过点作，交于点，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
22．（2025·天河模拟）2025年国家卫健委建议实施“体重管理年”三年行动．某校要组织学生外出研学，根据营养师的建议准备了两种食品作为午餐．餐每包的热量为700千焦，蛋白质为5克．餐每包热量为800千焦，蛋白质为10克．
（1）若要从这两种食品中摄入3700千焦热量和35克蛋白质，应选用两种食品各多少包？
（2）运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若每份午 选用这两种食品共7包，要使每份午餐中的蛋白质含量不低于55克，且热量最低，应如何选用这两种食品？
【答案】（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得，
解方程组，得，
答：选用A种食品3包，B种食品2包
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，根据题意，得，
∴，
设总热量为，则，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w最小，
∴，
答：选用A种食品3包，B种食品4包
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设选用A种食品x包，B种食品y包，根据“从这两种食品中摄入热量和蛋白质”列方程组求解即可；
（2）设选用A种食品包，可表示出选用B种食品的数量，再根据“每份午餐中的蛋白质含量不低于”列不等式求出，再设总热量为，得到关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解．
（1）解：设选用A种食品x包，B种食品y包，
根据题意，得，
解方程组，得，
答：选用A种食品3包，B种食品2包．
（2）解：设选用A种食品包，则选用B种食品包，
根据题意，得，
∴，
设总热量为，则，
∵，
∴w随a的增大而减小，
∴当时，w最小，
∴，
答：选用A种食品3包，B种食品4包．
23．（2025·天河模拟）甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务：
【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，．
【任务一】确定弦的长度．
（1）如图2，求出弦的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
（2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积．
【任务三】确定卡纸大小．
（3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）．
【答案】【解答】任务一：解：过点O作，交于点，
，，
，
，
，，
；
任务二：解：需要剪掉的卡纸面积为
；
任务三：解：如图
由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接，连接交于点N，交于点，
由题意知，，
由上得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
同理：，
∴，
同理：四边形为平行四边形，
∴
【知识点】矩形的性质；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可求出∠OAB的度数，利用垂径定理求出AH的长，然后利用勾股定理求出AB的长；
任务二：根据需要剪掉的卡纸面积为，利用扇形面积公式即可求解；
任务三：由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接交于点N，连接，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理可求出∠ODC的度数，可推出∠ODC=∠OAB，利用同位角相等，两直线平行，可证得AB∥GH，利用矩形的性质可推出EF∥AB，可推出四边形AEFB是平行四边形，利用平行四边形的性质可证得EF=AB，据此可求出OP的长，同时最快的AB=2AP，利用勾股定理可求出AP的长，可得到AB、EF的长，即可得到ON、MN的长，然后利用平行四边形的性质可求出EH的长.
24．（2025·天河模拟）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）的顶点为，与轴交于点，将点向右平移个单位长度得到点，点正好落在该抛物线上．已知点，，当时：
（1）无论取何正值，试说明总是等于；
（2）若直线与抛物线交于点，求的值；
（3）若抛物线与线段恰有一个公共点，结合函数图象，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线，与轴交于点，
∴点的坐标为，
将点向右平移个单位长度得到点，
∴点的坐标为，
∵点正好落在该抛物线上，
∴，
整理得，
∵，
∴
（2）解：由（1）知，又，∴，
∴顶点的坐标为，
∵点，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
当时，，
即点的坐标为，
∵点的坐标为，点，
∴，，
∴
（3）解：∵点，，且，∴，
∴点在点和顶点之间，
要使抛物线与线段恰有一个公共点，则点在抛物线下方或在抛物线上，
∴当时，，
整理得，
当，即，
∴，
令，
画出图象如图，
∵，
∴或，
又，
∴；
当，即，
∴，
同理得，
又，
∴；
综上，或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式
【解析】【分析】（1）利用函数解析式求出点A的坐标，再利用点的坐标平移规律可求出点B的坐标，将点B的坐标代入函数解析式，可求出b与2t的数量关系.
（2）将，代入函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，可得到顶点的坐标；再利用待定系数法求得直线的解析式，联立求得点的坐标，利用两点之间的距离公式分别求得和的长，据此求解即可；
（3）先判断点在点和顶点之间，要抛物线与线段恰有一个公共点，则点在抛物线下方或在抛物线上，则当时，，整理得，分和，两种情况讨论，利用数形结合即可求解．
（1）解：∵抛物线，与轴交于点，
∴点的坐标为，
将点向右平移个单位长度得到点，
∴点的坐标为，
∵点正好落在该抛物线上，
∴，
整理得，
∵，
∴；
（2）解：由（1）知，又，
∴，
∴顶点的坐标为，
∵点，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得，
当时，，
即点的坐标为，
∵点的坐标为，点，
∴，，
∴；
（3）解：∵点，，且，
∴，
∴点在点和顶点之间，
要使抛物线与线段恰有一个公共点，则点在抛物线下方或在抛物线上，
∴当时，，
整理得，
当，即，
∴，
令，
画出图象如图，
∵，
∴或，
又，
∴；
当，即，
∴，
同理得，
又，
∴；
综上，或．
25．（2025·天河模拟）如图1，线段，为中点，是平面上异于的任一动点，且满足，若点和点在直线的同侧，且，并始终有，连接．
（1）如图2，若，求线段的长；
（2）若将线段三等分，求线段的长；
（3）直接写出线段长度的取值范围．
【答案】（1）解：∵，，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图所示，取中点T，连接，设交于R，∵O是的中点，T是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵将线段三等分，
∴当点R是靠近点D的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）
当点R是靠近点O的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的长为或6
（3）
【知识点】三角形的中位线定理；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（3）解：如图，过点A作，使，连接．
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
∵，O为的中点，
∴，
∵点和点在直线的同侧，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）利用已知可求出∠B的度数，利用解直角三角形求出AC的长；在Rt△ADC中，利用解直角三角形求出AD的长.
（2）取中点T，连接，设交于R，∵O是的中点，T是的中点，利用三角形的中位线定理可证得；再利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得△DRA∽△ORT，利用相似三角形的性质及已知条件，分情况讨论：当点R是靠近点D的三等分点时，可推出BC=4AD；在中，利用解直角三角形表示出AC的长，在中，利用勾股定理可求出符合题意的AD的长；当点R是靠近点O的三等分点时，可得到OT与AD的数量关系，同时可证得BC=AD，在中，利用解直角三角形表示出AC的长，在中，利用勾股定理可求出符合题意的AD的长；综上所述，可得到符合题意的AD的长.
（3）过点A作，使，连接．利用解直角三角形求出AF的长，同时可表示出AC的长；利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得△CAF∽△DAO，利用相似三角形的性质可得到OD与CF的数量关系，即可得到OC的长；根据点和点在直线的同侧，可知AF＜CF，即可求出CF的取值范围，由此可得到OD的取值范围，
（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，取中点T，连接，设交于R，
∵O是的中点，T是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
∵将线段三等分，
∴当点R是靠近点D的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）
当点R是靠近点O的三等分点时，则，
∴，
∴，
在中，，
在中，由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）；
综上所述，的长为或；
（3）解：如图，过点A作，使，连接．
则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∴．
∵，O为的中点，
∴，
∵点和点在直线的同侧，
∴，
∵，
∴，
∴．
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